Aula 05

Fundamentos da Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

BCT - ECT - UFRN

Objetivos

Analisar o movimento em um plano.

Revisar operações vetorial em duas dimensões.

Estudar o movimento parabólico.

Enunciar o princípio de independência dos movimentos de Galileu.

Vetores e referenciais

Crédito: https://www.youtube.com/embed/b517cBTGxes

Vetores em um plano

Revisão: Soma de vetores

Em duas dimensões, o comprimento da soma do vetor depende do ângulo entre os vetores que estão sendo adicionados.

A soma de dois vetores pode ser menor do que o comprimento de qualquer vetor original.

A ordem da soma é irrelevante. É comutativa:

\vec a + \vec b = \vec b + \vec a

Fonte: https://phet.colorado.edu

\vec a - \vec b \neq \vec b - \vec a

A subtração de vetores não é comutativa.

\vec a - \vec b =-(\vec b - \vec a)

Vetores em um plano

Qualquer vetor \(\vec A\) pode ser decomposto em vetores componentes \(A_x\) e \(A_y\) ao longo dos eixos de um conjunto convenientemente escolhido de eixos perpendiculares, chamados de sistema de coordenadas retangulares.

Fonte: https://phet.colorado.edu

Revisão: Decomposição de vetores

\vec A
\vec A
A_y\hat j
A_x\hat i
y
x

Exemplo 1

Se cada unidade principal da grade na figura corresponder a 1 unidade, especifique a localização do ponto P em termos de suas coordenadas x e y em cada um dos três sistemas de coordenadas.

A_x \hat i
A_y \hat j
\vec A
y
x
\vec A
x'
y'
A_x \hat i
A_y \hat j
x''
\vec A = A_x\hat i
y''

O vetor \(\vec A\) é o mesmo em qualquer referencial, mas os componentes \(A_x,A_y\) dependem da escolha desse referencial.

O vetor sempre terá o mesmo valor seja qual for o referencial, mas não os componentes!

A_x = 4,0
A_y = 2,0
A_x = 4,30
A_y = 1,23
A_y =0
A_x = 4,47

Matematicamente, qual seria o referencial mais fácil para fazer cálculos?

P
P
P

Vetores em um plano

Revisão: Decomposição de vetores

\vec A = A_x \hat i + A_y \hat j
\vec B = B_x \hat i + B_y \hat j

É particularmente útil ao adicioná-los ou subtraí-los:

\vec R = (A_x+B_x)\hat i + (A_y+B_y)\hat j

Soma:

R_x = A_x + B_x
R_y = A_y + B_y
\vec R = R_x\hat i + R_y\hat j
x
y
\vec A
A_x \hat i
A_y \hat j
\vec B
B_x \hat i
B_y \hat j
\vec R
R_x\hat i
R_y \hat j
\vec R = \vec A + \vec B
=+3
=+4
\vec R = +4\hat i +3\hat j
1
1

Vetores em um plano

Revisão: Decomposição de vetores

\vec A = A_x \hat i + A_y \hat j
\vec B = B_x \hat i + B_y \hat j

É particularmente útil ao adicioná-los ou subtraí-los:

\Delta \vec R = (B_x-A_x)\hat i + (B_y-A_y)\hat j

Diferença:

\Delta x = B_x - A_x
\Delta_y = B_y - A_y
\Delta \vec R = \Delta x\hat i + \Delta y\hat j
x
y
\vec A
A_x \hat i
A_y \hat j
\vec B
B_x \hat i
B_y \hat j
\Delta \vec R
\Delta x\hat i
\Delta y \hat j
\vec A
\Delta \vec R =\vec B - \vec A
=-2
=+1
\Delta \vec R = -2\hat i +1\hat j

Álgebra vetorial

Também podemos especificar um ponto usando coordenadas polares.

A coordenada radial r indica a distância da origem ao ponto e é sempre positiva.

r=+\sqrt{x^2+y^2}

A coordenada angular θ especifica o ângulo entre r e o eixo x e é medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo (0 ≤ θ < 360°).

\theta = \text{tan}^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)

onde os sinais de x e y determinam em qual quadrante θ se encontra.

Qualquer ponto arbitrário P é especificado inteiramente por (x, y) ou (r, θ):

x=r\text{ cos}\,\theta
y=r\text{ sen}\,\theta

Exemplo 2

Se cada unidade principal da grade na figura corresponder a 1 m, especifique a localização do ponto P nas coordenadas polares

y
x
\cdot
P(x,y)
y
x
\cdot
P(r,\theta)
y
x
r
\theta
x
y
r
y
x
\theta
x = 3,5
y = 2,5

O movimento é relativo

Considere o movimento de uma bola lançada do topo de um canhão anexado a um carrinho que se move a velocidade constante ao longo de uma pista horizontal:

É um movimento acelerado em linha reta, no referencial do carrinho \(\vec v_{carro} = \vec 0\).

Fonte: https://www.compadre.org

É um movimento acelerado curvilíneo, no referencial da Terra \(\vec v_{carro} = \vec c\).

Como os dois referenciais são inerciais (\(\vec v_c = constante\)) ambos observadores medem a mesma aceleração de queda livre para a bola:

O movimento depende do referencial do observador.

\vec v_{c}=\vec 0
\vec v_{c}
\vec a_{bola} = -\vec g

As animações 4 e 5 não são referenciais inercial!

O movimento é relativo

O movimento da bola no referencial da Terra pode ser dividido em duas partes:

Movimento de queda livre na direção vertical (chamada componente vertical do movimento)

Nesse caso, há um MRUV.

Movimento à velocidade constante na direção horizontal (chamado de componente horizontal do movimento).

Nesse caso, há um MRU.

Fonte: https://www.compadre.org

\vec v_y
\vec v_x
\vec v_y
\vec v_x
\vec v_{c}

Fonte: https://www.compadre.org

Estamos estudando a independência dos movimentos de Galileu.

Exemplo 3

(a) Na figura, qual é a velocidade da bola antes de sua liberação?

(b) A velocidade da bola no quadro de referência do carrinho é maior que, igual ou menor que sua velocidade no quadro de referência da Terra

Fonte: https://www.compadre.org

Fonte: Eric Mazur

A bola cai verticalmente para baixo relativo ao carro...

...enquanto o carro se move horizontalmente relativo à Terra

Fonte: Eric Mazur

deslocamento da bola relativamente ao carro

deslocamento do carro

deslocamento da bola relativamente à Terra

Eixo de referência indica o sistema de coordenadas

Movimento em um plano

Vejamos, primeiramente as coordenadas da bolinha no referencial da Terra em dois instantes de tempo distintos.

Referencial da Terra

Fonte: https://www.compadre.org

Fonte: https://www.compadre.org

y(m)
x(m)
\vec r_2
\vec r_2 = x_2\hat i + y_2\hat j

No tempo t = 4,3 s.

\vec r_1
x(m)
y(m)
\vec r_1 = x_1\hat i + y_1\hat j

No tempo t = 2,8 s.

\vec r(t)=x(t)\hat i+y(t)\hat j

Para qualquer tempo t:

\vec r_1 = 2,0\hat i + 5,0\hat j
\vec r_2 = 3,5\hat i + 2,5\hat j

A partir dos vetores posições \(\vec r_1\) e \(\vec r_2\) é possível determinar o deslocamento (\(\Delta \vec r \)) da bolinha no plano.

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)
y(m)
\vec r_1
\vec r_2
\Delta \vec r

O vetor deslocamento da bola:

\Delta \vec r = \vec r_2 - \vec r_1
\Delta \vec r = \Delta x \hat i + \Delta y\hat j
P
R

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)
y(m)
-\Delta y \hat j
\Delta x \hat i
\Delta \vec r

Movimento em um plano

Referencial da Terra

Esse é o deslocamento entre os dois instantes de tempo \(t_1\) e \(t_2\).

\Delta \vec r = (x_2-x_1)\hat i + (y_2-y_1)\hat j
\Delta \vec r = 1,5 \hat i -2,5 \hat j
t_1=2,8\text{ s}
t_2=4,3\text{ s}
\vec r_1 = 2,0\hat i + 5,0\hat j
\vec r_2 = 3,5\hat i + 2,5\hat j

Os vetores posições da bolinha são:

Veja, isso vale \(+1,5\hat i\)

Veja, isso vale \(-2,5\hat j\)

A velocidade média é calculada para cada uma das componentes.

O vetor velocidade média é dado por:

\vec v_m = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}

Movimento em um plano

Referencial da Terra

v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}
= \frac{\Delta x}{\Delta t} \hat i+ \frac{\Delta y}{\Delta t} \hat j
v_y=\frac{\Delta y}{\Delta t}

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)
y(m)
\Delta \vec r
\Delta \vec r = (1,5 \hat i -2,5 \hat j)\text{m}
\Delta t = 1,5\text{ s}
=\frac{1,5}{1,5} =+1,0\frac{\text{m}}{\text{s}}
=-\frac{2,5}{1,5}= -1,7 \frac{\text{m}}{\text{s}}
\vec v_m = (1,0\hat i-1,7\hat j)\text{m/s}

Se o vetor deslocamento é dado por:

\Delta \vec r =( 1,5 \hat i -2,5 \hat j)\text{m}
\Delta \vec r = \Delta x \hat i + \Delta y\hat j
\vec v_m
\Delta \vec r

O vetor velocidade média tem a direção e sentido do vetor deslocamento.

\vec v_m

O vetor velocidade instantânea é dado por:

\vec v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}

Movimento em um plano

Referencial da Terra

Na horizontal (MRU):

v_x=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} =\frac{dx}{dt}

Na vertical (MRUV):

v_y=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta t} =\frac{dy}{dt}

O vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória e não tem a mesma direção que o vetor deslocamento \(\Delta \vec r\).

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)
y(m)
v_x
\vec v
v_x
v_ y

A velocidade  instantânea é calculada para cada uma das componentes.

=\frac{d\vec r}{dt}
d y
\vec v = v_x\hat i + v_y \hat j

O vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória e  tem a direção do vetor deslocamento infinitesimal \(d \vec r\).

d x
\Delta \vec r

Aqui você precisa das funções: \(v_x,v_y\)!

O vetor aceleração média  é dado por:

\vec a_m = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}

Movimento em um plano

Referencial da Terra

Na horizontal (MRU):

a_x=0

Na vertical (MRUV):

a_y=\frac{\Delta v_y}{\Delta t}

O vetor aceleração média tem a direção da variação do vetor velocidade.

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)
y(m)
\vec v = v_x \hat i
\vec v

A aceleração média é calculada para cada uma das componentes. No movimento de queda livre, lançamento horizontal e vertical há somente a componente vertical da aceleração.

\vec v_i
\vec v_f
\Delta \vec v
\vec a_m

Aqui você precisa das funções: \(v_x,v_y\)!

O vetor aceleração instantânea tem a direção do vetor velocidade infinitesimal.

\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} =\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac{d\vec v}{dt}

Movimento em um plano

Referencial da Terra

Na horizontal (MRU):

a_x=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_ x}{\Delta t} =\frac{dv_x}{dt}

Na vertical (MRUV):

a_x=0
a_y=-g
a_y=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_y}{\Delta t} =\frac{dv_y}{dt}
\Rightarrow
\Rightarrow

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)
y(m)
-a_ y \hat j
-a_ y \hat j

A aceleração média é calculada para cada uma das componentes. No movimento de queda livre, lançamento horizontal e vertical há somente a componente vertical da aceleração.

Aqui você precisa das funções: \(v_x,v_y\)!

Movimento em um plano

Referencial da Terra

Na horizontal (MRU):

\Delta x = v_{0x}\Delta t

Na vertical (MRUV):

\Delta y = v_{0y}\Delta t-\frac{1}{2}g(\Delta t)^2

A velocidade é a composição dos movimentos MRU e MRUV:

x = x_0+ v_{0x}t
y = y_0+ v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
\Rightarrow

O movimento na horizontal é independente do movimento na vertical. Isso é chamado de independência dos movimentos de Galileu.

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)
y(m)
v_x
\vec v
v_x
v_ y
\Delta \vec r
\Rightarrow
v_x=v_{0x}
v_y=v_{0y}-gt
\vec v = v_{0x}\hat i+(v_{0y}-gt)\hat j
\vec v_0
v_{0x}\hat i
\vec v_{0y} \hat j
\vec v_0 = v_{0x}\hat i+v_{0y}\hat j

A velocidade inicial de lançamento:

\Delta x
\Delta y

Movimento em um plano

Para especificar a posição da bola, precisamos de uma coordenada x para especificar a posição ao longo do eixo x e uma coordenada y para especificar a posição ao longo do eixo y.

Referencial do Carro x Referencial da Terra

Fonte: Eric Mazur

deslocamento \(\Delta \vec r\)

vel. instantânea \(\vec v\)

aceleração \(\vec a =\vec 0\)

\(\vec v\) é tangente à trajetória

trajetória da bola

\(\vec a\) está na direção de \(\Delta \vec v\)

Fonte: Eric Mazur

deslocamento da bola relativamente ao carro

deslocamento do carro

deslocamento da bola relativamente à Terra

Eixo de referência indica o sistema de coordenadas

Os movimentos no plano são úteis para estudar os movimentos parabólicos e os lançamentos horizontais.

Movimento em um plano

Referencial da Terra

x
y

Fonte: Tipler & Mosca

Fonte: https://www.youtube.com/embed/Yi3CrReo-S0?enablejsapi=1

Podemos aplicar o princípio da independência dos movimentos de Galileu no movimento parabólico.

Movimento em um plano

Referencial da Terra

Vetores:

Componentes:

\vec r = x\hat i+y\hat j
\vec v = v_x\hat i+v_y\hat j
\vec a = a_x\hat i+a_y\hat j
x=x_0+v_{0x}t
y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
v_x=v_{0x}
v_y=v_{0y}-gt
a_x=0
a_y=-g
v_{0x} = v_{0}\text{ cos}(\theta)
v_{0y}=v_0\text{ sen}(\theta)
\frac{v_{0y}}{v_{0x}}=\text{tan}(\theta)

Fonte: https://phet.colorado.edu

Movimento em um plano

Referencial da Terra

A trajetória. Composição do movimento.

Fonte: Ralliday & Resnick

x=x_0+v_{0x}t
y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
t=\frac{x-x_0}{v_{0x}}
y=y_0+v_{0y}\left(\frac{x-x_0}{v_{0x}}\right)-\frac{1}{2}g\left(\frac{x-x_0}{v_{0x}}\right)^2

A altura:

H = y-y_0

O alcance:

R = x-x_0
H=v_{0y}\left(\frac{R}{v_{0x}}\right)-\frac{1}{2}g\left(\frac{R}{v_{0x}}\right)^2
H=R\text{ tan}(\theta)- \frac{g}{2v_0^2\text{ cos}^2(\theta)}R^2

Podemos aplicar o princípio da independência dos movimentos de Galileu no movimento parabólico.

c+bR+aR^2=0

É uma função quadrática no alcance!

\(|b|> |4 a c|\)

As trajetórias mudam conforme as condições iniciais!

Condições iniciais: \(v_0, \theta, y_0, x_0\)

import math

def calcular_raizes(H, V, theta):
    # Constante da gravidade
    g = 9.81  # m/s^2
    
    # Cálculo dos coeficientes a, b, c
    c = H
    b = -math.tan(math.radians(theta))
    a = g / (2 * V**2 * math.cos(math.radians(theta))**2)
    
    # Imprimir os valores de c, b, a com quatro casas decimais
    print(f"c = {c:.4f}")
    print(f"b = {b:.4f}")
    print(f"a = {a:.4f}")
    
    # Passar para a forma clássica da equação quadrática aR^2 + bR + c = 0
    discriminante = b**2 - 4*a*c

    if discriminante < 0:
        print("Erro: Não há raízes reais porque b < 4ac")
    else:
        R1 = (-b + math.sqrt(discriminante)) / (2*a)
        R2 = (-b - math.sqrt(discriminante)) / (2*a)
        # Imprimir as raízes com quatro casas decimais
        print(f"As raízes são R1 = {R1:.4f} e R2 = {R2:.4f}")

# Exemplo de uso:
H = 1.0  # exemplo de altura
V = 10.0  # exemplo de velocidade inicial
theta = 45.0  # exemplo de ângulo em graus

calcular_raizes(H, V, theta)

Movimento em um plano

Referencial da Terra

Pontos particulares:

Altura vertical (\(v_y = 0\)).

H=\frac{v_{0y}^2}{2g}

Altura vertical máxima (\(\theta = 90^o)\).

H_{max}=\frac{v_{0}^2}{2g}

Alcance horizontal (\(H = 0\)).

R=\frac{2v_0^2}{g}\text{cos}(\theta)\text{sen}(\theta)

Alcance horizontal máximo (\(H = 0, \theta = 45^o\)).

R=\frac{v_0^2}{g}

Podemos aplicar o princípio da independência dos movimentos de Galileu no movimento parabólico.

Fonte: https://phet.colorado.edu

t_s=\frac{v_{0y}}{g}
t_t=2\frac{v_{0y}}{g}
t_s=\frac{v_{0}}{g}
t_s=2\frac{v_{0}}{g}

Exemplo 4

Uma atleta atira uma bola contra um muro vertical de 4,0 m à sua frente. A bola está a 2,0 m acima do chão quando abandona a mão da atleta com velocidade de 14 m/s a 45 graus, conforme mostrado. Quando a bola atinge o muro, a componente horizontal de sua velocidade é revertida; a componente vertical não se altera. Ignore a resistência do ar.​

Fonte: Tipler & Mosca Cap. 3 - P100

(a) Quanto tempo a bola ficou no ar antes de atingir o muro?

 

(b) Onde a bola atingiu o chão atrás da mulher?
 

(c) Onde a bola atingiu o muro?
 

(d) Quanto tempo a bola ficou no ar após abandonar o muro?

Exemplo 5

Você navega em um navio de um píer para uma bóia a 1500 m a nordeste do píer. Lá você navega até um ponto a 300 m ao sul e a 700 m a leste da bóia. Qual é a sua distância do píer nesse ponto?

Exemplo 6

Uma bola é lançada em um ângulo de 30° com a horizontal a uma rapidez de 30 m/s. Escreva a velocidade da bola em termos de vetores unitários retangulares.

Exemplo 7

A bola da figura é lançada a partir da origem de um sistema de coordenadas xy. (a) Escreva expressões dando, no topo de sua trajetória, as coordenadas retangulares da bola em termos de sua velocidade inicial e a aceleração devido à gravidade g. (b) Qual o alcance horizontal da bola?

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)
y(m)

Exemplo 8

Controlando um robô.

Tudo começa como um jogo.

A mesma ideia se aplica ao controle de um drone ou a um robô na superfície de um planeta distante.

1) Escolha a grandeza;

2) Clique Play;

3) Controle a bola via o vetor!

Depois de meses atolado em um banco de areia, a Nasa decide transformar o jipe-robô Spirit em estação científica estacionária. Mas, para isso, será preciso sobreviver ao próximo inverno (Nasa).

Fonte: https://youtu.be/x5lY_1MM1HY

Fonte: http://www.nasa.gov

Além das coordenadas é essencial conhecer a trajetória da nave spirit.

Um novo desafio em Marte

Exemplo 8

Um veículo robótico está explorando a superfície de marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo que será representado por um ponto, possui componentes x (em metros) e y (em metros) que variam com o tempo de acordo com as equações:

Exemplo 8

x(t) = 2,0 -0,25 t^2
y(t) = 1,0t +0,025 t^3

a) Quais as coordenadas do veículo no tempo t = 0,0 s ?

b) Quais as coordenadas do veículo no tempo t = 2,0 s ?

c) Qual o deslocamento do veículo no intervalo de tempo \(\Delta t\)?

d) Qual a velocidade e aceleração médias entre os tempos t = 0 e t = 2,0 s?

e) Qual a velocidade e aceleração instantâneas nos tempos t = 0 e t = 2,0 s?

Exemplo 8

Soluções: a, b, c.

Exemplo 8

Qual a velocidade média entre os tempos t = 0 e t = 2,0 s?

O vetor velocidade média é proporcional à VARIAÇÃO do vetor deslocamento.

Qual a velocidade instantânea nos tempos t = 0 e t = 2,0 s?

Exemplo 8

O vetor velocidade é proporcional à VARIAÇÃO do vetor deslocamento.

Exemplo 8

Qual a aceleração média entre os tempos t = 0 e t = 2,0 s?

O vetor aceleração média é proporcional à VARIAÇÃO do vetor velocidade instantânea.

Exemplo 8

Qual a aceleração instantânea nos tempos t = 0 e t = 2,0 s?

O vetor aceleração instantânea tem a direção da VARIAÇÃO
do vetor velocidade instantânea.

No movimento no plano a velocidade instantânea e a aceleração não apontam na mesma direção.

Movimento em um plano

Referencial da Terra

Fonte: https://www.compadre.org

Fonte: https://www.compadre.org

A bola diminui a velocidade

A bola está instantaneamente em repouso

A bola aumenta a velocidade

x(m)
y(m)
\vec v
\vec a
x(m)
y(m)
\vec v
\vec a

Fonte: https://www.compadre.org

x(m)
y(m)
\vec v
\vec a
\vec v \cdot \vec a <0
\vec v \cdot \vec a =0
\vec v \cdot \vec a >0

Como gerar órbitas circulares e eclípticas.

Movimento em um plano

Defina a direção do vetor velocidade em relação ao vetor aceleração (devido a uma força).

Movimento em um plano

Referencial da Terra

O componente da aceleração paralelo à velocidade instantânea faz com que o comprimento da velocidade instantânea varie. Na subida faz a velocidade diminuir! Na descida faz a velocidade aumentar.

\vec v
\vec a
\vec a_{\|}
a_{\bot}
\vec v
\vec a
a_{\bot}
\vec a_{\|}
\vec v
\vec a
a_{\|}
a_{\bot}
\vec v
\vec a
a_{\bot}

A bola diminui a velocidade

A bola mantém a velocidade

A bola aumenta a velocidade

\vec a = a_{\|}\hat i+a_{\bot}\hat j

O componente da aceleração perpendicular à velocidade instantânea faz com que a direção da  velocidade instantânea mude.

\vec v
\vec a
\vec a = -a_{y}\hat j

A direção da velocidade muda

Latitude e Longitude

Latitude e longitude nada mais são do que nomes que as coordenadas geográficas únicas obtidas para cada ponto da superfície terrestre.

A latitude é o ângulo formado entre o ponto de interesse e o equador terrestre. A mesma é medida ao longo do meridiano que passa pelo lugar de interesse.

A longitude geográfica é o ângulo formado entre o meridiano de Greenwich e o meridiano que passa pelo ponto considerado.

Latitude e Longitude

5^o 45' 22"\text{S}\quad 35^o 11' 42"\text{W}
22^o 59' 0"\text{S}\quad 43^o 11' 05"\text{W}

Latitude e Longitude

Início: Forte Reis Magos

Fim: Biblioteca Central UFRN

5^o 50' 22"\text{S}\quad 35^o 11' 42"\text{W}
5^o 45' 22"\text{S}\quad 35^o 11' 42"\text{W}

Distância:

y=9.243,18\text{ m}

A latitude mudou

Latitude e Longitude

Início: Forte Reis Magos

Fim: Rio Santana

5^o 45' 22"\text{S}\quad 35^o 11' 42"\text{W}
5^o 45' 22"\text{S}\quad 36^o 48' 10"\text{W}

Distância:

x=178.140,91\text{ m}

A longitude mudou

Latitude e Longitude

Início: Forte Reis Magos

Fim: Rio Santana

5^o 45' 22"\text{S}\quad 35^o 11' 42"\text{W}
5^o 45' 22"\text{S}\quad 36^o 48' 10"\text{W}

Distância:

x=178.140,91\text{ m}

A longitude mudou

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