Aula 12

Fundamentos de Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

UFRN - ECT - BCT

Objetivos

Reconhecer a energia potencial como energia interna.

Distinguir os tipos de energia potencial (gravitacional e elástica)

Aplicar o princípio da conservação da energia mecânica.

Identificar a energia interna em um sistema fechado.

Referência: Tipler & Mosca. Capítulo 7

Verifique no SIGAA questões recomendadas

Uma colisão dita elástica:

No instante do impacto, a bola tem velocidade zero e perdeu toda a energia cinética que possuía ao se mover em direção à parede.

A interação mudou a forma da bola. A energia cinética é convertida em energia interna.

Após o impacto, a bola recupera sua forma original e a energia interna é convertida em energia cinética. As energias (cinética e interna) são convertidas reversivelmente.

Fonte: www.gifer.com

A energia interna

Diagrama da energia cinética da bola em um sistema fechado.

Inicial

Durante

Final

Se a energia cinética em um sistema fechado (\(W_{ext} = 0\)) não pode sumir, para onde ela foi?

Esse "desaparecimento" da energia cinética não compromete a conservação de energia. A energia cinética "ausente" durante a interação foi convertida temporariamente em energia interna.

No instante do impacto, um taco de golfe e uma bola de golfe têm velocidade relativa zero e grande parte da energia cinética inicial do sistema entrou em deformação severa da bola, isto é, como energia interna da bola.

Fonte: www.gifer.com

Após o impacto, a bola de golfe recupera sua forma original, e a energia cinética convertida em energia interna durante a interação reaparece como energia cinética.

A energia interna

Na colisão dita inelástica ou totalmente inelástica

No instante do impacto, a lâmpada tem velocidade zero e perdeu toda a energia cinética que possuía ao se mover em direção à chão.

A interação mudou a forma da lâmpada. A energia cinética é convertida em energia interna.

Após o impacto, a lâmpada não recupera sua forma original. As energias (cinética e interna) são convertidas irreversivelmente.

Fonte: www.gifer.com

A energia interna

Na colisão elástica:

A energia cinética no sistema antes da colisão é convertida em energia interna durante a colisão.

A energia interna durante a colisão é convertida novamente em energia cinética após a colisão.

Na colisão inelástica ou totalmente inelástica:

A energia interna durante a colisão não é convertida em energia cinética após a colisão.

Alguma ou toda energia interna permanece como energia interna.

A energia interna

A energia interna é uma energia associada à configuração ou estado do sistema.

A energia interna se deve a alguma interação.

Energia cinética                      Energia interna                    Energia cinética 

100 %

100 %

Energia cinética                      Energia interna                    Energia cinética 

100 %

< 100 %

Energia potencial

A energia potencial é uma forma de energia interna.

A energia potencial tem o potencial de ser convertida novamente em energia cinética - é armazenada apenas temporariamente. A energia potencial é uma energia interna que é conservada.

É a energia temporariamente armazenada em mudanças reversíveis no estado físico que depois é convertida novamente em energia cinética após a interação.

Fonte: www.gifer.com

A energia potencial é representada pela letra \(U\).

FORMA

Energia potencial gravitacional

A energia é armazenada em alterações reversíveis no estado de configuração do sistema, isto é,  no arranjo espacial dos componentes do sistema em interação.

Existem muitas formas de energia potencial, todas relacionadas à maneira como os objetos em interação se organizam espacialmente.

Elevar uma massa alterará o estado de configuração do sistema Terra-Massa.

À medida que a massa é içada para cima, a forma de energia energia potencial gravitacional é armazenada no sistema Terra-Massa.

Ao soltar a massa, ela acelera devido à interação gravitacional entre a massa e a Terra. À medida que cai  energia potencial gravitacional diminui.

A energia é conservada e o sistema Terra-Massa é fechado.

O ganho em energia cinética deve ser compensado por uma perda de energia potencial .

Fonte: https://www.nickelodeon.com.br

POSIÇÃO

Energia potencial elástica

A energia é armazenada em alterações reversíveis no estado de configuração do sistema, isto é,  no arranjo espacial dos componentes do sistema em interação.

Pressionar uma bola altera os arranjos no nível atômico.

À medida que a bola é pressionada, a forma muda, energia potencial elástica é armazenada no sistema dos arranjos atômicos-moleculares.

Ao reduzir a pressão a energia energia potencial elástica restitui a forma original da bola.

As deformações reversíveis correspondem a variações na energia potencial elástica. ​

Fonte: https://tenor.com

FORMA

Existem muitas formas de energia potencial, todas relacionadas à maneira como os objetos em interação se organizam espacialmente.

Energia potencial

Energia potencial é a forma de energia interna associada a mudanças reversíveis no estado de configuração de um  sistema.

Mudança reversível

Mudança Irreversível

Elástico

Inelástico

 A energia potencial pode ser convertida inteiramente em energia cinética.

Energia interna conservada

=> É Energia potencial

Energia interna

degradada

=> Não é uma energia potencial

Fonte: https://tenor.com

Fonte: https://imgur.com

A escolha do sistema determina as categorias de energias que precisamos considerar.

\Delta K_A + \Delta U_A = 0

Há somente forças internas.

Há forças externas e internas.

(\Delta K_A+\Delta U_A) = W_{ext,B}

A energia potencial está associada às forças internas conservativas.

O trabalho externo está associado às forças externas conservativas (ou não).

\Delta E_A = 0
\Delta E_A = W_{ext,B}

Somente por meio de trabalho externo é possível alterar a energia do sistema.

A conservação da energia mecânica

A
A
B

A energia que antes do impacto era energia cinética do carro é temporariamente convertida em energia potencial do sistema carro+mola, ao deformá-la elasticamente.

À medida que a mola retorna ao seu formato original, essa energia potencial do sistema carro+mola é convertida novamente em energia cinética do carro.

A soma das energias cinética e potencial do sistema fechado carro-mola é constante.

A conservação da energia mecânica

A conservação da energia mecânica

Se definirmos a energia mecânica de um sistema

E_{mec} =K+U

Essas energias coerentes são intercambiadas reversivelmente.

Em um sistema fechado no qual ocorrem apenas interações internas não dissipativas, a energia mecânica (a soma das energias cinética e potencial) é constante ou conservada.

\Delta E_{mec} = 0

Isto é uma variação da energia cinética deve aparecer como uma variação da energia potencial,

\Delta K= - \Delta U

A aceleração é tal que:

a_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t}=-g
\frac{1}{2}(v_f^2-v_i^2)=-g(x_f-x_i)

Multiplicando pela massa da bola, em ambos os lados, temos:

m_b g(x_f-x_i)+\frac{1}{2}m_b(v_f^2-v_i^2)=0
U^G_f-U^G_i+K_ f-K_i=0
\Delta U^G+\Delta K = 0

Matematicamente:

\frac{dv}{dt}=-g
\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=-g
\frac{dv}{dx}v=-g
v\,dv=-g\,dx
\Rightarrow
\Rightarrow

Integrando ambos os lados:

A conservação da energia mecânica

Matematicamente, o deslocamento é dado por:

\Delta x = v_{x,i}\Delta t + \frac{1}{2}a_x(\Delta t)^2
\Delta x = -v_{x,i}\frac{\Delta v_x}{g}-\frac{1}{2}g \left( \frac{\Delta v_x}{-g} \right)^2
a_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t}=-g
x_f-x_i = -\frac{2v_{x,i}(v_{x,f}-v_{x,i})+v_{x,f}^2-2v_{x,i}v_{x,f}+v_{x,i}^2}{2g}
x_f-x_i = -\frac{v_f^2-v_i^2}{2g}

Multiplicando pela massa da bola, temos:

m_b g(x_f-x_i)+\frac{1}{2}m_b(v_f^2-v_i^2)=0
U^G_f-U^G_i+K_ f-K_i=0
\Delta U^G+\Delta K = 0

A conservação da energia mecânica

Como todos os objetos que caem perto da superfície da Terra experimentam a mesma aceleração a energia potencial gravitacional é dada pela expressão:

U^G(x)=m_b g\,x

E a variação dessa energia é:

\Delta U^G(x)=m_b g\Delta x

Se escrevermos \(U^G = m g (x + c)\), onde c é algum ponto de referência, a variação permanece a mesma porque a constante c, que aparece nos dois termos, é cancelada.

Você pode escolher o ponto de referência que desejar como a posição em que a energia potencial gravitacional é zero. A variação da energia potencial terá o mesmo valor.

A energia potencial gravitacional

U_i = 10 \text{J} + c
U_f = 20 \text{J} + c
\Delta U = 10 \text{J}

A conservação da energia mecânica

\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=-\frac{k}{m} x
dv\,v=-\frac{k}{m} xdx

Integrando ambos os lados:

\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2+(\frac{1}{2}kx_f^2- \frac{1}{2}kx_i^2)=0
K_ f-K_i+U^E_f-U^E_i=0
U(x_O) < U(x_C)
\vec a
O
C
U(x_O)< U(x_B)
O
B
\vec a
\Rightarrow
\Delta K + \Delta U^E = 0
x>0
x<0

Fonte: http://www.edukapa.com.br

A deformação é tal que:

a_x=\frac{k}{m}x

Matematicamente:

\frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m} x
\frac{1}{2}v_f^2-\frac{1}{2}v_i^2=-\frac{k}{m}(\frac{1}{2}x_f^2- \frac{1}{2}x_i^2)

Multiplicando pela massa da bola, em ambos os lados, temos:

Para pequenas deformações (elásticas) em torno da origem a energia potencial elástica é dada pela expressão:

U^e(x)=\frac{1}{2}kx^2

E a variação dessa energia é:

\Delta U^e(x)=\frac{1}{2}k(x_f^2-x_i^2)

Você pode escolher o ponto de referência que desejar como a posição em que a energia potencial elástica é zero. A variação será a mesma.

O
C
U_i = 10 \text{J} + c
U_f = 20 \text{J} + c
\Delta U = 10 \text{J}

A energia potencial elástica

No sistema fechado bola + Terra, as forças são internas ditas conservativas. A energia cinética é convertida em energia potencial e vice-versa.

Para o sistema fechado: bola+Terra.

\Delta K_b + \Delta U^G = 0
\Delta K_b -mgh = 0
\Delta K_b =mgh

Há um aumento da energia cinética as custas da diminuição da energia potencial gravitacional.

\Delta U^G = -mgh

Forças conservativas

Temos uma energia interna devido as forças internas ao sistema.

\Delta E = 0
\Delta E =0

Fonte: Eric Mazur

F
F

Para o sistema fechado: bola.

\Delta K_b =W_{F^G}
\Delta K_b =mgh

Há um aumento da energia cinética devido ao aumento do trabalho externo realizado pela força peso na queda da bola:

W^G = mgh

Temos trabalho externo devido as forças externas ao sistema. O trabalho externo positivo aumentou a energia (cinética) do sistema.

\Delta E = W_{ext}
\Delta E = W_{ext}

Nos sistemas fechado bola, há a força externa conservativa que a Terra exerce sobre a bola. A energia cinética varia as custas do trabalho externo:

Forças conservativas

Há um aumento da energia cinética devido ao aumetno do trabalho externo realizado pela força peso no sistema fechado bola.

Quando as forças são conservativas o trabalho é igual ao negativo da variação da energia potencial.

Forças conservativas

W^G = mgh

Há um aumento da energia cinética as custas da diminuição da energia potencial gravitacional no sistema fechado bola + Terra.

\Delta U^G = -mgh
W^G =-\Delta U^G
\Delta K_b = - \Delta U^G
\Delta K_b=W^G

Então, a relação entre energia potencial e trabalho para a força da gravidade (conservativa) é que:

W = -\Delta U

A força conservativa tem a direção da diminuição da energia potencial de um sistema.

A força da gravidade (peso) sempre aponta para a menor energia potencial.

A força elástica  sempre aponta para a menor energia potencial.

A partir da definição do trabalho de uma força constante em uma dimensão:

W = F_R\Delta x

Obtemos uma importante relação entre força conservativa e energia potencial:

F_R = -\frac{\Delta U}{\Delta x}

Forças conservativas

Para forças conservativas vale a seguinte "Lei"

a força é o negativo do gradiente da energia potencial.

\vec F = - \vec \nabla U

O operador gradiente (símbolo \(\vec \nabla\)) é um operador vetorial que opera sobre uma função escalar.

\vec F = -\left( \frac{\partial }{\partial x}\hat i + \frac{\partial }{\partial y}\hat j + \frac{\partial }{\partial z}\hat k \right)U(x,y,z) \equiv -\frac{dU(r)}{dr}\hat r

Em 1 dimensão:

\vec F = -\frac{dU}{dx}\hat i

variação infinitesimal

\vec F = -\frac{\Delta U}{\Delta x}\hat i
\Rightarrow

variação finita

Forças conservativas

A partir da definição local da força como o negativo do gradiente da energia potencial,

podemos multiplicar ambos lados da equação pelo produto escalar pelo deslocamento infinitesimal \(dr\,\hat r\):

Integrando de uma posição inicial até outra final. temos uma integral de linha:

\vec F = -\frac{dU}{dr}\hat r
\vec F \cdot dr \hat r = -\frac{dU}{dr} \hat r \cdot dr\hat r
\vec F \cdot d\vec r = -dU
\int_{r_i}^{r_f}dU=-\int_{r_i}^{r_f}\vec F \cdot d\vec r

ou

\int_{r_i}^{r_f}dU=-\int_{r_i}^{r_f}dW
\Rightarrow \Delta U = -W
\Delta U = -\Delta K
\Rightarrow
\vec F \cdot d\vec r = -\frac{dU}{dr} dr\, \hat r\cdot \hat r
=1
\Delta U + \Delta K = 0
\Delta E = 0

Forças conservativas

A força da gravidade (força peso) é uma força conservativa.

\vec F^G =- m\vec g

O trabalho realizado pela força peso (Sistema: maçã) na subida:

W = \int \vec F\cdot d\vec r
W^G =- \int (mg\,\hat j) \cdot (dy\hat j)
W^G = -mg(y_f-y_i)
W^G = -mgh

A variação da energia potencial (sistema: maçã + Terra):

\Delta U^G =-W^G
\Delta U^G=+mgh
\Delta K=-\Delta U^G
\Delta K = W^G
W^G = -\Delta U^G
h
y_f
y_i
y>0

Forças conservativas

>0
<0

O trabalho realizado pela força elástica:

\vec F = -kx \,\hat i
W = \int \vec F\cdot d\vec r
W^e = \int (-kx\hat i) \cdot (dx\hat i)
W^e =- \int_{x_i}^{x_f} kx \,dx
W^e =- (\frac{1}{2}kx_f^2 - \frac{1}{2}kx_i^2)

A variação da energia potencial:

\Delta U^e =-W ^e
\Delta U^e =(\frac{1}{2}kx_f^2 - \frac{1}{2}kx_i^2)
\Delta K=-\Delta U^e
\Delta K = W^e
W^e = -\Delta U^e

A força elástica (Lei de Hooke) é uma força conservativa.

x>0
x<0
x=0
dx\hat i

Forças conservativas

Um carrinho, inicialmente viajando para a direita, bate em uma mola. O carrinho interage com a mola, que está ancorada na Terra.

O sistema que compreende o carrinho, a mola, a pista e a Terra é fechado.

A interação é reversível porque você não pode dizer se o tempo vai de \(t_1\) a \(t_5\) ou vice-versa.

A energia cinética do carrinho em uma determinada posição x deve ser a mesma no caminho da ida e no caminho da volta.

E= 9\text{J}+0\text{J}
E= 2\text{J}+7\text{J}
E= 0\text{J}+9\text{J}
E= 2\text{J}+7\text{J}
E= 9\text{J}+0\text{J}

ida

volta

Identificando forças conservativas

Um teste para forças conservativas é verificar se o trabalho em um caminho fechado é nulo!

O trabalho tem sempre o mesmo valor independente da trajetória escolhida.

W_{a\rightarrow b} = \int \vec F_c\cdot d\vec r
W_{a\rightarrow b\rightarrow a} = \oint \vec F_c\cdot d\vec r \equiv 0

Se a força é conservativa.

W^1_{a\rightarrow b} = W^2_{a\rightarrow b}

No caminho fechado:

W_{a\rightarrow b}-W_{b \rightarrow a} = 0

Identificando forças conservativas

\oint \vec F_c\cdot d\vec r \equiv 0

Para uma força conservativa a integral de caminho num circuito fechado é nula.

Exemplo 1

Bob usa um estilingue para atirar uma pedrinha de 20 g diretamente para cima a 25 m/s. Que altura máxima atingirá a pedrinha?

Exemplo 2

A pedra de 1,0 kg mostrada da figura é solta do repouso. Use tanto o ponto de vista de Amber quanto o de Bill para calcular os valores de velocidade da pedra calculados por eles imediatamente antes da pedra tocar no solo.

Exemplo 3

Christine corre empurrando seu trenó a 2,0 m/s. Quando está no topo de uma rampa de 5,0 m de altura, ela pula para cima do trenó. Qual será a sua rapidez na base?

https://colab.research.google.com/drive/1nXSElskLRZfqT0V1Xki58qAHZP9TlhCT?usp=sharing​

Exemplo 4

Uma arma de brinquedo acionada por uma mola interna lança uma bola plástica de 10 g. A mola, de constante elástica de 10 N/m, é comprimida em 10 cm quando a bola é empurrada para dentro do cano da arma. Quando o gatilho é puxado, a mola é liberada e arremessa a bola para fora. Qual é a rapidez da bola ao sair do cano? Considere que o atrito seja desprezível.

Exemplo 5

O príncipe Harry, o Horrível, desejava ser o primeiro a lançar um satélite. Ele colocou uma carga de 2,0 kg em cima de uma mola muito dura com 2,0 m de comprimento e constante elástica de 50.000 N/m. O príncipe, então, ordenou que seu homem mais forte usasse uma manivela para comprimir a mola até que ela tivesse apenas 80 cm de comprimento. Ao ser liberada, a mola arremessou a carga diretamente para cima. Que altura esta atingiu?

Exemplo 6

Uma caixa de 2,0 kg desliza para baixo sobre um longo  plano inclinado de 30°, sem atrito. Ela parte do repouso no tempo t = 0 no topo do plano, a uma altura de 20 m acima do solo. (a) Qual é a energia potencial da caixa em relação ao solo em t = 0? (b) Use as leis de Newton para encontrar a distância que a caixa percorre durante o intervalo 0,0 s < t < 1,0 s, e sua rapidez em t = 1,0 s. (c) Encontre a energia potencial e a energia cinética da caixa em t = 1,0 s. (d) Encontre a energia cinética e a rapidez da caixa justo quando ela alcança o solo na base do plano inclinado. T7.21

Exemplo 7

 O objeto de 3,00 kg da figura é largado do repouso de uma altura de 5,00 m em uma rampa curva sem atrito. Na base da rampa está uma mola com uma constante de força de 400 N/m. O objeto desliza rampa abaixo e até a mola, comprimindo-a de uma distância x até atingir momentaneamente o repouso. (a) Encontre x. (b) Descreva o movimento do objeto (se ocorrer) após o repouso momentâneo. T7.39

Exemplo 8

 Uma menina de massa m está levando um lanche para o piquenique da vovó. Ela amarra uma corda de comprimento R ao galho de uma árvore, sobre um riacho, e começa a se balançar, a partir do repouso, de um ponto que é R/2 mais baixo do que o galho. Qual é a  menor tensão de ruptura que a corda pode ter para não se romper atirando a menina no riacho? T7.46

Exemplo 9

  Um pêndulo consiste em uma bola de 2,0 kg presa a um fio leve de 3,0 m de comprimento. Quando suspensa em repouso, com o fio na vertical, a bola recebe um impulso horizontal que lhe imprime uma velocidade horizontal de 4,5 m/s. No instante em que o fio forma um ângulo de 30° com a vertical qual é (a) a rapidez da bola, (b) a energia potencial gravitacional (relativa a seu valor no ponto mais baixo) e (c) a tensão no fio? (d) Qual é o ângulo do fio com a vertical, quando a bola atinge sua altura máxima?  T7.54

Exemplo 10

Uma montanha-russa consiste em um único laço. O carrinho é, inicialmente, empurrado, adquirindo a energia mecânica exatamente necessária para que os passageiros se sintam “sem peso” no ponto mais alto do arco circular. Eles se sentirão com qual peso ao passarem pela base do arco (isto é, qual é a força normal exercida para cima quando eles estão na base do laço)? Dê sua resposta como um múltiplo de mg (o peso real dos passageiros). Desconsidere atrito e resistência do ar. T7.49

Exemplo 11 (A7.P2-04)

Um elevador pode ser elevado e abaixado diretamente por um guincho, como na (a) , ou o mecanismo pode incluir um contrapeso que sobe quando o elevador desce, como na (b). Nesse caso, a variação na energia potencial gravitacional do sistema guincho de elevador+terra é menor?

Exemplo 12 (A7.P2-05)

Dois blocos são conectados por uma corda pendurada em um pequena polia. O bloco menor tem metade da inércia do bloco maior. Para qual configuração ( a ) ou ( b ), na figura, as rapidezes dos blocos são maiores depois que o bloco maior desce uma distância d ? Ignore o atrito entre a mesa e o bloco deslizante e verifique sua resposta com um cálculo. 

Exemplo 13 (A7.P2-06)

Um carrinho com massa m = 0,200 kg está em repouso sobre um trilho de ar sem atrito, ligado a uma mola cuja constante é dada por k = 5,00 N/m. Você puxa o cavaleiro fazendo a mola se alongar 0,100 m e a seguir o libera a partir do repouso. O cavaleiro começa a se mover retornando para sua posição inicial (x = 0). Qual é o componente x da sua velocidade no ponto x = 0,080 m? 

Exemplo 14 (A7.P2-07)

Um bloco, de massa m = 2,0 kg, é deixado cair de uma altura h = 40 cm sobre uma mola de constante elástica k = 1960 N/m. Determine a variação máxima de comprimento da mola ao ser comprimida.

Exemplo 15 (A7.P2-08)

Duas massas estão conectadas por um barbante fino e inextensível que passa por uma polia leve e sem atrito, conforme mostra a figura. A massa de 10 kg é liberada e cai por uma distância vertical de 1 m antes de atingir o solo. Use a conservação de energia mecânica para determinar:

a) com que velocidade a massa de 5 kg está se movendo logo antes da massa de 10 kg atingir o solo; e

b) a altura máxima atingida pela massa de 5 kg. 

Exemplo 16 (A7.P2-09)

Você está em um balanço com uma corrente de 4,0 m de comprimento. Se o seu deslocamento máximo da vertical for relativo a um ângulo de 35°, com que velocidade estará se movendo na parte inferior do arco?

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