FM - Aula 13

Objetivos

Saber como obter a energia potencial a partir da força.

Saber como obter a força a partir da energia potencial.

Analisar os tipos/pontos de equilíbrio em uma curva de energia potencial.

Verificar se uma força é conservativa ou não.

Referência: Tipler & Mosca. Capítulo 7

e Seção 11.3

Verifique no SIGAA questões recomendadas

Qual caminho seguir?

Para a força gravitacional, tanto faz o caminho.

Para o seu organismo é preferível o sinuoso, pois leva mais tempo, enquanto que o trabalho seja o mesmo (a velocidade deve ser constante).

Potência=\frac{W}{\Delta t}

Potência=\frac{W}{\Delta t}

A força gravitacional é uma força dita conservativa.

Um carrinho, inicialmente viajando para a direita, bate em uma mola. O carrinho interage com a mola, que está ancorada na Terra.

A força elástica é uma força dita conservativa.

A interação é reversível porque você não pode dizer se o tempo vai de $t_1$ a $t_5$ ou vice-versa.

A energia cinética do carrinho em uma determinada posição x deve ser a mesma no caminho da ida e no caminho da volta. Por exemplo, nos instantes inicial e final enquanto há interação:

E= 9\text{J}+0\text{J}

E= 9\text{J}+0\text{J}

E= 2\text{J}+7\text{J}

E= 2\text{J}+7\text{J}

E= 0\text{J}+9\text{J}

E= 0\text{J}+9\text{J}

E= 2\text{J}+7\text{J}

E= 2\text{J}+7\text{J}

E= 9\text{J}+0\text{J}

E= 9\text{J}+0\text{J}

ida

volta

Identificando forças conservativas

W_{total} = \Delta K

W_{total} = \Delta K

\Delta K +\Delta U = 0

\Delta K +\Delta U = 0

\Delta U = -\Delta K

\Delta U = -\Delta K

W_{total} = 0

W_{total} = 0

\Delta U = 0

\Delta U = 0

\Delta K +\Delta U = 0

\Delta K +\Delta U = 0

E_{mec} = 9 J

E_{mec} = 9 J

Uma força é conservativa se o trabalho em um caminho fechado é nulo!

A partir da definição do trabalho de uma força:

W_{P\rightarrow Q} = \int_P^Q \vec F_c\cdot d\vec r

W_{P\rightarrow Q} = \int_P^Q \vec F_c\cdot d\vec r

Se a força é conservativa, o trabalho tem sempre o mesmo valor independente da trajetória escolhida.

W^1_{P\rightarrow Q} = W^2_{P\rightarrow Q}

W^1_{P\rightarrow Q} = W^2_{P\rightarrow Q}

Identificando forças conservativas

No sentido contrário, ao longo do caminho 2:

W^2_{Q\rightarrow P} = -W^2_{P\rightarrow Q}

W^2_{Q\rightarrow P} = -W^2_{P\rightarrow Q}

W = \oint \vec F_c\cdot d\vec r \equiv 0

W = \oint \vec F_c\cdot d\vec r \equiv 0

W =W^2_{P\rightarrow Q}-W^2_{P \rightarrow Q}

W =W^2_{P\rightarrow Q}-W^2_{P \rightarrow Q}

O trabalho total no caminho fechado:

W =W^1_{P\rightarrow Q}+W^2_{Q \rightarrow P}

W =W^1_{P\rightarrow Q}+W^2_{Q \rightarrow P}

Trabalho feito sobre 2 durante o movimetno de P a Q é o mesmo para ambos os caminhos

Para o caminho fechado, o trabalho feito sobre 2 é zero.

Fonte: Eric Mazur

Se a força é conservativa, então existe uma função energia potencial:

podemos multiplicar ambos lados da equação pelo produto escalar pelo deslocamento infinitesimal $dr\,\hat r$ :

Integrando de uma posição inicial até outra final, temos uma integral de linha:

\vec F = -\frac{dU}{dr}\hat r

\vec F = -\frac{dU}{dr}\hat r

\vec F \cdot dr \hat r = -\frac{dU}{dr} \hat r \cdot dr\hat r

\vec F \cdot dr \hat r = -\frac{dU}{dr} \hat r \cdot dr\hat r

\vec F \cdot d\vec r = -dU

\vec F \cdot d\vec r = -dU

\int_{r_i}^{r_f}dU=-\int_{r_i}^{r_f}\vec F \cdot d\vec r

\int_{r_i}^{r_f}dU=-\int_{r_i}^{r_f}\vec F \cdot d\vec r

ou

\int_{r_i}^{r_f}dU=-\int_{r_i}^{r_f}dW

\int_{r_i}^{r_f}dU=-\int_{r_i}^{r_f}dW

\Rightarrow \Delta U = -W

\Rightarrow \Delta U = -W

\Delta U = -\Delta K

\Delta U = -\Delta K

\Rightarrow

\Rightarrow

\vec F \cdot d\vec r = -\frac{dU}{dr} dr\, \hat r\cdot \hat r

\vec F \cdot d\vec r = -\frac{dU}{dr} dr\, \hat r\cdot \hat r

=1

=1

\Delta U + \Delta K = 0

\Delta U + \Delta K = 0

\Delta E = 0

\Delta E = 0

Identificando forças conservativas

A energia potencial é uma função única da posição.

U=U(x)

U=U(x)

No ponto de equilíbrio a energia potencial é mínima e a energia cinética é máxima.

Nos pontos de retorno a energia potencial é máxima e a energia cinética é mínima.

A Energia Mecânica é conservada no sistema massa-mola porque a força elástica é conservativa.

Fonte: https://www.compadre.org/Physlets/mechanics/illustration7_3.cfm?NOH=1

=K

=K

+U

+U

Se não houver dissipação, a soma das energias cinética e potencial deste sistema fechado é constante.

E_{mec}

E_{mec}

Identificando forças conservativas

O objeto tende a ser acelerado na direção em que a energia potencial é menor, independentemente da direção original do movimento porque a força elástica é conservativa

Do ponto 1 para o ponto 2: Equilíbrio p/ Retorno.

A energia cinética diminui e a energia potencial aumenta. A velocidade diminui à medida que a mola comprimi-se. O movimento é retardado.

Do ponto 2 para o ponto 1:

A energia cinética aumenta e a energia potencial diminui. A velocidade aumenta à medida que a mola alonga-se. O movimento é acelerado.

Fonte: https://www.compadre.org/Physlets/mechanics/illustration7_3.cfm?NOH=1

x_1

x_1

x_2

x_2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

Identificando forças conservativas

Qual a energia necessária para sair do poço de potencial?

A pipoca vai saltar mais facilmente na panela mais rasa.

O poço de potencial é maior para a panela mais funda.

A pipoca vai pular da panela quando no mínimo, a sua energia cinética for igual à energia potencial.

E = K + U

E = K + U

E = \frac{1}{2}mv^2 + mg(y_f-y_i)

E = \frac{1}{2}mv^2 + mg(y_f-y_i)

v_{escape}=\sqrt{-2g(y_f-y_i)}{}

v_{escape}=\sqrt{-2g(y_f-y_i)}{}

A velocidade de escape quando $K=U$ é:

E

E

K=E-U<0

K=E-U<0

U

U

A pipoca fica ligada à panela:

y_f

y_f

y_i

y_i

-h

-h

pois não tem energia cinética suficiente para escapar do poço de potencial.

Qual a energia necessária para sair do poço de potencial?

A energia cinética para lançar algo para fora do poço deve ser, no mínimo, igual à energia potencial do poço.

E = K + U

E = K + U

E = \frac{1}{2}mv^2 + mg(y_f-y_i)

E = \frac{1}{2}mv^2 + mg(y_f-y_i)

y_f

y_f

y_i

y_i

v_{escape}=\sqrt{-2g(y_f-y_i)}{}

v_{escape}=\sqrt{-2g(y_f-y_i)}{}

A velocidade de escape quando $K=U$ é:

E

E

K=E-U\geq 0

K=E-U\geq 0

U

U

Algo não fica ligado ao poço

y_f

y_f

y_i

y_i

-h

-h

pois tem energia cinética suficiente para escapar do poço de potencial.

Qual a energia necessária para sair do poço de potencial?

A energia cinética para lançar um foguete para fora do poço de potencial da Terra deve ser, no mínimo, igual à energia potencial do poço.

E = K + U

E = K + U

E = \frac{1}{2}mv^2 -\frac{GMm}{R_T}

E = \frac{1}{2}mv^2 -\frac{GMm}{R_T}

y_f

y_f

v_{escape}=\sqrt{\frac{2GM}{R_T}}

v_{escape}=\sqrt{\frac{2GM}{R_T}}

A velocidade de escape quando $K=U$ é:

y_i

y_i

Por que próximo à superfície da Terra?

\Delta U(y)=mg\Delta y

\Delta U(y)=mg\Delta y

Por que longe da superfície da Terra?

\Delta U(y)=-\frac{GMm}{r}

\Delta U(y)=-\frac{GMm}{r}

A função energia potencial

A força conservativa é numericamente igual à inclinação da curva em um gráfico de U(x) verus x.

F = -\frac{dU}{dx}

F = -\frac{dU}{dx}

Fonte: https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/energy-skate-park-basics

Fonte: Randall Knight

A função energia potencial

É interessante analisar os pontos de retorno e os pontos de equilíbrio.

F = -\frac{dU}{dx}

F = -\frac{dU}{dx}

Considere uma energia total E = 5,0 J

E = U + K

E = U + K

Se K = E - U, temos que U ≤ E;

A partícula não será observada na região $x<x_1$ .

A força é positiva e atua no sentido do eixo x positivo;

K não pode ser negativa;

K será mínima em $x_1$ : K = 0 J.

U será máxima em $x_1$ : U = E =5,0 J.

Em $x_2$ :

K será máxima: K = E = 5,0 J.

U será mínima: U = 0 J.

Em $x_5$ :

A partícula é livre e se move com velocidade constante.

Fonte: Wolfgang & Bauer

A função energia potencial

Para E = 4 J.

Os pontos de retorno são $x_1$ e $x_5$ .

Para $x > x_5$ o equilíbrio é dito indiferente.

Para E = 3 J.

Os pontos de retorno estão entre $x_1,x_3$ e $x_3,x_5$ .

Para $x = x_3$ o equilíbrio é instável.

Para E = 1 J. A partícula oscila em torno do ponto de equilíbrio estável $x=x_2$ . Há uma força restauradora.

No ponto de equilíbrio estável $x=x_4$ a partícula não se move.

É interessante analisar os pontos de retorno e os pontos de equilíbrio.

F = -\frac{dU}{dx}

F = -\frac{dU}{dx}

E = U + K

E = U + K

Fonte: Wolfgang & Bauer

A função energia potencial

As ligações moleculares obedecem a uma função energia potencial. A força pode ser repulsiva ou atrativa dependendo da região onde se definir a energia do sistema.

Potencial de Lennard-Jones:

Força de Lennard-Jones:

Ponto de mínimo, $F(x_{min}) =0$ e $U ''(x)=0$ :

Fonte: https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/atomic-interactions

Exemplo 1 (A10.P2-01)

Para calcular o trabalho realizado por uma força $\vec F$ ao longo de uma curva fechada (ou de um caminho fechado) C, calculamos $\oint \vec F\cdot d\vec l$ , onde o círculo no sinal de integral significa que a integração é efetuada para um percurso completo ao longo de C. Para $\vec F(x) = Ax\hat i$ , calcule $\oint \vec F\cdot d\vec l$ para o caminho C mostrado na figura.

Fonte: Tipler & Mosca

Exemplo 2 (A10.P2-02)

A Figura mostra o gráfico de uma função energia potencial U versus x. (a) Para cada ponto indicado, informe se a componente x da força associada a esta função é positiva, negativa ou zero. (b) Em que ponto a força tem a maior magnitude? (c) Identifique possíveis pontos de equilíbrio, indicando se o equilíbrio é estável, instável ou indiferente.

Fonte: Tipler & Mosca

Exemplo 3 (A10.P2-03)

A energia potencial de um corpo restrito ao eixo $x$ é dada $U(x) = 8x^2-x^4$ . Determine a força $F_x$ associada a esta função energia potencial. (b) Supondo que não haja outras forças atuando sobre o corpo, em que posições o corpo está em equilíbrio? (c) Quais destas posições de equilíbrio são estáveis e quais são instáveis?

Exemplo 4 (A10.P2-04)

Uma força é dada por $F(x) = Ax^{-3}$ , onde A = 8,0 $N.m^3$ . (a) Para valores positivos de $x$ , a energia potencial associada a esta força aumenta ou diminui com o aumento de $x$ ? (Você pode encontrar a resposta para esta questão imaginando o que acontece com uma partícula que é colocada em repouso em algum ponto $x$ e depois largada.) (b) Encontre a função energia potencial U associada a esta força, tal que $U$ tende a zero quando x tende a infinito. (c) Esboce $U$ versus $x$ .

Exemplo 5

A energia potencial de um corpo restrito ao eixo x é dada $U(x) = 3x^2 - 2x^3$ . Determine a força $F_x$ associada a esta função energia potencial. (b) Supondo que não haja outras forças atuando sobre o corpo, em que posições o corpo está em equilíbrio? (c) Quais destas posições de equilíbrio são estáveis e quais são instáveis?

Exemplo 6 (A7.P2-02)

Escolha um nível de referência para a energia potencial gravitacional de uma preguiça. Este exemplo ilustra um ponto importante: A escolha da configuração de referência para a energia potencial é arbitrária, mas deve ser mantida durante toda a resolução do problema. Uma preguiça, pesando 2,0 kg, está pendurada a 5,0 m acima do solo (a) Qual é a energia potencial gravitacional U do sistema preguiça-Terra se tomarmos o ponto de referência y = 0 como estando (1) no solo, (2) no piso de uma varanda que está a 3,0 m acima do solo, (3) no galho onde está a preguiça, e (4) 1,0 m acima do galho? Considere a energia potencial como nula em y = 0. (b) A preguiça desce da árvore. Para cada escolha do ponto de referência, qual é a variação ΔU da energia potencial do sistema preguiça-Terra?

Fonte: Halliday & Resnick

Exemplo 7

Uma partícula participa de apenas uma interação com um objeto fixo. A interação faz com que a energia potencial seja armazenada no sistema de objeto de partícula conforme a partícula se move ao longo de um eixo x. A partícula é liberada do repouso em x0 = -3,0 m, e a quantidade de energia potencial armazenada (em joules) é dada por $U(x) = ax + bx^2+cx^3$ , onde a = +12 J/m, b = +3,0 J/m^2, e c = -2,0 J/m^3. (a) Faça um gráfico da energia potencial que também exiba a energia mecânica da partícula. (b) Em qual direção a partícula se move inicialmente? (c) Descreva o movimento da partícula após a posição x0. (d) Em quais posições ao longo da curva que você desenhou na parte (a) a partícula está acelerando e em quais posições ela está desacelerando? (e) Qual é a energia cinética da partícula em x = -1,0 m, x = + 1,0 m, e x = +3,0 m.

Exemplo 8

Em 2013, um grande meteoro, com uma massa estimada em 1,2 × 10^7 kg, caiu na Terra em uma região próxima a Chelyabinsk, na Rússia. (Esse meteoro explodiu de modo espetacular a uma altura de cerca de 30 km, causando um dano considerável em objetos na superfície da Terra.) Considere um meteoro de mesma massa caindo em direção à Terra. Escolha a Terra mais o meteoro como sistema. Qual é a variação da energia cinética do meteoro, quando ele cai desde uma altura de 1 × 10^8 m do centro da Terra até uma altura de 1 × 10^7 m? Explique os sinais das variações de energia cinética e energia potencial do sistema.

Exemplo 9

Uma nave espacial robô aterriza em um asteroide, coleta uma amostra e parte de volta em direção à Terra; sua massa total é 1500 kg. Quando ela está a uma distância de 200 km (2 × 10^5 m) do centro do asteroide, sua velocidade escalar é 5,0 m/s e os seus foguetes são desligados. Ela segue viagem, e, quando está a 500 km (5 × 10^5 m) do centro do asteroide, sua velocidade escalar diminui para 4,1 m/s. (a) Faça um diagrama mostrando os estados inicial e final, identificando-os. (b) Faça um gráfico de energia do sistema. (c) Considere uma velocidade de lançamento inicial menor.

Fonte: Ruth & Sherwood

Aula 13

Fundamentos de Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

UFRN - ECT - BCT