FM - Aula 03

Objetivos

Descrever o movimento acelerado.

Obter a função posição do movimento acelerado.

Obter a função velocidade do movimento acelerado.

Definir a aceleração.

Estudar os gráficos:

Posição em função do tempo; Velocidade em função do tempo; Aceleração em função do tempo.

Identificar o Movimento Retilíneo Uniforme Variado (MRUV).

Bibliografia:

Tipler - Cap. 2

Seções 2.2 e 2.3 (págs. 35 a 46)

- Refaça os Exemplos resolvidos.

- Faça os exercícios recomendados no SIGAA.

Quando a velocidade é constante no tempo.

É observado que os deslocamentos são uniformes em intervalos de tempos iguais.

A função movimento é a equação de uma reta:

x = 0,10t

x = 0,10t

A velocidade é calculada a partir da derivada da função posição no tempo:

v=\frac{dx}{dt} \Rightarrow v = 0,10\text{ m/s}

v=\frac{dx}{dt} \Rightarrow v = 0,10\text{ m/s}

O gráfico da velocidade em função do tempo $(v\times t)$ é uma reta paralela ao eixo dos tempos.

\Delta t = 1,0\text{ s}

\Delta t = 1,0\text{ s}

\vec v

\vec v

No Movimento Retilíneo Uniforme a velocidade é constante.

\Delta x = 10\text{ m}

\Delta x = 10\text{ m}

\Delta x = 0,10\text{ m}

\Delta x = 0,10\text{ m}

com inclinação constante no gráfico $x\times t$ .

Às vezes, a velocidade de um objeto é constante.

Uma vez que a velocidade é um vetor, ela pode variar de duas maneiras:

O módulo pode mudar, indicando uma variação da rapidez.

A orientação pode mudar, indicando uma alteração da orientação do movimento do objeto.

$\vec v_1$ é constante

$\vec v_2$ é constante

Com mais freqüência, a velocidade de um objeto varia enquanto ele se move.

$\vec v_3$ não é constante

$\vec v_4$ não é constante

Quando a velocidade não é constante no tempo

Movimentos onde a velocidade varia no tempo são mais comuns.

Quando a velocidade não é constante no tempo

Movimentos onde a velocidade varia no tempo são chamados de acelerados.

\Delta x_2 \neq \Delta x_1

\Delta x_2 \neq \Delta x_1

v_2 \neq v_1

v_2 \neq v_1

\vec v_1

\vec v_1

\vec v_2

\vec v_2

\Delta x_1

\Delta x_1

\Delta x_2

\Delta x_2

Na prova dos 100 m nado costas a rapidez não é constante a cada intervalo de tempo (olhe as inclinações diferentes entre cada par de dados).

No gráfico posição x tempo, a inclinação da reta muda indicando que a velocidade não é constante.

No gráfico velocidade x tempo, a inclinação da reta não é exatamente paralela ao eixo dos tempos.

Movimentos acelerados são observados frequentemente na natureza.

Caindo ou pulando de uma pequena altura

Descendo ou subindo sobre uma rampa

Correndo ...

Movimentos acelerados (variação da velocidade no tempo)

Queda livre

Plano inclinado

Correndo aceleradamente!

Fonte: https://www.pxfuel.com

Fonte: https://en.wikipedia.org

Fonte: www.pixbay.com

Nós vamos estudar três tipos de movimentos onde a aceleração é constante.

Veículos usualmente aceleram. O que isso significa?

Movimentos acelerados (variação da velocidade no tempo)

Ferrari 488 Pista Spider

0 - 100 km/h em 2,8 s

SF90 Stradale

0 - 100 km/h em 2,5 s

Ferrari 812 Superfast

0 - 100 km/h em 2,9 s

Ferrari 812 Competizione A

0 - 100 km/h em 2,9 s

Ferrari Daytona SP3

0 - 100 km/h em 2,8 s

Ferrari Roma

0 - 100 km/h em 3,4 s

Que grandeza é esta?

O que significa?

Como avaliar?

A aceleração média de um objeto é a variação no componente da velocidade dividida pelo intervalo de tempo durante o qual essa variação ocorreu.

a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_f-t_i}

a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_f-t_i}

A palavra média reforça a ideia de que a velocidade pode variar a taxas diferentes.

No Sistema Internacional:

a_m\equiv\frac{[L]/[T]}{[T]}=\frac{\text{m/s}}{\text{s}}=\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a_m\equiv\frac{[L]/[T]}{[T]}=\frac{\text{m/s}}{\text{s}}=\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

metros por segundo por segundo

Se $v$ varia de 0 a +5,0 m/s em 1,0 s:

a_m=5,0\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a_m=5,0\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

O componente da velocidade aumenta por +5,0 m/s a cada segundo.

Se $v$ varia de +5,0 m/s a +10,0 m/s em 1,5 s:

a_m=3,3\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a_m=3,3\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

O componente da velocidade aumenta por +3,3 m/s a cada segundo.

Definição de aceleração média

Se a velocidade de um objeto está variando no tempo, o objeto está acelerando.

A velocidade varia de 0 a 100 km/h em 2,9 s.

A velocidade varia de 0 a 200 km/h em 7,8 s.

$v_{max}$ = 340 km/h

O componente da velocidade aumenta por +9,6 m/s a cada segundo.

O componente da velocidade aumenta por +7,1 m/s a cada segundo.

a_m=\frac{27,8\,\text{m/s}-0}{2,9\,\text{s}-0}

a_m=\frac{27,8\,\text{m/s}-0}{2,9\,\text{s}-0}

a_m=9,6\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a_m=9,6\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a_m=\frac{55,6\,\text{m/s}-0}{7,8\,\text{s}}

a_m=\frac{55,6\,\text{m/s}-0}{7,8\,\text{s}}

a_m=7,1\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a_m=7,1\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

A velocidade varia de 0 a 27,8 m/s em 2,9 s.

\Rightarrow

\Rightarrow

A velocidade varia de 0 a 55,6 m/s em 7,8 s.

\Rightarrow

\Rightarrow

Ferrari F8

a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_f-t_i}

a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_f-t_i}

a aceleração é constante nesse intervalo de tempo.

Fonte: https://www.razaoautomovel.com

Definição de aceleração média

O vetor aceleração média define de quanto o vetor velocidade varia por unidade de tempo.

A aceleração da Ferrari 348TB é constante nos intervalos de tempo analisados.

A aceleração é constante, $a_1=a_2$ :

\vec a_1 = \frac{2,78\text{ m/s }}{0,5\text{ s}}\hat i

\vec a_1 = \frac{2,78\text{ m/s }}{0,5\text{ s}}\hat i

\vec a_2 = \frac{2,78\text{ m/s }}{0,5\text{ s}}\hat i

\vec a_2 = \frac{2,78\text{ m/s }}{0,5\text{ s}}\hat i

v_m = \frac{2,78\text{ m/s}}{0,5 \text{ s}}\times 5\text{ s}

v_m = \frac{2,78\text{ m/s}}{0,5 \text{ s}}\times 5\text{ s}

Aceleração vetorial média

\hat i

\hat i

\hat j

\hat j

t_0 = 0\text{ s}

t_0 = 0\text{ s}

\vec v_1 = 10\text{ km/h }\hat i

\vec v_1 = 10\text{ km/h }\hat i

t_1 = 0,5\text{ s}

t_1 = 0,5\text{ s}

\vec v_2=20\text{ km/h }\hat i

\vec v_2=20\text{ km/h }\hat i

t_2 = 1,0\text{ s}

t_2 = 1,0\text{ s}

a_m =5,56\text{ m/s}^2

a_m =5,56\text{ m/s}^2

v_m ={5,56\text{ m/s}^2}\times 5\text{ s}

v_m ={5,56\text{ m/s}^2}\times 5\text{ s}

v_m ={27,8\text{ m/s}}

v_m ={27,8\text{ m/s}}

(2,78\text{ m/s})

(2,78\text{ m/s})

(5,56\text{ m/s})

(5,56\text{ m/s})

Isso significa que a velocidade média aumenta de 5,56 m/s a cada segundo. Após 5 s,

\vec a_m=\frac{\vec v_2-\vec v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}

\vec a_m=\frac{\vec v_2-\vec v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}

No movimento acelerado observamos deslocamentos variados em tempos iguais.

Como será a função posição?

x(t) = ?

x(t) = ?

A velocidade varia uniformemente no tempo. Qual será a função velocidade?

a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}

a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}

Sabemos que a aceleração média é constante e é dada por meio da equação:

v(t) = ?

v(t) = ?

Função velocidade e posição para o movimento com aceleração constante

Quando a aceleração média é constante é bastante fácil obter a função velocidade.

a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}

a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}

\Delta v = a_{m}\Delta t

\Delta v = a_{m}\Delta t

v - v_{0} = a_{m}\,(t-t_0)

v - v_{0} = a_{m}\,(t-t_0)

v= v_{0} + a_{m}\,(t-t_0)

v= v_{0} + a_{m}\,(t-t_0)

\Rightarrow

\Rightarrow

Desenvolvendo essa equação:

A função velocidade é a equação de uma reta no gráfico $v_x \times t$ .

As constantes ( $v_{0x},t_0$ ) são as condições iniciais e não alteram o valor da aceleração.

v_{x}

v_{x}

a_{x} (t-t_0)

a_{x} (t-t_0)

v_{0x}

v_{0x}

$a_{m,x} \equiv$ inclinação

A inclinação da reta é constante e numericamente igual à aceleração.

Gráfico da velocidade em função do tempo

\Rightarrow v= v_{0} +\Delta v

\Rightarrow v= v_{0} +\Delta v

Função velocidade para o movimento com aceleração constante

O gráfico da aceleração em função do tempo é uma reta paralela ao eixo dos tempos.

a = constante

a = constante

a=\frac{27,8\,\text{m/s}-0}{2,9\,\text{s}}

a=\frac{27,8\,\text{m/s}-0}{2,9\,\text{s}}

a=9,6\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a=9,6\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a=\frac{55,6\,\text{m/s}-0}{7,8\,\text{s}}

a=\frac{55,6\,\text{m/s}-0}{7,8\,\text{s}}

a=7,1\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a=7,1\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

3

3

6

6

9

9

t(\text{s})

t(\text{s})

a(\text{m/s}^2)

a(\text{m/s}^2)

3

3

6

6

9

9

\Delta v_x = a_x\Delta t

\Delta v_x = a_x\Delta t

A variação da velocidade é numericamente igual à área sob a curva

\Delta v_x = 27,8\text{ m/s}

\Delta v_x = 27,8\text{ m/s}

\Delta v_x = 55,6\text{ m/s}

\Delta v_x = 55,6\text{ m/s}

Os gráficos para movimento

com aceleração constante

Fonte: https://www.razaoautomovel.com

O gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta inclinada em relação ao eixo dos tempos.

v= v_{0} + a(t_f-t_0)

v= v_{0} + a(t_f-t_0)

a=\frac{27,8\,\text{m/s}-0}{2,9\,\text{s}}

a=\frac{27,8\,\text{m/s}-0}{2,9\,\text{s}}

a=9,6\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a=9,6\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a=\frac{55,6\,\text{m/s}-0}{7,8\,\text{s}}

a=\frac{55,6\,\text{m/s}-0}{7,8\,\text{s}}

a=7,1\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a=7,1\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

3

3

6

6

9

9

t(\text{s})

t(\text{s})

v(\text{m/s})

v(\text{m/s})

20

20

40

40

60

60

\Delta x = v_m\Delta t

\Delta x = v_m\Delta t

O deslocamento é numericamente igual à área sob a curva

A aceleração é numericamente igual à inclinação da curva.

a=\frac{\Delta v_m}{\Delta t}

a=\frac{\Delta v_m}{\Delta t}

v = v_{0} + \Delta v

v = v_{0} + \Delta v

Os gráficos para movimento

com aceleração constante

Fonte: https://www.razaoautomovel.com

v_{m} = \frac{v_i+v_f}{2}

v_{m} = \frac{v_i+v_f}{2}

Se $v$ e $a$ possuem o mesmo sinal, o movimento é dito acelerado.

Estudo 1. Aceleração constante. Correndo aceleradamente.

A função posição

x(t) = 1,0+0,1t+0,2t^2

x(t) = 1,0+0,1t+0,2t^2

v(t) = 0,1+0,4t

v(t) = 0,1+0,4t

A função velocidade

A função aceleração

a(t) = 0,4

a(t) = 0,4

O objeto viaja no sentido positivo do eixo x: $v>0$

\vec v

\vec v

\vec v

\vec v

\Rightarrow v(5)>v(0)

\Rightarrow v(5)>v(0)

\Rightarrow \Delta v >0

\Rightarrow \Delta v >0

\Rightarrow a >0

\Rightarrow a >0

Por definição, a aceleração $\vec a_{m}$ sempre aponta na mesma direção que a variação da velocidade $\Delta \vec v$ .

O componente $x$ da velocidade do carro aumentou:

v(5)=+2,1\text{ m/s}

v(5)=+2,1\text{ m/s}

v(0)=+0,1\text{ m/s}

v(0)=+0,1\text{ m/s}

A variação do componente $x$ da velocidade é positiva:

\Delta v = +2,0\text{ m/s}

\Delta v = +2,0\text{ m/s}

A componente $x$ da aceleração é positiva e constante:

a = 0,4\text{ m/s}^2 > 0

a = 0,4\text{ m/s}^2 > 0

Colab

\vec a_m

\vec a_m

\vec v_{1}

\vec v_{1}

\vec v_{2}

\vec v_{2}

x

x

\vec v_{1}

\vec v_{1}

\Delta \vec v

\Delta \vec v

Movimento acelerado

Repare que a curva está acima da tangente

Viajando para frente: $v > 0$ .

a > 0

a > 0

Se $v_x$ e $a_x$ possuem o mesmo sinal, o movimento é acelerado.

\Delta x_1

\Delta x_1

\Delta t_1

\Delta t_1

\Delta x_2

\Delta x_2

\Delta t_2

\Delta t_2

v > 0

v > 0

\Delta\vec v > 0

\Delta\vec v > 0

A velocidade ficou "mais positiva". Então, aumentou.

\vec v_{2} > \vec v_{1}

\vec v_{2} > \vec v_{1}

Fonte: www.pixbay.com

Estudo 1. Aceleração constante. Correndo aceleradamente.

$a$ e $v$ no mesmo sentido.

Se $v_x$ e $a_x$ possuem os sinais opostos, o movimento é dito retardado.

A função posição

x(t) = 1,0+2,0t-0,1t^2

x(t) = 1,0+2,0t-0,1t^2

v(t) = 2,0-0,2t

v(t) = 2,0-0,2t

A função velocidade

A função aceleração

a(t) = -0,2

a(t) = -0,2

O objeto viaja no sentido positivo do eixo x: $v > 0$ .

\Rightarrow v(5)< v(0)

\Rightarrow v(5)< v(0)

\Rightarrow \Delta v <0

\Rightarrow \Delta v <0

\Rightarrow a < 0

\Rightarrow a < 0

Por definição, a aceleração $\vec a_{m}$ sempre aponta na mesma direção que a variação da velocidade $\Delta \vec v$ .

O componente $x$ da velocidade do carro diminuiu:

v(5)=+1,0\text{ m/s}

v(5)=+1,0\text{ m/s}

v(0)=+2,0\text{ m/s}

v(0)=+2,0\text{ m/s}

A variação do componente $x$ da velocidade é negativa:

\Delta v = -1,0\text{ m/s}

\Delta v = -1,0\text{ m/s}

A componente $x$ da aceleração é negativa e constante:

a =- 0,2\text{ m/s}^2 > 0

a =- 0,2\text{ m/s}^2 > 0

\vec v

\vec v

\vec v

\vec v

Colab

Estudo 1. Aceleração constante. Correndo aceleradamente.

a < 0

a < 0

\vec v_{1}

\vec v_{1}

\vec v_{2}

\vec v_{2}

x

x

Movimento retardado

Repare que a curva está abaixo da tangente

Viajando para frente: $v>0$

Se $v_x$ e $a_x$ possuem os sinais opostos, o movimento é retardado.

\Delta x_1

\Delta x_1

\Delta t_1

\Delta t_1

\Delta x_2

\Delta x_2

\Delta t_2

\Delta t_2

v > 0

v > 0

\Delta \vec v < 0

\Delta \vec v < 0

\vec v_{1}

\vec v_{1}

\Delta \vec v

\Delta \vec v

\vec a_m

\vec a_m

A velocidade ficou "menos positiva". Então, diminuiu.

\vec v_{2} < \vec v_{1}

\vec v_{2} < \vec v_{1}

Fonte: www.pixbay.com

Estudo 1. Aceleração constante. Correndo aceleradamente.

$a$ e $v$ são opostos.

A função posição

x(t) = 20-1,0t-0,1t^2

x(t) = 20-1,0t-0,1t^2

v(t) =- 1,0-0,2t

v(t) =- 1,0-0,2t

A função velocidade

A função aceleração

a(t) = -0,2

a(t) = -0,2

O objeto viaja no sentido negativo do eixo x: $v < 0$

\Rightarrow v(5)< v(0)

\Rightarrow v(5)< v(0)

\Rightarrow \Delta v <0

\Rightarrow \Delta v <0

\Rightarrow a < 0

\Rightarrow a < 0

Por definição, a aceleração $\vec a_{m}$ sempre aponta na mesma direção que a variação da velocidade $\Delta \vec v$ .

O componente $x$ da velocidade do carro diminuiu:

v(5)=-2,0\text{ m/s}

v(5)=-2,0\text{ m/s}

v(0)=-1,0\text{ m/s}

v(0)=-1,0\text{ m/s}

A variação do componente $x$ da velocidade é negativa:

\Delta v = -1,0\text{ m/s}

\Delta v = -1,0\text{ m/s}

A componente $x$ da aceleração é negativa e constante:

a =- 0,2\text{ m/s}^2 < 0

a =- 0,2\text{ m/s}^2 < 0

\vec v

\vec v

\vec v

\vec v

Se $v_x$ e $a_x$ possuem o mesmo sinal, o movimento é dito acelerado.

Colab

Estudo 1. Aceleração constante. Correndo aceleradamente.

a < 0

a < 0

Movimento acelerado

Repare que a curva está abaixo da tangente

Viajando para trás: $v < 0$

x

x

\vec v_{2}

\vec v_{2}

\vec v_{1}

\vec v_{1}

Se $v$ e $a$ possuem o mesmo sinal, o movimento é acelerado.

v < 0

v < 0

\Delta\vec v < 0

\Delta\vec v < 0

A velocidade ficou "mais negativa". Então, diminui.

\vec v_{2} < \vec v_{1}

\vec v_{2} < \vec v_{1}

\vec v_{1}

\vec v_{1}

\Delta \vec v

\Delta \vec v

\vec a_m

\vec a_m

\Delta x_1

\Delta x_1

\Delta t_1

\Delta t_1

\Delta x_2

\Delta x_2

\Delta t_2

\Delta t_2

Fonte: www.pixbay.com

Estudo 1. Aceleração constante. Correndo aceleradamente.

$a$ e $v$ no mesmo sentido.

A função posição

x(t) = 20-2,0t+0,1t^2

x(t) = 20-2,0t+0,1t^2

v(t) =-2,0+0,2t

v(t) =-2,0+0,2t

A função velocidade

A função aceleração

a(t) = +0,2

a(t) = +0,2

O objeto viaja no sentido negativo do eixo x: $v < 0$

\Rightarrow v(5)> v(0)

\Rightarrow v(5)> v(0)

\Rightarrow \Delta v >0

\Rightarrow \Delta v >0

\Rightarrow a> 0

\Rightarrow a> 0

Por definição, a aceleração $\vec a_{m}$ sempre aponta na mesma direção que a variação da velocidade $\Delta \vec v$ .

O componente $x$ da velocidade do carro aumentou:

v(5)=-1,0\text{ m/s}

v(5)=-1,0\text{ m/s}

v(0)=-2,0\text{ m/s}

v(0)=-2,0\text{ m/s}

A variação do componente $x$ da velocidade é positiva:

\Delta v_= +1,0\text{ m/s}

\Delta v_= +1,0\text{ m/s}

A componente $x$ da aceleração é positiva e constante:

a = +0,2\text{ m/s}^2 > 0

a = +0,2\text{ m/s}^2 > 0

\vec v

\vec v

\vec v

\vec v

Se $v$ e $a$ possuem os sinais opostos, o movimento é dito retardado.

Colab

Estudo 1. Aceleração constante. Correndo aceleradamente.

a > 0

a > 0

Movimento retardado

Repare que a curva está acima da tangente

Viajando para trás: $v < 0$

Se $v$ e $a$ possuem sinais contrários, o movimento é retardado.

x

x

\vec v_{2}

\vec v_{2}

\vec v_{1}

\vec v_{1}

\vec v_{1}

\vec v_{1}

\Delta \vec v

\Delta \vec v

\vec a_m

\vec a_m

v < 0

v < 0

\Delta \vec v > 0

\Delta \vec v > 0

A velocidade ficou "menos negativa". Então, aumentou.

\vec v_{2} >\vec v_{1}

\vec v_{2} >\vec v_{1}

\Delta x_1

\Delta x_1

\Delta t_1

\Delta t_1

\Delta x_2

\Delta x_2

\Delta t_2

\Delta t_2

Fonte: www.pixbay.com

Estudo 1. Aceleração constante. Correndo aceleradamente.

$a$ e $v$ são opostos.

O aceleração vetorial média tem a direção da variação do vetor velocidade no intervalo de tempo decorrido.

Acelerado x Desacelerado

\vec v_2

\vec v_2

\vec a_m=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}

\vec a_m=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}

A rapidez aumenta e $\vec a \text{ é paralelo } \vec v$ .

A rapidez diminui e $\vec a \text{ é antiparalelo } \vec v$ .

Acelerando

Desacelerando

t_0 = 0\text{ s}

t_0 = 0\text{ s}

t_1 = 0,5\text{ s}

t_1 = 0,5\text{ s}

t_2 = 1,0\text{ s}

t_2 = 1,0\text{ s}

\vec v_1

\vec v_1

\hat i

\hat i

\hat j

\hat j

t_0 = 0\text{ s}

t_0 = 0\text{ s}

t_1 = 0,5\text{ s}

t_1 = 0,5\text{ s}

t_2 = 1,0\text{ s}

t_2 = 1,0\text{ s}

\vec v_1

\vec v_1

\vec v_2

\vec v_2

\hat i

\hat i

\hat j

\hat j

\vec v_2

\vec v_2

\vec v_1

\vec v_1

Aceleração constante e velocidade crescente

\Delta \vec v

\Delta \vec v

\vec a

\vec a

Aceleração constante e velocidade decrescente

\vec v_2

\vec v_2

\vec v_1

\vec v_1

\Delta \vec v

\Delta \vec v

\vec a

\vec a

\vec a

\vec a

\vec a

\vec a

Tente simular os movimentos para as quatro situações apresentadas antes de resolver os exercícios. Entenda o movimento!

Aula 03

Fundamentos da Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

BCT - ECT - UFRN