Aula 08

Fundamentos da Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

UFRN - ECT - BCT

Objetivos

Estudar os seguintes sistemas dinâmicos:

Corpos sujeitos à força de atrito.

Corpos sujeitos à força de arrasto.

Força de atrito estático e cinético

Crédito: https://youtu.be/py7mEwgAZz8?si=zowUDpQMVmrBQbr7

A força de atrito é observada enquanto o objeto não se move e após entrar em movimento.

Antes do movimento há o regime da Força de Atrito de Estático:

F_{at,e}\leq\mu_eN

O valor máximo da força de atrito estático é \(\mu_e N\) e ocorre na iminência do movimento.

Força de atrito estático e cinético

Após o movimento há o regime da Força de Atrito Cinético:

Fonte: http://www.thephysicsaviary.com/

F_{at,c}=\mu_cN

O coeficiente de atrito cinético é menor do que o coeficiente de atrito estático (\(\mu_c < \mu_e\)) e ambos dependem das superfícies em contato.

Devido as superfícies em contato a força de atrito se ajusta à força aplicada. Um gráfico típico da força de atrito pela força aplicada é observado abaixo.

Fonte: Maurício Lemes

F_{at,max} = \mu_e N

F_{at,c} = \mu_c N

\mu_{c}<\mu_e

Força de atrito estático e cinético

F_a < F_{at,e}

F_a > F_{at,c}

A força atrito estático se ajusta à força aplicada até à iminência do movimento.

Forças de atrito

Fonte: https://www.gratispng.com

Fonte: https://pt.wikipedia.org/

Fonte: Chabay & Sherwood

\vec F^c_{bs}

\vec F^c_{sb\|}

\vec F^c_{sb,x}

\vec F^c_{mb}

\vec a = \vec 0

\vec F^c_{sb,x}

\vec F^c_{mb}

\vec a = \vec 0

\vec F^c_{sb,x}

\vec F^c_{mb}

\vec a = \vec 0

Esse atrito exercido por superfícies que não se movem em relação uma a outra é chamado atrito estático.

\vec F_{at,e} \equiv \vec F^c_{sb,x}

Forças de atrito

Fonte: https://www.gratispng.com

Fonte: https://pt.wikipedia.org/

Fonte: Chabay & Sherwood

\vec F^c_{bp}

\vec F^c_{pb,x}

\vec F^c_{sb,x}

\vec F^c_{mb}

\vec a = \vec 0

Esse atrito exercido por superfícies que se movem em relação uma a outra é chamado atrito cinético.

\vec F_{Ro,x}=m_b \vec a

\vec F^c_{mb}

\vec F^c_{sb,x}

\vec a \neq \vec 0

A força de atrito cinético é menor do que a força de atrito estático.

\vec F_{at,c} \equiv \vec F^c_{sb,x}

\mu_c < \mu_e

A força atrito cinético se opõe à velocidade relativa do movimento movimento.

Forças de atrito

A artroplastia artificial do joelho é um procedimento realizado há mais de 20 anos.

Crédito: OpenStax

\mu_c < \mu_e

A força de atrito estático exercida por uma superfície em um objeto é proporcional à força com que o objeto pressiona a superfície e não depende da área de contato.

Para quaisquer duas superfícies 1 e 2:

F_{at,e} \leq \mu_e N

A magnitude máxima da força de atrito estático entre duas superfícies é proporcional à magnitude da força normal exercida pelas superfícies uma sobre a outra.

F_{at,max} = \mu_e N

\theta

\vec v

\cdot

\vec F^G_{Tb}

\vec F^G_{Tb,y}

\vec F^G_{Tb,x}

\vec N

\vec F_{at,e}

\vec F^c_{sb}

Plano inclinado

A força de atrito cinético exercida por uma superfície em um objeto é proporcional à força com que o objeto pressiona a superfície e não depende da área de contato.

Para quaisquer duas superfícies 1 e 2:

F_{at,c} = \mu_c N

\vec a

\theta

\vec F^G_{Tb}

\vec F^G_{Tb,y}

\vec F^G_{Tb,x}

\vec N

\vec F_{at,c}

\vec F^c_{sb}

A força atrito cinético entre duas superfícies é proporcional à magnitude da força normal exercida pelas superfícies uma sobre a outra.

F_{at,c} = \mu_c N

Plano inclinado

Exemplo 1

Vamos reconsiderar a situação do praticante de skibunda do exemplo 4, mas agora incluímos o atrito. Um praticante de skibunda desce uma montanha com θ = 22°. Suponha que o coeficiente de atrito cinético entre sua prancha e a neve seja de 0,21, e sua velocidade, que é no sentido da montanha, é de 8,3 m/s em um determinado instante.

Presumindo uma inclinação constante, qual será a velocidade da pessoa no sentido da montanha após ter percorrido 100 m?
Quanto tempo leva para que o praticante de snowboard atinja sua velocidade?
Dado o mesmo coeficiente de atrito, qual teria que ser o ângulo da montanha para que a pessoa deslizasse com velocidade constante?

Exemplo 2

O coeficiente de atrito estático entre o bloco 1 (massa m1 = 2,3 kg) e sua superfície de apoio tem um valor de 0,73, e o coeficiente de atrito cinético tem um valor de 0,60. Se o bloco 2 tem massa m2 = 1,9 kg, o bloco 1 acelerará a partir do repouso?

Exemplo 3

Dois blocos retangulares estão empilhados sobre uma mesa, conforme mostra a Figura. O bloco de cima tem massa de 3,40 kg, e a massa do bloco de baixo é de 38,6 kg. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de baixo e a mesa é 0,260. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é 0,551. Um barbante é preso ao bloco de baixo, e uma força externa é aplicada horizontalmente, puxando o barbante conforme mostrado. Qual é a força máxima que pode ser aplicada ao barbante sem que o bloco de cima deslize?

Você pega um bloco de metal de 3 kg e faz com que deslize sobre um piso cujo coeficiente de atrito é apenas 0,4. Você solta o bloco com uma velocidade inicial de 6,0 m/s. Quanto tempo vai demorar para que o bloco pare? Qual a distância percorrida por ele?

Exemplo 4

\vec v

\otimes

\vec N

\vec P

\vec F_{at}

\vec N

\vec F_{at}

\vec P

Um bloco repousa em um piso.

(a) Qual é o módulo da força de atrito que o piso exerce sobre o bloco?

(b) Se uma força horizontal de 5 N é aplicada ao bloco, mas o bloco não se move, qual é o módulo da força de atrito?

(c) Se o valor máximo \(f_{s,máx}\) da força de atrito estático que age sobre o bloco é 10 N, o bloco se move se o módulo da força aplicada horizontalmente for aumentado para 8 N?

(d) E se o módulo da força for aumentado para 12 N?

(e) Qual é o módulo da força de atrito no item (c)?

Exemplo 5

Exemplo 6

Um caminhante está ajudando um amigo a subir uma colina que faz um ângulo de 30° com o nível do solo. O caminhante, que está mais acima da colina, está puxando um cabo preso ao amigo. O cabo é paralelo ao morro, de modo que também faça um ângulo de 30° com a horizontal. Se o coeficiente de atrito estático entre as solas das botas do caminhante e a superfície da colina for 0,80 e sua inércia for 65 kg, qual é a magnitude máxima da força que ele pode exercer no cabo sem escorregar?

\vec T

\vec N

\vec F_{at,e}

\vec P_{y}

\vec P_{x}

Exemplo 7

Ao projetar um sistema de correia transportadora para um novo aeroporto, você determina que, em uma inclinação de 20°, a magnitude da máxima da aceleração que um cinto de borracha pode dar a uma mala típica antes que a mala comece a escorregar é de 4,0 m/s^2. Qual é o coeficiente de atrito estático para uma mala típica de borracha

belt

\vec N

\vec F_{at,e}

\vec P_{y}

\vec P_{x}

Exemplo 8

Um bloco de motor de massa M está sobre a carroceria de uma caminhonete que viaja em linha reta sobre uma estrada plana com velocidade inicial de 30 m/s. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a carroceria é 𝜇e = 0,540. Encontre a distância mínima em que a caminhonete consegue parar sem que o bloco de motor deslize na direção da cabine.

As forças sobre um bloco sobre um plano que pode ser inclinado.

As forças exercidas no bloco são a força gravitacional e a força de contato.

Fonte: https://www.geogebra.org/m/CxZz6XTK

Plano inclinado

Força de arrasto

Crédito: Red Bull.

Crédito: Guiness World Records.

Força de arrasto

Crédito: https://youtu.be/FHtvDA0W34I?si=e4wq-jhTA3pG0VC4

Força de arrasto

No ínicio do salto (h = 38 970 m) a aceleração de queda livre foi de 9,675 m/s\(^2\) e no nível do solo foi de 9,791 m/s\(^2\). A aceleração variou apenas 1%.

v(t) = 1,0+9,65 t

Até \(t = 24\) s o paraquedista caiu cerca de 2 791 m e a função velocidade é quase linear no tempo:

e \(v(24) = 232,6\) m/s.

A queda vertical de um paraquedista durando mais de 20 s e por quase 3 km, com a aceleração de queda coincidindo com a aceleração gravitacional foi um recorde.

Isso é queda livre!

Crédito: https://www.scielo.br

a=g

Força de arrasto

A partir de \(t=24 \) s, a velocidade se afasta do regime linear devido a questões de dinâmica do vôo. Mas ainda sem abrir o paraquedas.

Em \(t = 50\) s, tendo descido 11 120 km, aconteceu a máxima velocidade de queda, portanto neste momento foi batido o recorde de velocidade, sendo o seu valor 379 m/s.

A velocidade do som* em um gás acaba por depender apenas da temperatura \(T\), da massa molar \(M\) e da razão \(\gamma\) entre os calores específicos molares:

v_{s}=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}

M=0,0289 \text{ kg}

\gamma=1,4

T=1225\text{ K}

v_{s}=300\text{ m/s}

v_{s}=1,25\text{mach}

Crédito: https://www.scielo.br

* na altura em que se encontra

Força de arrasto

A partir de \(t = 50\) s de queda, a velocidade começou a se reduzir lentamente. O paraquedas foi aberto somente no ponto F. Mas já se observa um efeito do arrasto sobre o paraquedista devido à atmosfera mais densa.

F_{arrasto} = \frac{1}{2}CdAv^2

A força de arrasto tem a seguinte forma empírica:

\(d \rightarrow\) densidade do ar.

\(A \rightarrow\) área do corpo.

\(v \rightarrow\) rapidez do corpo.

\(C \rightarrow\) coef. aerodinâmico.

Crédito: https://www.scielo.br

Força de arrasto

O coeficiente aerodinâmico depende da geometria do corpo.

Força de arrasto

Se o paraquedista atinge a velocidade terminal \(v_t\) , a resultante das forças sobre ele é nula:

\vec F_{arrasto} + \vec P = \vec 0

\frac{1}{2}CdAv_t^2-mg=0

v_t=\sqrt{\frac{2mg}{CAd}}

A velocidade terminal \(v_t\) diminui com a densidade do ar.

v_t=\frac{c}{\sqrt{d}}

onde para o Felix \(c =\sqrt{{2mg}/{Ad}} = 66 \text{ kg}^{0,5}.\text{s}^{-1}.\text{m}^{-0,5}\).

O gráfico da velocidade em função da densidade, onde em linha contínua está representada a função de ajuste.

Crédito: https://www.scielo.br

Modelo

Força de arrasto

Quando um objeto se move através de um fluido como ar ou água, o fluido exerce uma força de arraste, ou força retardadora, que se opõe ao movimento do objeto.

A força de arraste depende da forma do objeto, das propriedades do fluido e da rapidez do objeto em relação ao fluido.

F_{arrasto} = b v^n

Para valores muito pequenos de rapidez, a força de arraste é aproximadamente proporcional à rapidez do objeto: \(n = 1\).

Para valores maiores de rapidez, ela é mais próxima de ser proporcional ao quadrado da rapidez: : \(n = 2\).

Crédito: Tipler & Mosca

F_{arrasto} = \frac{1}{2}CdAv_T^2

Força de arrasto

Para um objeto em movimento em meio a um fluido, enquanto não atinge a velocidade terminal, a segunda lei de Newton, fornece:

a=g-\frac{b}{m}v^n

\frac{dv}{dt}=g-\frac{b}{m}v^n

Integrando, via separação de variáveis para um caso com baixa velocidade, \(n = 1\):

\int_0^v\frac{dv'}{g-\frac{b}{m}v'}=\int_0 ^tdt'

-\frac{m}{b}\ln\left( g-\frac{b}{m}v' \right)|_0^v=t'|_0^t

-\frac{m}{b}\left[\ln\left( g-\frac{b}{m}v' \right)-\ln(g)\right]=t

Simplicando:

v(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{-bt/m})

Considerando \(y=0\) quanto \(t=0\) e aplicando a definição de velocidade \(v=dy/dt\):

y(t)=\frac{mg}{b}t-\frac{m^2g}{b^2}(1-e^{-bt/m})

Força de arrasto

Para um objeto em movimento em meio a um fluido, enquanto não atinge a velocidade terminal, a segunda lei de Newton:

mg-bv^n = ma

a=g-\frac{b}{m}v^n

Em \(t=0\) se \(v=0\), então, \(a = g\). Temos uma queda livre!

Em \(t\neq 0\) se \(v\neq 0\), então, a aceleração começa a diminuir.

Vai chegar um ponto em que \(a=0\), e temos a velocidade terminal:

v_t=\left(\frac{mg}{b}\right)^{1/n}

Carros são projetados para minimizar \(b\), para minimizar o efeito da resistência do vento.

Um pára-quedas é projetado para maximizar \(b\), de forma que a rapidez terminal seja pequena.

Força de arrasto para n = 1.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def drag_function(m, g, b, t):
    v_t = (m * g / b) * (1 - np.exp(-b * t / m))
    y_t = (m * g / b) * t - (m**2 * g / b**2) * (1 - np.exp(-b * t / m))
    return v_t, y_t

# Parâmetros
m = 1.0      # massa em kg
g = 9.81     # aceleração devido à gravidade em m/s^2
b = 0.5      # coeficiente de arrasto

# Tempo de 0 a 10 segundos
t_values = np.linspace(0, 10, 300)
v_values, y_values = drag_function(m, g, b, t_values)

# Plotando os resultados
plt.figure(figsize=(12, 5))

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t_values, v_values, label="v(t)", color='blue')
plt.title("Velocidade (v) em função do tempo (t)")
plt.xlabel("Tempo (s)")
plt.ylabel("Velocidade (m/s)")
plt.grid()
plt.legend()

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(t_values, y_values, label="y(t)", color='green')
plt.title("Posição (y) em função do tempo (t)")
plt.xlabel("Tempo (s)")
plt.ylabel("Posição (m)")
plt.grid()
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

Para \(t\rightarrow 0, v(0) = 0\),

v(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{-bt/m})

Para \(t \rightarrow \infty, v(\infty) = v_t\),

v(t)=v_t(1-e^{-bt/m})

v_t

O valor \(t\sim 10 \) s se comporta como o "infinito" para esse sistema, pois a velocidade atingiu seu valor terminal (constante).

v_t=\left(\frac{mg}{b}\right)^{1/1}

Exemplo 9

Uma pára-quedista de 64 kg cai com uma rapidez terminal de 180 km/h, com seus braços e pernas estendidos.

(a) Qual é a magnitude da força de arraste, para cima, sobre o pára-quedista?

(b) Se a força de arraste é igual a \(bv^2\) , qual é o valor de \(b\)?

Exemplo 10

Um barco a motor está se movendo através de um lago a uma velocidade \(v_0\) quando seu motor congela repentinamente e para. O barco então desacelera sob a força de atrito \(f=-bv\).

(a) Quais são a velocidade e a posição do barco como funções do tempo?

(b) Se o barco desacelera de 4,0 m/s para 1,0 m/s.

Crédito: https://youtu.be/e-gxlFyamyE?si=EBdRTjJdWWet8FCj

Exemplo 11

A dependência quadrática acima da resistência do ar sobre a velocidade não se sustenta se o objeto for muito pequeno, estiver muito lento ou estiver em um meio mais denso que o ar. Então, descobrimos que a força de arrasto é proporcional apenas à velocidade. Essa relação é dada pela lei de Stokes, que afirma que

F_{arrasto} =6\pi r \eta v

onde é o raio do objeto, é a viscosidade do fluido e é a velocidade do objeto.

Esse exercício não está resolvido.

Como seria o cálculo da velocidade terrminal utilizando a Lei de Stokes?

Crédito: https://youtu.be/e-gxlFyamyE?si=EBdRTjJdWWet8FCj

Exemplo 12

Simplificações:

1) Rampa sem atrito.

2) Não há atrito no salto inicial na queda livre.

3) Arrasto com n = 1 ao abrir o paraquedas.

Esse exercício não está resolvido.

Como seria a modelagem de todo o movimento:

1) Velocidade do salto a partir da rampa inclinada;

2) Velocidade da queda sem paraquedas;

3) Velocidade da queda com paraquedas.

Provavelmente foi uma boa equipe de engenheiros trabalhando nesse projeto!

Revisão 1

Revisão 2

Revisão 3

Revisão 4

Revisão 5