Aula 03

Fundamentos da Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

BCT - ECT - UFRN

Objetivos

Descrever o movimento acelerado.

Obter a função posição do movimento acelerado.

Obter a função velocidade do movimento acelerado.

Definir a aceleração.

Estudar os gráficos:

Posição em função do tempo; Velocidade em função do tempo; Aceleração em função do tempo.

Identificar o Movimento Retilíneo Uniforme Variado (MRUV).

Quando a velocidade é constante no tempo.

O movimento é tal que se observa deslocamentos uniformes em intervalos de tempos iguais.

A função movimento é a equação de uma reta:

x = 0,10t

A velocidade é calculada a partir da derivada da função posição no tempo:

v=\frac{dx}{dt} \Rightarrow v = 0,10\text{ m/s}

O gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta paralela ao eixo dos tempos.

\Delta t = 1,0\text{ s}

\vec v

No Movimento Retilíneo Uniforme a velocidade é constante.

\Delta x = 10\text{ m}

\Delta x = 0,10\text{ m}

com inclinação constante.

Às vezes, a velocidade de um objeto é constante.

Uma vez que a velocidade é um vetor, ela pode variar de duas maneiras:

O módulo pode mudar, indicando uma variação da rapidez.

A orientação pode mudar, indicando uma alteração da orientação do movimento do objeto.

\(\vec v_1\) é constante

\(\vec v_2\) é constante

Com mais freqüência, a velocidade de um objeto varia enquanto ele se move.

\(\vec v_3\) não é constante

\(\vec v_4\) não é constante

Quando a velocidade não é constante no tempo

Movimentos onde a velocidade varia no tempo são mais comuns.

Quando a velocidade não é constante no tempo

Movimentos onde a velocidade varia no tempo são chamados de acelerados.

\Delta x_2 \neq \Delta x_1

v_2 \neq v_1

\vec v_1

\vec v_2

\Delta x_1

\Delta x_2

Na prova dos 100 m nado costas a rapidez não é constante a cada intervalo de tempo.

No gráfico posição x tempo, a inclinação da reta muda indicando que a velocidade não é constante.

No gráfico velocidade x tempo, a inclinação da reta não é exatamente paralela ao eixo dos tempos.

Movimentos acelerados são observados frequentemente na natureza.

Caindo ou pulando de uma pequena altura

Descendo ou subindo sobre uma rampa

Correndo ...

Movimentos acelerados (variação da velocidade no tempo)

Queda livre

Plano inclinado

Correndo aceleradamente!

Fonte: https://www.pxfuel.com

Fonte: https://en.wikipedia.org

Fonte: www.pixbay.com

Nós vamos estudar três tipos de movimentos onde a aceleração é constante.

A aceleração média de um objeto é a variação no componente da velocidade dividida pelo intervalo de tempo durante o qual essa variação ocorreu.

a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_f-t_i}

A palavra média reforça a ideia de que a velocidade pode variar a taxas diferentes.

No Sistema Internacional:

a_m\equiv\frac{\text{[m]/[s]}}{\text{[s]}}=\frac{\text{[m]}}{\text[s]^2}

metros por segundo por segundo

Se \(v\) varia de 0 a +5,0 m/s em 1,0 s:

a_m=5,0\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

O componente da velocidade aumenta por +5,0 m/s a cada segundo.

Se \(v\) varia de +5,0 m/s a +10,0 m/s em 1,5 s:

a_m=3,3\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

O componente da velocidade aumenta por +3,3 m/s a cada segundo.

Definição de aceleração média

Se a velocidade de um objeto está variando no tempo, o objeto está acelerando.

A velocidade varia de 0 a 100 km/h em 2,9 s.

A velocidade varia de 0 a 200 km/h em 7,8 s.

\(v_{max}\) = 340 km/h

A velocidade varia 9,6 m/s a cada s.

A velocidade varia 7,1 m/s a cada s.

a_m=\frac{27,8\,\text{m/s}-0}{2,9\,\text{s}-0}

a_m=9,6\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a_m=\frac{55,6\,\text{m/s}-0}{7,8\,\text{s}}

a_m=7,1\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

A velocidade varia de 0 a 27,8 m/s em 2,9 s.

\Rightarrow

A velocidade varia de 0 a 55,6 m/s em 7,8 s.

\Rightarrow

Ferrari F8

a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_f-t_i}

a aceleração é constante nesse intervalo de tempo.

Fonte: https://www.razaoautomovel.com

Definição de aceleração média

O vetor aceleração média define de quanto o vetor velocidade varia por unidade de tempo.

A aceleração da Ferrari 348TB é constante nos intervalos de tempo analisados.

Como a aceleração é constante, a velocidade média após 5 segundos deve ser:

\vec a_1 = \frac{10\text{ km/h }}{0,5\text{ s}}\hat i

\vec a_2 = \frac{10\text{ km/h }}{0,5\text{ s}}\hat i

v_m =100\frac{\text{km}}{\text{h}}

=\frac{1,0\times 10^5\text{ m}}{3600\text{ s}}=27,8\frac{m}{s}

a_m =\frac{27,8\text{m/s}}{5,0\text{ s}}=5,6\text{ m/s}^2

Aceleração vetorial média

\hat i

\hat j

t_0 = 0\text{ s}

\vec v_1 = 10\text{ km/h }\hat i

t_1 = 0,5\text{ s}

\vec v_2=20\text{ km/h }\hat i

t_2 = 1,0\text{ s}

\vec a_m=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}

v_m = \frac{10\text{ km/h}}{0,5\text{ s}}(5\text{ s})

Para descrever a maneira como o vetor velocidade varia, é necessário o conceito de aceleração.

O significado de vetor aceleração média pode ser ilustrado considerando-se uma Ferrari 348TB:

Durante um intervalo de tempo transcorrido \(\Delta t\) o vetor velocidade varia de um valor inicial \(\vec v_1\) para um valor final \(\vec v_2\). Então, \(\Delta \vec v = \vec v_2 -\vec v_1\) no intervalo \(\Delta t=t_2-t_1\). Define-se a aceleração vetorial média a partir da razão:

\vec a_m=\frac{\vec v_2-\vec v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}

t_0 = 0\text{ s}

Aceleração vetorial média

\hat i

\hat j

\vec v_2 = \vec v_1+\Delta \vec v

\vec v_2=20\text{ km/h }\hat i

t_2 = 1,0\text{ s}

t_1 = 0,5\text{ s}

\vec v_1 = 10\text{ km/h }\hat i

O aceleração vetorial média tem a direção da variação do vetor velocidade no intervalo de tempo decorrido.

Aceleração vetorial média

\vec v_2

\vec a_m=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}

A rapidez aumenta porque \(\vec a \text{ é paralelo } \vec v\).

A rapidez diminui porque \(\vec a \text{ é antiparalelo } \vec v\).

Acelerando

Desacelerando

t_0 = 0\text{ s}

t_1 = 0,5\text{ s}

t_2 = 1,0\text{ s}

\vec v_1

\hat i

\hat j

t_0 = 0\text{ s}

t_1 = 0,5\text{ s}

t_2 = 1,0\text{ s}

\vec v_1

\vec v_2

\hat i

\hat j

\vec v_2

\vec v_1

Aceleração constante e Velocidade Crescente

\Delta \vec v

\vec a

Aceleração constante e Velocidade Decrescente

\vec v_2

\vec v_1

\Delta \vec v

\vec a

Exemplo 1

O componente da velocidade de um carro aumenta de 0 para +5,0 m/s em 1,0 s e depois de +5,0 m/s e +10 m/s nos próximos 2,0 s.

Qual é o componente de sua aceleração média:

(a) durante o primeiro segundo,

(b) durante os últimos 2 segundos e

a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_f-t_i}

a= +5,0 \text{m/s}^2

a= +2,5 \text{m/s}^2

a= +3,3 \text{m/s}^2

No movimento acelerado se observa deslocamentos variados em tempos iguais.

Como será a função posição?

x(t) = ?

A velocidade varia uniformemente no tempo. Qual será a função velocidade?

a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}

Sabemos que a aceleração média é constante e é dada por meio da equação:

v(t) = ?

Função velocidade e posição para o movimento com aceleração constante

Quando a aceleração média é constante é bastante fácil obter a função velocidade.

a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}

\Delta v = a_{m}\Delta t

v - v_{0} = a_{m}\,(t-t_0)

v= v_{0} + a_{m}\,(t-t_0)

\Rightarrow

Desenvolvendo essa equação:

A função velocidade é a equação de uma reta no gráfico \(v_x \times t\).

As constantes (\(v_{0x},t_0\)) são as condições iniciais e não alteram o valor da aceleração.

v_{x}

a_{x} (t-t_0)

v_{0x}

\(a_{m,x} \equiv \) inclinação

A inclinação da reta é numericamente igual à aceleração.

Gráfico da velocidade em função do tempo

\Rightarrow v= v_{0} +\Delta v

Função velocidade para o movimento com aceleração constante

Exemplo 2

Um objeto tem uma velocidade inicial \(v_i = 8\) m/s no instante inicial \(t_i = 0\) s e sua aceleração é constante e vale \(a = 3\) m/s\(^2\).

v(t) = 8+3t

Qual o valor da aceleração média entre os tempos t = 1 s e t = 4 s.

Agora, a velocidade inicial passa a ser \(v_i = 23\) m/s, no instante inicial \(t_i = 5\) s. A aceleração ainda é constante e vale \(a = 3\) m/s\(^2\).

Escreva a função velocidade.

v(t) = 23+3(t-5)

Qual o valor da aceleração média entre os tempos t = 6 s e t = 8 s.

v_m = 3,0\text{ m/s}

A função posição pode ser obtida facilmente a partir do gráfico da velocidade em função do tempo e da definição da aceleração média: \(a_{m,x}=\Delta v/\Delta t\).

A área sob a curva da velocidade é numericamente igual ao deslocamento do objeto!

\(a_x \equiv \) inclinação

Gráfico da velocidade em função do tempo

+\frac{b\times h}{2}

=b\times H

+\frac{\Delta t\Delta v}{2}

\equiv\Delta t\, v_{0}

Note que: .

\Delta v = a \Delta t

Então:

+\frac{a(\Delta t)^2}{2}

\,v_{0}\,\Delta t

\Delta x =

+\frac{a(\Delta t)^2}{2}

\equiv\,v_{0}\,\Delta t

A=A+A

A dimensão dessa equivalência é comprimento. Assim, \(A\equiv \Delta x\) e

x=x_0+v_{0}\,\Delta t + \frac{1}{2}a(\Delta t)^2

A função posição para o movimento com aceleração constante é:

Função posição para o movimento com aceleração constante

O movimentos com aceleração constante é chamado de Movimento Retilíneo Uniforme Variado.

x = x_0+ v_{0x}t + \frac{1}{2}a_xt^2

v= v_{0x} + a_xt

a=a_x

x = x_0+ v_x\,t

v_x = v_{0x}

a_x =0

x_0

v_{0x}t

\frac{1}{2}a_xt^2

v_{0x}

a_xt

a_x

Velocidade Constante (MRU)

Aceleração Constante (MRUV)

Os gráficos para movimento

com aceleração constante

O gráfico da aceleração em função do tempo é uma reta paralela ao eixo dos tempos.

a = constante

a=\frac{27,8\,\text{m/s}-0}{2,9\,\text{s}}

a=9,6\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a=\frac{55,6\,\text{m/s}-0}{7,8\,\text{s}}

a=7,1\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

t(\text{s})

a(\text{m/s}^2)

\Delta v_x = a_x\Delta t

A variação da velocidade é numericamente igual à área sob a curva

\Delta v_x = 27,8\text{ m/s}

\Delta v_x = 55,6\text{ m/s}

Os gráficos para movimento

com aceleração constante

Fonte: https://www.razaoautomovel.com

O Gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta inclinada em relação ao eixo dos tempos.

v= v_{0} + a(t_f-t_0)

a=\frac{27,8\,\text{m/s}-0}{2,9\,\text{s}}

a=9,6\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a=\frac{55,6\,\text{m/s}-0}{7,8\,\text{s}}

a=7,1\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

t(\text{s})

v(\text{m/s})

\Delta x = v\Delta t

O deslocamento é numericamente igual à área sob a curva

A aceleração é numericamente igual à inclinação da curva.

a=\frac{\Delta v_x}{\Delta t}

v = v_{0} + \Delta v

Os gráficos para movimento

com aceleração constante

Fonte: https://www.razaoautomovel.com

Exemplo 3

Para cada um dos quatro gráficos x versus t na figura, responda às seguintes questões:

(a) A velocidade no tempo \(t_2\) é maior, menor ou igual à velocidade no tempo \(t_1\)?

No movimento unidimensional, a velocidade é a inclinação de um gráfico de posição-tempo e pode ser positiva ou negativa. Por outro lado, a rapidez é a magnitude da velocidade e só pode ser positiva.

v_2 < v_1

v_2 = v_1

v_2 > v_1

v_2 < v_1

|v_2| < |v_1|

|v_2| = |v_1|

|v_2| < |v_1|

|v_2| > |v_1|

(b) A rapidez no tempo \(t_2\) é maior, menor ou igual à rapidez no tempo \(t_1\)?

Exemplo 4

Verdadeiro/falso:

(a) Se a aceleração de um objeto é sempre zero, então ele não pode estar se movendo.

(b) Se a aceleração de um objeto é sempre zero, então sua curva x versus t deve ser uma linha reta.

(c) Se a aceleração de um objeto é não-nula em um instante, ele pode estar momentaneamente em repouso nesse instante.

(a) F

(b) V

Exemplo 5

Você está dirigindo um Porsche que acelera uniformemente de 80,5 km/h em t = 0,00 s para 113 km/h em t = 9,00 s.

(a) Qual dos gráficos da figura melhor descreve a velocidade de seu carro?

(b) Esboce um gráfico posição versus tempo mostrando a localização de seu carro durante estes nove segundos, supondo que sua posição x é zero em t = 0.

x(t) = 22,4 t +\frac{1}{2}(1,00)t^2

Exemplo 6

Quais das curvas posição versus tempo da figura mostram melhor o movimento de um objeto:

(1) com aceleração positiva,

(2) com velocidade constante positiva,

(3) que está sempre em repouso e

(4) com aceleração negativa?

(1) d

(2) b

(3) e

(4) a, c

Atenção: Aceleração negativa não significa desaclerar!

Exemplo 7

Quais das curvas velocidade versus tempo da figura melhor descrevem o movimento de um objeto:

(a) com aceleração constante positiva,

(b) com aceleração positiva que decresce com o tempo,

(d) sem aceleração?

(1) b

(2) c

(3) d

(4) e

Atenção: Aceleração negativa não significa desaclerar!