Señales y sistemas: una perspectiva

Rafael Martínez-Martínez

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Conceptos de sistemas

Señal, sistema

Subtitle

La definición se toma de [1]

Experimento, modelo

Subtitle

La definición se toma de [1]

Simulación

Subtitle

La definición se toma de [1]

Problema: directo, inverso y de control

Subtitle

La definición se toma de [1]

Observaciones

En señales y sistemas nos interesa el problema directo. Es decir encontramos la salida dados la entrada y el sistema, donde las entradas y salidas las modelamos como funciones matemáticas dependientes del tiempo y el sistema es un modelo matemático, en nuestro caso, una ecuación entre la entrada y la salida.

Ejemplos:

La entrada  suele ser manipulada (se puede elegir, en general será relativamente obvia) y esta dependerá de la naturaleza del sistema (eléctrico, mecánico, etc) o de una manipulación que se haga al sistema (problema de control). La salida en ocasiones puede elegirse, aunque la mayor parte de las ocasiones esta restringida (por ejemplo: motores).

La figura se toma de [2]

Abstracción de sistemas y modelos

Sistemas como transformaciones de señales

Para un sistema

y(t)=\sum\{x(t)\}

denotamos la salida o respuesta con

\sum
y(t)
x(t)

asociada a la entrada

como:

Es decir, cada entrada produce una salida, si cambia la entrada, cambia la salida, (un sistema es una función de funciones). De aquí se deriva la siguiente convención, si la entrada es una función exponencial la salida recibe el nombre de respuesta a la función exponencial. Si la entrada es un escalón, la salida recibe el nombre de respuesta al escalón. Si la entrada es un impulso (delta de Dirac ), la salida recibe el nombre de respuesta al impulso, etc.

NOTA

Para un sistema

y[n]=\sum\{x[n]\}

denotamos la salida o respuesta con

\sum
y[n]
x(t)

asociada a la entrada

como:

Todas las definiciones y propiedades que se describirán aplican tanto para sistemas en tiempo continuo (entrada y salida en tiempo continuo) como para sistemas en tiempo discreto (entrada y salida en tiempo discreto), se elige presentar la notación para señales en tiempo continuo, y cuando se considere necesario se hará explicita la descripción para señales en tiempo discreto.

Modelo entrada-salida: Sistemas eléctricos

y(t)=\frac{R_i}{R_1+R_2}x(t)
\sum

  • Usamos la ley fundamental del sistema

  • Escribimos las relaciones entre los componentes del sistema

  • Substituimos todas las variables por entradas y salidas (mediante las relaciones)

  • Escribimos a la salida en términos de la entrada (implícita o explícitamente)

\sum
y(t)=y(t_0)e^{-\frac{1}{CR}(t-t_0)}+\frac{1}{CR}\int_{t_0}^{t}x(\tau)e^{-1/RC(t-\tau)}\,d\tau,\;t\geq t_0
y(t)=\left(y(t_0)e^{-\frac{1}{CR}(t-t_0)}+x(t)*\frac{1}{CR}e^{-(1/RC) t}\right)u(t-t_0)
\frac{d}{dt}y(t)+\frac{1}{CR}y(t)=\frac{1}{CR}x(t)

salida el voltaje en el resistencia

salida el voltaje en capacitor

Modelo entrada-salida: Sistemas eléctricos

  • Observamos que las relaciones entrada y salida son de diferente complejidad

  • En algunos sistemas se necesita más información para conocer la salida (condiciones iniciales)

  • El modelo cambia dependiendo cual sea el objeto de estudio o por restricciones del mismo sistema (motores)

\sum
\frac{d^2}{dt^2}y(t)+\frac{R}{L}\frac{d}{dt}y(t)+\frac{1}{LC}y(t)=\frac{1}{L}\frac{d}{dt}x(t)

salida la corriente del circuito

\frac{d^2}{dt^2}y(t)+\frac{R}{L}\frac{d}{dt}y(t)+\frac{1}{LC}y(t)=\frac{1}{LC}x(t)

salida el voltaje en el capacitor

Clasificación y propiedades de sistemas

Clasificación de los sistemas

De acuerdo al número de entradas y salidas

  • SISO (Single Input Single Output)

  • MIMO (Multiple Input Multiple Output)

  • SIMO

  • MISO

De acuerdo al tipo de señal de entrada y salida

  • Continuos. Entrada y salida en tiempo continuo

  • Discretos. Entrada y salida en tiempo discreto

  • Analógicos. Entrada y salida analogica

  • Digitales. Entrada y salida digital.

  • Híbridos. Combinación de los anteriores

Existen otras clasificaciones de los sistemas (causales, con memoria, lineales, variantes en el tiempo, parámetros concentrados, invertibles, estables, etc. ), en particular las propiedades de Linealidad e Invariancia en Tiempo (LTI) son importantes, pues los sistemas que satisfagan estas definiciones  permiten describir su salida como una transformación especifica de la entrada (una convolución).

Memoria de un sistema

Cuando la salida solo dependa de la entrada en el mismo instante de tiempo diremos que no tiene memoria (o que es instantáneo).

Se dice que un sistema tiene memoria (o es dinámico) si la salida en un determinado tiempo depende necesariamente de la entrada en tiempos anteriores o posteriores a él.

y(T_0)=\sum\{x(t)\},\;\;t\leq T_0\;o\;t\geq T_0
\sum
\sum

Causalidad de un sistema

Decimos que un sistema es causal (o no anticipante) si al querer conocer la salida en un determinado tiempo, solo depende de la entrada en ese tiempo o anteriores a el, en términos de ecuaciones

y(T_0)=\sum\{x(t)\},\;\;t\leq T_0

En caso contrario diremos que el sistema es no causal o anticipante. Esta propiedad dice que no puede existir salida sin una entrada en el sistema.

\sum
\sum

Invariancia en tiempo de un sistema (TI)

Si se tiene que la respuesta para la entrada

Se conoce la respuesta de un sistema

dada una entrada

y_1(t)=\sum\{x_1(t)\}
\sum
x_2(t)=x_1(t-T_0)

es

y_2(t)=y_1(t-T_0)

es decir, si al trasladar la entrada en tiempo se produce

la misma traslación en la salida, se dirá que el sistema es invariante en tiempo, en caso contrario se dirá que es variante en tiempo

\sum

Linealidad de un sistema (L)

Si se tiene que la respuesta para la entrada

\sum\left(ax(t)\right)=a\sum\{x(t)\}

Se conoce la respuesta de un sistema

dada una entrada

y_1(t)=\sum\{x_1(t)\}
\sum
x_2(t)=ax_1(t)

Sistema homogeneo

es

y_2(t)=ay_1(t)

es decir, si al escalar la entrada se produce el mismo escalamiento en la salida, se dirá que el sistema es homogéneo en caso contrario el sistema será no homogeneo

\sum
\sum

Linealidad de un sistema (L)

Si se tiene que la respuesta para la entrada

Se conocen las respuestas de un sistema

dadas dos entradas

y_1(t)=\sum\{x_1(t)\}
\sum
y_2(t)=\sum\{x_2(t)\}
x_3(t)=x_1(t)+x_2(t)

Sistema aditivo

es

y_3(t)=y_1(t)+y_2(t)

es decir, si al sumar entradas la salida es la suma de

\sum\{x_1(t)+x_2(t)\}=\sum\{x_1(t)\}+\sum\{x_2(t)\}

las respuestas correspondientes, se dirá que el sistema es aditivo, en caso contrario el sistema no será aditivo.

\sum
\sum
\sum

Linealidad de un sistema (L)

Se dice que un sistema es lineal si es  homogéneo y aditivo.

Como ejemplo: los circuitos eléctricos comunes de resistencias y fuentes son lineales, una metodología de solución consiste en aplicar el método de superposición, que consiste en calcular los efectos de las fuentes en el elemento deseado de manera independiente y posteriormente sumar todos las respuestas.

 

Ejemplos: Propiedades de sistemas

Para los siguientes sistemas revisar:

  • Causalidad

  • Memoria

  • Invariancia en tiempo

  • Linealidad

  • Respuesta al escalón

  • Respuesta al impulso

1)\;y(t)=y(t_0)e^{-\frac{1}{CR}(t-t_0)}+\frac{1}{CR}\int_{t_0}^{t}x(\tau)e^{-1/RC(t-\tau)}\,d\tau,\;t\geq t_0
2)\;y(t)=\frac{1}{CR}\int_{t_0}^{t}x(\tau)e^{-1/RC(t-\tau)}\,d\tau,\;t\geq t_0
3)\;y[n]=x[n-2]
4)\;y[n]=nx[n-2]
5)\;y(t)=\frac{d}{dt}x(t)
6)\;y(t)=x(t)

Sistemas LTI continuos y álgebra de bloques

Respuesta de los sistemas LTI continuos

\sum
\sum
\delta(t)
h(t)
x(t)
y_x(t)

Entrada trasladada produce salida trasladada (TI)

\sum
\delta(t-n\Delta\tau)
h(t-n\Delta\tau)
\sum
x(n\Delta\tau)\Delta\tau\delta(t-n\Delta\tau)
x(n\Delta\tau)\Delta\tau h(t-n\Delta\tau)

Entrada escalada produce salida escalada (L)

La idea es escribir cualquier entrada en términos de deltas

Respuesta de los sistemas LTI continuos

\displaystyle \begin{array}{l} x(t)\approx\ldots+x(-\Delta\tau)(u(t+\Delta\tau)-u(t))+x(0)(u(t)-u(t-\Delta\tau))+x(\Delta\tau)(u(t-\Delta\tau)-u(t-2\Delta\tau))\\ +\ldots+x(n\Delta\tau)(u(t-n\Delta\tau)-u(t-(n+1)\Delta\tau))\\ =\ldots+x(-\Delta\tau)\frac{u(t+\Delta\tau)-u(t)}{\Delta\tau}\Delta\tau+x(0)\frac{u(t)-u(t-\Delta\tau)}{\Delta\tau}\Delta\tau+x(\Delta\tau)\frac{u(t-\Delta\tau)-u(t-2\Delta\tau)}{\Delta\tau}\Delta\tau\\ +\ldots+x(n\Delta\tau)\frac{u(t-n\Delta\tau)-u(t-(n+1)\Delta\tau)}{\Delta\tau}\Delta\tau \end{array}
\displaystyle x(t)=\lim_{\Delta\tau\to 0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\displaystyle x(n\Delta\tau)\frac{u(t-n\Delta\tau)-u(t-(n+1)\Delta\tau)}{\Delta\tau}\Delta\tau

Observemos la geometría de la siguiente aproximación

Entonces se puede escribir a la señal de entrada como

\displaystyle x(t)=\lim_{\Delta\tau\to 0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\displaystyle x(n\Delta\tau)\Delta\tau \delta(t-n\Delta\tau)
\sum
\displaystyle \lim_{\Delta\tau\to 0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\displaystyle x(n\Delta\tau)\Delta\tau \delta(t-n\Delta\tau)
\displaystyle \lim_{\Delta\tau\to 0}\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n\Delta\tau)\Delta\tau h(t-n\Delta\tau)

Suma de entradas  produce suma de salidas (L)

Respuesta de los sistemas LTI continuos

\sum
\displaystyle \lim_{\Delta\tau\to 0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\displaystyle x(n\Delta\tau)\Delta\tau \delta(t-n\Delta\tau)
\displaystyle \lim_{\Delta\tau\to 0}\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n\Delta\tau)\Delta\tau h(t-n\Delta\tau)
\sum
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau
\sum
\displaystyle x(t)
\displaystyle y_x(t)=x(\tau)*h(t)
\displaystyle y_x(t)=x(t)*h(t)

La salida de todo sistema LTI continuo es una convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema

Nota

  • La transformada de Laplace bilateral y unitateral derecha de una convolución es el producto de las transformadas

  • La convolución de señales causales es causal

\displaystyle x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau
\displaystyle x(t)*h(t)=\int_{0}^{t}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau

Notación de bloques para un sistema LTI

x(t)
\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)

Por el resultado anterior, puede dotarse de una operatividad al esquema que se ha utilizado para los sistemas, es decir, dado un sistema, este puede ser representado por su respuesta al impulso y así definir un "álgebra" de sistemas, que normalmente se conoce como álgebra de bloques, que nos ayuda a visualizar el flujo de información entre los sistemas

h(t)
\sum
y(t)
x(t)
y(t)

Si tenemos un bloque (sistema) se genera una ecuación donde la señal de la linea de salida es la convolución entre el contenido del bloque y la señal de linea de entrada.

De manera similar si tenemos una ecuación de convolución podemos generar un bloque donde una de las señales se asocia al bloque y otra a la linea de entrada. 

X(s)
\displaystyle Y(s)=X(s)H(s)
H(s)
Y(s)

Si aplicamos trasformada de Laplace

Entonces la idea de "álgebra de bloques" tiene una mejor semántica pues la transformación de la señal de entrada en la señal de salida se hace mediante una multiplicación. Observamos que en este sentido un bloque puede ser convertido en una ecuación de multiplicación, y una ecuación de multiplicación en un bloque. Observamos los siguientes hechos:

Segunda definición: Transformada de Laplace de la salida del sistema entre la transformada de Laplace de la entrada del sistema

\displaystyle H(s)=\mathscr{L}\{h(t)\}
\displaystyle H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}

H(s) se denomina FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA del sistema

Primer definición: Transformada de Laplace de la respuesta al impulso del sistema

¿Por qué el nombre de función de transferencia?, basta observar el bloque o la ecuación de convolución.

Si aplicamos  trasformada de Fourier

X(j\omega)
\displaystyle Y(j\omega)=X(j\omega)H(j\omega )
H(j\omega)
Y(j\omega)

Por el momento trabajaremos con la notación asociada a la transformada de Laplace. Los sistemas pueden interactuar entre si dando lugar a nuevos sistemas y así a una nueve función de transferencia que representa a este nuevo sistema. A continuación describiremos tres interconexiones usuales entre los sistemas: serie, paralelo y retroalimentación, obtendremos las funciones de transferencia de estos nuevos sistemas mediante el álgebra de bloques discutida anteriormente.

De igual manera  como se ha realizado anteriormente se pueden dar la mismas definiciones y observaciones.

Conexiones de sistemas

\displaystyle \begin{array}{l} Y(s)=X(s)H_1(s)\\ Z(s)=V(s)H_2(s) \end{array}
H_1(s)
X(s)
Y(s)
H_2(s)
V(s)
Z(s)

Serie

Z(s)
H_1(s)H_2(s)
X(s)
X(s)
Y(s)=V(s)
H_1(s)
H_2(s)
\displaystyle \begin{array}{l} Y(s)=V(s)\\ Z(s)=X(s)H_1(s)H_2(s) \end{array}
Z(s)

¿Con notación de convolución?

Conexiones de sistemas

\begin{array}{l} Y_1(s)=X(s)H_1(s)\\ Y_2(s)=X(s)H_2(s) \end{array}
H_1(s)
H_2(s)

Paralelo

Z(s)
H_1(s)+H_2(s)
X(s)
X(s)
H_1(s)
H_2(s)
\displaystyle \begin{array}{l} Z(s)=Y_1(s)+Y_2(s)\\ Z(s)=X(s)(H_1(s)+H_2(s)) \end{array}
Z(s)

¿Con notación de convolución?

Y_1(s)
Y_2(s)

Conexiones de sistemas

\displaystyle \begin{array}{l} Z(s)=V(s)H_1(s)\\ V(s)=X(s)\mp Z(s)H_2(s) \end{array}
H_1(s)
H_2(s)

Retroalimentación

Z(s)
\displaystyle \frac{H_1(s)}{1\pm H_1(s)H_2(s)}
X(s)
X(s)
H_1(s)
H_2(s)
Z(s)

¿Con notación de convolución?, ejemplos: enlace

V(s)
\mp
\displaystyle \begin{array}{l} Z(s)=\left(X(s)\mp Z(s)H_2(s) \right)H_1(s)\\ Z(s)\pm Z(s)H_2(s)H_1(s)= X(s)H_1(s) \end{array}
\displaystyle \begin{array}{l} Z(s)=\frac{H_1(s)}{1\pm H_2(s)H_1(s)} X(s) \end{array}

Nota

Los diagramas de bloque no son exclusivos para sistemas LTI su uso se extiende para la representación de flujo de información de los sistemas en general, aunque no puede hablar en concreto de una álgebra de bloques (sistemas). 

Propiedades de los sistemas LTI continuos

\sum
x(t)
y(t)

Entrada trasladada produce salida trasladada (TI)

\sum
x(t+h)
y(t+h)
\sum
-\frac{1}{h}x(t+h)
-\frac{1}{h}y(t+h)

Entrada escalada produce salida escalada (L)

\sum
\frac{1}{h}x(t)
\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{y(t)-y(t+h)}{h}=\dot{y}(t)

Entrada escalada produce salida escalada (L)

\sum
\displaystyle \dot{x}(t)=\lim_{h\to 0}\frac{x(t)-x(t+h)}{h}
\frac{1}{h}y(t)

Suma de entradas produce suma de salidas (L)

En un sistema LTI continuo la respuesta a la derivada de una entrada conocida es la correspondiente derivada de la salida

Propiedades de los sistemas LTI continuos

\sum
x(t)
y(t)
\sum
x(t)(t_i-t_{i-1})
y(t)(t_i-t_{i-1})

Entrada escalada produce salida escalada (L)

Si repetimos el procedimiento para cada intervalo de la

\sum
\displaystyle \int_0^t{x}(\tau)d\tau=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}x(t_i^*)\Delta t_i

partición, Suma de entradas produce suma de salidas (L)

En un sistema LTI continuo la respuesta a la integral de una entrada conocida es la correspondiente integral de la salida

Al evaluar en un punto que pertenezca a

\Delta t_i=t_i-t_{i-1}
\sum
x(t_i^*)\Delta t_i
y(t_i^*)\Delta t_i

Tomamos un intervalo [0, t]. Hacemos una partición de tal manera que

t_0=0,\ldots,t_n=t
\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}y(t_i^*)\Delta t_i=\int_0^t{y}(\tau)d\tau

Sistemas LTI continuos causales

\sum
x(t)
y(t)

Al evaluar en un tiempo    a    se quisiera que    sea menor que   ,  pero                     entonces si                    cada que          se tendría causalidad

\displaystyle y(t)= x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau
\displaystyle y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau+\int_{t}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau
\displaystyle y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau
t
y
\tau
t
-\infty<\tau<\infty
h(t-\tau)=0
t<\tau

Por otro lado, con un cambio de variable,  se tiene que la condición antes señalada equivale a                 cuando           es decir, la respuesta al impulso es causal.

h(u)=0
u < 0
\displaystyle y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau=\int_{0}^{\infty}x(t-u)h(u)\,du

Para un sistema LTI causal continuo con entrada en            se tiene que la salida es:

 

 

t_0=0^-
\displaystyle y(t)=\int_{t_0}^{t}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau
\displaystyle y(t)=\int_{0^-}^{t}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau

Entonces, tenemos que:

Y en particular:

Si se quiere indicar que la entrada se manifiesta en el sistema en un tiempo determinado   ,, es decir que               para           , entonces

t_0
x(\tau)=0
\tau < t_0
\displaystyle y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau= \int_{-\infty}^{t_0}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau+\int_{t_0}^{t}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau

Sistemas LTI discretos y álgebra de bloques

Respuesta de los sistemas LTI discretos

\sum
\delta[n]
h[n]
x[n]
y_x[n]
\sum

Entrada trasladada produce salida trasladada (TI)

\sum
\delta[n-m]
h[n-m]
\sum
x[m]\delta[n-m]
x[m]h[n-m]

Entrada escalada produce salida escalada (L)

La idea es escribir cualquier entrada en términos de deltas

Respuesta de los sistemas LTI discretos

\sum
x[n]=\ldots+x[-1]\delta[n+1]+x[0]\delta[n]+x[1]\delta[n-1]+\ldots+x[m]\delta[n-m]+\ldots
\displaystyle\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\delta[n-m]

Observamos la geometría de la siguiente ecuación

\displaystyle \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]

Suma de entradas produce suma de salidas (L) 

\displaystyle y_x[n]=x[n]*h[n]

La salida de todo sistema LTI discreto es una convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema

Entonces podemos escribir a la entrada como:

\displaystyle x[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\delta[n-m]
\sum
x[n]

Nota

  • La transformada de Zeta bilateral y unitateral derecha de una convolución es el producto de las transformadas

  • La convolución de señales causales es causal

\displaystyle x[n]*h[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]
\displaystyle x[n]*h[n]=\sum_{m=0}^{n}x[m]h[n-m]

Notación de bloques para un sistema LTI

x[n]
\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]

Por el resultado anterior, puede dotarse de una operatividad al esquema que se ha utilizado para los sistemas, es decir, dado un sistema, este puede ser representado por su respuesta al impulso y así definir un "álgebra" de sistemas, que normalmente se conoce como álgebra de bloques, que nos ayuda a visualizar el flujo de información entre los sistemas

h[n]
\sum
y[n]
x[n]
y[n]

Si tenemos un bloque (sistema) se genera una ecuación donde la señal de la linea de salida es la convolución entre el contenido del bloque y la señal de linea de entrada.

De manera similar si tenemos una ecuación de convolución podemos generar un bloque donde una de las señales se asocia al bloque y otra a la linea de entrada. 

X[z]
\displaystyle Y[z]=X[z]H[z]
H[z]
Y[z]

Si aplicamos transformada de Zeta

Entonces la idea de "álgebra de bloques" tiene una mejor semántica pues la transformación de la señal de entrada en la señal de salida se hace mediante una multiplicación. Observamos que en este sentido un bloque puede ser convertido en una ecuación de multiplicación, y una ecuación de multiplicación en un bloque. Observamos los siguientes hechos:

Segunda definición: Transformada de Zeta de la salida del sistema entre la transformada de Zeta de la entrada del sistema

\displaystyle H[z]=\mathscr{Z}\{h[n]\}
\displaystyle H[z]=\frac{Y[z]}{X[z]}

H[z] se denomina FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA del sistema

Primer definición: Transformada de Zeta de la respuesta al impulso del sistema

¿Por qué el nombre de función de transferencia?, basta observar el bloque o la ecuación de convolución.

Si aplicamos  transformada de Fourier discreta

X[\Omega]
\displaystyle Y[\Omega]=X[\Omega]H[\Omega]
H[\Omega]
Y[\Omega]

Por el momento trabajaremos con la notación asociada a la transformada Zeta. Los sistemas pueden interactuar entre si dando lugar a nuevos sistemas y así a una nueve función de transferencia que representa a este nuevo sistema. A continuación describiremos tres interconexiones usuales entre los sistemas: serie, paralelo y retroalimentación, obtendremos las funciones de transferencia de estos nuevos sistemas mediante el álgebra de bloques discutida anteriormente.

De igual manera  como se ha realizado anteriormente se pueden dar la mismas definiciones y observaciones.

Conexiones de sistemas

\displaystyle \begin{array}{l} Y[z]=X[z]H_1[z]\\ Z[z]=V[z]H_2[z] \end{array}
H_1[z]
X[z]
Y[z]
H_2[z]
V[z]
Z[z]

Serie

Z[z]
H_1[z]H_2[z]
X[z]
X[z]
Y[z]=V[z]
H_1[z]
H_2[z]
\displaystyle \begin{array}{l} Y[z]=V[z]\\ Z[z]=X[z]H_1[z]H_2[z] \end{array}
Z[z]

¿Con notación de convolución?

Conexiones de sistemas

\displaystyle \begin{array}{l} Y_1[z]=X[z]H_1[z]\\ Y_2[z]=X[z]H_2[z] \end{array}
H_1[z]
H_2[z]

Paralelo

Z[z]
H_1[z]+H_2[z]
X[z]
X[z]
H_1[z]
H_2[z]
\displaystyle \begin{array}{l} Z[z]=Y_1[z]+Y_2[z]\\ Z[z]=X[z](H_1[z]+H_2[z]) \end{array}
Z[z]

¿Con notación de convolución?

Y_1[z]
Y_2[z]

Conexiones de sistemas

\displaystyle \begin{array}{l} Z[z]=V[z]H_1[z]\\ V[z]=X[z]\mp Z[z]H_2[z] \end{array}
H_1[z]
H_2[z]

Retroalimentación

Z[z]
\displaystyle \frac{H_1[z]}{1\pm H_1[z]H_2[z]}
X[z]
X[z]
H_1[z]
H_2[z]
Z[z]

¿Con notación de convolución?, ejemplos: enlace

V[z]
\mp
\displaystyle \begin{array}{l} Z[z]=\left(X[z]\mp Z[z]H_2[z] \right)H_1[z]\\ Z[z]\pm Z[z]H_2[z]H_1[z]= X[z]H_1[z] \end{array}
\displaystyle \begin{array}{l} Z[z]=\frac{H_1[z]}{1\pm H_2[z]H_1[z]} X[z] \end{array}

Sistemas LTI discretos causales

\sum
y[n]

Si se quiere indicar que la entrada se manifiesta en el sistema en un tiempo determinado     , es decir que                para            , entonces

Al evaluar en un tiempo    a    se quisiera que    sea menor que   ,  pero                     entonces si                    cada que            se tendría causalidad

\displaystyle y[n]= x[n]*h[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]
\displaystyle y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]=\sum_{m=-\infty}^{n}x[m]h[n-m]+\sum_{m=n+1}^{\infty}x[m]h[n-m]
\displaystyle y[n]=\sum_{m=-\infty}^{n}x[m]h[n-m]
n
y
m
n
-\infty < m < \infty
h[n-m]=0
n < m
x[m]=0
m < n_0
\displaystyle y[n]=\sum_{m=-\infty}^{n}x[m]h[n-m]=\sum_{m=-\infty}^{n_0-1}x[m]h[n-m]+\sum_{m=n_0}^{n}x[m]h[n-m]
x[n]
n_0

Para un sistema LTI causal discreto con entrada en           se tiene que la salida es:

 

 

n_0=0
\displaystyle y[n]=\sum_{m=n_0}^{n}x[m]h[n-m]
\displaystyle y[n]=\sum_{m=0}^{n}x[m]h[n-m]

Entonces, tenemos que:

Y en particular:

Sistemas diferenciales

  • Respuesta a entrada cero

  • Respuesta a estado cero

  • BIBO-estabilidad

  • Lyapunov-estabilidad

  • Respuesta en estado estacionario

  • Respuesta transitoria

  • Respuesta en frecuencia

Sistemas diferenciales

Llamamos sistemas diferenciales a aquellos cuya relación entre la entrada y la salida esta dada por una ecuación diferencial. Este formato también se conoce con el nombre modelo entrada-salida.

a_n\frac{d^n}{dt^n}y(t)+\ldots+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=b_m\frac{d^m}{dt^m}x(t)+\ldots+b_1\frac{d}{dt}x(t)+b_0x(t)
\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_i\frac{d^i}{dt^i}y(t)=\sum_{j=0}^{m}b_j\frac{d^j}{dt^j}x(t)

con

\displaystyle \frac{d^0}{dt^0}y(t)=y(t)\;\;\frac{d^0}{dt^0}x(t)=x(t)
x(t)

entrada

y(t)

salida

si se define

\displaystyle D^{k}=\frac{d^k}{dt^k},\;\;D^{0}=1
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)
\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_iD^iy(t)=\sum_{j=0}^{m}b_jD^jx(t)

tenemos

Con la notación anterior se puede operar la ecuación como una multiplicación (parecido a la transformada de Laplace)

con

Q(D)\equiv a_nD^n+\ldots+a_1D+a_0
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)
\left(a_nD^n+\ldots+a_1D+a_0\right)y(t)=\left(b_mD^m+\ldots+b_1D+b_0\right)x(t)
Q(D)y(t)=P(D)x(t)
P(D)\equiv b_mD^m+\ldots+b_1D+b_0

para resolver el problema directo en estos sistemas, se necesita conocer

y

y(t_0),\dot{y}(t_0),\ldots,\dot{y}^{(n-1)}(t_0)
x(t)
x(t_0),\dot{x}(t_0),\ldots,\dot{x}^{(n-1)}(t_0)
y(0^-),\dot{y}(0^-),\ldots,\dot{y}^{(n-1)}(0^-)
x(t)
x(0^-)=\dot{x}(0^-)=\dot{x}^{(n-1)}(0^-)=0

Resolveremos estos sistemas para un ejemplo específico y después generalizamos los resultados que se observan.

Si pensamos que la entrada es causal y que se tiene la entrada en el sistema para el tiempo igual a cero, entonces basta conocer la entrada y las condiciones iniciales de la salida 

Este resultado se debe a que si una señal es causal su derivada evaluada a la izquierda del cero es cero. En general los coeficientes de la ecuación diferencial pueden ser dependientes del tiempo, pensamos por el momento que son constantes (posteriormente aclaramos esto).

 

Adicionalmente suponemos regiones de convergencia derechas (posteriormente aclaramos esto).

Sistemas diferenciales de primer orden: Respuesta a entrada cero

y(0^-)
x(t)=0

Pensemos en el sistema de primer orden dado por

Aplicamos transformada de Laplace

a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=b_0x(t)

condición inicial

entrada causal

\displaystyle Y(s)={\frac{y(0^-)}{s+\frac{a_0}{a_1}}}=Y_{y_0}(s)
\displaystyle Y_{y_0}(s)={\frac{y(0^-)}{s+\frac{a_0}{a_1}}}

Respuesta a entrada cero: Esta presente si la entrada es cero

Respuesta a entrada cero: Depende de las condiciones iniciales del sistema y de los "modos" del sistema

\displaystyle \begin{array}{rl} y(t)=&y(0^-)e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)\\ =&y_{y_0}(t) \end{array}

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq t
\displaystyle m_1(t)=e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)

Definimos a

como el modo del sistema

Sistemas diferenciales de primer orden: Respuesta al impulso

y(0^-)=0
x(t)=\delta(t)

Pensemos en el sistema de primer orden dado por

Aplicamos transformada de Laplace

a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=b_0x(t)

condición inicial

entrada causal

\displaystyle Y(s)=\frac{b_0/a_1}{s+\frac{a_0}{a_1}}X(s)=\frac{b_0/a_1}{s+\frac{a_0}{a_1}}

Por lo regular cuando se encuentra la respuesta al impulso de un sistema se le suele denotar con la letra h, en este caso

\displaystyle y(t)=\frac{b_0}{a_1}e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)
\displaystyle h(t)=\frac{b_0}{a_1}e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq t

Respuesta al impulso: Depende del "modo" del sistema

Nota

Es importante recordar la definición de transformada de Laplace unilateral derecha.

\displaystyle \mathscr{L}\lbrace f(t)\rbrace=\int_{0^-}^{\infty}f(t)e^{-st}d\tau

Esto permite que la transformada del impulso exista y sea igual a 1 y al  mismo tiempo permite que en la transformadas de las derivadas aparezcan las condiciones iniciales y así resolver ciertos problemas de valor inicial (ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales). En particular estas condiciones son las de la salida del sistema antes de que la entrada este presente, pues son en cero por la izquierda, "antes de conectar la entrada".  

Sistemas diferenciales de primer orden: Respuesta a estado cero

y(0^-)=0
x(t)

Pensemos en el sistema de primer orden dado por

Aplicamos transformada de Laplace

a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=b_0x(t)

condición inicial

entrada causal

\displaystyle Y(s)=\frac{b_0/a_1}{s+\frac{a_0}{a_1}}X(s)=Y_{x_0}(s)
\displaystyle Y_{x_0}(s)=\frac{b_0/a_1}{s+\frac{a_0}{a_1}}X(s)

Respuesta a estado cero: Esta presente si las condiciones iniciales son cero

\displaystyle \begin{array}{rl} y(t)=&x(t)*\frac{b_0}{a_1}e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)\\ =&x(t)*h(t)\\ =&\int_{0^-}^{t}x(\tau)\frac{b_0}{a_1}e^{-\frac{a_0}{a_1}(t-\tau)}d\tau\\ =&y_{x_0}(t) \end{array}

Respuesta a estado cero: Convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq t

Sistemas diferenciales de primer orden: Respuesta total

y(0^-)
x(t)

Pensemos en el sistema de primer orden dado por

Aplicamos transformada de Laplace

a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=b_0x(t)

condición inicial

entrada causal

\displaystyle Y(s)={\frac{y(0^-)}{s+\frac{a_0}{a_1}}}+\frac{b_0/a_1}{s+\frac{a_0}{a_1}}X(s)=Y_{y_0}(s)+Y_{x_0}(s)
\displaystyle Y_{y_0}(s)={\frac{y(0^-)}{s+\frac{a_0}{a_1}}}
\displaystyle Y_{x_0}(s)=\frac{b_0/a_1}{s+\frac{a_0}{a_1}}X(s)

Respuesta a entrada cero: Esta presente si la entrada es cero

Respuesta a estado cero: Esta presente si las condiciones iniciales son cero

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq t

Aplicamos transformada inversa

\displaystyle \begin{array}{rl} y(t)=&y(0^-)e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)+x(t)*\frac{b_0}{a_1}e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)\\ =&y(0^-)e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)+x(t)*h(t)\\ =&y(0^-)e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)+\int_{0^-}^{t}x(\tau)\frac{b_0}{a_1}e^{-\frac{a_0}{a_1}(t-\tau)}d\tau\\ =&y_{y_0}(t)+y_{x_0}(t) \end{array}
\displaystyle y_{y_0}(t)=y(0^-)e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)
\displaystyle y_{x_0}(t)=x(t)*h(t)

Respuesta a entrada cero: Depende de las condiciones iniciales del sistema y de los "modos" del sistema

Respuesta a estado cero: Convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema (la respuesta al impulso también depende de los "modos" del sistema).

La salida de todo sistema de primer orden diferencial (como lo hemos definido) tiene dos componentes, la componente de

RESPUESTA A ENTRADA CERO y la componente de RESPUESTA A ESTADO CERO

Nota.

La Respuesta a entrada cero y la Respuesta a estado cero  son independientes una de la otra como se pudo observar en el procedimiento, es decir, el cálculo de una parte no interfiere en la otra y viceversa.

Esta descomposición es importante, pues permite encontrar la solución en términos de los efectos que produce la entrada y los efectos que producen las condiciones iniciales. Estas condiciones se pueden obtener del propio sistema y algunas manipulaciones del modelo. Esto último no siempre ocurre, pues cuando se tiene la Respuesta Natural (o solución homogénea) y la Respuesta Forzada (o solución particular), que veremos después, las condiciones iniciales no se pueden obtener del propio sistema.

\displaystyle \begin{array}{rl} y(t)=&y(0^-)e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)+x(t)*\frac{b_0}{a_1}e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)\\ =&y(0^-)e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)+x(t)*h(t)\\ =&y(0^-)e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)+\int_{0^-}^{t}x(\tau)\frac{b_0}{a_1}e^{-\frac{a_0}{a_1}(t-\tau)}d\tau\\ =&y_{y_0}(t)+y_{x_0}(t) \end{array}

  • Causalidad

  • Memoria

  • Invariancia en tiempo

  • Linealidad

 

  • Causalidad

  • Memoria

  • Invariancia en tiempo

  • Linealidad

\displaystyle \begin{array}{rl} y(t)=&x(t)*\frac{b_0}{a_1}e^{-\frac{a_0}{a_1}t}u(t)\\ =&x(t)*h(t)\\ =&\int_{0^-}^{t}x(\tau)\frac{b_0}{a_1}e^{-\frac{a_0}{a_1}(t-\tau)}d\tau\\ =&y_{x_0}(t) \end{array}

Un sistema de primer orden diferencial (como lo hemos definido) es LTI cuando las condiciones iniciales son cero, es decir, si el sistema esta en reposo.

Sistema de primer orden diferencial LTI

En un sistema de primer orden diferencial LTI (como lo hemos definido) la función de transferencia (transformada de Laplace de la respuesta al impulso, transformada de Laplace de la salida entre la transformada de la entrada) es:

X(s)
\displaystyle Y(s)=X(s)H(s)
H(s)
Y(s)

Pero sabemos que cuando un sistema es LTI 

y(0^-)=0
x(t)=\delta(t)
a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=b_0x(t)
a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_0x(t)
\displaystyle \frac{Y(s)}{X(s)}=H(s)=\frac{b_0}{a_1s+a_0}=\frac{P(s)}{Q(s)}
Q(D)=a_1D+a_0
P(D)=b_0
\displaystyle Y(s)=\frac{b_0}{a_1s+a_0}X(s)
X(s)
Y(s)
\frac{b_0}{a_1s+a_0}
\displaystyle H(s)=\frac{P(s)}{Q(s)}

Sistemas diferenciales de orden n: Respuesta a entrada cero

x(t)=0

Aplicamos transformada de Laplace

condiciónes iniciales

entrada causal

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq t
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)
y(0^-),\dot{y}(0^-),\ldots,\dot{y}^{(n-1)}(0^-)
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=0
\displaystyle a_ns^nY(s)+\ldots+a_1sY(s)+a_0Y(s)=\sum_{k=1}^{n}s^{n-k}y^{(k-1)}(0^-)+\ldots+sy(0^-)
\displaystyle Y(s)=\frac{\sum_{k=1}^{n}s^{n-k}y^{(0^-)}+\ldots+sy(0^-)}{a_ns^n+\ldots+a_1s+a_0}=\frac{R(s)}{Q(s)}

R(s) es un polinomio de grado menor que n y los coeficientes dependen de las condiciones iniciales.

\displaystyle Y(s)=\frac{R(s)}{Q(s)}=\frac{R(s)}{(s-p_1)\ldots(s-p_r)^{l_r}\ldots(s^2+2d_1s+c_1)\ldots (s^2+2d_is+c_i)^{q_i}}
\displaystyle =\frac{A_1}{(s-p_1)}+\ldots+\frac{A_{l_r}}{(s-p_r)^{l_r}}+\ldots+\frac{A_{d_1}s+B_{d_{1}}}{(s^2+2d_1s+c_1)}+\ldots +\frac{A_{d_i}s+B_{d_{i}}}{(s^2+2d_is+c_i)^{q_i}}

Dependiendo de la factorización, las n posibles funciones asociadas tendrán la forma

e^{p_1t}u(t)
\begin{array}{l} e^{p_rt}u(t)\\ te^{p_rt}u(t)\\ \vdots\\ t^{l_r-1}e^{p_rt}u(t) \end{array}

Las fracciones parciales dependen de Q(s) que se define como el polinomio característico.

\begin{array}{l} e^{-d_1t}cos(\sqrt{c_1-d_1^2}\,t)u(t)\\ e^{-d_1t}sen(\sqrt{c_1-d_1^2}\,t)u(t) \end{array}
\begin{array}{l} e^{-d_it}cos(\sqrt{c_i-d_i^2}\,t)u(t)\\ e^{-d_it}sen(\sqrt{c_i-d_i^2}\,t)u(t)\\ te^{-d_it}cos(\sqrt{c_i-d_i^2}\,t)u(t)\\ te^{-d_it}sen(\sqrt{c_i-d_i^2}\,t)u(t)\\ \vdots\\ t^{q_i-1}e^{-d_it}cos(\sqrt{c_i-d_i^2}\,t)u(t)\\ t^{q_i-1}e^{-d_it}sen(\sqrt{c_i-d_i^2}\,t)u(t)\\ \end{array}

La respuesta a entrada cero para un sistema de orden n diferencial es:

 

\displaystyle y(t)=\sum_{i=1}^n K_im_i(t)=y_{y_0}(t)

Donde las funciones        se conocen como los modos del sistemas

m_i(t)

Sistemas diferenciales de orden n: Respuesta al impulso

x(t)=\delta(t)

Aplicamos transformada de Laplace

condiciónes iniciales

entrada causal

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq t
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)
y(0^-)=\dot{y}(0^-)=\ldots=\dot{y}^{(n-1)}(0^-)=0
\displaystyle a_ns^nY(s)+\ldots+a_1sY(s)+a_0Y(s)=b_ms^m+\ldots+b_1s+b_0
\displaystyle Y(s)=\frac{b_ms^m+\ldots+b_1s+b_0}{a_ns^n+\ldots+a_1s+a_0}=\frac{P(s)}{Q(s)}
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^m\delta(t)+\ldots+b_1D\delta(t)+b_0\delta(t)
\displaystyle Y(s)=b^{'}{ }_{m-n}s^{m-n}+b^{'}{ }_{m-n-1}s^{m-n-1}+\ldots+b_1^{'}s+b_0^{'}+\frac{T(s)}{a_ns^n+\ldots+a_1s+a_0}

T(s) es un polinomio de grado menor que n y los coeficientes dependen de las a y de las b

Las fracciones parciales del segundo término dependen del polinomio característico y como hemos visto la transfromada inversa de estos elementos es especifica así

La respuesta al impulso para un sistema de orden n diferencial es:

 

 

Donde las funciones       se conocen como los modos del sistema. Observemos que si           entonces la salida solo es combinación lineal de modos. Si        la salida dependerá de los modos del sistemas, de impulsos, y de derivadas de este.

\displaystyle y(t)=\sum_{i=1}^{m-n+1}b'{ }_{m-n+1-i}\delta^{(m-n+1-i)}(t)+\sum_{i=1}^n C_im_i(t)=h(t)
m_i(t)
m< n
n\leq m

Sistemas diferenciales de orden n: Respuesta a estado cero

Al aplicar transformada inversa de Lapalce

Aplicamos transformada de Laplace

entrada causal

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq t
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)
y(0^-)=\dot{y}(0^-)=\ldots=\dot{y}^{(n-1)}(0^-)=0
\displaystyle a_ns^nY(s)+\ldots+a_1sY(s)+a_0Y(s)=b_ms^mX(s)+\ldots+b_1sX(s)+b_0X(s)
\displaystyle Y(s)=\frac{b_ms^m+\ldots+b_1s+b_0}{a_ns^n+\ldots+a_1s+a_0}X(s)=\frac{P(s)}{Q(s)}X(s)=H(s)X(s)
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)
x(t)

La respuesta a estado cero para un sistema de orden n diferencial es:

 

La convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema.

\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)=y_{x_0}(t)

Sistemas diferenciales de orden n: Respuesta total

Aplicamos transformada de Laplace

entrada causal

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq t
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)
y(0^-),\dot{y}(0^-),\ldots,\dot{y}^{(n-1)}(0^-)
\displaystyle \sum_{i=0}^n a_is^iY(s)=\sum_{k=1}^{n}s^{n-k}y^{(k-1)}(0^-)+\ldots+sy(0^-)+\sum_{i=0}^m b_is^iX(s)
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)
x(t)
\displaystyle Y(s)=\frac{\sum_{k=1}^{n}s^{n-k}y^{(k-1)}(0^-)+\ldots+sy(0^-)}{Q(s)}+\frac{P(s)}{Q(s)}X(s)
\displaystyle Y(s)=\frac{R(s)}{Q(s)}+H(s)X(s)=Y_{y_0}(s)+Y_{x_0}(s)

Al aplicar transformada inversa de Laplace

Al aplicar transformada inversa de Lapalce

La respuesta total para un sistema de orden n diferencial es:

 

 

 

 

         modos del sistema    y

 

Una combinación lineal de los modos del sistema (donde las constantes dependen de las condiciones iniciales) más la convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema.

 

\displaystyle \begin{array}{l} y(t)=y_{y_0}(t)+y_{x_0}(t)\\ \\ y(t)=\sum_{i=1}^n K_im_i(t)+x(t)*h(t) \end{array}
\displaystyle h(t)=\sum_{i=1}^{m-n+1}b'{ }_{m-n+1-i}\delta^{(m-n+1-i)}(t)+\sum_{i=1}^n C_im_i(t)
m_i(t)

Estabilidad BIBO (estabilidad externa)

Este tipo de estabilidad (existen varias definiciones) esta asociada a la respuesta a estado cero, la definición caracteriza el comportamiento del sistema en el siguiente sentido.

Un sistema es BIBO estable (Bounded-Input Bounded-Ouput), si para toda entrada acotada se produce una respuesta acotada (en caso contrario es BIBO-inestable)  es decir:

\sum
\left|x(t)\right| \leq M_x,\;\;\forall\,0\leq t
\left|y(t)\right| \leq M_y,\;\;\forall\,0\leq t

Un sistema  LTI diferencial causal con entrada en 0 es BIBO estable si y solo si la siguiente condición se satisface

\displaystyle \int_{0^-}^\infty\left|h(t)\right|\,d\tau \leq M_h

Un sistema  LTI diferencial causal con entrada en 0 y función de transferencia H(s)  propia, es BIBO estable si y solo si cada polo tiene parte real negativa.

Estabilidad en el sentido de Lyapunov (estabilidad interna)

Este tipo de estabilidad (existen varias definiciones) esta asociada a la respuesta a entrada cero, la definición caracteriza el comportamiento del sistema en el siguiente sentido.

La respuesta a entrada cero de un sistema LTI diferencial, es marginalmente estable o estable en el sentido de Lyapunov si cada condición inicial finita genera una respuesta acotada. Si adicionalmente la respuesta tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito diremos que la respuesta es asintoticamente estable. Cuando esto no suceda diremos que la respuesta asociada es inestable.

Esta definición se puede verificar con las siguientes condiciones

Un sistema  LTI diferencial continuo es marginalmente estable, si y solo si algunas de las raíces del polinomio característico (polos de la función de transferencia)  tienen parte real cero y no se repiten y las demás tienen parte real negativa.

 

Un sistema LTI diferencial continuo es asintoticamente estable si y solo si todas los raíces del polinomio característico  tienen parte real negativa.

 

Un sistema LTI diferencial continuo es inestable si y solo si alguna raíz del polinomio característico tiene parte real positiva o alguna que tenga parte real cero se repite.

 

 

Observamos que:

BIBO - Estable

Asintoticamente - Estable

Pero no al revés

Sistema LTI continuo BIBO-estable

\sum
x(t)
y(t)=x(t)*h(t)
\sum
x(t)=ku(t)
\displaystyle \begin{array}{l} y(t)=\int_{0^-}^{t}kh(\tau)d\tau\\ =k\int_{0^-}^{t}h(\tau)d\tau \end{array}

Para respuesta al impulso, entrada causal y sistema BIBO-estable

Observamos lo siguiente

\sum
\displaystyle ku(t)
\displaystyle y(t)=\left(\int_{0^-}^{t}h(\tau)d\tau\right)ku(t)
\displaystyle \lim_{t\to \infty}y(t)=H(0)ku(t)

Sistema LTI continuo BIBO-estable

\sum
x(t)
y(t)=x(t)*h(t)
\sum
x(t)=e^{\zeta t}u(t)
\displaystyle \begin{array}{l} y(t)=\int_{0^-}^{t}h(\tau)e^{\zeta(t-\tau)}d\tau\\ =e^{\zeta t}\int_{0^-}^{t}h(\tau)e^{-\zeta\tau}d\tau \end{array}

Para respuesta al impulso y  entrada causales y sistema BIBO-estable

Observamos lo siguiente

\sum
\displaystyle e^{\zeta t}u(t)
\displaystyle y(t)=\left(\int_{0^-}^{t}h(\tau)e^{-\zeta\tau}d\tau\right)e^{\zeta t}u(t)
\displaystyle \lim_{t\to \infty}y(t)=H(\zeta)e^{\zeta t}u(t)

Sistema LTI continuo BIBO-estable

\sum
x(t)
y(t)=x(t)*h(t)
\sum
\begin{array}{l} x(t)=cos(\omega t)u(t)=\\ \frac{1}{2}e^{j\omega t}u(t)+\frac{1}{2}e^{-j\omega t}u(t) \end{array}
\begin{array}{l} y(t)= \frac{1}{2}\left(\int_{0^-}^{t}h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\right)e^{j\omega t}u(t)\\ + \frac{1}{2}\left(\int_{0^-}^{t}h(\tau)e^{-(-j\omega)\tau}d\tau\right)e^{-j\omega t}u(t) \end{array}

Para respuesta al impulso y  entrada causales y sistema BIBO-estable

Tomamos el límite cuando el tiempo tiende a infinito

\sum
\displaystyle cos(\omega t)u(t)
\displaystyle |H(j\omega)|cos\left(\omega t + \angle H(j\omega)\right)u(t)
\displaystyle \lim_{t\to \infty}y(t)=\frac{1}{2}H(j\omega)e^{j\omega t}u(t)+\frac{1}{2}H(-j\omega)e^{-j\omega t}u(t)=|H(j\omega)|cos\left(\omega t + \angle H(j\omega)\right)u(t)

En particular para este caso se suele llamar respuesta en estado estacionario (estado estable, steady-state) a                        cuando el sistema sea asintoticamente estable pues esto implicará que a la parte de la respuesta que satisfaga                             se le llamará respuesta transitoria             en este caso

\displaystyle \lim_{t\to \infty}y(t)=y_{ss}(t)
\displaystyle \lim_{t\to \infty}y(t)=0
y_t(t)
y(t)=y_t(t)+y_{ss}(t)

Es importante decir varias cosas aquí, en primera la expresión            se conoce como la respuesta en frecuencia del sistema, pues como se puede observar para un sistema asintoticamente estable, la respuesta en estado estacionario es un escalamiento y traslación de la entrada  (coseno o seno) dependiente de la expresión

La respuesta en frecuencia se podría encontrar de dos maneras:

  1. Calcular la función de transferencia del sistema y evaluar en

  2.  Encontrar la la transformada de Fourier de la respuesta al impulso del sistema

Por último muy importante:  si se conjuntan el segundo punto con el desarrollo anterior "resulta natural" decir que los resultados de las transformaciones (sobre todo Fourier más que Laplace) están en el dominio de la frecuencia, aunque prefiero simplemente hacerlo notar como se ha dicho.

 

H(j\omega)
H(j\omega)
s=j\omega

Sistemas diferenciales de orden n: Respuesta a estado cero

Al aplicar transformada inversa de Fourier

Aplicamos transformada de Fourier

entrada causal

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq t
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)
y(0^-)=\dot{y}(0^-)=\ldots=\dot{y}^{(n-1)}(0^-)=0
\displaystyle a_n(j\omega)^nY(j\omega)+\ldots+a_1(j\omega)Y(j\omega)+a_0Y(j\omega)=b_m(j\omega)^mX(j\omega)+\ldots+b_1(j\omega)X(j\omega)+b_0X(s)
\displaystyle Y(j\omega)=\frac{b_m(j\omega)^m+\ldots+b_1(j\omega)+b_0}{a_n(j\omega)^n+\ldots+a_1(j\omega)+a_0}X(j\omega)=\frac{P(j\omega)}{Q(j\omega)}X(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)
x(t)

La respuesta a estado cero para un sistema de orden n diferencial es:

 

La convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema.

\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)=y_{x_0}(t)

Es decir si queremos encontrar la respuesta de un sistema diferencial mediante la transformada de Fourier, solo se pueden encontrar la respuesta a estado cero, es decir  cuando el sistema esta en reposo. Y como se ha dicho cuando queremos encontrar la respuesta estacionaria para un sistema BIBO-estable

Sistemas en diferencias

  • Respuesta a entrada cero

  • Respuesta a estado cero

  • BIBO-estabilidad

  • Lyapunov-estabilidad

  • Respuesta en estado estacionario

  • Respuesta transitoria

  • Respuesta en frecuencia

Sistemas en diferencias

a_ky[n]+a_{k-1}y[n-1]+\ldots+a_0y[n-k]=b_mx[n]+b_{m-1}x[n-1]+\ldots+b_0x[n-m]

Llamamos sistemas  en diferencias a aquellos cuya relación entre la entrada y la salida esta dada por una ecuación en diferencias (formato de retardo o adelanto). Este formato también se conoce con el nombre modelo entrada-salida.

x[n]
y[n]
\displaystyle \sum_{i=0}^{k}a_iy[n+i]=\sum_{j=0}^{m}b_jx[n+j]

si se define

\displaystyle D^{r}y[n]=y[n+r]
a_kD^ky[n]+\ldots+a_1Dy[n]+a_0y[n]=b_mD^mx[n]+\ldots+b_1Dx[n]+b_0x[n]
\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_iD^iy[n]=\sum_{j=0}^{m}b_jD^jx[n]

tenemos

a_ky[n+k]+a_{k-1}y[n+k-1]+\ldots+a_0y[n]=b_mx[n+m]+b_{m-1}x[n+m-1]+\ldots+b_0x[n]

entrada

salida

Con la notación anterior se puede operar la ecuación como una multiplicación (parecido a la transformada de Zeta)

Q(D)\equiv a_kD^k+\ldots+a_1D+a_0
\left(a_kD^k+\ldots+a_1D+a_0\right)y[n]=\left(b_mD^m+\ldots+b_1D+b_0\right)x[n]
Q(D)y[n]=P(D)x[n]
P(D)\equiv b_mD^m+\ldots+b_1D+b_0

para resolver el problema directo en estos sistemas, se necesita conocer

y

y[-1],y[-2],\ldots,y[-k]
x[n]
x[-1],x[-2],\ldots,x[-m]
a_kD^ky[n]+\ldots+a_1Dy[n]+a_0y[n]=b_mD^mx[n]+\ldots+b_1Dx[n]+b_0x[n]
y[0],y[1],\ldots,y[k-1]
x[0],x[1],\ldots,x[m-1]
x[n]

Resolveremos estos sistemas para un ejemplo específico y después generalizamos los resultados que se observan.

Si pensamos que la entrada es causal y que se tiene la entrada en el sistema para el tiempo igual a cero, entonces basta conocer la entrada y las condiciones iniciales de la salida

En general los coeficientes de la ecuación  en diferencias pueden ser dependientes del tiempo, pensamos por el momento que son constantes (posteriormente aclaramos esto).

 

Adicionalmente suponemos regiones de convergencia fuera del circulo unitario (posteriormente aclaramos esto).

x[-1]=x[-2]=\ldots=x[-m]=0
y[-1],y[-2],\ldots,y[-k]

Sistemas en diferencias de primer orden:

Respuesta a entrada cero

x[n]=0

Pensemos en el sistema de primer orden dado por

Aplicamos transformada de Zeta

a_1y[n]+a_0y[n-1]=b_0x[n-1]

entrada causal

\displaystyle Y[z]=-\frac{a_0}{a_1}y[-1]\frac{z}{z+a_0/a_1}=Y_{y_0}[Z]

Respuesta a entrada cero: Esta presente si la entrada es cero

Respuesta a entrada cero: Depende de las condiciones iniciales del sistema y de los "modos" del sistema

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq n
\displaystyle m_1[n]=\left(-\frac{a_0}{a_1}\right)^n

como el modo del sistema

y[-1]

condición inicial

Definiimos a

\displaystyle y[n]=-\frac{a_0}{a_1}y[-1]\left(-\frac{a_0}{a_1}\right)^{n}u[n]=y_{y_0}[n]
\displaystyle Y_{y_0}[Z]=-\frac{a_0}{a_1}y[-1]\frac{z}{z+a_0/a_1}

Por lo regular cuando se encuentra la respuesta al impulso de un sistema se le suele denotar con la letra h, en este caso

Respuesta al impulso: Depende del "modo" del sistema y de la delta de Kronecker

Sistemas en diferencias de primer orden:

Respuesta al impulso

x[n]=\delta[n]

Pensemos en el sistema de primer orden dado por

Aplicamos transformada de Zeta

a_1y[n]+a_0y[n-1]=b_0x[n-1]

entrada causal

\displaystyle Y[z]=\frac{b_0}{a_1}\frac{1}{z+a_0/a_1}

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq n
y[-1]=0

condición inicial

\displaystyle y[n]=\frac{b_0}{a_1}\left(-\frac{a_0}{a_1}\right)^{n-1}u[n-1]=\frac{b_0}{a_0}\delta[n]-\frac{b_0}{a_0}\left(-\frac{a_0}{a_1}\right)^{n}u[n]=h[n]

Sistemas en diferencias de primer orden:

Respuesta a estado cero

x[n]

Pensemos en el sistema de primer orden dado por

Aplicamos transformada de Zeta

a_1y[n]+a_0y[n-1]=b_0x[n-1]

entrada causal

\displaystyle Y[z]=\frac{b_0}{a_1}\frac{1}{z+a_0/a_1}X[z]

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq n
y[-1]=0

condición inicial

Respuesta a estado cero: Esta presente si las condiciones iniciales son cero

\displaystyle \begin{array}{rl} y[n]=&\left(\frac{b_0}{a_0}\delta[n]-\frac{b_0}{a_0}\left(-\frac{a_0}{a_1}\right)^{n}u[n]\right)*x[n]\\ =&h[n]*x[n]\\ =&y_{x_0}[n] \end{array}

Respuesta a estado cero: Convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema

Sistemas en diferencias de primer orden:

Respuesta total

x[n]

Pensemos en el sistema de primer orden dado por

Aplicamos transformada de Zeta

a_1y[n]+a_0y[n-1]=b_0x[n-1]

entrada causal

\displaystyle Y[z]=-\frac{a_0}{a_1}y[-1]\frac{z}{z+a_0/a_1}+\frac{b_0}{a_1}\frac{1}{z+a_0/a_1}X[z]=Y_{y_0}[z]+Y_{x_0}[z]

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq n
y[-1]

condición inicial

Respuesta a entrada cero: Esta presente si la entrada es cero

Respuesta a estado cero: Esta presente si las condiciones iniciales son cero

\displaystyle Y_{x_0}[z]=\frac{b_0}{a_1}\frac{1}{z+a_0/a_1}X[z]
\displaystyle Y_{y_0}[z]=-\frac{a_0}{a_1}y[-1]\frac{z}{z+a_0/a_1}

Aplicamos transformada inversa

\displaystyle \begin{array}{rl} y[n]=&-\frac{a_0}{a_1}y[-1]\left(-\frac{a_0}{a_1}\right)^{n}u[n]+\left(\frac{b_0}{a_0}\delta[n]-\frac{b_0}{a_0}\left(-\frac{a_0}{a_1}\right)^{n}u[n]\right)*x[n]\\ \\ =&-\frac{a_0}{a_1}y[-1]\left(-\frac{a_0}{a_1}\right)^{n}u[n]+h[n]*x[n]\\ \\ =&y_{y_0}[n]+y_{x_0}[n] \end{array}

La salida de todo sistema de primer orden en diferencias (como lo hemos definido) tiene dos componentes, la componente de RESPUESTA A ENTRADA CERO y la componente de RESPUESTA A ESTADO CERO

\displaystyle y_{y_0}[n]=-\frac{a_0}{a_1}y[-1]\left(-\frac{a_0}{a_1}\right)^{n}u[n]
\displaystyle y_{x_0}[n]=h[n]*x[n]

Respuesta a entrada cero: Depende de las condiciones iniciales del sistema y de los "modos" del sistema

Respuesta a estado cero: Convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema (la respuesta al impulso también depende de los "modos" del sistema).

La Respuesta a entrada cero y la Respuesta a estado cero  son independientes una de la otra como se pudo observar en el procedimiento, es decir, el cálculo de una parte no interfiere en la otra y viceversa.

Esta descomposición es importante, pues permite encontrar la solución en términos de los efectos que produce la entrada y los efectos que producen las condiciones iniciales.

  • Causalidad

  • Memoria

  • Invariancia en tiempo

  • Linealidad

 

  • Causalidad

  • Memoria

  • Invariancia en tiempo

  • Linealidad

Un sistema de primer orden en diferencias (como lo hemos definido) es LTI cuando las condiciones iniciales son cero, es decir, si el sistema esta en reposo.

Sistema de primer orden en diferecnias LTI

\displaystyle \begin{array}{rl} y[n]=&-\frac{a_0}{a_1}y[-1]\left(-\frac{a_0}{a_1}\right)^{n}u[n]+\left(\frac{b_0}{a_0}\delta[n]-\frac{b_0}{a_0}\left(-\frac{a_0}{a_1}\right)^{n}u[n]\right)*x[n]\\ \\ =&-\frac{a_0}{a_1}y[-1]\left(-\frac{a_0}{a_1}\right)^{n}u[n]+h[n]*x[n]\\ \\ =&y_{y_0}[n]+y_{x_0}[n] \end{array}
\displaystyle \begin{array}{rl} y[n]=&\left(\frac{b_0}{a_0}\delta[n]-\frac{b_0}{a_0}\left(-\frac{a_0}{a_1}\right)^{n}u[n]\right)*x[n]\\ \\ =&h[n]*x[n]\\ \\ =&y_{x_0}[n] \end{array}

En un sistema de primer orden en diferencias LTI (como lo hemos definido) la función de transferencia (transformada Z de la respuesta al impulso, transformada Z de la salida entre la transformada de la entrada) es:

X[z]
\displaystyle Y[z]=X[z]H[z]
H[z]
Y[z]

Pero sabemos que cuando un sistema es LTI 

y[-1]=0
x[n]=\delta[n]
a_1Dy[n]+a_0y[n]=b_0x[n]
\displaystyle \frac{Y[z]}{X[z]}=H[z]=\frac{b_0}{a_1z+a_0}=\frac{P[z]}{Q[z]}
Q(D)=a_1D+a_0
P(D)=b_0
\displaystyle Y[z]=\frac{b_0}{a_1z+a_0}X[z]
X[z]
Y[z]
\frac{b_0}{a_1z+a_0}
\displaystyle H[z]=\frac{P[z]}{Q[z]}
a_1y[n]+a_0y[n-1]=b_0x[n-1]

Sistemas en diferencias de orden k: Respuesta a entrada cero

x[n]=0

Aplicamos transformada de Zeta

condiciónes iniciales

entrada causal

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq n
\displaystyle a_kz^kY[z]+\ldots+a_1zY[z]+a_0Y[z]=-a_0\sum_{j=1}^{k}y[-j]z^{j}-\ldots-a_{k-1}y[-1]z^k
\displaystyle Y[z]=\frac{-a_0\sum_{j=1}^{k}y[-j]z^{j}-\ldots-a_{k-1}y[-1]z^k}{a_kz^k+\ldots+a_1z+a_0}=\frac{R[z]}{Q[z]}

R[z] es un polinomio y sus coeficientes dependen de las condiciones iniciales.

y[-1],y[-2],\ldots,y[-k]
a_ky[n]+a_{k-1}y[n-1]+\ldots+a_0y[n-k]=b_mx[n]+b_{m-1}x[n-1]+\ldots+b_0x[n-m]
a_ky[n]+a_{k-1}y[n-1]+\ldots+a_0y[n-k]=0
\displaystyle \frac{Y[z]}{z}=\frac{R[z]}{zQ[z]}=\frac{R_1[z]}{(z-p_1)\ldots(z-p_r)^{l_r}\ldots(z^2+2|c_1|d_1z+c_1^2)\ldots (z^2+2|c_i|d_iz+c_i^2)^{q_i}}
\displaystyle Y[z]=\frac{A_1z}{(z-p_1)}+\ldots+\frac{A_{l_r}z}{(z-p_r)^{l_r}}+\ldots+\frac{z(A_{d_1}z+B_{d_{1}})}{(z^2+2|c_1|d_1z+c_1^2)}+\ldots +\frac{z(A_{d_i}z+B_{d_{i}})}{(z^2+2|c_i|d_iz+c_i^2)^{q_i}}

Dependiendo de la factorización, las funciones asociadas serán combinación lineal de

(p_1)^nu[n]
\begin{array}{l} (p_r)^nu[n]\\ n(p_r)^nu[n]\\ \vdots\\ n^{l_r-1}(p_r)^nu[n] \end{array}

Las fracciones parciales dependen de Q[z] que se define como el polinomio característico.

\begin{array}{l} |c_1|^n cos(\arccos(d_1)\,n)u[n]\\ |c_1|^n sen(\arccos(d_1)\,n)u[n] \end{array}
\begin{array}{l} |c_i|^n cos(\arccos(d_i)\,n)u[n]\\ |c_i|^n sen(\arccos(d_i)\,n)u[n]\\ n|c_i|^n cos(\arccos(d_i)\,n)u[n]\\ n|c_i|^n sen(\arccos(d_i)\,n)u[n]\\ \vdots\\ n^{q_i-1}|c_i|^n cos(\arccos(d_i)\,n)u[n]\\ n^{q_i-1}|c_i|^n sen(\arccos(d_i)\,n)u[n]\\ \end{array}

La respuesta a entrada cero para un sistema de orden n diferencial es:

 

\displaystyle y[n]=\sum_{i=1}^k C_im_i[n]=y_{y_0}[n]

Donde las funciones        se conocen como los modos del sistemas

m_i[n]

Sistemas en diferencias de orden k: Respuesta al impulso

x[n]=\delta[n]

Aplicamos transformada de Zeta

condiciónes iniciales

entrada causal

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq n
\displaystyle a_kz^kY[z]+\ldots+a_1zY[z]+a_0Y[z]=b_kz^k+\ldots+b_1z+b_0
\displaystyle Y[z]=\frac{b_kz^k+\ldots+b_1z+b_0}{a_kz^k+\ldots+a_1z+a_0}=\frac{P[z]}{Q[z]}

Suponemos que los traslaciones de la entrada y la salida son las mismas, esto le da causalidad al sistema y de forma operativa hace que la manipulación sea sencilla.

y[-1]=y[-2]=\ldots=y[-k]=0
a_ky[n]+a_{k-1}y[n-1]+\ldots+a_0y[n-k]=b_kx[n]+b_{k-1}x[n-1]+\ldots+b_0x[n-k]
a_ky[n]+a_{k-1}y[n-1]+\ldots+a_0y[n-k]=b_k\delta[n]+b_{k-1}\delta[n-1]+\ldots+b_0\delta[n-k]

Las fracciones parciales dependen del polinomio característico y como hemos visto la transformada inversa de estos elementos es específica, así

La respuesta al impulso para un sistema de orden k en diferencias es:

 

 

Donde las funciones       se conocen como los modos del sistema. Observemos que si           entonces la salida solo es combinación lineal de modos. Si        la salida dependerá de los modos del sistemas, de deltas de Kronecker y traslaciones de esta.

\displaystyle y[n]=\sum_{j=0}^lA_j\delta[n-j]+\sum_{i=1}^k D_im_i[n]=h[n]
m_i[n]
m< n
n\leq m

Sistemas en diferencias de orden k: Respuesta a estado cero

x[n]

Aplicamos transformada de Zeta

condiciónes iniciales

entrada causal

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq n
\displaystyle a_kz^kY[z]+\ldots+a_1zY[z]+a_0Y[z]=b_kz^kX[z]+\ldots+b_1zX[z]+b_0X[z]
\displaystyle Y[z]=\frac{b_kz^k+\ldots+b_1z+b_0}{a_kz^k+\ldots+a_1z+a_0}X[z]=\frac{P[z]}{Q[z]}X[z]=H[z]X[z]
y[-1]=y[-2]=\ldots=y[-k]=0
a_ky[n]+a_{k-1}y[n-1]+\ldots+a_0y[n-k]=b_kx[n]+b_{k-1}x[n-1]+\ldots+b_0x[n-k]
a_ky[n]+a_{k-1}y[n-1]+\ldots+a_0y[n-k]=b_kx[n]+b_{k-1}x[n-1]+\ldots+b_0x[n-k]

Al aplicar transformada inversa Zeta

La respuesta a estado cero para un sistema de orden k en diferencias es:

 

La convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema.

\displaystyle y[n]=h[n]*x[n]=y_{x_0}[n]

Sistemas en diferencias de orden k: Respuesta Total

x[n]

Aplicamos transformada de Zeta

condiciónes iniciales

entrada causal

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq n
\displaystyle \sum_{i=0}^k a_iz^iY[z]=-a_0\sum_{j=1}^{k}y[-j]z^{j}-\ldots-a_{k-1}y[-1]z^k+\sum_{i=0}^k b_iz^iX[z]
y[-1],y[-2],\ldots ,y[-k]
a_ky[n]+a_{k-1}y[n-1]+\ldots+a_0y[n-k]=b_kx[n]+b_{k-1}x[n-1]+\ldots+b_0x[n-k]
a_ky[n]+a_{k-1}y[n-1]+\ldots+a_0y[n-k]=b_kx[n]+b_{k-1}x[n-1]+\ldots+b_0x[n-k]
\displaystyle Y[z]=\frac{-a_0\sum_{j=1}^{k}y[-j]z^{j}-\ldots-a_{k-1}y[-1]z^k}{Q[z]}+\frac{P[z]}{Q[z]}X[z]
\displaystyle Y[z]=\frac{R[z]}{Q[z]}+H[z]X[z]=Y_{y_0}[z]+Y_{x_0}[z]

Al aplicar transformada inversa Zeta

Al aplicar transformada inversa de Lapalce

La respuesta total para un sistema de orden k en diferencias es:

 

 

 

 

         modos del sistema    y

 

Una combinación lineal de los modos del sistema (donde las constantes dependen de las condiciones iniciales) más la convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema.

 

\displaystyle \begin{array}{l} y[n]=y_{y_0}[n]+y_{x_0}[n]\\ \\ y[n]=\sum_{i=1}^k C_im_i[n]+h[n]*x[n] \end{array}
\displaystyle h[n]=\sum_{j=0}^lA_j\delta[n-j]+\sum_{i=1}^k D_im_i[n]
m_i[n]

Estabilidad BIBO (estabilidad externa)

Este tipo de estabilidad (existen varias definiciones) esta asociada a la respuesta a estado cero, la definición caracteriza el comportamiento del sistema en el siguiente sentido.

Un sistema es BIBO estable (Bounded-Input Bounded-Ouput), si para toda entrada acotada se produce una respuesta acotada (en caso contrario es BIBO-inestable)  es decir:

\sum
\left|x[n]\right| \leq M_x,\;\;\forall\,0\leq n
\left|y[n]\right| \leq M_y,\;\;\forall\,0\leq n

Un sistema LTI en diferencias causal con entrada en 0 es BIBO estable si y solo si la siguiente condición se satisface

\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\left|h[n]\right| \leq M_h

Un sistema LTI en diferencias causal con entrada en 0 y función de transferencia H[z]  propia, es BIBO estable si y solo si cada polo esta dentro del circulo unitario.

Estabilidad en el sentido de Lyapunov (estabilidad interna)

Este tipo de estabilidad (existen varias definiciones) esta asociada a la respuesta a entrada cero, la definición caracteriza el comportamiento del sistema en el siguiente sentido.

La respuesta a entrada cero de un sistema LTI en diferencias, es marginalmente estable o estable en el sentido de Lyapunov si cada condición inicial finita genera una respuesta acotada. Si adicionalmente la respuesta tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito diremos que la respuesta es asintoticamente estable. Cuando esto no suceda diremos que la respuesta asociada es inestable.

Esta definición se puede verificar con las siguientes condiciones

Un sistema  LTI en diferencias es marginalmente estable, si y solo si las raíces del polinomio característico (polos de la función de transferencia) que están sobre la circunferencia de radio 1 no se repiten y las demás están dentro.

 

Un sistema LTI en diferencias es asintoticamente estable si y solo si todas los raíces del polinomio característico  están dentro de la circunferencia de radio 1.

 

Un sistema LTI en diferencias es inestable si y solo si alguna raíz del polinomio característico esta fuera de la circunferencia de radio 1 o alguna que este sobre la circunferencia se repite.

 

 

Observamos que:

BIBO - Estable

Asintoticamente - Estable

Pero no al revés

Sistema LTI continuo BIBO-estable

\sum
x[n]
y[n]=x[n]*h[n]
\sum
x[n]=ku[n]
\displaystyle \begin{array}{l} y[n]=\sum_{m=0}^{n}kh[m]\\ =k\sum_{m=0}^{n}h[m] \end{array}

Para respuesta al impulso, entrada causal y sistema BIBO-estable

Observamos lo siguiente

\sum
\displaystyle ku[n]
\displaystyle y[n]=\left( \sum_{m=0}^{n}h[m] \right)ku[n]
\displaystyle \lim_{n\to \infty}y[n]=H[1]ku[n]

Sistema LTI continuo BIBO-estable

\sum
x[n]
y[n]=x[n]*h[n]
\sum
x[n]=a^nu[n]
\displaystyle \begin{array}{l} y[n]=\sum_{m=0}^{n}a^{n-m}h[m]\\ =a^{n}\sum_{m=0}^{n}h[m]a^{-m} \end{array}

Para respuesta al impulso, entrada causal y sistema BIBO-estable

Observamos lo siguiente

\sum
\displaystyle a^{n}u[n]
\displaystyle y[n]=\left( \sum_{m=0}^{n}h[m]a^{-m} \right)a^nu[n]
\displaystyle \lim_{n\to \infty}y[n]=H[a]a^{n}u[n]

Sistema LTI continuo BIBO-estable

\sum
x[n]
y[n]=x[n]*h[n]
\sum
\begin{array}{l} x[n]=cos(\Omega n)u[n]=\\ \frac{1}{2}e^{j\Omega n}u[n]+\frac{1}{2}e^{-j\Omega n}u[n] \end{array}
\begin{array}{l} \displaystyle y[n]= \frac{1}{2}\left(\sum_{m=0}^{n}h[m]e^{-j\Omega m}\right)e^{j\Omega n}u[n]\\ \displaystyle +\frac{1}{2}\left(\sum_{m=0}^{n}h[m]e^{-(-j\Omega m)}\right)e^{-j\Omega n}u[n] \end{array}

Para respuesta al impulso y  entrada causales y sistema BIBO-estable

Tomamos el límite cuando el tiempo tiende a infinito

\sum
\displaystyle cos(\Omega n)u[n]
\displaystyle |H(e^{j\Omega})|cos\left(\Omega n + \angle H(e^{j\Omega})\right)u[n]
\displaystyle \lim_{n\to \infty}y[n]=\frac{1}{2}H(e^{j\Omega})e^{j\Omega n}u[n]+\frac{1}{2}H(e^{-j\Omega})e^{-j\Omega n}u[n]=|H(e^{j\Omega})|cos\left(\Omega n + \angle H(e^{j\Omega})\right)u[n]

En particular para este caso se suele llamar respuesta en estado estacionario (estado estable, steady-state) a                        cuando el sistema sea asintoticamente estable pues esto implicará que a la parte de la respuesta que satisfaga                             se le llamará respuesta transitoria             en este caso

\displaystyle \lim_{n\to \infty}y[n]=y_{ss}[n]
\displaystyle \lim_{n\to \infty}y[n]=0
y_t[n]
y[n]=y_t[n]+y_{ss}[n]

Es importante decir varias cosas aquí, en primera la expresión            se conoce como la respuesta en frecuencia del sistema, pues como se puede observar para un sistema asintoticamente estable, la respuesta en estado estacionario es un escalamiento y traslación de la entrada  (coseno o seno) dependiente de la expresión

La respuesta en frecuencia se podría encontrar de dos maneras:

  1. Calcular la función de transferencia del sistema y evaluar en

  2.  Encontrar la la transformada de Fourier discreta de la respuesta al impulso del sistema

Por último muy importante:  si se conjuntan el segundo punto con el desarrollo anterior "resulta natural" decir que los resultados de las transformaciones (sobre todo Fourier discreta más que Z) están en el dominio de la frecuencia, aunque prefiero simplemente hacerlo notar como se ha dicho.

H(e^{j\Omega})
H(e^{j\Omega})
z=e^{j\Omega}

Sistemas en diferencias de orden k: Respuesta a estado cero

x[n]

Aplicamos transformada de Fourier discreta

condiciónes iniciales

entrada causal

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq n
\displaystyle a_k(e^{j\Omega})^kY(\Omega)+\ldots+a_1e^{j\Omega}Y(\Omega)+a_0Y(\Omega)=b_k(e^{j\Omega})^kX(\Omega)+\ldots+b_1e^{j\Omega}X(\Omega)+b_0X[\Omega]
\displaystyle Y(\Omega)=\frac{b_k(e^{j\Omega})^k+\ldots+b_1e^{j\Omega}+b_0}{a_k(e^{j\Omega})^k+\ldots+a_1e^{j\Omega}+a_0}X(\Omega)=\frac{P(e^{j\Omega})}{Q(e^{j\Omega})}X(\Omega)=H(e^{j\Omega})X(\Omega)
y[-1]=y[-2]=\ldots=y[-k]=0
a_ky[n]+a_{k-1}y[n-1]+\ldots+a_0y[n-k]=b_kx[n]+b_{k-1}x[n-1]+\ldots+b_0x[n-k]
a_ky[n]+a_{k-1}y[n-1]+\ldots+a_0y[n-k]=b_kx[n]+b_{k-1}x[n-1]+\ldots+b_0x[n-k]

Al aplicar transformada de Fourier discreta inversa

 

La respuesta a estado cero para un sistema de orden k en diferencias es:

 

La convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema.

\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]=y_{x_0}[n]

Es decir si queremos encontrar la respuesta de un sistema en diferencias mediante la transformada de Fourier discreta, solo se pueden encontrar la respuesta a estado cero, es decir  cuando el sistema esta en reposo. Y como se ha dicho cuando queremos encontrar la respuesta estacionaria para un sistema BIBO-estable

Sistemas diferenciales

  • Respuesta natural (solución homogénea)

  • Respuesta forzada (solución particular)

  • Condiciones iniciales      y

  • Soluciones numéricas      

0^-
0^+

Sistemas diferenciales

Llamamos sistemas diferenciales a aquellos cuya relación entre la entrada y la salida esta dada por una ecuación diferencial. Este formato también se conoce con el nombre modelo entrada-salida.

a_n\frac{d^n}{dt^n}y(t)+\ldots+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=b_m\frac{d^m}{dt^m}x(t)+\ldots+b_1\frac{d}{dt}x(t)+b_0x(t)
\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_i\frac{d^i}{dt^i}y(t)=\sum_{j=0}^{m}b_j\frac{d^j}{dt^j}x(t)

con

\displaystyle \frac{d^0}{dt^0}y(t)=y(t)\;\;\frac{d^0}{dt^0}x(t)=x(t)
x(t)

entrada

y(t)

salida

si se define

\displaystyle D^{k}=\frac{d^k}{dt^k},\;\;D^{0}=1
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)
\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_iD^iy(t)=\sum_{j=0}^{m}b_jD^jx(t)

tenemos

Q(D)\equiv a_nD^n+\ldots+a_1D+a_0
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)
\left(a_nD^n+\ldots+a_1D+a_0\right)y(t)=\left(b_mD^m+\ldots+b_1D+b_0\right)x(t)
Q(D)y(t)=P(D)x(t)
P(D)\equiv b_mD^m+\ldots+b_1D+b_0

para resolver el problema directo en estos sistemas, se necesita conocer

y

y(t_0),\dot{y}(t_0),\ldots,\dot{y}^{(n-1)}(t_0)
x(t)
x(t_0),\dot{x}(t_0),\ldots,\dot{x}^{(n-1)}(t_0)
y(0^+),\dot{y}(0^+),\ldots,\dot{y}^{(n-1)}(0^+)
x(t)

Si pensamos que la entrada es causal y que se tiene la entrada en el sistema para el tiempo igual a cero, entonces basta conocer la entrada y las condiciones iniciales de la salida 

Resolveremos estos sistemas para un ejemplo específico y después generalizamos los resultados que se observan.

En general los coeficientes de la ecuación diferencial pueden ser dependientes del tiempo, pensamos por el momento que son constantes (posteriormente aclaramos esto).

 

Las condiciones iniciales pueden justificarse de diferentes maneras, la más clara en el sentido operativo: son las que se necesitan de acuerdo a la metodología de solución.

Sistemas diferenciales de primer orden:

Respuesta natural (solución homogénea)

Pensemos en el sistema de primer orden dado por

a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=0

Pensemos que la solución tiene la estructura           en caso de ser solución, debería satisfacer la ecuación diferencial, entonces al sustituir

\displaystyle y_{N}(t)=y_{h}(t)=Ce^{-\frac{a_0}{a_1}t}

Respuesta natural: Esta presente independientemente si hay entrada o no, depende de las condiciones iniciales y de los modos del sistema

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq t
\displaystyle m_1(t)=e^{-\frac{a_0}{a_1}t}

Definimos a

como el modo del sistema

\displaystyle \begin{array}{l} a_1\frac{d}{dt}e^{\lambda t}+a_0e^{\lambda t}=0\\ \\ e^{\lambda t}\left(a_1\lambda+a_0\right)=0\\ \\ a_1\lambda+a_0=0\\ \\ Q(\lambda)=0 \end{array}
e^{\lambda t}
\displaystyle Q(\lambda)=0

Ecuación característica

Se Observa que

\displaystyle a_1\frac{d}{dt}y_N(t)+a_0 y_N(t)=0

Sistemas diferenciales de primer orden:

Respuesta forzada (solución particular)

Pensemos en el sistema de primer orden dado por

a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=b_0x(t)

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq t

Pensemos que la solución tiene una determinada estructura dependendiendo quien es la entrada, es decir:

\displaystyle \begin{array}{|r|l|l|} \#&\text{Entrada}&\text{Respuesta forzada}\\ &&\\ 1.&e^{\zeta t},\;\zeta\neq\lambda_i&\beta e^{\zeta t}\\ &\\ 2.&e^{\zeta t},\;\zeta=\lambda_i&\beta te^{\zeta t}\\ &\\ 3.&k&\beta\\ &\\ 4.&cos(\omega t+\theta)&\beta cos(\omega t+\phi)=\beta_1 cos(\omega t)+\beta_2 sen(\omega t)\\ \end{array}

Basta ver que para cada tipo de entrada propuesta la solución particular depende del coeficiente indeterminado. En general la respuesta forzada se propone de acuerdo a la estructura del operador diferencial que lo cancele

Pensemos que en nuestro ejemplo la entrada es del tipo 1, entonces

\displaystyle \begin{array}{l} a_1\beta\frac{d}{dt}e^{\zeta t}+a_0\beta e^{\zeta t}=b_0 e^{\zeta t}\\ \\ \beta e^{\zeta t}\left(a_1\zeta+a_0\right)=b_0 e^{\zeta t}\\ \\ \beta=\frac{b_0}{a_1\zeta+a_0}\\ \\ \beta=H(\zeta) \end{array}
\beta e^{\zeta t}
\displaystyle y_{F}(t)=H(\zeta)e^{\zeta t}

Respuesta Forzada: Esta respuesta depende de la entrada.

Se Observa que

\displaystyle a_1\frac{d}{dt}y_F(t)+a_0 y_F(t)=b_0 x(t)

En particular las funciones exponenciales son funciones propias, es decir, el sistema simplemente las escala, el escalamiento es la función de transferencia evaluada en el coeficiente de la exponencial.

Sistemas diferenciales de primer orden

Respuesta total

y(0^+)
x(t)

Pensemos en el sistema de primer orden dado por

Observemos lo siguiente:

a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=b_0x(t)

entrada causal

\displaystyle y_{T}(t)=y_{N}(t)+y_{F}(t)

Respuesta total: Es la suma de la respuesta natural más la respuesta forzada

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq t

condición inicial

\displaystyle \begin{array}{l} a_1\frac{d}{dt}\left(y_N(t)+y_F(t)\right)+a_0\left(y_N(t)+y_F(t)\right)=\\ \\ a_1\frac{d}{dt}y_N(t)+a_0y_N(t)+a_1\frac{d}{dt}y_F(t)+a_0y_F(t)=\\ \\ 0+b_0 x(t)=b_0x(t)\\ \\ \text{Definimos } y_T(t)=y_N(t)+y_F(t) \end{array}

En nuestro ejemplo:

y_T(t)=Ce^{-\frac{a_0}{a_1}t}+H(\zeta)e^{\zeta t}

En este momento se encuentra a C

Sistemas diferenciales de orden n:

Respuesta total

x(t)

Escribimos el sistema homogeneo asociado

entrada causal

queremos conocer la respuesta (solución o salida) para

0\leq t
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)
y(0^+),\dot{y}(0^+),\ldots,\dot{y}^{(n-1)}(0^+)
a_nD^ny(t)+\ldots+a_1Dy(t)+a_0y(t)=0
\displaystyle Q(s)=a_ns^n+\ldots+a_1s+a_0=0

Pensemos que la solución tiene la estructura           en caso de ser solución, debería satisfacer la ecuación diferencial, entonces al sustituir tenemos la ecuación caracteristica

e^{\lambda t}
Paso\; 1.

condiciones iniciales

Paso\; 1.

Dependiendo de la forma de las raíces del polinomio característico (raíces características o valores propios del sistema) se tendrá que los n posibles modos del sistema serán  

e^{pt}u(t)
\begin{array}{l} e^{pt}u(t)\\ te^{pt}u(t)\\ \vdots\\ t^{r-1}e^{pt}u(t) \end{array}
\begin{array}{l} e^{\mathbb{R}e(p)t}cos(\mathbb{I}m(p)\,t)u(t)\\ e^{\mathbb{R}e(p)t}sen(\mathbb{I}m(p)\,t)u(t) \end{array}
\begin{array}{l} e^{\mathbb{R}e(p)t}cos(\mathbb{I}m(p)\,t)u(t)\\ e^{\mathbb{R}e(p)t}sen(\mathbb{I}m(p)\,t)u(t)\\ te^{\mathbb{R}e(p)t}cos(\mathbb{I}m(p)\,t)u(t)\\ te^{\mathbb{R}e(p)t}sen(\mathbb{I}m(p)\,t)u(t)\\ \vdots\\ t^{r-1}e^{\mathbb{R}e(p)t}cos(\mathbb{I}m(p)\,t)u(t)\\ t^{r-1}e^{\mathbb{R}e(p)t}sen(\mathbb{I}m(p)\,t)u(t)\\ \end{array}

Raíz real simple

Raíz real con repetición

Raíz compleja simple

Raíz compleja con repetición

La respuesta natural (solución homogénea) para un sistema de orden n diferencial es:

 

 

 

\displaystyle y_N(t)=\sum_{i=1}^n C_im_i(t)=y_h(t)

Se propone a la respuesta fozada (o solución particular)         de acuerdo a         según la tabla que se ha listado (en general un operador que cancele a la entrada). Se sustituye en ambos lados de la ecuación diferecial y se encuentra el coeficiente indeterminado

 

y_F(t)
Paso\; 2.
x(t)
a_nD^ny_p(t)+\ldots+a_1Dy_p(t)+a_0y_p(t)=b_mD^mx(t)+\ldots+b_1Dx(t)+b_0x(t)

La respuesta total es la suma de la respuesta natural (solución homogénea) más la respuesta forzada (solución particular) para un sistema de orden n diferencial es:

 

 

 

\displaystyle y_T(t)=y_N(t)+y_F(t)=\sum_{i=1}^n C_im_i(t)+y_F(t)=y_h(t)+y_p(t)

Se sustituyen las condiciones iniciales en la solución total para encontrar las constantes

 

Paso\; 3.
\displaystyle y_T(t)=\sum_{i=1}^n C_im_i(t)+y_F(t)

Condiciones Iniciales

0^-
0^+
a_2D^2y(t)+a_1Dy(t)+a_0y(t)=b_2D^2x(t)+b_1Dx(t)+b_0x(t)

Dependiendo de la metodología de solución se necesitarán las condiciones iniciales antes de "conectar" la entrada al sistema (transformada de Laplace), o inmediatamente después de "conectar" la entrada al sistema (solución homogénea y particular).

\displaystyle y(0^+)=y(0^-)+\frac{b_2}{a_2}\left(x(0^+)-x(0^-)\right)
\displaystyle \dot y(0^+)=\dot y(0^-)+\frac{b_2}{a_2}\left(\dot x(0^+)-\dot x(0^-)\right)+\frac{a_2b_1-a_1b_2}{(a_2)^2}\left( x(0^+)- x(0^-)\right)

Métodos Numéricos para ecuaciones diferenciales

h=0.3;  % Elegimos el tamaño del paso
t(1)=0;     % Tiempo inicial
tf=12;      % Tiempo final

y(1)=10;     % Condición inicial

puntos=floor((tf-t(1))/h)+1; % Puntos de la tabulación

for i=2:puntos
    k1=-0.25*y(i-1)+1;     %calculamos la derivada
    y(i)=y(i-1)+k1*h; %calculamos el nuevo punto
    t(i)=t(i-1)+h;     %calculamos el nuevo tiempo
end

plot(t,y);
grid on
\displaystyle \begin{array}{l} \dot{y}(t)=f(y(t),t),\;y(t_0)\\ \\ \lim_{h\to 0}\frac{y(t+h)-y(t)}{h}=f(y(t),t)\\ \\ \frac{y(t+h)-y(t)}{h}\approx f(y(t),t)\\ \\ y(t+h)\approx y(t)+f(y(t),t)h\\ \\ y(t_{n+1})\approx y(t_{n})+f(y(t_n),t_n)h \end{array}

Método de Euler. Método numérico de paso fijo para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (no es el "mejor"). Existen diferentes métodos, dependiendo de la complejidad del problema.

 

\frac{d}{dt}y(t)+0.25y(t)=x(t)

Sistemas en diferencias:

Respuesta natural (solución homogénea) y Respuesta Forzada (solución particular)

Bibliografía

[1] Cellier, F.E . (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, NewYork.

[2] Dennis Freeman. 6.003 Signals and Systems. Fall 2011. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.

 

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