Aula 09

Fundamentos da Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

UFRN - ECT - BCT

Objetivos

Estudar os seguintes sistemas dinâmicos:

Movimento circular.

Movimento circular é um movimento curvilíneo cuja trajetória é um círculo.

Eixo tangencial e aponta na direção do aumento da coordenada angular.

Eixo radial e aponta para longe do eixo de rotação.

Eixo normal e é perpendicular ao plano de rotação.

Os eixos r e t mudam de direção quando eles giram com o objeto.

\hat r
\hat t
\hat r
\hat t

Os eixos são perpendiculares e têm a direção dos vetores unitários radial (\(\hat r\)) e tangencial (\(\hat t\)).

Fonte: Eric Mazur

O movimento circular

O movimento circular

Modelando o movimento circular

A orientação da rotação em relação ao eixo de rotação é uma convenção.

O ângulo polar,  \(\theta\), de um objeto que se move ao longo de um círculo de raio, \(r\),  é definido como o comprimento do arco, \(s\), sobre o qual o objeto se moveu dividido pelo raio:

Como as medidas do ângulo polar são feitas em radianos

mesmo que radiano não seja uma unidade.

1\,\text{rad}=0,159\,\text{rev} = 57,3^o

Ao dividir as grandezas \(s/r\), com dimensões de comprimento, vê-se que \(\theta\) admensional.

\theta
= \frac{s}{r}
\theta
= \frac{s}{r}

arco

raio

O movimento circular

Motor de passo de 90 graus

O motor "para" 4 vezes ao completar uma volta.

\theta = \frac{2\pi}{4}\text{ rad}=\frac{\pi}{2}\text{ rad}
\theta = \frac{1}{4}\text{ rev}
\theta = 90^o

Para completar 1 volta é necessário aplicar 4 pulsos.

1 volta =

\theta =4\times\frac{\pi}{2}\text{ rad}
\theta =4\times\frac{1}{4}\text{ rev}
\theta =4\times 90^o

O motor com ângulo de grau de \(1,8^o\), "para" quantas vezes?

Quantos pulsos são necessários para 1 volta? E se for um motor com redução 1:64?

A variação do ângulo polar, \(\Delta \theta\), é igual ao ângulo polar final menos o ângulo polar inicial, é

\Delta \theta
= \frac{\Delta s}{r}
\Delta \theta =\theta_f-\theta_i
\Delta \theta =\frac{s_f}{r}-\frac{s_i}{r}
\theta
= \frac{s}{r}

como

A variação do ângulo polar é igual a razão entre a variação do comprimento de arco pelo raio da circunferência:

\theta_i = \frac{\pi}{12}\text{rad}
r = 10\text{\,m}
\Rightarrow \Delta s = r\Delta \theta
\Rightarrow \Delta s = \frac{5\pi}{6}\text{ m }
\theta_f = \frac{\pi}{6}\text{rad}

O deslocamento angular.

Modelando o movimento circular

\Delta s
s_f
s_i
\theta_i
\theta_f
\Delta \theta

Velocidade angular e a velocidade tangencial.

A partir da definição de velocidade média:

E o mesmo para a velocidade tangencial instantânea:

e que \(\Delta s = r \Delta \theta\), existe uma relação entre a velocidade média e velocidade angular média, \(\omega_m\).

Modelando o movimento circular

v_{m}=\frac{\Delta s}{\Delta t}
v_{m}\equiv \frac{r \Delta \theta}{\Delta t}
v_{m}=r\frac{\Delta \theta}{\Delta t}
v_m = r\,\omega_{m}
v_{t}\equiv \frac{d s}{d t}
v_{t} =r\frac{d\theta}{d t}
v_t = r\,\omega_{}
  • \vec v_m
\vec r
\vec r
\Delta S = r\Delta \theta

A velocidade angular média é:

\omega_{m}=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}
\vec r
  • \vec v_t

O movimento circular

Motor de passo de 1,8 graus

O motor com ângulo de grau de \(1,8^o\) "para" 200 vezes.

Ao aplicar 200 pulsos a cada segundo vamos saber a velocidade angular do motor:

\omega_{m}=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}
=\frac{200\times0,0314\text{ rad}}{\text{s}}
=6,28\frac{\text{ rad}}{\text{s}}
\Delta\theta = 1,8\times \frac{\pi}{180}\text{rad} = 0,01 \pi \text{rad} = 0,0314\text{ rad}
200 \Delta\theta = 6,28\text{ rad} =2\pi \text{rad} = 1\text{volta}
=1\text{ rps}
=2\pi\frac{\text{rad}}{\text{s}}

A velocidade angular pode ter as seguintes unidades:

\frac{\text{rad}}{\text{s}}
\frac{\text{rad}}{\text{min}}
\frac{\text{rad}}{\text{h}}
\frac{\text{rev}}{\text{s}}
\frac{\text{rev}}{\text{min}}
\frac{\text{rev}}{\text{h}}
\text{ rps}
\text{ rpm}
\text{ rph}
=1 \frac{\text{ volta}}{\text{s}}

A frequência angular pode ter as seguintes unidades:

\equiv

O movimento circular

Velocidade angular e frequência angular?

A velocidade angular do motor de passo de \(1,8^o\).

\omega_m=6,28\frac{\text{ rad}}{\text{s}}

De forma geral, para uma volta completa:

\omega_m=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}
\omega_m=\frac{2\pi \text{ rad}}{T}
\omega_m={2\pi \text{ rad}}\,f
f=\frac{1}{T}

O período é o tempo para completar 1 volta.

A frequência angular é o número de voltas por unidade de tempo.

A frequência angular do motor de passo \(f = 1 \text{ rps}\). Portanto, \(\omega_m = (2\pi \text{ rad)} f = 6,28\text{ rad}/\text{s}\).

O movimento circular

Engrenagens

\omega_1 = \omega_2
\frac{v_1}{R_1} = \frac{v_2}{R_2}
v_1= \frac{R_1}{R_2} v_2
R_1 / R_2 >1
v_1 > v_2
v_A = v_B
\omega_A R_A = \omega_B R_B
\omega_A = \omega_B \frac{R_B}{R_A}
\omega_A < \omega_B
-v_A = v_B
-\omega_A R_A = \omega_B R_B
\omega_A = -\omega_B \frac{R_B}{R_A}
|\omega_A| < |\omega_B |
f_A = 20 \text{ rpm}, R_A = 20\text{ cm}, R_B = 5\text{ cm},
f_1 = 20 \text{ rpm}, R_1 = 0,10\text{ m}, R_2 = 0,05\text{ m}

O movimento circular

Engrenagens

Quais as relações?

O vetor velocidade instantânea \(\vec v_t\) de um objeto em movimento circular é sempre perpendicular ao vetor posição \(\vec r\) do objeto medida a partir do centro da trajetória circular e tangente à trajetória.

O vetor velocidade média \(\vec v_m\) de um objeto em movimento circular é sempre paralelo ao vetor deslocamento \(\Delta \vec r\) do objeto.

Modelando o movimento circular

\vec r
\vec v
O
\hat r
\hat t
\vec r_f
\vec r_i
\Delta \vec r
\vec v_m
O
\hat r
\hat t
\hat r
\hat t
\vec r_f
\vec r_i
\Delta \vec r
\vec v_m
O
O
\hat r
\hat t
\hat r
\hat t

Os vetores velocidade média e velocidada tangengial instantânea.

Quando a rapidez do objeto não é constante temos uma aceleração tangencial instantânea.

A aceleração tangencial instantânea é uma medida da variação da rapidez tangencial no tempo:

e é tangente à trajetória. Sabemos que \(v_t = r \omega\).

A aceleração angular possui unidades SI de inverso do segundo ao quadrado: \(s^{-2}\).

Modelando o movimento circular

Aceleração tangencial constante

Aceleração radial também aumenta

causa aumento da rapidez

a_{t} \equiv \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\Delta v_{t}}{\Delta t}= \frac{dv_{t}}{dt}
a_{t} =\frac{dv_t}{dt}
a_{t} =r\frac{d\omega}{dt}
a_{t} =r\alpha_{}

A aceleração tangencial instantânea.

A aceleração média.

No movimento circular à rapidez tangencial constante a magnitude da velocidade tangencial é constante no tempo, mas a direção varia no tempo.

Objetos em movimento circular têm uma aceleração diferente de zero, mesmo que estejam se movendo a rapidez constante, pois o movimento é curvilíneo.

A aceleração média é uma medida da variação da direção da velocidade tangencial no tempo:

  • \vec v_i
  • \vec v_f
  • \Delta \vec v

tem a direção da variação da velocidade tangencial.

Modelando o movimento circular

\vec a_{m}=\frac{\Delta \vec v_t}{ \Delta t}

A aceleração centrípeta.

A magnitude da aceleração média:

  • \vec v_i
  • \vec v_f
  • \Delta \vec v_t

No limite \(\Delta t \rightarrow 0\), define-se a aceleração centrípeta:

A aceleração centrípeta de um objeto que executa um movimento circular à rapidez constante é direcionada radialmente para dentro.

A aceleração devido ao movimento circular mantem o objeto se movendo à rapidez \(v_t\) ao longo da circunferência de um círculo de raio \(r\).

Modelando o movimento circular

\frac{|\Delta \vec r|}{r} = \frac{|\Delta \vec v_t|}{v_t}
\frac{|\Delta \vec v_t|}{\Delta t} = \frac{v_t}{r}\frac{|\Delta \vec r|}{\Delta t}
a_c =\frac{v_t^2}{r}
\Rightarrow
  • \vec a_c
\vec a_m
\vec a_m

A aceleração resultante no movimento circular.

Podemos analisar as aceleração tangencial e centrípeta que estão contidas no plano.

Modelando o movimento circular

v_t = \text{constante}
a_t = \frac{dv_t}{dt} =0
a_c = \frac{v_t^2}{r} =\text{constante}

MCU

v_t \neq \text{constante}
a_t = \frac{dv_t}{dt} =r\alpha_{}
a_c = \frac{v_t^2}{r} \neq\text{constante}

MCUV

\vec a_c
\vec a= a_t\hat t + a_{c}\hat r
a= \sqrt{a_t^2 + a_{c}^2}

Aceleração resultante

Existe uma relação entre as grandezas de translação e rotação;

Fonte: https://www.compadre.org

r\rightarrow \theta
v\rightarrow \omega
a\rightarrow \alpha
r=r_0+v_0 t+\frac{1}{2}a't^2
\theta=\theta_0+\omega_{0} t+\frac{1}{2}\alpha'_{}t^2
\rightarrow
v_t=v_0 +a' t
\omega_{}=\omega_{0}+\alpha'_{}t
\rightarrow
a_t=a'
\alpha_{}=\alpha'_{}
\rightarrow

E que:

v_t = \omega r
a_t = \alpha r
a_c = \frac{v_t^2}{r}

Modelando o movimento circular

Um disco está girando em torno do eixo central como um carrossel. A posição angular é θ(t) de uma reta de referência do disco é dada por

Fonte: https://www.compadre.org

Modelando o movimento circular

\theta(t) = 1,00 -0,600t+0,250t^2

com t em segundos, θ em radianos e a posição angular zero indicada na figura.

Analise a cinemática do movimento.

Um disco D pode girar livremente em torno do seu eixo horizontal (C). Enrola-se uma corda na periferia do disco e um corpo A, ligado à corda é deixado cair sob ação da gravidade e da tração do fio. O movimento de A é uniforme acelerado, mas, sua aceleração é menor do que g. No instante t = 0, a velocidade do corpo A é de 0,04 m/s e, 2 s depois, o corpo desceu 0,2 m. Ache as acelerações tangencial e centrípeta , em qualquer instante, de um ponto na periferia do disco.

Modelando o movimento circular

Modelando o movimento circular

\vec v_t = \vec\omega \times \vec r

O vetor velocidade angular é pode ser representada como uma grandez vetorial de direção perpendicular ao plano do movimento e seu sentido é dado pela regra da mão direita.

Crédito: https://www.geogebra.org/m/ugsjfsy5
Crédito: http://www.cepa.if.usp.br
v_t = \omega \,r\sin(\theta)
v_t = \omega \,r

Se \(\theta = 90^o\)

Modelando o movimento circular

Como o vetor velocidade tangencial muda de direção no movimento circular, nós podemos calcular o vetor aceleração

\vec a = \frac{d\vec v_t}{dt}
\vec a = \frac{d(\vec\omega \times \vec r)}{dt}
\vec a = \vec \omega \times \frac{d\vec r}{dt}+ \frac{d\vec \omega}{dt}\times \vec r

Para um movimento circular uniforme, \(\vec \omega = constante\), a aceleração é centrípeta e  perpendicular ao vetor velocidade tangencial:

\vec a_{cp} = \vec \omega \times\vec v_t
\vec v_t
\vec \omega
\vec a

ou

\vec a_{cp} = \vec \omega \times(\vec\omega \times \vec r)

Se todos os ângulos são retos:

a_{cp} =\omega^2 r
a_{cp} =\frac{v_t^2}{r}

ou

Para um movimento circular não uniforme, a maginute da velocidade tangencial varia,

a_t = \frac{dv_t}{dt}
a_t = r\alpha

O movimento pode ser acelerado ou retardado.

Retardado

Retardado

Acelerado

Acelerado

  • \vec \omega \cdot \vec \alpha >0
  • \vec \omega \cdot \vec \alpha >0
  • \vec \omega \cdot \vec \alpha <0
  • \vec \omega \cdot \vec \alpha <0

Modelando o movimento circular

A velocidade média angular e a aceleração média angular.

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