Aula 05

Fundamentos da Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

BCT - ECT - UFRN

Objetivos

Analisar o movimento no plano.

Estudar o lançametno oblíquo.

Estudar o lançamento horizontal.

Bibliografia ( mesma da aula anterior ):

Tipler - Cap. 3

Seções 3.1 e 2.3 (págs. 63 a 65 e 68 a 77)

- Ignorar a secão Velocidade Relativa.

- Faça os exercícios resolvidos.

Referencial do Carro x Referencial da Terra

O movimento é relativo

Fontes: https://youtu.be/mYH_nODWkqk?si=yGDkNFZhEbZVs7Y6

O movimento é relativo

Considere o movimento de uma bola lançada do topo de um canhão anexado a um carrinho que se move a velocidade constante ao longo de uma pista horizontal:

É um movimento acelerado em linha reta, no referencial do carrinho v⃗carro=0⃗\vec v_{carro} = \vec 0.

Fonte: https://www.compadre.org

É um movimento acelerado curvilíneo, no referencial da Terra v⃗carro=c⃗\vec v_{carro} = \vec c.

Como os dois referenciais são inerciais (v⃗c=constante\vec v_c = constante) ambos observadores medem a mesma aceleração de queda livre para a bola:

O movimento depende do referencial do observador.

v⃗c=0⃗\vec v_{c}=\vec 0
\vec v_{c}=\vec 0
v⃗c\vec v_{c}
\vec v_{c}
a⃗bola=−g⃗\vec a_{bola} = -\vec g
\vec a_{bola} = -\vec g

As animações 4 e 5 não são referenciais inercial!

Referencial do Carro x Referencial da Terra

O movimento é relativo

O movimento da bola no referencial da Terra pode ser dividido em duas partes:

Movimento de lançcamento vertical e queda livre na direção vertical (chamada componente vertical do movimento)

Nesse caso, há um MRUV.

Movimento à velocidade constante na direção horizontal (chamado de componente horizontal do movimento).

Nesse caso, há um MRU.

Fonte: https://www.compadre.org

Estamos estudando a independência dos movimentos de Galileu.

Referencial do Carro x Referencial da Terra

Fonte: https://www.compadre.org

v⃗c\vec v_{c}
\vec v_{c}
v⃗x\vec v_x
\vec v_x
v⃗y\vec v_y
\vec v_y
v⃗x\vec v_x
\vec v_x
v⃗y\vec v_y
\vec v_y

Movimento no plano. Referencial da Terra

Vejamos, primeiramente as coordenadas da bolinha no referencial da Terra em dois instantes de tempo distintos.

Fonte: https://www.compadre.org

Fonte: https://www.compadre.org

y(m)y(m)
y(m)
x(m)x(m)
x(m)
r⃗2\vec r_2
\vec r_2
r⃗2=x2i^+y2j^\vec r_2 = x_2\hat i + y_2\hat j
\vec r_2 = x_2\hat i + y_2\hat j

No tempo t = 4,3 s.

r⃗1\vec r_1
\vec r_1
x(m)x(m)
x(m)
y(m)y(m)
y(m)
r⃗1=x1i^+y1j^\vec r_1 = x_1\hat i + y_1\hat j
\vec r_1 = x_1\hat i + y_1\hat j

No tempo t = 2,8 s.

r⃗(t)=x(t)i^+y(t)j^\vec r(t)=x(t)\hat i+y(t)\hat j
\vec r(t)=x(t)\hat i+y(t)\hat j

Para qualquer tempo t:

r⃗1=(2,0i^+5,0j^) m\vec r_1 = (2,0\hat i + 5,0\hat j)\text{ m}
\vec r_1 = (2,0\hat i + 5,0\hat j)\text{ m}
r⃗2=(3,5i^+2,5j^) m\vec r_2 = (3,5\hat i + 2,5\hat j) \text{ m}
\vec r_2 = (3,5\hat i + 2,5\hat j) \text{ m}

A partir dos vetores posições r⃗1\vec r_1 e r⃗2\vec r_2 é possível determinar o deslocamento (Δr⃗\Delta \vec r ) da bolinha no plano.

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)x(m)
x(m)
y(m)y(m)
y(m)
r⃗1\vec r_1
\vec r_1
r⃗2\vec r_2
\vec r_2
Δr⃗\Delta \vec r
\Delta \vec r

O vetor deslocamento da bola:

Δr⃗=r⃗2−r⃗1\Delta \vec r = \vec r_2 - \vec r_1
\Delta \vec r = \vec r_2 - \vec r_1
Δr⃗=Δxi^+Δyj^\Delta \vec r = \Delta x \hat i + \Delta y\hat j
\Delta \vec r = \Delta x \hat i + \Delta y\hat j
PP
P
RR
R

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)x(m)
x(m)
y(m)y(m)
y(m)
−Δyj^-\Delta y \hat j
-\Delta y \hat j
Δxi^\Delta x \hat i
\Delta x \hat i
Δr⃗\Delta \vec r
\Delta \vec r

Esse é o deslocamento entre os dois instantes de tempo t1t_1 e t2t_2.

Δr⃗=(x2−x1)i^+(y2−y1)j^\Delta \vec r = (x_2-x_1)\hat i + (y_2-y_1)\hat j
\Delta \vec r = (x_2-x_1)\hat i + (y_2-y_1)\hat j
Δr⃗=(1,5i^−2,5j^) m\Delta \vec r = (1,5 \hat i -2,5 \hat j)\text{ m}
\Delta \vec r = (1,5 \hat i -2,5 \hat j)\text{ m}
t1=2,8 st_1=2,8\text{ s}
t_1=2,8\text{ s}
t2=4,3 st_2=4,3\text{ s}
t_2=4,3\text{ s}
r⃗1=(2,0i^+5,0j^) m\vec r_1 = (2,0\hat i + 5,0\hat j)\text{ m}
\vec r_1 = (2,0\hat i + 5,0\hat j)\text{ m}
r⃗2=(3,5i^+2,5j^) m\vec r_2 = (3,5\hat i + 2,5\hat j)\text{ m}
\vec r_2 = (3,5\hat i + 2,5\hat j)\text{ m}

Os vetores posições da bolinha são:

Veja, isso vale +1,5i^+1,5\hat i

Veja, isso vale −2,5j^-2,5\hat j

Movimento no plano. Referencial da Terra

A velocidade média é calculada para cada uma das componentes.

O vetor velocidade média é dado por:

v⃗m=Δr⃗Δt\vec v_m = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}
\vec v_m = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}
vx=ΔxΔtv_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}
v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}
=ΔxΔti^+ΔyΔtj^= \frac{\Delta x}{\Delta t} \hat i+ \frac{\Delta y}{\Delta t} \hat j
= \frac{\Delta x}{\Delta t} \hat i+ \frac{\Delta y}{\Delta t} \hat j
vy=ΔyΔtv_y=\frac{\Delta y}{\Delta t}
v_y=\frac{\Delta y}{\Delta t}

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)x(m)
x(m)
y(m)y(m)
y(m)
Δr⃗\Delta \vec r
\Delta \vec r
Δr⃗=(1,5i^−2,5j^)m\Delta \vec r = (1,5 \hat i -2,5 \hat j)\text{m}
\Delta \vec r = (1,5 \hat i -2,5 \hat j)\text{m}
Δt=1,5 s\Delta t = 1,5\text{ s}
\Delta t = 1,5\text{ s}
=1,51,5=+1,0ms=\frac{1,5}{1,5} =+1,0\frac{\text{m}}{\text{s}}
=\frac{1,5}{1,5} =+1,0\frac{\text{m}}{\text{s}}
=−2,51,5=−1,7ms=-\frac{2,5}{1,5}= -1,7 \frac{\text{m}}{\text{s}}
=-\frac{2,5}{1,5}= -1,7 \frac{\text{m}}{\text{s}}
v⃗m=(1,0i^−1,7j^)m/s\vec v_m = (1,0\hat i-1,7\hat j)\text{m/s}
\vec v_m = (1,0\hat i-1,7\hat j)\text{m/s}

Se o vetor deslocamento é dado por:

Δr⃗=(1,5i^−2,5j^)m\Delta \vec r =( 1,5 \hat i -2,5 \hat j)\text{m}
\Delta \vec r =( 1,5 \hat i -2,5 \hat j)\text{m}
Δr⃗=Δxi^+Δyj^\Delta \vec r = \Delta x \hat i + \Delta y\hat j
\Delta \vec r = \Delta x \hat i + \Delta y\hat j
v⃗m\vec v_m
\vec v_m
Δr⃗\Delta \vec r
\Delta \vec r

O vetor velocidade média tem a direção e sentido do vetor deslocamento.

v⃗m\vec v_m
\vec v_m

Movimento no plano. Referencial da Terra

O vetor velocidade instantânea é dado por:

v⃗=lim⁡Δt→0Δr⃗Δt\vec v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}
\vec v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}

Na horizontal (MRU):

vx=lim⁡Δt→0ΔxΔt=dxdtv_x=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} =\frac{dx}{dt}
v_x=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} =\frac{dx}{dt}

Na vertical (MRUV):

vy=lim⁡Δt→0ΔyΔt=dydtv_y=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta t} =\frac{dy}{dt}
v_y=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta t} =\frac{dy}{dt}

O vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória e não tem a mesma direção que o vetor deslocamento Δr⃗\Delta \vec r.

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)x(m)
x(m)
y(m)y(m)
y(m)
v⃗\vec v
\vec v
vxv_x
v_x
vyv_ y
v_ y

A velocidade  instantânea é calculada para cada uma das componentes.

=dr⃗dt=\frac{d\vec r}{dt}
=\frac{d\vec r}{dt}
dyd y
d y
v⃗=vxi^+vyj^\vec v = v_x\hat i + v_y \hat j
\vec v = v_x\hat i + v_y \hat j

O vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória e  tem a direção do vetor deslocamento infinitesimal dr⃗d \vec r.

dxd x
d x

Aqui você precisa das funções: vx,vyv_x,v_y!

Movimento no plano. Referencial da Terra

O vetor aceleração média  é dado por:

a⃗m=Δv⃗Δt\vec a_m = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}
\vec a_m = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}

Na horizontal (MRU):

ax=0a_x=0
a_x=0

Na vertical (MRUV):

ay=ΔvyΔta_y=\frac{\Delta v_y}{\Delta t}
a_y=\frac{\Delta v_y}{\Delta t}

O vetor aceleração média tem a direção da variação do vetor velocidade.

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)x(m)
x(m)
y(m)y(m)
y(m)
vxv_x
v_x
v⃗f\vec v_f
\vec v_f
v⃗i\vec v_i
\vec v_i

A aceleração média é calculada para cada uma das componentes. No movimento de queda livre, lançamento horizontal e vertical há somente a componente vertical da aceleração.

v⃗i\vec v_i
\vec v_i
v⃗f\vec v_f
\vec v_f
Δv⃗\Delta \vec v
\Delta \vec v
a⃗m\vec a_m
\vec a_m

Aqui você precisa das funções: vx,vyv_x,v_y!

Movimento no plano. Referencial da Terra

vxv_x
v_x
vyv_y
v_y
vyv_y
v_y

O vetor aceleração instantânea tem a direção do vetor velocidade infinitesimal.

a⃗=Δv⃗Δt=lim⁡Δt→0Δv⃗Δt=dv⃗dt\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} =\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac{d\vec v}{dt}
\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} =\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac{d\vec v}{dt}

Na horizontal (MRU):

ax=lim⁡Δt→0ΔvxΔt=dvxdta_x=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_ x}{\Delta t} =\frac{dv_x}{dt}
a_x=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_ x}{\Delta t} =\frac{dv_x}{dt}

Na vertical (MRUV):

ax=0a_x=0
a_x=0
ay=−ga_y=-g
a_y=-g
ay=lim⁡Δt→0ΔvyΔt=dvydta_y=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_y}{\Delta t} =\frac{dv_y}{dt}
a_y=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_y}{\Delta t} =\frac{dv_y}{dt}
⇒\Rightarrow
\Rightarrow
⇒\Rightarrow
\Rightarrow

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)x(m)
x(m)
y(m)y(m)
y(m)
−ayj^-a_ y \hat j
-a_ y \hat j
−ayj^-a_ y \hat j
-a_ y \hat j

A aceleração média é calculada para cada uma das componentes. No movimento de queda livre, lançamento horizontal e vertical há somente a componente vertical da aceleração.

Aqui você precisa das funções: vx,vyv_x,v_y!

Movimento no plano. Referencial da Terra

No movimento no plano a velocidade instantânea e a aceleração não apontam na mesma direção.

Fonte: https://www.compadre.org

Fonte: https://www.compadre.org

A bola diminui a velocidade

A bola está instantaneamente em repouso

A bola aumenta a velocidade

x(m)x(m)
x(m)
y(m)y(m)
y(m)
v⃗\vec v
\vec v
a⃗\vec a
\vec a
x(m)x(m)
x(m)
y(m)y(m)
y(m)
v⃗\vec v
\vec v
a⃗\vec a
\vec a

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)x(m)
x(m)
y(m)y(m)
y(m)
v⃗\vec v
\vec v
a⃗\vec a
\vec a
v⃗⋅a⃗<0\vec v \cdot \vec a <0
\vec v \cdot \vec a <0
v⃗⋅a⃗=0\vec v \cdot \vec a =0
\vec v \cdot \vec a =0
v⃗⋅a⃗>0\vec v \cdot \vec a >0
\vec v \cdot \vec a >0

Movimento no plano. Referencial da Terra

Na horizontal (MRU):

Na vertical (MRUV):

A velocidade é a composição dos movimentos MRU e MRUV:

x=x0+v0xtx = x_0+ v_{0x}t
x = x_0+ v_{0x}t
y=y0+v0yt−12gt2y = y_0+ v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
y = y_0+ v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
⇒\Rightarrow
\Rightarrow

O movimento na horizontal é independente do movimento na vertical. Isso é chamado de independência dos movimentos de Galileu.

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)x(m)
x(m)
y(m)y(m)
y(m)
vxv_x
v_x
v⃗\vec v
\vec v
vxv_x
v_x
vyv_ y
v_ y
Δr⃗\Delta \vec r
\Delta \vec r
⇒\Rightarrow
\Rightarrow
vx=v0xv_x=v_{0x}
v_x=v_{0x}
vy=v0y−gtv_y=v_{0y}-gt
v_y=v_{0y}-gt
v⃗=v0xi^+(v0y−gt)j^\vec v = v_{0x}\hat i+(v_{0y}-gt)\hat j
\vec v = v_{0x}\hat i+(v_{0y}-gt)\hat j
v⃗0\vec v_0
\vec v_0
v0xi^v_{0x}\hat i
v_{0x}\hat i
v⃗0yj^\vec v_{0y} \hat j
\vec v_{0y} \hat j
v⃗0=v0xi^+v0yj^\vec v_0 = v_{0x}\hat i+v_{0y}\hat j
\vec v_0 = v_{0x}\hat i+v_{0y}\hat j

A velocidade inicial de lançamento:

Δx\Delta x
\Delta x
Δy\Delta y
\Delta y

Movimento no plano. Referencial da Terra

⇒\Rightarrow
\Rightarrow
ax=0a_x=0
a_x=0
⇒\Rightarrow
\Rightarrow
ay=−ga_y=-g
a_y=-g

Para especificar a posição da bola, precisamos de uma coordenada x para especificar a posição ao longo do eixo x e uma coordenada y para especificar a posição ao longo do eixo y.

Referencial do Carro x Referencial da Terra

Fonte: Eric Mazur

deslocamento Δr⃗\Delta \vec r

vel. instantânea v⃗\vec v

aceleração a⃗=0⃗\vec a =\vec 0

v⃗\vec v é tangente à trajetória

trajetória da bola

a⃗\vec a está na direção de Δv⃗\Delta \vec v

Fonte: Eric Mazur

deslocamento da bola relativamente ao carro

deslocamento do carro

deslocamento da bola relativamente à Terra

Eixo de referência indica o sistema de coordenadas

O movimento é relativo

Os movimentos no plano são úteis para estudar os lançamentos oblíquos e os lançamentos horizontais.

xx
x
yy
y

Fonte: Tipler & Mosca

Fonte: https://www.youtube.com/embed/Yi3CrReo-S0?enablejsapi=1

Movimento no plano: Lançamento oblíquo

Podemos aplicar o princípio da independência dos movimentos de Galileu no movimento parabólico.

Vetores:

Componentes supondo o referencial positivo para cima:

r⃗=xi^+yj^\vec r = x\hat i+y\hat j
\vec r = x\hat i+y\hat j
v⃗=vxi^+vyj^\vec v = v_x\hat i+v_y\hat j
\vec v = v_x\hat i+v_y\hat j
a⃗=axi^+ayj^\vec a = a_x\hat i+a_y\hat j
\vec a = a_x\hat i+a_y\hat j
x=x0+v0xtx=x_0+v_{0x}t
x=x_0+v_{0x}t
y=y0+v0yt−12gt2y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
vx=v0xv_x=v_{0x}
v_x=v_{0x}
vy=v0y−gtv_y=v_{0y}-gt
v_y=v_{0y}-gt
ax=0a_x=0
a_x=0
ay=−ga_y=-g
a_y=-g
v0x=v0 cos(θ)v_{0x} = v_{0}\text{ cos}(\theta)
v_{0x} = v_{0}\text{ cos}(\theta)
v0y=v0 sen(θ)v_{0y}=v_0\text{ sen}(\theta)
v_{0y}=v_0\text{ sen}(\theta)
v0yv0x=tan(θ)\frac{v_{0y}}{v_{0x}}=\text{tan}(\theta)
\frac{v_{0y}}{v_{0x}}=\text{tan}(\theta)

Fonte: https://phet.colorado.edu

Movimento no plano: Lançamento oblíquo

A trajetória. Composição do movimento.

Fonte: Ralliday & Resnick

x=x0+v0xtx=x_0+v_{0x}t
x=x_0+v_{0x}t
y=y0+v0yt−12gt2y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
t=x−x0v0xt=\frac{x-x_0}{v_{0x}}
t=\frac{x-x_0}{v_{0x}}
y=y0+v0y(x−x0v0x)−12g(x−x0v0x)2y=y_0+v_{0y}\left(\frac{x-x_0}{v_{0x}}\right)-\frac{1}{2}g\left(\frac{x-x_0}{v_{0x}}\right)^2
y=y_0+v_{0y}\left(\frac{x-x_0}{v_{0x}}\right)-\frac{1}{2}g\left(\frac{x-x_0}{v_{0x}}\right)^2

A altura:

H=y−y0H = y-y_0
H = y-y_0

O alcance:

R=x−x0R = x-x_0
R = x-x_0
H=v0y(Rv0x)−12g(Rv0x)2H=v_{0y}\left(\frac{R}{v_{0x}}\right)-\frac{1}{2}g\left(\frac{R}{v_{0x}}\right)^2
H=v_{0y}\left(\frac{R}{v_{0x}}\right)-\frac{1}{2}g\left(\frac{R}{v_{0x}}\right)^2
H=R tan(θ)−g2v02 cos2(θ)R2H=R\text{ tan}(\theta)- \frac{g}{2v_0^2\text{ cos}^2(\theta)}R^2
H=R\text{ tan}(\theta)- \frac{g}{2v_0^2\text{ cos}^2(\theta)}R^2

Podemos aplicar o princípio da independência dos movimentos de Galileu no movimento parabólico.

c+bR+aR2=0c+bR+aR^2=0
c+bR+aR^2=0

É uma função quadrática no alcance!

∣b∣>∣4ac∣|b|> |4 a c|

As trajetórias mudam conforme as condições iniciais!

Condições iniciais: v0,θ,y0,x0v_0, \theta, y_0, x_0

Movimento no plano: Lançamento oblíquo

import math

def calcular_raizes(H, V, theta):
    # Constante da gravidade
    g = 9.81  # m/s^2
    
    # Cálculo dos coeficientes a, b, c
    c = H
    b = -math.tan(math.radians(theta))
    a = g / (2 * V**2 * math.cos(math.radians(theta))**2)
    
    # Imprimir os valores de c, b, a com quatro casas decimais
    print(f"c = {c:.4f}")
    print(f"b = {b:.4f}")
    print(f"a = {a:.4f}")
    
    # Passar para a forma clássica da equação quadrática aR^2 + bR + c = 0
    discriminante = b**2 - 4*a*c

    if discriminante < 0:
        print("Erro: Não há raízes reais porque b < 4ac")
    else:
        R1 = (-b + math.sqrt(discriminante)) / (2*a)
        R2 = (-b - math.sqrt(discriminante)) / (2*a)
        # Imprimir as raízes com quatro casas decimais
        print(f"As raízes são R1 = {R1:.4f} e R2 = {R2:.4f}")

# Exemplo de uso:
H = 1.0  # exemplo de altura
V = 10.0  # exemplo de velocidade inicial
theta = 45.0  # exemplo de ângulo em graus

calcular_raizes(H, V, theta)

Pontos particulares:

Altura vertical (vy=0v_y = 0).

H=v0y22gH=\frac{v_{0y}^2}{2g}
H=\frac{v_{0y}^2}{2g}

Altura vertical máxima (θ=90o)\theta = 90^o).

Hmax=v022gH_{max}=\frac{v_{0}^2}{2g}
H_{max}=\frac{v_{0}^2}{2g}

Alcance horizontal (H=0H = 0).

R=2v02gcos(θ)sen(θ)R=\frac{2v_0^2}{g}\text{cos}(\theta)\text{sen}(\theta)
R=\frac{2v_0^2}{g}\text{cos}(\theta)\text{sen}(\theta)

Alcance horizontal máximo (H=0,θ=45oH = 0, \theta = 45^o).

R=v02gR=\frac{v_0^2}{g}
R=\frac{v_0^2}{g}

Podemos aplicar o princípio da independência dos movimentos de Galileu no movimento parabólico.

Fonte: https://phet.colorado.edu

ts=v0ygt_s=\frac{v_{0y}}{g}
t_s=\frac{v_{0y}}{g}
tt=2v0ygt_t=2\frac{v_{0y}}{g}
t_t=2\frac{v_{0y}}{g}
ts=v0gt_s=\frac{v_{0}}{g}
t_s=\frac{v_{0}}{g}
ts=2v0gt_s=2\frac{v_{0}}{g}
t_s=2\frac{v_{0}}{g}

Movimento no plano: Lançamento oblíquo

Movimento no plano: Lançamento horizontal

No instante do lançamento, observa-se:

A velocidade inicial na vertical é nula.

v0y=0v_{0y} = 0
v_{0y} = 0

A velocidade inicial na horizontal é constante:

Podemos aplicar o princípio da independência dos movimentos de Galileu no lançamento horizontal.

Fonte: https://phet.colorado.edu

v0x=constantev_{0x} = constante
v_{0x} = constante
vx=v0xv_x = v_{0x}
v_x = v_{0x}
⇒\Rightarrow
\Rightarrow

A função movimento na horizontal é:

x(t)=x0+vxtx(t) = x_0 + v_x t
x(t) = x_0 + v_x t
⇒\Rightarrow
\Rightarrow
R=+v0xtR= +v_{0x} t
R= +v_{0x} t
⇒\Rightarrow
\Rightarrow
vy=−gtv_y = -g t
v_y = -g t

A função movimento na vertical é:

y(t)=y0−12gt2y(t) = y_0-\frac{1}{2}gt^2
y(t) = y_0-\frac{1}{2}gt^2

Exemplo 1 (A10.P1-01)

Dado o plano cartesiano na figura determine:

  1. Os vetores r⃗1\vec r_1 e r⃗2\vec r_2 e em função dos componentes vetoriais e dos vetores unitários.
  2. O vetor soma s⃗=r⃗1+r⃗2\vec s = \vec r_1 + \vec r_2 em função dos componentes vetoriais e dos vetores unitários.
  3. O vetor diferença Δr⃗=r⃗2−r⃗1\Delta \vec r =\vec r_2 -\vec r_1.
  4. Os ângulos vecr1vec r_1 e r⃗2\vec r_2 que e fazem com o eixo horizontal.

 

Fonte: Chabay & Sherwood

Exemplo 2 (A10.P1-02)

O vetor posição de um íon é inicialmente r = (5,0 i + 6,0 j + 2,0 k) e 10 s depois passa a ser r = - 2,0 i + 8,0 j - 2,0 k, com todos os valores em metros. Na notação de vetores unitários, qual é a velocidade média vmedv_{med} durante os 10 s?

Exemplo 3 (A10.P1-03)

A figura mostra três situações nas quais projéteis iguais são lançados do solo (a partir do mesmo nível) com a mesma velocidade escalar e o mesmo ângulo. Entretanto, os projéteis não caem no mesmo terreno. Ordene as situações de acordo com a velocidade escalar final dos projéteis imediatamente antes de aterrissarem, começando pela maior.

Fonte: Halliday

Exemplo 4 (A10.P1-04)

A figura mostra três trajetórias de uma bola de futebol chutada a partir do chão. Ignorando os efeitos do ar, ordene as trajetórias de acordo (a) com o tempo de percurso, (b) com a componente vertical da velocidade inicial, (c) com a componente horizontal da velocidade inicial e (d) com a velocidade escalar inicial, em ordem decrescente.

Fonte: Halliday

Exemplo 5 (A10.P1-05)

A posição r de uma partícula que se move em um plano xy e dada por

r⃗=[(2,00t3−5,00t)]i^+(6,00−7,00t4)j^] m\vec r = [(2,00t^3 - 5,00 t)]\hat i + (6,00-7,00t^4)\hat j]\text{ m}
\vec r = [(2,00t^3 - 5,00 t)]\hat i + (6,00-7,00t^4)\hat j]\text{ m}

com r⃗\vec r em metros e tt em segundos. Na notação de vetores unitários i^,j^\hat i ,\hat j, calcule:

(a) r⃗\vec r

(b) v⃗\vec v

(c) a⃗\vec a

para t = 2,00 s.

Exemplo 6 (A10.P1-06)

Uma partícula deixa a origem com uma velocidade inicial v⃗0\vec v_0 = ( 3,00 i )m/s e uma aceleração constante a⃗\vec a = (-1,00 i - 0,500 j) m/s2^2. Quando a partícula atinge o máximo valor da coordenada x, quais são (a) a velocidade e (b) o vetor posição?

Exemplo 7 (A10.P1-07)

Um projétil é disparado horizontalmente de uma arma que está 45,0 m acima de um terreno plano, saindo da arma com uma velocidade de 250 m/s. (a) Por quanto tempo o projétil permanece no ar? (b) A que distância horizontal do ponto de disparo o projétil se choca com o solo? (c) Qual é o módulo da componente vertical da velocidade quando o projétil se choca com o solo

Exemplo 8 (A10.P1-08)

Na figura, uma pedra é lançada no alto de rochedo de altura h com uma velocidade inicial de 42,0 m/s e um ângulo θ0\theta_0 = 60,0° com a horizontal. A pedra cai em um ponto A, 5,50 s após o lançamento. Determine (a) a altura h do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A e (c) a máxima altura H alcançada acima do solo.

Fonte: Halliday

Exemplo 9 (A10.P1-09)

Uma bola de futebol é chutada a partir do chão com uma velocidade inicial de 19,5 m/s e um ângulo para cima de 45°. No mesmo instante, um jogador a 55 m de distância na direção do chute, começa a correr para receber a bola. Qual deve ser a velocidade média do jogador para que alcance a bola imediatamente antes de tocar o gramado?

Exemplo 10 (A10.P1-10)

Com que velocidade inicial o jogador de basquetebol da figura deve arremessar a bola, com um ângulo θ0 = 55o acima da horizontal, para converter o lance livre? As distâncias horizontais são d1 = 1,0 ft e d2 = 14 ft e as alturas são h1 = 7,0 ft e h2 = 10 ft.

Fonte: Tipler

Exemplo 11

Um drone manobrado com aceleração constante é observado com as posições e velocidades mostradas na figura.

Qual é a aceleração a⃗\vec a do drone?

Fonte: Randall & Knight

Exemplo 12

Um robô da lego é controlado remotamente sobre um piso horizontal onde o atrito é reduzido. A figura mostra os gráficos de vxv_x e vyv_y, os componentes x e y da velocidade do disco. Ele parte da origem.

(a) Qual é o módulo da aceleração do disco?

(b) A que distância da origem ele se encontra em t = 0 s e t = 10 s?

Fonte: Randall & Knight

Exemplo 13

Um saco desliza da rampa, como mostrado na Figura, com uma velocidade horizontal de 12 m/s. Se a altura da rampa é de 6 m a partir do piso, determine o tempo necessário para o saco atingir o piso e a distância R até onde os sacos começam a se empilhar.

Fonte: Hibbeler

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