Aula 11

Fundamentos de Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

UFRN - ECT - BCT

Objetivos

Calcular o trabalho realizado em uma única partícula.

Aplicar o teorema trabalho-energia cinética quando a força é variável.

Potência de uma força.

Força elástica (variável).

Enunciar o teorema trabalho-energia cinética.

Conceituar o trabalho mecânico como um processo de transferência de energia.

O trabalho como o produto de dois vetores.

O trabalho das forças aplicadas sobre um bloco em um plano inclinado.

Referência: Tipler & Mosca. Capítulo 6

Verifique no SIGAA questões recomendadas

Sistemas isolados e fechados

A partir dessa aula vamos estudar os princípios de conservação

Momento linear (sistemas isolados);

Energia (sistemas fechados).

Todas as trocas de momento ocorrem dentro do sistema isolado.

Todas as transformações e conversões de energia ocorrem dentro do sistema fechado.

O conceito de força é útil para lidar com problemas onde há uma interação entre o sistema e a vizinhança. Em consequência, \(\Delta \vec p_{sis} \neq 0   e  \Delta E_{sis} \neq 0\).

Vamos permanecer utilizando os conceitos de força que você precisa aprender!

\Delta \vec p_{sis}=\vec 0
\Delta E_{sis}=0

Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_theory_of_gases

Energia cinética

K=\frac{1}{2}mv^2
\vec v
m

No Sistema Internacional, a unidade da energia é o joule (J).   Sendo 1 J = 1 N.m:

\text{kg}\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}\equiv \text{joule}=\text{J}

Se uma partícula apenas se move de um ponto para o outro, podemos considerar apenas sua energia cinética.

Uma energia associada ao movimento que leva em conta a massa inercial, e claro a velocidade.

Uma grandeza extensiva. Isto é, não pode ser criada ou destruída, mas que pode ser alterada pelos processos de entrada e saída de energia do sistema.

Uma partícula livre em movimento tem somente energia cinética!

Energia cinética

A energia cinética tem algumas características:

Está associada a um único objeto de inércia \(m\).

K=\frac{1}{2}mv^2

É sempre positiva. É um escalar.

Está associada ao movimento.

Não depende da direção e sentido do movimento.

\vec v
m
\vec v
m
\vec v
m
K_1=K_2=K_3

Se \(m_1=m_2=m_3\) e \(v_1=v_2=v_3\):

A energia e momento linear de uma única partícula.

Para baixas velocidades e em um processo onde a integridade da partícula não muda, sua energia é apenas cinética.

E=K

Uma partícula livre possui somente energia cinética e momento linear  (ambos constantes).

K=\frac{1}{2}mv^2

Quando \(\Delta K =0\)  e  \(\Delta \vec p = \vec 0\)  a partícula é livre. Só existe ela!

Não há variação da energia cinética e momento linear para uma partícula livre.
\vec p=m\vec v

Energia cinética

Em um processo a variação da energia cinética e a variação do momento são:

\Delta K = K_f-K_i
\Delta \vec p =\vec p_f-\vec p_i

Se \(\Delta K > 0\) e \(\Delta p > 0\): A rapidez aumenta.

Como \(\Delta K \neq 0\) e \(\Delta \vec p \neq 0\), a partícula não é livre. Ela não está só.

O que alterou a energia cinética e o momento linear da partícula?

A energia e momento linear de um sistema de partículas únicas.

Se \(\Delta K < 0\) e \(\Delta p < 0\): A rapidez diminui.

Provavelmente alguma outra coisa que fez a partícula variar sua energia cinética e momento linear. Alguma interação fez isso!

Energia cinética

 Somente as forças externas podem alterar a energia do sistema.

Cinética. Uma força provoca uma alteração do movimento (aceleração).

\vec F_{Ro}
\vec F_{Ro}
\vec F_{Ro}
K_f \neq K_i

Interna. Uma força provoca uma alteração do estado físico (deformação).

\vec F_{Ro}
\vec F_{Ro}
\vec F_{Ro}
U_f \neq U_i

Trabalho

A força externa alterou a energia cinética.
A força externa alterou o estado físico.

Trabalho

Trabalho leva à variação na energia de um sistema devido a forças externas.

\vec F_{Ro}

Para descrever essas variações na energia e estado físico, existe o conceito de trabalho:

Portanto, no Sistema Internacional, a unidade de trabalho é o joule (J).

\vec F_{Ro}

Deformação

Aceleração

Vamos representar o trabalho pela letra:

W

Trabalho

O trabalho equivale a uma transferência de energia de um sistema para o ambiente ou do ambiente para o sistema.

Somente uma interação entre um objeto dentro do sistema (lambreta+piloto ou mola) e um objeto fora dele (amigo ou mão) - uma interação externa - pode transferir energia através dos limites do sistema.

Vizinhança

Sistema

Só há trabalho se o ponto de aplicação da força se deslocar!

Vizinhança

Sistema

Fonte: www.pixbay.com

Fonte: www.pixbay.com

Deformação

Aceleração

Exemplo 1

1) Imagine empurrar contra uma parede de tijolos, como mostra a figura.

(a) Considerando a parede como o sistema, a força que você exerce sobre ela é interna ou externa? (b) A força que você exerce na parede faz trabalho na parede?

\vec F^c_{hp}

Ponto de aplicação da força

Fonte: www.pixbay.com

\Delta \vec r_F = \vec 0

O ponto de aplicação da força não se move. O trabalho é nulo!

Exemplo 2

1)  Para qual das seguintes forças o deslocamento de força é zero:

 

(a) a força exercida por uma mão que comprime uma mola.

 

(b) a força exercida pela Terra em uma bola lançada para cima.

 

(c) a força exercida pela terra sobre você no instante em que você pula para cima.

 

(d) a força exercida pelo piso de um elevador sobre você enquanto o elevador se move para

baixo a velocidade constante.

 

Trabalho

As forças externas exercidas em um sistema nem sempre realizam trabalho no sistema.

Para que uma força faça trabalho, o ponto de aplicação da força deve sofrer um deslocamento.

\vec F^c_{hp}
\Delta \vec r_F = \vec 0

Trabalho não nulo \(W \neq 0\)

Trabalho nulo \(W = 0\)

\vec F^c_{pc}
\Delta \vec r_F

Fonte: www.pixbay.com

Deformação

\vec F^c_{pc}
\vec F^c_{pc}
\Delta \vec r_F

Fonte: www.pixbay.com

Aceleração

Trabalho

Uma força externa exercida no sistema pode aumentar ou diminuir a energia do sistema.

O carro aumenta a velocidade. 

O carro diminui a velocidade.

\vec F^c_{pc}
\textcolor{blue}{\cdot}
\vec v = \vec 0
\vec F^c_{pc}
\vec v
\Delta \vec r_F
\vec F^c_{pc}
\textcolor{blue}{\cdot}
\vec v = \vec 0
\vec F^c_{pc}
\vec v
\Delta \vec r_F

A força externa é paralela ao deslocamento da força.

A força externa é antiparalela ao deslocamento da força

O trabalho é positivo.  A energia associada ao movimento aumenta.

O trabalho é negativo. A energia associada ao movimento diminuiu.

Fonte: www.pixbay.com

Fonte: www.pixbay.com

W>0
W<0

Trabalho

O trabalho realizado por uma força em um sistema é positivo quando a força e o deslocamento da força apontam na mesma direção e sentido.

O trabalho realizado por uma força em um sistema é negativo quando a força e o deslocamento da força apontam na mesma direção e sentidos opostos.

A energia associada ao movimento aumenta.

A energia associada ao movimento diminui.

\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
W>0
W<0

Diagramas de energia

A energia cinética pode variar em situações que envolvam trabalho.

Os diagramas de energia são uma representação gráfica da conservação de energia: mostram que a energia de um sistema pode variar apenas devido à transferência de energia para dentro ou para fora do sistema.

Na mecânica essa transferência de energia para dentro ou para fora do sistema é possível devido ao trabalho mecânico.

É crucial definir o sistema e a vizinhança para a determinação do trabalho e o deslocamento da força.

Diagramas de energia

O trabalho positivo aumenta a energia do sistema.

Trabalho positivo significa que a força externa e o deslocamento da força têm a mesma direção e sentido.

Energia inicial

Trabalho

8\text{ J}
4\text{ J}
12\text{ J}

Energia final

\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
\vec F^c_{pc}
\vec F^c_{pc}
\vec v_f
\Delta \vec r_F

Sistema é o carrinho.

A energia do sistema aumentou.

W>0

Fonte: www.pixbay.com

\vec v_i

Diagramas de energia

O trabalho negativo diminui a energia do sistema.

Energia inicial

Trabalho

8\text{ J}

Energia final

Trabalho negativo significa que a força externa e o deslocamento da força têm a mesma direção e sentidos opostos.

2\text{ J}
-6\text{ J}
\vec F^c_{pc}
\vec F^c_{pc}
\vec v_i
\Delta \vec r_F
\vec v_f
\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}

Sistema é o carrinho.

A energia do sistema diminuiu.

W<0

Fonte: www.pixbay.com

Trabalho realizado em uma partícula

Uma força constante dá à partícula uma aceleração constante dada pela equação do movimento:

a = \frac{F_{R}}{m}

Integrando essa equação, obtemos uma expressão para a variação da energia cinética da partícula e o trabalho externo sobre ela.

\frac{dv}{dt} =a
\int_{v_{i}}^{v_{f}}v_xdv_=\int_{x_i}^{x_f}adx
\Rightarrow
\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} =a
\Rightarrow
\frac{dv}{dx} v =a
\frac{v_{f}^2}{2} - \frac{v_{i}^2}{2} = a(x_f-x_i)
\frac{v_{f}^2}{2} - \frac{v_{i}^2}{2} = \frac{F_{R}}{m}(x_f-x_i)
\frac{mv_{f}^2}{2} - \frac{mv_{i}^2 }{2} = F_{R}\Delta x_F
\Rightarrow
\Rightarrow
\Delta K = F_{R}\Delta x_F
\vec F
\vec F
\Delta \vec r_F
m
m
\vec v_i
\vec v_f

Segunda lei de Newton

Teorema trabalho-energia cinética

Trabalho realizado em uma partícula

Encontramos o resultado:

Para o movimento em uma dimensão, o trabalho realizado por uma força constante exercida sobre uma partícula é igual ao produto dos componentes x da força pelo deslocamento da força.

\vec F
\vec F
\Delta \vec r_F
m
m
\vec v_i
\vec v_f
F_{R} \Delta x_F = \Delta K

Foi possível definir a energia cinética:

W_{ext} = F_{R} \Delta x_F

Esse é o Teorema Trabalho-Energia Cinética:

W_{ext} =\Delta K
K=\frac{1}{2}mv^2

E verificar que o trabalho da força externa é igual à variação da energia cinética da partícula.

Trabalho realizado em uma partícula

\vec F
\vec F
\Delta \vec r_F
m
m
\vec v_i
\vec v_f

Uma força constante dá à partícula uma aceleração constante dada pela equação do movimento:

a_x = \frac{F_{R,x}}{m}

Integrando essa equação, obtemos a cinemática que em uma dimensão fornece:

v_{x}=v_{x,i}+a_x\Delta t
\Delta x_F = v_{x,i}\Delta t + \frac{1}{2}a_x(\Delta t)^2
\frac{dv_x}{dt} =a_x
\int_{v_{x,i}}^{v_{x}}dv_x =\int_{t_i}^{t_f}a_x dt
\Rightarrow
\frac{dx}{dt} =v_{x}
\Rightarrow
\int_{x_i}^{x_f}dx =\int_{t_i}^{t_f}v_x dt

Trabalho realizado em uma partícula

Uma partícula não tem estrutura interna e não pode sofrer deformação (\(\Delta E_{int} = 0\)). Somente a energia cinética de uma partícula pode mudar. Então:

\Delta E = \Delta K

a variação da energia total é igual à variação da energia cinética da partícula.

\vec F
\vec F
\Delta \vec r_F
m
m
\vec v_i
\vec v_f

A variação da energia cinética da partícula:

\Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}m(v_{x,f}^2-v_{x,i}^2)
\Delta K = \frac{1}{2}m \left[ (v_{x,i}+a_x \Delta t)^2-v_{x,i}^2 \right]
\Delta K=ma_x\left[ v_{x,i}\Delta t + \frac{1}{2}a_x(\Delta t)^2 \right]
\Delta K=ma_x\Delta x_F
\Delta K = F_x \Delta x_F
\Rightarrow

O teorema trabalho e energia cinética

\Delta K = F_{R} \Delta x_F

A partir do Teorema Trabalho-Energia Cinética:

Se  \(F_{R}\) e \(\Delta x_F\) são tais que o produto \(F_{R} \Delta x_{F}\) é negativo. A energia cinética diminui e sua variação é negativa.

\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
\Delta K < 0

Fonte: www.pixbay.com

Se  \(F_{R}\) e \(\Delta x_F\) são ambos positivos ou ambos negativos, o produto \(F_{R} \Delta x_{F}\) é positivo. A energia cinética aumenta e sua variação é positiva.

\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
\Delta K > 0

Fonte: www.pixbay.com

2) Você joga uma bola diretamente no ar.

Qual das seguintes forças realiza trabalho na bola enquanto você a joga?

 

Considere o intervalo desde o instante em que a bola está em repouso na sua mão até o instante em que deixa a mão na velocidade v.

 

Considere as forças sobre a bola antes e depois de sair da sua mão.

 

(a) A força da gravidade exercida pela Terra sobre a bola.

 

(b) A força de contato exercida por sua mão na bola.

Exemplo 3

Forças variáveis

Se as forças não são constantes ou se não podemos determinar o deslocamento da força, os resultados obtidos não se aplicam.

A força elástica varia com a compressão ou alongamento do comprimento de um mola.

Para forças variáveis (elásticas) precisamos usar o cálculo diferencial/integral para determinar o trabalho da força elástica.

F=-kx

Forças variáveis

Para forças variáveis o truque é aplicar o resultado da força constante sobre um deslocamento de força pequeno o suficiente para tornar a força aproximadamente constante sobre esse deslocamento.

W_{n} = F(x_n)\delta x_F

Aplicamos a equação do trabalho e somamos para todos os \(n\) retângulos sob a curva:

W \approx \sum_n W_{n}
W_{n} = \sum _nF(x_n)\delta x_F
\Rightarrow
\Rightarrow

Área do retângulo \(\equiv\) trabalho feito durante o passo \(n\): \(F_x(x_n)\delta x_F\)

Área sob a curva \(\equiv\) trabalho realizado

Se permitirmos que o \(\delta x_F\) se aproxime de zero (e o número de pequenos deslocamentos se aproximam do infinito \(n\rightarrow \infty\)),

W = \lim_{\delta x_F \rightarrow 0} \sum _nF(x_n)\delta x_F
\Rightarrow
W=\int_{x_i}^{x_f}F(x)dx

Uma força elástica tem a forma

F_{el\,x}=-kx

O trabalho da força elástica é:

W=\int_{x_i}^{x_f}F_x(x)dx

Aplicando o teorema trabalho-energia cinética:

Vemos que é possível alterar a energia cinética do sistema por meio do trabalho da força elástica.

W=\int_{x_i}^{x_f}(-kx)dx
W=-(\frac{1}{2}kx_f^2-\frac{1}{2}kx_i^2)
\Rightarrow
\Rightarrow

Forças variáveis

W=\Delta K

Um artista de acrobacia cai do telhado de um prédio de dois andares em um colchão no chão.

O colchão se comprime, levando o artista ao repouso sem que ele se machuque.

 

O trabalho realizado pelo colchão no acrobata é:

positivo, negativo ou zero?

 

O trabalho realizado pelo artista no colchão é:

positivo, negativo ou zero?

 

(a) Negativo - Positivo

(b) Positivo - Negativo

(c) Positivo - Positivo

(d) Negativo - Negativo

Exemplo 4

O trabalho é um escalar, mas força e deslocamento são vetores (por quê?).

Em 1 dimensão para uma força constante:

W=F_x\Delta x_F

e pode ser positivo ou negativo.

\vec F
\Delta \vec r_F
\vec F
\Delta \vec r_F
W>0
W<0

E se o deslocamento e a força não apontam na mesma direção?

\vec F
\Delta \vec r_F
\vec F
\Delta \vec r_F
\vec F
\Delta \vec r_F

O trabalho como o produto de dois vetores.

O trabalho para uma força constante é calculado a partir do produto escalar entre os vetores força e o vetor deslocamento da força:

W=\vec F\cdot \Delta \vec r

e pode ser nulo, positivo ou negativo.

O trabalho como o produto de dois vetores.

\vec F
\Delta \vec r_F
W=0
\vec F
\Delta \vec r_F
W>0
\vec F
\Delta \vec r_F
W<0

Fonte: https://www.compadre.org

W=|\vec F||\Delta \vec r|\text{cos }\theta

Fonte: Tipler & Mosca

Para uma força resultante e constante

O trabalho realizado pela força é

W=\vec F\cdot \Delta \vec r

Somente o componente da força na direção do deslocamento contribui para o trabalho resultante.

O trabalho como o produto de dois vetores.

Esse é o papel do produto escalar.

W=F\Delta r \text{cos}\phi
W = F\Delta r
W = F_{\|}\Delta r
W=(F\text{cos}\phi )\Delta r
W=F_{\|}\Delta r

Considere um bloco deslizando sobre um trilho de ar inclinado (atrito é desprezível).

\vec P
x
y
\vec a
x
y
\vec N
\vec P_{y}
\vec P_{x}

Aplicando: 1) a independência dos movimento de Galileu; 2) o princípio de superposição; 3) A segunda lei de Newton:

\sum F_y=0
\sum F_x=m_ba_x
\theta
\theta
P_x=+mg\text{ sen }\theta

A força gravitacional pode ser decomposta em duas componentes no referencial adotado.

p_y=-mg\text{ cos }\theta
\Rightarrow +m_b g\text{ sen }\theta = m_b a_x
\Rightarrow a_x = g\text{ sen }\theta

Essa é nossa equação de movimento. A partir dela sabemos contar toda a história do bloco!

O trabalho como o produto de dois vetores.

O plano inclinado

O bloco desce acelerado ao longo do eixo x com uma aceleração constante:

a_x = g\text{ sen }\theta

O bloco desce acelerado ao longo do eixo x com uma aceleração constante:

O deslocamento ao longo da inclinação é:

x
\vec a
\theta
\vec P
\vec P
h
\Delta x = +\frac{h}{\text{sen }\theta}

Para um movimento com aceleração constante, o deslocamento é:

x_f = x_i+v_{x,i}t+\frac{1}{2}a_xt^2

Supondo que o bloco partiu do repouso \(v_{x,i}=0\) no tempo inicial \(t_i = 0\) e com aceleração constante:

\Delta x = +\frac{1}{2}(g\text{ sen }\theta)\, t^2
v_{x,f} = +(g\text{ sen }\theta\,) t
\vec v_{f}
\vec v_{i}=0
\cdot

O trabalho como o produto de dois vetores.

\Delta\vec x
\vec P
x_i
\vec P
x_f
v_{x,f}=v_{x,i}+a_xt

então:

O plano inclinado

O bloco desce acelerado ao longo do eixo x com uma aceleração constante:

a_x = g\text{ sen }\theta

O bloco desce acelerado ao longo do eixo x com uma aceleração constante:

o tempo de queda é:

x
\vec a
\theta
\vec P
\vec P
\Delta \vec x
\vec P
\vec P
h

A energia cinética inicial do bloco é nula: \(K_i = 0\), pois parte do repouso. A energia cinética final é:

\Delta x = +\frac{1}{2}(g\text{ sen }\theta)\, t^2
\vec v_{f}
\vec v_{i}=0
\cdot
x_i
x_f
t^2 = +\frac{2h}{(g\text{ sen}^2\,\theta)}
\Delta x = +\frac{h}{\text{sen }\theta}
K_f=\frac{1}{2}mv^2_{x,f} = \frac{1}{2}mg^2\,\text{sen}^2\,\theta\, t^2
K_f=\frac{1}{2}mv^2_{x,f} = \frac{1}{2}mg^2\,\text{sen}^2\,\theta\, \left( \frac{2h}{g\,\text{sen}^2\,\theta}\right)
\frac{1}{2}mv^2_{x,f} = mgh
\Delta K = W
\Rightarrow

Sabemos que:

v = +(g\text{ sen }\theta\,) t
\Rightarrow

O trabalho como o produto de dois vetores.

O plano inclinado

As componentes da força de contato (\(N\)) e força peso (\(P_y\)) são perpendiculares ao deslocamento da força. Assim, não realizam trabalho.

W_{N}\equiv 0
W_{P_y}\equiv 0

e

O trabalho realizado no bloco ao longo da inclinação realizado pelo componente da força da gravidade ao longo do deslocamento é:

W=P_x\Delta x_f
W= (+mg\text{sen}\,\theta) \left( \frac{+h}{\text{sen}\,\theta} \right)=mgh

Isso faz sentido, porque é o componente x da força da gravidade que causa o deslocamento do bloco e faz todo o trabalho nele. As forças na direção y não causam deslocamento e, portanto, não realizam trabalho sobre o bloco.

x
y
\Delta \vec x
\theta
\vec P
\vec N
\vec P_y
\vec P_x

O trabalho como o produto de dois vetores.

W=Ph
W=mgh

O plano inclinado

O trabalho pode ser definido a partir de um produto escalar entre dois vetores: \(\vec A\cdot\vec B = AB\text{ cos }\phi\)

O trabalho realizado pela força peso é:

W=\vec P\cdot \Delta \vec r_F
W=P\Delta x_F \text{ cos }\phi
W=mg\left( \frac{h}{\text{sen }\theta} \right)\text{cos }\phi

Nesse exemplo, \(\phi = \pi/2-\theta\). Então, \(\text{cos}(\pi/2-\theta) = \text{sen }\theta\). O trabalho da força da gravidade é:

|\Delta r_F|=\Delta x_F

pois

W=mgh
x
y
\vec a
\theta
\vec P
\Delta \vec r_F
\phi

O problema se resumiu ao produto usual da força peso (mg) pelo deslocamento na vertical (h)!

O trabalho como o produto de dois vetores.

\rightarrow W=mg\left( \frac{h}{\text{sen }\theta} \right)\text{sen }\theta

O plano inclinado

O trabalho como o produto de dois vetores.

As superfícies inclinadas podem ser aproximadas por uma série de superfícies inclinadas.

O trabalho resultante somente contabiliza o trabalho da força peso (vertical) ao longo dos deslocamentos de queda (vertical).

O trabalho da força peso para deslocamentos na horizontal é nulo, pois.

W = mg\Delta y_1 + mg\Delta y_2 + mg\Delta y_3 + mg\Delta y_4 = mg\Delta y
\vec P \bot \Delta x\hat i
\Delta x_1\hat i
\Delta x_2\hat i
\Delta x_3\hat i
\Delta x_4\hat i
\vec F^G
\Delta y_1\hat j
\Delta y_2\hat j
\Delta y_3 \hat j
\Delta y_4\hat j
\Delta y \hat j

Para obter uma melhor aproximação, podemos dividir a superfície em mais superfícies inclinadas menores, mas cada vez que vemos que o trabalho total realizado no bloco é igual a mgh.

W=\vec P\cdot \Delta \vec r_F
W=P \hat j \cdot (\Delta x\hat i+ \Delta y \hat j)
W=P \hat j \cdot \Delta y \hat j
W=P \Delta y

O plano inclinado

O trabalho realizado pelas seguintes forças consideradas é nulo. 

 

(a) a força exercida por uma mão que comprime uma mola;

 

(b) a força exercida pela Terra em uma bola lançada para cima;

 

(c) a força exercida pelo solo sobre você no instante em que você pula para cima;

 

(d) a força exercido pelo piso de um elevador em você, à medida que o elevador se move para baixo a uma velocidade constante.

Exemplo 5

3) Uma bola é lançada verticalmente para cima e há duas situações:

(a) À medida que avança, diminui a velocidade sob a influência da gravidade.  

(b) Após atingir sua posição mais alta, a bola se move para baixo, ganhando velocidade.

 

Qual opção é correta?

1) Em (a) o trabalho realizado pela força gravitacional exercida na bola durante esse movimento é negativo.  Em (b) o trabalho realizado pela força gravitacional exercida na bola durante esse movimento é positivo.

 

2) Em (a) o trabalho realizado pela força gravitacional exercida na bola durante esse movimento é positivo. Em (b) o trabalho realizado pela força gravitacional exercida na bola durante esse movimento é negativo.

 

3) Em (a) e (b) o trabalho realizado pela força gravitacional exercida na bola durante esses movimentos são negativos.

 

4) Em (a) e (b) o trabalho realizado pela força gravitacional exercida na bola durante esses movimentos são positivos.

Exemplo 6

O trabalho pode ser definido a partir de um produto escalar entre dois vetores: \(\vec A\cdot\vec B = AB\text{ cos }\phi\)

O trabalho como o produto de dois vetores.

Força centrípeta

W=\vec F_{cp}\cdot \Delta \vec r
W=\vec F_{cp}\cdot \Delta \vec r
W=\vec F_{cp}\cdot \vec v_t \Delta t
W = F_{cp}v_t\cos(90^o)\Delta t
W = 0
\vec v_t
\vec F_{cp}

Aplicando o teorema trabalho-energia cinética:

W = \Delta K \Rightarrow 0 = \Delta K \Rightarrow K_f = K_i

A força centrípeta não realiza trabalho; logo, não varia a magnitude da velocidade tangencial.

Potência

A taxa na qual a energia é transferida ou convertida é chamada de potência.

Se a energia de um sistema variar em uma quantidade \(\Delta E\) durante um intervalo de tempo \(\Delta t\), a potência média é definida como:

P_{m}=\frac{\Delta E}{\Delta t}

A unidade SI de potência é o watt (W), que é igual a 1 J de energia por segundo: 1 W =  1 J/s.

A potência instantânea é:

P = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta E}{\Delta t} =\frac{dE}{dt}

que fornece a taxa na qual a energia de um sistema varia.

Potência

Considere uma situação em que a energia de um sistema é alterada por uma força externa constante

A partir do trabalho de uma força constante:

W = F_{ext}\Delta x

A potência média é:

P_{m}=F_{ext} \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)

ou, com a definição de velocidade média,

P_{m}=F_{ext}v_{m}

onde \(v_{m}\) é o componente x da velocidade média do ponto de aplicação da força (e como o objeto é rígido, também é o componente x da velocidade média do objeto).

A potência como um produto de dois vetores

De forma geral, o trabalho é o produto escalar de dois vetores:

A potência (W) é a energia por unidade de tempo (J/s). Então:

\vec F\cdot \Delta \vec r =W
\vec F\cdot \vec v\,\Delta t =W
\vec F\cdot \vec v=\frac{W}{\Delta t}
\vec v
\vec F
\vec v
\vec F
P= \vec F\cdot \vec v
P=Fv\cos( \theta)
P=(F\cos( \theta ))v
P=F_{\|}v
\vec F_{\|}

Somente a componente da força na direção da velocidade contribui para a potência.

O teorema trabalho-energia cinética

O teorema trabalho e energia cinética é obtido a partir da definição do trabalho de uma força.

Na forma diferencial (local):

dW = \vec F \cdot d\vec r
dW = m\frac{d\vec v}{dt} \cdot \vec v \,dt
dW = m \left(\frac{1}{2} \frac{dv^2}{dt} \right)dt
dW = d\left(\frac{1}{2} mv^2 \right)
dW = dK
m\frac{d\vec v}{dt}\cdot \vec v = m\frac{d(\vec v\cdot \vec v)}{dt}-m\vec v\cdot \frac{d\vec v}{dt}
2m\frac{d\vec v}{dt}\cdot \vec v = m\frac{d\vec v\cdot \vec v}{dt}
m\frac{d\vec v}{dt}\cdot \vec v = \frac{1}{2}m\frac{dv^2}{dt}

O trabalho infinitesimal é igual à energia cinética infinitesimal.

O teorema trabalho-energia cinética

O teorema trabalho e energia cinética é obtido a partir da definição do trabalho de uma força.

Na forma integral (global):

W_{A \rightarrow B} = \int_A^B \vec F \cdot d\vec r
W_{A \rightarrow B} = \int_A^B m\frac{d\vec v}{dt} \cdot \vec v dt
W_{A \rightarrow B} = \int_A^B m\vec v \cdot d\vec v
W_{A \rightarrow B} = m\int_A^B v d v
W_{A \rightarrow B} = \left( \frac{mv_B^2}{2}- \frac{mv_A^2}{2} \right)
W_{A \rightarrow B} = \Delta K

O trabalho é numericamente igual à integral de linha

O trabalho de um ponto A para um ponto B é igual à variação da energia cinética entre A e B.

Exercício 1 (A9.P12-08)

Uma partícula, de massa m, está inicialmente posicionada no eixo x positivo, em \(x = x_i\), e sujeita a uma força repulsiva \(F_x\), exercida pela partícula b. A posição da partícula b está fixa, na origem. A força \(F_x\) é inversamente proporcional ao quadrado da distância x entre as partículas. Isto é, \(F_x= A/x^2\), onde \(A\) é uma constante positiva. A partícula a é largada do repouso e fica livre para se mover sob a influência da força. Encontre uma expressão para o trabalho realizado pela força sobre a partícula, como função de x. Encontre a energia cinética e a rapidez de a no limite em que x tende a infinito.

Exercício 2 (A9.P12-09)

Uma partícula de 3,0 kg, que se move ao longo do eixo x, tem uma velocidade de 2,0 m/s quando passa pela origem. Ela está sujeita a uma força única, Fx, que varia com a posição como mostrada na Figura.

(a) Qual é a energia cinética da partícula quando ela passa pela origem?

(b) Qual é o trabalho realizado pela força, enquanto a partícula se move de x = 0,0 m até x = 4,0 m?

(c) Qual é a rapidez da partícula quando ela está em x = 4,0 m?

Exercício 3 (A9.P12-10)

Uma caixa de 7,5 kg está sendo levantada por uma corda leve que passa por uma única polia, leve e sem atrito, que está presa ao teto.

(a) Se a caixa está sendo levantada com uma rapidez constante de 2,0 m/s, qual é a potência desenvolvida pela pessoa que puxa a corda?

(b) Se a caixa é levantada, com uma aceleração constante, a partir do repouso no chão, até a uma altura de 1,5 m acima do chão, em 0,42 s, qual é a potência média desenvolvida pela pessoa que puxa a corda?

Exercício 4 (A9.P12-11)

Um canhão colocado na beirada de um penhasco de altura H, dispara uma bala diretamente para cima, com uma rapidez inicial \(v_0\). A bala se eleva, cai de volta (errando o canhão por uma pequena margem) e chega ao pé do penhasco.

Desconsiderando a resistência do ar, calcule a velocidade \(v\) como função do tempo e mostre explicitamente que a integral temporal de \(F_{res}v\) , enquanto a bala está em vôo, é igual à variação da energia cinética da bala no mesmo tempo.

Exercício 5 (A10.P2-05)

Uma partícula de 2,0 kg sofre um deslocamento Durante esse deslocamento de

 

 

Durante esse deslocamento, uma força constante

 

 

atua sobre a partícula.

(a) Determine o trabalho realizado por essa força para esse deslocamento.

(b) Determine a componente da força na direção desse deslocamento.

\Delta \vec r = [(3,0\hat i)+(3,0\hat j)+(-2,0\hat k)] \text{m}
\vec F = [(2,0 \hat i) + (-1,0 \hat j) + (1,0 \hat k)]\text{ N}

Exercício 6 (A10.P2-06)

Determine a potência desenvolvida por uma força F que atua sobre uma partícula que se move com velocidade v, onde

 

(a)  

 

(b)

\vec F = [(4,0\hat i) + (3,0\hat k)]\text{ N}
\vec v = (6,0\hat i)\text{ m/s}
\vec F = [(6,0\hat i) + (-5,0\hat j)]\text{ N}
\vec v = [+(-5,0\hat i)+(+4,0\hat j)]\text{ m/s}

Exercício 7 (A10.P2-07)

Uma partícula de massa m se move ao longo do eixo x. Sua posição varia no tempo de acordo com

\(x = 2t^3 + 4t^2\),

onde x está em metros e t está em segundos.

Determine:

(a) a velocidade e a aceleração da partícula como funções de t,

(b) a potência fornecida à partícula em função de t e

(c) o trabalho realizado pela força resultante entre t = 0 e t = t1.

Exercício 8 (A10.P2-09)

Uma caixa de massa M está em repouso na base de um plano inclinado sem atrito. A caixa está presa a um fio que a puxa com uma tensão constante T.

(a) Determine o trabalho realizado pela tensão T, enquanto a caixa é puxada por uma distância x ao longo do plano.

(b) Determine a rapidez da caixa como função de x.

(c) Determine a potência desenvolvida pela tensão do fio como função de x.

Exercício 9 (A10.P2-11)

Um bloco de 6,0 kg escorrega 1,5 m abaixo sobre um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo de 60° com a horizontal.

(a) Desenhe o diagrama de corpo livre para o bloco e encontre o trabalho realizado por cada força, enquanto o bloco escorrega 1,5 m (medidos ao longo do plano inclinado).

(b) Qual é o trabalho total realizado sobre o bloco?

(c) Qual é a rapidez do bloco após ter escorregado 1,5 m, se ele parte do repouso?

Exercício 10 (Engenharia)

Por um curto período de tempo, o guindaste na figura levanta a viga de 2,50 Mg com uma força de F = (28 + 3y) kN. Determine a rapidez da viga quando ela subiu y = 3 m. Além disso, quanto tempo leva para atingir essa altura a partir do repouso?

Exercício 11 (Engenharia)

A plataforma P, mostrada na figura, tem massa insignificante e é amarrada para que os cabos de 0.4 m de comprimento mantenham uma mola de 1 metro de comprimento comprimida de 0,6 m quando não há nada na plataforma. Se um bloco de 2 kg for colocado na plataforma e liberado do repouso depois que a plataforma for empurrada para baixo 0,1 m , determine a altura máxima h o bloco subir no ar, medida a partir do solo.

Exercício 12 (Engenharia)

O menino de 40 kg na figura desliza pelo escorregador de água suave. Se ele começar do repouso em A, determine sua velocidade quando atingir B e a reação normal que o escorregador exerce sobre o menino nesta posição.

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