Aula 2 - Estatística Descritiva

Raíra Marotta

Estatística

Estatística Descritiva

É em geral utilizada no início da análise de dados.

Tem como objetivo tirar conclusões de forma simples através de gráficos e tabelas que representem de forma resumida uma (possivelmente) grande massa de dados.

Exemplo: considere interesse em estudar a eficácia de uma nova escova dental infantil. Os dados obtidos em um experimento serão apresentados a seguir.

Estatística Descritiva

Variável: Característica do elemento investigado no estudo de interesse.

Estatística Descritiva

VARIÁVEIS QUALITATIVAS têm como possíveis realizações qualidades ou atributos do indivíduo em estudo. Exemplos: sexo, estado civil, grau de instrução, etc...

As variáveis qualitativas podem ser classificadas como:

Nominais: não existe ordenação nas possíveis realizações da variável de interesse. Exemplos: religião, estado civil, sexo...

Ordinais: existem ordenações nas possíveis realizações da variável de interesse. Exemplos: classe social (baixa, média, alta).

Estatística Descritiva

VARIÁVEIS QUANTITATIVAS tem como possíveis realizações os resultados de uma contagem ou mensuração.

As variáveis quantitativas podem ser classificadas como:

Discretas: os possíveis resultados formam um conjunto finito ou infinito enumerável e que resultam, frequentemente, de uma contagem. Exemplos: número de filhos em uma família (0,1,2,...).

Contínuas: os possíveis resultados formam um conjunto infinito não enumerável, ou seja, pertencem a um intervalo de R e resultam de uma mensuração. Exemplos: altura, peso...

Estatística Descritiva

Observações Importantes

Note que, dependendo da maneira como a variável é medida, ela pode ser classificada de formas diferentes.

Exemplo: a variável idade se medida em anos poderia ser classificada como quantitativa discreta enquanto se medimos anos e dias (2,4 anos, 3,2 anos) podemos classificá-la como quantitativa contínua.

Por que é preciso classificar as variáveis de interesse corretamente?

Porque as técnicas usadas para resumir e analisar os dados dependem do tipo de variável em estudo.

Estatística descritiva

Qual é o tipo das seguintes variáveis?

Índice da BOVESPA
Número de casos de dengue no Rio de Janeiro
Regiões do Brasil
Conceito final no curso de Estatística (A,B,C ou D)
Prêmio de seguros
Proporção de eleitores do Bolsonaro
Escolaridade dos brasileiros

Análise gráfica

Quais gráficos utilizar se as variáveis forem...

QUALITATIVAS?

2. QUANTITATIVAS?

barras, pizza (setor)

histograma, linhas, dispersão

Fonte: Censo demográfico - IBGE, 2000.

Fonte: Pnad - IBGE.

Medidas de Resumo

Medidas resumo são usadas para resumir ainda mais a informação vinda dos dados, fornecendo valores que representam os dados de forma global.

Medidas de Posição

Média

Mediana

Moda

Medidas de Dispersão

Variância

Desvio-padrão

Amplitude

Intervalo Interquartílico

Média Aritmética

Média aritmética simples: é a soma das observações dividida pelo número de observações

"Ponto de equilíbrio"

\bar{x}=\dfrac{\textrm{soma dos elementos}}{\textrm{número de elementos}} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}

# Fui a feira e gastei R$ 40 reais em 5 itens.
# Quanto gastei em média por item?

  40
______  =  8
  5

Média Aritmética

Média aritmética ponderada: é a soma ponderada das observações dividida pelo número de observações.

\bar{x}=\dfrac{\textrm{soma dos elementos ponderados}}{\textrm{número de elementos}} = \frac{\sum_{i=1}^{n}f_i x_i}{n}

# Comprei 3 blusas, por R$ 50 cada e 2 shorts, por R$ 80 cada. 
# Quanto gastei em média por item?

3 x 50 + 2 x 80
_________________  =  62 
     5

Mediana

Mediana: Observação que ocupa a posição central nos dados ordenados em ordem crescente.

Mediana

\tilde{x}=x_{(\frac{n+1}{2})}, \textrm{se $n$ impar}

\textrm{Sejam os dados ordenados } x_{(1)} < x_{(2)} < \ldots < x_{(n)},

\tilde{x}=\dfrac{x_{(\frac{n}{2})}+x_{(\frac{n}{2}+1)}}{2}, \textrm{se $n$ par}

Mediana

# Na turma do meu filho há 5 crianças.

# João  - 4 anos
# Pedro - 3 anos
# Maria - 2 anos 
# Marta - 3 anos
# José  - 5 anos

Qual a mediana das idades ?

R: 3 anos

# Uma nova aluna com 2 anos entrou na turma. 
# E agora? Qual a nova mediana das idades?

R: 3 anos?

# E a média mudou?

Mediana x Média

A média é afetada por valores extremos (altos ou baixos).

Fonte: Pnad/2017 - IBGE.

Distribuição da renda domiciliar per capita por cor - Brasil 2017

Moda

Moda: realização mais frequente nos dados.

Medidas de dispersão

O resumo de um conjunto de dados por uma única medida representativa de posição central esconde a informação sobre a variabilidade.

Grupo A: 3, 4, 5, 6, 7

Grupo B: 1, 3, 5, 7, 9

Grupo C: 5, 5, 5, 5, 5

Grupo D: 2, 5, 5, 7, 6

Grupo E: 4, 5, 5, 6, 5

\bar{x} = 5

Notas de grupos de alunos

Podemos dizer que os grupos têm o mesmo desempenho?

Idade de alunos de 3 turmas

Podemos dizer que as turmas são semelhantes em termos de idade?

Medidas de dispersão

Amplitude: é distância entre o mínimo e o máximo.

\Delta=\textrm{maximo}-\textrm{minimo}=x_{(n)}-x_{(1)}

não consegue caracterizar a distribuição dos valores entre o mínimo e o máximo;
é baseada em duas observações, independentemente do número total de observações.

Limitações:

Variância

Variância: considera os tamanhos dos desvios de cada observação em relação à média.

\sigma^2=\dfrac{\textrm{soma dos desvios ao quadrado}}{\textrm{número total de elementos}}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}{n}

Limitações:

não está na mesma unidade dos dados;
afetado por valores extremos.

Observação: é possível definir a variância usando o divisor (n-1) no lugar de (n); essa é a diferença entre os conceitos de variância amostral e variância populacional.

Desvio Padrão

Desvio-padrão: é a raiz quadrada da variância.

\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}{n}}

Uma forma de se obter uma medida de dispersão com a mesma unidade dos dados.

Coeficiente de variação

Coeficiente de variação: medida de dispersão relativa (adimensional) da variação de um conjunto de dados.

CV=\dfrac{\textrm{desvio-padrão}}{\textrm{média}}\times 100=\dfrac{\sigma}{\bar{x}} \times 100

Expressa a variabilidade dos dados retirando a influência da ordem de grandeza da variável.
interpretado como a variabilidade dos dados em relação à média. Quanto menor o CV mais homogêneo é o conjunto de dados.

Separatrizes

A média e variância são medidas muito influenciadas por observações discrepantes. Por isso buscamos medidas alternativas tal como a mediana, que é mais robusta.