Aula 13

Fundamentos de Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

UFRN - ECT - BCT

Objetivos

Saber como obter a energia potencial a partir da força.

Saber como obter a força a partir da energia potencial.

Analisar os formas/pontos de equilíbrio em uma curva de energia potencial.

Verificar se uma força é conservativa ou não.

Referência: Tipler & Mosca. Capítulo 7

Verifique no SIGAA questões recomendadas

Um carrinho, inicialmente viajando para a direita, bate em uma mola. O carrinho interage com a mola, que está ancorada na Terra.

O sistema que compreende o carrinho, a mola, a pista e a Terra é fechado.

A interação é reversível porque você não pode dizer se o tempo vai de \(t_1\) a \(t_5\) ou vice-versa.

A energia cinética do carrinho em uma determinada posição x deve ser a mesma no caminho da ida e no caminho da volta. Por exemplo, nos instantes inicial e final.

E= 9\text{J}+0\text{J}

E= 2\text{J}+7\text{J}

E= 0\text{J}+9\text{J}

E= 2\text{J}+7\text{J}

E= 9\text{J}+0\text{J}

ida

volta

Identificando forças conservativas

A energia potencial é uma função única da posição.

U=U(x)

No ponto de equilíbrio a energia potencial é mínima e a cinética é máxima.

Nos pontos de retorno a energia potencial é máxima e a energia cinética é mínima.

A Energia Mecânica é conservada no sistema massa-mola porque a força elástica é conservativa.

Fonte: https://www.compadre.org/Physlets/mechanics/illustration7_3.cfm?NOH=1

Se não houver dissipação, a soma das energias cinética e potencial deste sistema fechado é constante.

E_{mec}

Identificando forças conservativas

O objeto tende a ser acelerado na direção em que a energia potencial é menor, independentemente da direção original do movimento porque a força elástica é conservativa

Do ponto 1 para o ponto 2: Equilíbrio p/ Retorno.

A energia cinética diminui e a energia potencial aumenta. A velocidade diminui à medida que a mola comprimi-se. O movimento é retardado.

Do ponto 2 para o ponto 1:

A energia cinética aumenta e a energia potencial diminui. A velocidade aumenta à medida que a mola alonga-se. O movimento é acelerado.

Fonte: https://www.compadre.org/Physlets/mechanics/illustration7_3.cfm?NOH=1

x_1

x_2

Identificando forças conservativas

Um teste para forças conservativas é verificar se o trabalho em um caminho fechado é nulo!

O trabalho tem sempre o mesmo valor independente da trajetória escolhida.

W_{a\rightarrow b} = \int \vec F_c\cdot d\vec r

W_{a\rightarrow b\rightarrow a} = \oint \vec F_c\cdot d\vec r \equiv 0

Se a força é conservativa.

W^1_{a\rightarrow b} = W^2_{a\rightarrow b}

No caminho fechado:

W_{a\rightarrow b}-W_{b \rightarrow a} = 0

Identificando forças conservativas

\oint \vec F_c\cdot d\vec r \equiv 0

Para uma força conservativa a integral de caminho num circuito fechado é nula.

Se a força é conservativa, então existe uma função energia potencial:

podemos multiplicar ambos lados da equação pelo produto escalar pelo deslocamento infinitesimal \(dr\,\hat r\):

Integrando de uma posição inicial até outra final. temos uma integral de linha:

\vec F = -\frac{dU}{dr}\hat r

\vec F \cdot dr \hat r = -\frac{dU}{dr} \hat r \cdot dr\hat r

\vec F \cdot d\vec r = -dU

\int_{r_i}^{r_f}dU=-\int_{r_i}^{r_f}\vec F \cdot d\vec r

\int_{r_i}^{r_f}dU=-\int_{r_i}^{r_f}dW

\Rightarrow \Delta U = -W

\Delta U = -\Delta K

\Rightarrow

\vec F \cdot d\vec r = -\frac{dU}{dr} dr\, \hat r\cdot \hat r

\Delta U + \Delta K = 0

\Delta E = 0

Identificando forças conservativas

A função energia potencial

A força é numericamente igual à inclinação da curva em um gráfico de U(x) verus x.

F = -\frac{dU}{dx}

Fonte: https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/energy-skate-park-basics

A função energia potencial

É interessante analisar os pontos de retorno e os pontos de equilíbrio.

F = -\frac{dU}{dx}

Considere uma energia total E = 5,0 J

E = U + K

Se K = E - U, temos que U ≤ E;

A partícula não será observada na região \(x<x_1\).

A força atua no sentido do eixo x positivo

K não pode ser negativa;

K será mínima em \(x_1\): K = 0 J.

U será máxima em \(x_1\): U = E =5,0 J.

Em \(x_2\):

K será máxima: K = E = 5,0 J

U será mínima: U = 0 J

A função energia potencial

É interessante analisar os pontos de retorno e os pontos de equilíbrio.

F = -\frac{dU}{dx}

Para E = 4 J.

O ponto de retorno está entre \(x_1 \leq x \leq x_2\).

Para \(x > x_5\) o equilíbrio é dito indiferente.

Para E = 3 J.

Os pontos de retorno estão entre \(x_1,x_2\) e \(x_4,x_5\).

Para \(x > x_3\) o equilíbrio é estável.

Para E = 1 J. A partícula oscila em torno do ponto de equilíbrio estável \(x=x_2\).

No ponto de equilíbrio estável \(x=x_4\) a partícula não se move. Há uma força restauradora.

A função energia potencial

As ligações moleculares obedecem a uma função energia potencial. A força pode ser repulsiva ou atrativa dependendo da região onde se definir a energia do sistema.

Potencial de Lennard-Jones:

Força de Lennard-Jones:

Ponto de mínimo:

Fonte: https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/atomic-interactions

A função energia potencial

Se escolhermos o eixo x apontando para a direita, conforme indicado na figura, a componente x da força exercida pelo objeto 1 no objeto 2 quando o objeto 2 está em alguma posição arbitrária x é

F^G_{12}=-G\frac{m_1m_2}{x^2}=F(x)

A força gravitacional varia com a distância e, portanto, para avaliar o trabalho feito pelo objeto 1 no objeto 2:

W_{12}=\int_{x_i}^{x_f} = F(x)dx

W_{12}=Gm_1m_2 \left(\frac{1}{x_f}-\frac{1}{x_i} \right)

A função energia potencial

W=Gm_1m_2 \left(\frac{1}{x_f}-\frac{1}{x_i} \right)

Como a força e o deslocamento apontam na mesma direção, sabemos que o trabalho deve ser positivo. De fato, o lado direito também é positivo porque \(x_f < x_i\).

À medida que o objeto 2 se move de \(x_i\) para \(x_f\), ele acelera e, portanto, sua energia cinética aumenta.

Como nenhuma outra energia associada a ele muda, o aumento na energia cinética deve ser igual ao trabalho feito nele pelo objeto 1:

W_{12}=\Delta K_2 > 0

A função energia potencial

\Delta U^G=-\Delta K_2

Agora consideramos o sistema (fechado) dos dois objetos interativos como um todo, então o aumento na energia cinética do objeto 2 não se deve ao trabalho feito pela força gravitacional externa exercida pelo objeto 1 sobre ele, mas a uma diminuição na energia potencial gravitacional do sistema

Essa energia potencial gravitacional é uma medida da configuração do sistema. A mudança na energia potencial gravitacional do sistema é, portanto,

A função energia potencial

\Delta U^G=-\Delta K_2

Então, se deixarmos o objeto 2 se mover de x = ∞ para uma posição arbitrária x sob a influência da aceleração gravitacional devido ao objeto 1:

\Delta U^G=-Gm_1m_2 \left(\frac{1}{x_f}-\frac{1}{x_i} \right)

\Delta U^G=Gm_1m_2 \left(\frac{1}{x_i}-\frac{1}{x_f} \right)

A energia potencial gravitacional

\Delta U^G=-Gm_1m_2 \left(\frac{1}{x} \right)

que é zero para x tendendo ao infinito.

À medida que o objeto 2 se move de infinitamente longe, sua energia cinética aumenta (acelera) e, portanto, a energia potencial do sistema de dois objetos diminui.

A função energia potencial

\Delta U^G=-\Delta K_2

Então, se deixarmos o objeto 2 se mover de x = ∞ para uma posição arbitrária x sob a influência da aceleração gravitacional devido ao objeto 1:

\Delta U^G=-Gm_1m_2 \left(\frac{1}{x_f}-\frac{1}{x_i} \right)

\Delta U^G=Gm_1m_2 \left(\frac{1}{x_i}-\frac{1}{x_f} \right)

A energia potencial gravitacional

\Delta U^G=-Gm_1m_2 \left(\frac{1}{x} \right)

que é zero para x tendendo ao infinito.

À medida que o objeto 2 se move de infinitamente longe, sua energia cinética aumenta (acelera) e, portanto, a energia potencial do sistema de dois objetos diminui.

\Delta U^G=mgh

Ué, mas não era:

Como?

A função energia potencial

Como apenas o satélite está em movimento, nós temos

onde v é a velocidade do satélite e r é a distância entre o satélite e a estrela.

E=K+U^G

E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}

Se a energia \(E\) do sistema for negativa, então há um valor \(r = r_{max}\) para o qual \(U^G = E_{mec}\) — toda a energia mecânica está na forma de energia potencial e, portanto, a energia cinética do satélite é zero.

A função energia potencial

Como apenas o satélite está em movimento, nós temos

onde v é a velocidade do satélite e r é a distância entre o satélite e a estrela.

E=K+U^G

E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}

Qualquer distância de separação \(r\) maior que \(r_{max}\) produziria uma energia cinética negativa porque \(U^G > E_{mec}\) para \(r < r_{max}\).

Como a energia cinética não pode ser negativa, o movimento do satélite para valores negativos de \(E_mec\) é restrito a valores de \(r < r_{max}\) para os quais \(U^G > E_{mec}\).

A função energia potencial

Como apenas o satélite está em movimento, nós temos

onde v é a velocidade do satélite e r é a distância entre o satélite e a estrela.

E=K+U^G

E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}

A distância máxima de separação \(r_{max}\) ocorre quando \(U^G = E_{mec}\):

r_{max}=\frac{GMm}{-E_{mec}}

Dizemos que para o \(E_{mec}\) negativa, o satélite está ligado à estrela: ele não pode escapar para o infinito porque não tem energia cinética suficiente.

A função energia potencial

Para \(E_{mec}\) negativa, o satélite está ligado à estrela: ele não pode escapar para o infinito porque não tem energia cinética suficiente.

Para \(E_{mec}\) positiva, o satélite não está ligado porque tem energia suficiente para “escapar” para o infinito. Nesse caso, a energia potencial gravitacional é sempre menor do que \(E_{mec}\), ainda há uma quantidade positiva de energia cinética.

A função energia potencial

Análise do sistema massa+mola na vertical

A função energia potencial

Desloque a massa para cima e coloque o sistema para oscilar. Verifique os vetores velocidade e aceleração, força peso e força elástica. Clique no botão PLAY para pausar a simulação. Clique no botão AVANÇAR sucessivamente para ver o comportamento desses vetores.

a) Nos desenhos abaixo represente os vetores força, peso, velocidade e aceleração quando a massa estiver descendo e estiver abaixo da linha azul (comprimento natural). Identifique os vetores e represente adequadamente as magnitudes.

A função energia potencial

b) Nos desenhos abaixo represente os vetores força, peso, velocidade e aceleração quando a massa estiver subindo e estiver abaixo da linha azul (comprimento natural). Identifique os vetores e represente adequadamente as magnitudes.

A função energia potencial

c) Ponha o sistema para oscilar e verifique em que ponto(s) o vetor velocidade tem magnitude nula? A aceleração é nula nesse(s) ponto(s)? A magnitude da aceleração nesse(s) ponto(s) é máxima ou mínima?

d) Em que ponto(s) a magnitude da velocidade é máxima? A aceleração é nula nesse(s) ponto(s)?

e) A força peso é nula em algum ponto? A direção e sentido mudam? A magnitude muda?

f) Para a oscilação em torno da posição de equilíbrio a força elástica é nula em algum ponto? A direção e sentido mudam? A magnitude muda?

g) A força resultante é nula em algum ponto? Ela é máxima em algum ponto?

h) A velocidade é máxima quando a força resultante é _________________ e a aceleração é ______________. A velocidade é mínima quando a força resultante é _________________ e a aceleração é __________________.

Exemplo 1 (A10.P2-01)

Para calcular o trabalho realizado por uma força \(\vec F\) ao longo de uma curva fechada (ou de um caminho fechado) C, calculamos \(\oint \vec F\cdot d\vec l\) , onde o círculo no sinal de integral significa que a integração é efetuada para um percurso completo ao longo de C. Para \(\vec F(x) = Ax\hat i\) , calcule \(\oint \vec F\cdot d\vec l\) para o caminho C mostrado na figura.

Exemplo 2 (A10.P2-02)

A Figura mostra o gráfico de uma função energia potencial U versus x. (a) Para cada ponto indicado, informe se a componente x da força associada a esta função é positiva, negativa ou zero. (b) Em que ponto a força tem a maior magnitude? (c) Identifique possíveis pontos de equilíbrio, indicando se o equilíbrio é estável, instável ou indiferente.

Exemplo 3 (A10.P2-03)

A energia potencial de um corpo restrito ao eixo x é dada \(U(x) = 3x^2-2x^3\). Determine a força Fx associada a esta função energia potencial. (b) Supondo que não haja outras forças atuando sobre o corpo, em que posições o corpo está em equilíbrio? (c) Quais destas posições de equilíbrio são estáveis e quais são instáveis? T7.28

Exemplo 4 (A10.P2-04)

Uma força é dada por \(F(x) = Ax^{-3}\), onde A = 8,0 \(N.m^3\). (a) Para valores positivos de x, a energia potencial associada a esta força aumenta ou diminui com o aumento de x? (Você pode encontrar a resposta para esta questão imaginando o que acontece com uma partícula que é colocada em repouso em algum ponto x e depois largada.) (b) Encontre a função energia potencial U associada a esta força, tal que U tende a zero quando x tende a infinito. (c) Esboce U versus x.

Exemplo 5 (A10.P2-04)

Exemplo 6

A energia potencial de um corpo restrito ao eixo x é dada U(x) = 3x^2 - 2x^3. Determine a força Fx associada a esta função energia potencial. (b) Supondo que não haja outras forças atuando sobre o corpo, em que posições o corpo está em equilíbrio? (c) Quais destas posições de equilíbrio são estáveis e quais são instáveis?

Exemplo 7 (A7.P2-02)

Escolha um nível de referência para a energia potencial gravitacional de uma preguiça. Este exemplo ilustra um ponto importante: A escolha da configuração de referência para a energia potencial é arbitrária, mas deve ser mantida durante toda a resolução do problema. Uma preguiça, pesando 2,0 kg, está pendurada a 5,0 m acima do solo (a) Qual é a energia potencial gravitacional U do sistema preguiça-Terra se tomarmos o ponto de referência y = 0 como estando (1) no solo, (2) no piso de uma varanda que está a 3,0 m acima do solo, (3) no galho onde está a preguiça, e (4) 1,0 m acima do galho? Considere a energia potencial como nula em y = 0. (b) A preguiça desce da árvore. Para cada escolha do ponto de referência, qual é a variação ΔU da energia potencial do sistema preguiça-Terra?

Exemplo 8

Uma partícula participa de apenas uma interação com um objeto fixo. A interação faz com que a energia potencial seja armazenada no sistema de objeto de partícula conforme a partícula se move ao longo de um eixo x. A partícula é liberada do repouso em x0 = -3,0 m, e a quantidade de energia potencial armazenada (em joules) é dada por U(x) = ax + bx2 + cx3, onde a = +12 J/m, b = +3,0 J/m2, e c = -2,0 J/m3. (a) Faça um gráfico da energia potencial que também exiba a energia mecânica da partícula. (b) Em qual direção a partícula se move inicialmente? (c) Descreva o movimento da partícula após a posição x0. (d) Em quais posições ao longo da curva que você desenhou na parte (a) a partícula está acelerando e em quais posições ela está desacelerando? (e) Qual é a energia cinética da partícula em x = -1,0 m, x = + 1,0 m, ex = +3,0 m.