Aula 10

Fundamentos da Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

UFRN - ECT - BCT

Objetivos

Estudar os seguintes sistemas dinâmicos:

Corpos sujeitos à força centrípeta.

Corpos sujeitos à força elástica (talvez!).

O giro da Terra em torno do Sol está sujeito a uma força central.

A força central não quer dizer que o objeto em movimento circular será atraído para centro.

A força central varia a direção do vetor velocidade tangencial.

\vec F_{r}=m\frac{v_t^2}{r}\hat r

Removendo a força centrípeta o objeto vai se mover em linha reta a partir da tangente da trajetória circular e com \(\vec v_t = constante\).

Fonte: astroacademy.org.uk/principia

Movimento sobre efeito de força central

Forças e movimento circular

A força centrípeta sobre um objeto em movimento circular à rapidez constante nos diz que a soma vetorial das forças exercidas no objeto deve ser direcionada para o centro do círculo, ajustando continuamente a direção do objeto.

Sem essa soma vetorial de forças apontando para dentro, o objeto se moveria em uma linha reta na direção da velocidade tangencial.

\vec F_c

\vec v_t

F_c = ma_c

A magnitude da força centrípeta:

Fonte: https://conhecimentocientifico.r7.com/

F_c = m\frac{v_t^2}{r}

A força centrípeta é uma força central que varia a direção da velocidade tangencial.

Forças e movimento circular

A magnitude da força necessária para fazer um objeto mover em movimento circular à rapidez constante depende da rapidez do objeto e o raio da trajetória.

A força para dentro necessária para fazer um objeto se mover em movimento circular aumenta com o aumento da rapidez e diminui com o aumento do raio.

A força centrípeta é função da massa, da velocidade tangencial e do raio.

A magnitude da força centrípeta:

\frac{|\Delta \vec r|}{r} = \frac{|\Delta \vec v_t|}{v_t}

\Rightarrow a_c =\frac{v_t^2}{r}

\Rightarrow \frac{|\Delta \vec v_t|}{\Delta t} = \frac{v_t}{r}\frac{|\Delta \vec r|}{\Delta t}

F_c = m a_c

\Rightarrow F_c = m \frac{v_t^2}{r}

Fonte: Eric Mazur

Quando os dois discos se movem a mesma rapidez sobre círculos de raios diferentes

o disco no círculo menor tem maior variação da velocidade em um dado intervalo de tempo.

Forças e movimento circular

Exemplo 1 (A11.P1-11)

Fonte: https://www.nicepng.com

A componente horizontal da força de contato da superfície (s) sobre a moto (m) - força de atrito

A força centrípeta se deve:

F_{cp}= ma_c

\vec a_c

normal

\vec N

contato

\vec F^c_{sm}

atrito estático

\vec F^{at}

peso

\vec P

F^{at}=ma_c

A força centrípeta é igual à força de atrito estático que permite fazer a curva.

v_t = \sqrt{\mu_e r g}

r=\frac{v_t^2}{\mu_eg}

\mu_e=\frac{v_t^2}{rg}

F^{at}=m\frac{v_t^2}{r}

r=2 \text{m}

\tan(\theta) =\frac{v_t^2}{rg}

\theta

\mu_e = \tan(\theta)

F^c_{sm}\cos\theta = mg

F^c_{sm}\sin\theta = ma_{cp}

Forças e movimento circular

Exemplo 2 (A11.P1-10)

componente horizontal da tensão

\vec T_x

componente vertical da tensão

\vec T_y

\vec a_c

Fonte: Designed by brgfx / Freepik

contato

\vec F^c_{cb}=\vec T

\vec P

peso

F_{cp}=ma_c

T_x=ma_c

A componente horizontal da força de contato da corda (c) sobre a bola (e).

A força centrípeta se deve:

A força centrípeta é igual à componente horizontal da força de tensão:

v_t = \sqrt{\frac{r g} {\tan(\theta)}}

\theta

r=2 \text{m}

F^c_{cb}\sin\theta= mg

\(\rightarrow \theta\) não pode ser zero!

F^c_{cb}\cos\theta= ma_{cp}

\tan(\theta) =\frac{rg}{v_t^2}

Sobre a massa há apenas duas forças: Tração \(\vec T\) de direção e magnitudes que variam e Peso \(\vec P\) de direção e magnitudes que não variam.

No referencial adotado as forças peso e tração têm as seguintes componentes:

P_{tan} = P \text{sen}\theta

P_{rad} = P \text{cos}\theta

T_{tan} = 0

T_{rad} = T

A força resultante ao longo da trajetória é \(P_{\tan}\).

-mg\text{sen}(\theta)=ma_t

A força resultante normal à trajetória é \(T-P_{rad}\).

T-mg\cos(\theta)=m\frac{v_t^2}{r}

\(W\) é a força peso (weight)

Forças e movimento circular

Exemplo 3: Pêndulo simples

tangencial

radial

Fonte: https://www.geogebra.org/m/sqjwr576

Em cada direção as forças não são constantes.

Fonte: https://pin.it/2SEybXW

Forças e movimento circular

Os pequenos satélites da Starlink, orbitam a Terra em alturas entre 500 a 1200 km acima da superfície da Terra.

O objetivo é estabelecer um serviço mundial de Internet de banda larga confiável e fácil acesso.

Os satélites operam em órbita terrestre baixa (LEO), o que resulta em latência mais baixa e taxas de transferência de dados (20 milisegundos) mais rápidas do que os satélites geoestacionários típicos (600 milisegundos) que orbitam em altas altitudes (36 000 km).

Crédito: https://eos.com/blog/satellite-constellation/

É importante criar mecanismos que controlem a distância entre o satélite e o centro da Terra, pois isso afeta a velocidade e o período do satélite.

Exemplo 3: Satélites

O que mantém os satélites em órbita é a física newtoniana, em primeira aproximação:

Forças e movimento circular

A força centrípeta resultante que atua sobre este satélite em órbita é dada pela relação:

F_{cp} = m_{sat}\frac{v^2}{R}

F_{grav}=\frac{G M_T m_{sat}}{R^2}

A equação para a velocidade do satélite movendo-se em uma órbita circular em torno da Terra:

F_{cp} = F_{grav}

v^2 = \frac{GM_T}{R}

A velocidade para completar a órbita circular \(\Delta S=2\pi R\) num período \(T\):

v = \sqrt{\frac{GM_T}{R}}

v = {\frac{2\pi R}{T}}

O período \(T\) e a velocidade não dependem da massa do satélite:

T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{G M_{T}}

T^2 =kR^3

Terceira lei de Kepler

Exemplo 3: Satélites

Forças e movimento circular

STARLINK-30856

https://isstracker.pl/en/satellites/58725

https://satellitemap.space/

v = \sqrt{\frac{GM_T}{R_T+h}}

Os satélites estão sujeitos à terceira lei de Kepler

Exemplo 3: Satélites

Forças e movimento circular

Exemplo 4 (A11.P1-17):

Uma bola de 500 g move-se em um círculo vertical presa por um barbante de 102 cm de comprimento. Se a velocidade no topo vale 4,0 m/s, o valor da velocidade no fundo será 7,5 m/s.

a. Quanto vale a força gravitacional exercida sobre a bola?

b. Quanto vale a tensão no barbante quando a bola se encontra no topo?

c. Quanto vale a tensão no barbante quando a bola se encontra no fundo?

Forças e movimento circular

Exemplo 5 (A11-P1-09):

Um cubo está sobre uma plataforma giratória, girando inicialmente a rapidez constante.

A rapidez angular da plataforma giratória é aumentada lentamente e, em um instante, o cubo desliza para fora da plataforma giratória.

Explique por que isso acontece.

Forças e movimento circular

Exemplo 6:

Quando um avião viaja a velocidade (vetorial) constante na horizontal, suas turbinas ou hélices “sentem” uma força horizontal para a frente. A atuação do ar no corpo e nas asas do avião exerce uma força com uma componente horizontal para traz, que é uma força de atrito, e outra componente (E) vertical para cima, que sustenta o avião.

(a) Por que o avião não consegue fazer uma curva na horizontal sem inclinar as asas?

(b) Qual o ângulo que as asas devem ser inclinadas para que o avião realize uma curva na horizontal de raio R?

Forças e movimento circular

Exemplo 7 (A11-P1-13):

Uma curva de 30,0 m de raio é inclinada de um ângulo θ. Isto é, a normal da superfície da estrada forma um ângulo com a vertical. Encontre θ para que o carro percorra a curva a 40,0 km/h, mesmo se a estrada está coberta de gelo, o que a torna praticamente sem atrito.

A força elástica

Força elástica

Crédito: https://youtu.be/JhJzdtzl6KY

Crédito: https://youtu.be/0EEHuh5q2p8

Simulação

Mundo real

Força elástica

Crédito: https://youtu.be/z9oaeBcXKU4

Mundo real

Tecnologia

Crédito: https://www.youtube.com/embed/1zL9hAQdDGE

Força elástica

Crédito: https://youtu.be/7eGOnKST6nw?si=lpf7WjX_2xGyoNPF

Como chegar até lá? Passo 1: Aprender o básico.

\vec F_{\text{pela mola}} = -\vec F_{\text{aplicada na mola}}

A força que a mola exerce tem mesma direção, magnitude e sentido oposto à força aplicada.

A força aplicada pela mola tem sentido oposto à deformação.

É conhecida por Lei de Hooke, apesar de ser válida apenas no regime elástico, isto é, para pequenas deformações.

F_{\text{pela mola}} = -k(x-x_0)

É chamada de uma força restauradora.

A força elástica (uma força de contato)

Fonte: https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/hookes-law

Diferente das demais forças (peso, normal, tensão, tração, atrito, etc.) a força elástica é uma força variável.

No intervalo elástico a deformação é proporcional à força elástica.

F_{\text{elástica}} =- k(x-x_0)

É possível combinar molas para obter forças e deformações distintas.

A constante da mola k é uma medida quantitativa da rigidez da mola. Tem unidade S.I. de newton/metro: N/m.

Diferentes molas têm valores diferentes de k, dependendo de como elas respondem à compressão e ao alongamento.

Fonte: https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/hookes-law

A força elástica (uma força de contato)

É possível alterar a constante mola associando molas.

O gráfico mostra o componente \(x\) do deslocamento da extremidade livre da mola de sua posição relaxada em \(x_0\) versus a força aplicada à mola.

regime elástico

regime plástico

ponto de ruptura

k=\frac{\Delta F}{\Delta x}

k=\frac{25\text{ N}}{0,01\text{m}}

k=2,5\times 10^3\text{ N/m}

Na verdade é uma bola bastante rígida!

Intervalo elástico

\(x-x_0\) (cm)

\(F_a\) (N)

A força elástica (uma força de contato)

Mola macia

Mola dura

Poste de aço

\vec F^c_{mt}

\vec F^g_{Tt}

Para uma mesma força aplicada (peso) a deformação é maior para a mola macia

Fonte: Eric Mazur

Podemos modelar qualquer superfície como um conjunto de molas. Quanto mais rígida a superfície maior o valor da constante elástica e menor será a deformação para uma mesma força aplicada.

F^c_{e}=k\Delta x

k_{\text{macia}} < k_{\text{dura}} < k_{\text{aço}}

\Delta x_{\text{macia}} > \Delta x_{\text{dura}} > \Delta x_{\text{aço}}

\Delta x=\frac{mg}{k}

A força elástica (uma força de contato)

Exemplo 8

Um livro de inércia de 1,2 kg é colocado no topo da mola na figura. Qual é o deslocamento da extremidade superior da mola da posição relaxada quando o livro está parado em cima da mola de constante de mola \(k = 2,5 \times 10^3\) N/m?

\vec F^c_{ml}

\vec F^g_{Tl}

\cdot \quad\vec a =0

x_0

\Delta x

\sum \vec F = m_l\vec a

\vec F^c_{ml}+\vec F^g _{Tl}= m_l\vec a

F_e-P= m_l0

F_e-P= 0

-k\Delta x-mg= 0

\Delta x = -\frac{mg}{k}

\Delta x = -\frac{(1,2\text{ lg})(9,8\text{m/s}^2)}{2,5\times 10^3\text{ N/m}}=

-4,7\times 10^{-3}\text{ m}

O deslocamento é negativo, pois houve uma compressão da mola.

Fonte: Tipler & Mosca

A força elástica (uma força de contato)

Exemplo 9

Um jogador de basquete de 110 kg segura o aro enquanto enterra a bola (Figura 4-12). Antes de cair, ele fica suspenso seguro ao aro, cuja parte frontal fica defletida de uma distância de 15 cm. Suponha que o aro possa ser aproximado por uma mola e calcule a constante de força k.

\vec F_{e}

\vec F_{p}

\cdot \quad\vec a =0

\sum \vec F = m_{aro}\vec a_{aro}

\vec F_e+\vec F_p = \vec 0

F_e-F_p=0

k = -\frac{mg}{\Delta x}

k = -\frac{(1,2\text{ lg})(9,8\text{m/s}^2)}{-0,15 \text{m}}=

7,2\times 10^{3}\text{ N/m}

O deslocamento é negativo, é contrário ao referencial que é positivo para cima.

Isso significa que a força elástica fica com valor positivo (sentido do referencial)

Fonte: Tipler & Mosca

-k\Delta x -mg=0

A força elástica (uma força de contato)

Imagine que tenhamos uma mola alongada, de pequena massa, com uma dureza de k=100 N/m. Se pendurarmos um bloco de peso igual a 100 N (cerca de 10 kg de massa) na ponta da mola, a mola esticará 1,00 m.

k_{eq}\Delta x_{eq}=mg

k_{eq}=\frac{mg}{\Delta x_{eq}}

As molas em série têm a metade da dureza de uma única mola.

Exemplo 10

F_e=P

-k_1\Delta x_1-k_2\Delta x_2=-k_{eq}\Delta x_{eq}

-k_1(x-x_0)-k_2(x-x_0)=-k_{eq}(2x-2x_0)

k_{eq}=\frac{k_1+k_2}{2}

k_{eq}=50 \frac{\text{ N}}{\text{ m}}

\Rightarrow

k\Delta x=mg

\Rightarrow

100\Delta x = (10)(9,8)

\Rightarrow

\Delta x = 0,98\text{ m}

\Rightarrow

Fonte: https://www.cleanpng.com

x_0

x_0

Juntamos duas molas idênticas pelas pontas (em “série”) para fazer uma mola mais longa. Qual é a dureza da mola mais longa (mola equivalente)?

x_0

A força elástica (uma força de contato)

k_{eq}\Delta x_{eq}=mg

k_{eq}=\frac{mg}{\Delta x_{eq}}

As molas em paralelo têm o dobro da dureza de uma única mola.

Exemplo 11

F_e=P

-k_1\Delta x_1-k_2\Delta x_2=-k_{eq}\Delta x_{eq}

-k_1(x-x_0)-k_2(x-x_0)=-k_{eq}(x-x_0)

k_{eq}={k_1+k_2}

k_{eq}=200 \frac{\text{ N}}{\text{ m}}

\Rightarrow

k\Delta x=mg

\Rightarrow

100\Delta x = (10)(9,8)

\Rightarrow

\Delta x = 0,98\text{ m}

\Rightarrow

Fonte: https://www.cleanpng.com

Juntamos duas molas idênticas pelas pontas (em “paralelo”) para fazer uma mola mais larga. Qual é a dureza da mola mais larga (mola equivalente)?

x_0

10\text{kg}

x_0

A força elástica (uma força de contato)