動態規劃

常聽到的DP(Dynamic Programming)

大問題

小問題

定義

大問題

小問題

大問題

小問題

大問題

小問題

大問題

小問題

大問題

小問題

大問題

小問題

大問題

小問題

for(int i=0;i<4;i++)

大問題

小問題

for(int i=0;i<4;i++)

太過耗時

大問題

小問題

for(int i=0;i<4;i++)

太過耗時

大問題

小問題的解no.1

小問題的解no.2

小問題的解no.3

小問題的解no.4

a[4]

example

費氏數列：

每次輸入皆為一整數n，且n不大於50，可無限輸入

請輸出費氏數列第n項的值

example

遞迴解法：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int f(int n){
    if(n==1) return 1;
    else if(n==2) return 1;
    else{
        return f(n-2)+f(n-1);
    }
}
int main(){
    int n;
    while(cin>>n){
        cout<<f(n)<<endl;
    }
    
    return 0;
}

example

DP想法：

if n==10，f(n)=?

f[11]

. . .

n=1

n=2

n=3

n=4

n=10

1

2

3

55

f[1]+f[2]

f[2]+f[3]

f[8]+f[9]

example

DP解法：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main(){

    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int f[51],n;
    f[1]=1;
    f[2]=1;
    for(int i=3;i<=50;i++){
        f[i]=f[i-1]+f[i-2];
    }
    while(cin>>n){
        cout<<f[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

實作練習！

Brick Wall Patterns

解題思路：

1：

2：

3：

4：

方法1種

方法2種

方法1+2種

solve

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main(){
    long long int n,wall[51]={0,1,2};
    for(int i=3;i<51;i++){
        wall[i]=wall[i-1]+wall[i-2];
    }
    while(cin>>n){
        if(n==0) break;
        cout<<wall[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

最短路徑

解題思路：if只走邊

0 7 8 9

1 5 1 1

2 4 10 0

最短路徑

解題思路：if只走邊

0 7 15 9

1 5 1 1

3 4 10 0

最短路徑

解題思路：if只走邊

0 7 15 24

1 5 1 1

3 4 10 0

最短路徑

解題思路：if走裡面

0 7 15 24

1 5 1 1

3 4 10 0

1<7

最短路徑

解題思路：if走裡面

0 7 15 24

1 6 1 1

3 4 10 0

1<7

最短路徑

解題思路：if走裡面

0 7 15 24

1 6 1 1

3 4 10 0

6<15

最短路徑

解題思路：if走裡面

0 7 15 24

1 6 7 1

3 4 10 0

6<15

最短路徑

解題思路：if走裡面

0 7 15 24

1 6 7 1

3 4 10 0

7<24

最短路徑

解題思路：if走裡面

0 7 15 24

1 6 7 8

3 4 10 0

7<24

最短路徑

解題思路：if走裡面

0 7 15 24

1 6 7 8

3 4 10 0

8<10

最短路徑

解題思路：if走裡面

0 7 15 24

1 6 7 8

3 4 10 8

8<10

最短路徑

解題思路：if走裡面

0 7 15 24

1 6 7 8

3 4 10 8

8<10

最短路徑

解題思路：why not從上跟下選比較小的走呢？

0 7 8 9

1 5 1 1

2 4 10 0

最短路徑

解題思路：why not從上跟左選比較小的走呢？

0 7 8 9

1 5 1 1

2 4 10 0

最短路徑

解題思路：why not從上跟下選比較小的走呢？

0 7 8 9

1 5 1 1

2 4 10 0

最短路徑

解題思路：why not從上跟下選比較小的走呢？

0 7 8 9

1 5 1 1

2 4 10 0

最短路徑

解題思路：why not從上跟下選比較小的走呢？

0 7 8 9

1 5 1 1

3 4 10 0

最短路徑

解題思路：why not從上跟下選比較小的走呢？

0 7 8 9

1 5 1 1

3 7 17 17

最短路徑

解題思路：why not從上跟下選比較小的走呢？

0 7 8 9

1 5 1 1

3 7 17 17

最短路徑

解題思路：why not從上跟下選比較小的走呢？

0 7 8 9

1 5 1 1

3 7 17 17

最短路徑

解題思路：if走外面(上)

int sumM=0;
for(int i=1;i<m;i++){
    sumM+=map[0][i];
    map[0][i]=sumM;
}

最短路徑

解題思路：if走外面(左)

int sumN=0;
for(int i=1;i<n;i++){
    sumN+=map[i][0];
    map[i][0]=sumN;
}

最短路徑

解題思路：if走裡面

for(int i=1;i<n;i++){
    for(int j=1;j<m;j++){
        if(map[i-1][j]>map[i][j-1]){
            map[i][j]+=map[i][j-1];
        }
        else{
            map[i][j]+=map[i-1][j];
        }
    }
}

背包問題

解題思路：我們先把它的重量以及承載量全除以10，我比較好做講解

k[1]	k[2]	k[3]	k[4]	k[5]	k[6]	k[7]	k[8]	k[9]	k[10]
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

w=3 v=60

背包問題

前情提要：我們先把它的重量以及承載量全除以10，我比較好做講解

k[1]	k[2]	k[3]	k[4]	k[5]	k[6]	k[7]	k[8]	k[9]	k[10]
0	0	60	60	60	60	60	60	60	60

w=3 v=60

背包問題

解題思路：我們先把它的重量以及承載量全除以10，我比較好做講解

k[1]	k[2]	k[3]	k[4]	k[5]	k[6]	k[7]	k[8]	k[9]	k[10]
0	50	60	60	110	110	110	110	110	110

w=2 v=50

背包問題

解題思路：我們先把它的重量以及承載量全除以10，我比較好做講解

k[1]	k[2]	k[3]	k[4]	k[5]	k[6]	k[7]	k[8]	k[9]	k[10]
0	50	60	60	110	110	110	110	150	150

w=4 v=40

背包問題

解題思路：我們先把它的重量以及承載量全除以10，我比較好做講解

k[1]	k[2]	k[3]	k[4]	k[5]	k[6]	k[7]	k[8]	k[9]	k[10]
0	50	60	60	110	110	110	110	150	150

w=6 v=70

背包問題

解題思路：我們先把它的重量以及承載量全除以10，我比較好做講解

k[1]	k[2]	k[3]	k[4]	k[5]	k[6]	k[7]	k[8]	k[9]	k[10]
0	50	60	60	110	110	110	110	150	150

biggest is 150

背包問題

解題思路：如何解決

k[1]	k[2]	k[3]	k[4]	k[5]	k[6]	k[7]	k[8]	k[9]	k[10]
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

w=3 v=60

箭頭範圍代表可以將重量為3之物體放入

故將陣列之值設為其所代表之重量

背包問題

解題思路：如何解決

w=3 v=60

箭頭範圍代表可以將重量為3之物體放入

故將陣列之值設為其所代表之價值

k[1]	k[2]	k[3]	k[4]	k[5]	k[6]	k[7]	k[8]	k[9]	k[10]
0	0	60	60	60	60	60	60	60	60

w=2 v=50

背包問題

解題思路：如何解決

w=3 v=60

箭頭範圍代表可以將重量為2之物體放入

例如k[5]為同時可放入兩者的空間數

則k[5]=k[5-2]+k[2]

k[1]	k[2]	k[3]	k[4]	k[5]	k[6]	k[7]	k[8]	k[9]	k[10]
0	0	60	60	60	60	60	60	60	60

w=2 v=50

背包問題

解題思路：如何解決

箭頭範圍代表可以將重量為2之物體放入

例如k[5]為同時可放入兩者的空間數

則k[5]=k[5-2]+k[2]

k[1]	k[2]	k[3]	k[4]	k[5]	k[6]	k[7]	k[8]	k[9]	k[10]
0	50	60	60	110	60	60	60	60	60

w=2 v=50

若相比之下無較大則不變

背包問題

解題思路：如何解決

箭頭範圍代表可以將重量為2之物體放入

例如k[5]為同時可放入兩者的空間數

則k[5]=k[5-2]+k[2]

k[1]	k[2]	k[3]	k[4]	k[5]	k[6]	k[7]	k[8]	k[9]	k[10]
0	50	60	60	110	110	110	110	110	110

w=2 v=50

若兩者相加之值並無較大則不改變

背包問題

解題思路：如何解決

for(int i=0;i<n;i++){
    for(int j=10;j>=w[i];j--){
        if(k[j-w[i]]+v[i]>k[j]){
           k[j]=k[j-w[i]]+v[i];
        }
    }
}