Tópico 6

Fundamentos da Mecânica

Prof. Ronai Lisbôa

BCT - ECT - UFRN

Objetivos

Trabalho no centro de massa

Estudar um sistema de partículas

Colisões no referencial do centro de massa

Movimento do centro de massa (c.m.)

O centro de massa se move como se toda a massa do bastão estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre o centro de massa.

O movimento das partes do bastão não afetam o movimento do centro de massa.

Fonte: MIT - https://youtu.be/DY3LYQv22qY?si=yu4KV3WKZ5juS_Yv

Fonte: Tipler

Cinemática do movimento do centro de massa (c.m.)

A localização do centro de massa no referencial do laboratório.

\vec r_1 = (0,5\hat i +3,5 \hat j)\text{ m}
\vec r_2 = (3,0\hat i + 1,0 \hat j)\text{ m}
m_1= 1 \text{ kg}
m_2= 2 \text{ kg}

No referencial do laboratório em 2D:

\vec R_{cm} =(2,2\hat i + 1,8 \hat j) \text{m}
X_{cm} =\frac{\sum_i m_ix_i}{M}
Y_{cm} =\frac{\sum_i m_iy_i}{M}
\vec R_{cm} = \frac{m_1\vec r_1+m_2\vec r_2}{m_1+m_2}

1D

\vec r_1
\vec r_2
\vec R_{cm}

2D

y
x
\vec V_{cm} = \frac{m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}{m_1+m_2}
\Rightarrow M\vec V_{cm} = {m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}
\Rightarrow M\vec V_{cm} = \vec P_{sis}
\vec V_{cm} =\frac{ \vec P_{sis}}{M}
\Rightarrow M\vec A_{cm} = {m_1\vec a_1+m_2\vec v_a}
\Rightarrow M\vec A_{cm} = \sum_i \vec F_i

A velocidade do centro de massa no referencial do laboratório.

A aceleração do centro de massa no referencial do laboratório.

\vec A_{cm} = \frac{m_1\vec a_1+m_2\vec a_2}{m_1+m_2}
\vec a_1
\vec a_2
\vec a_{cm}
\vec A_{cm} =\frac{ \vec F_{res}}{M}

Então,

\frac{d\vec V_{cm}}{dt}=\frac{1}{M}\frac{d \vec P_{sis}}{dt}
M\vec V_{cm}=\frac{d \vec P_{sis}}{dt}
\vec F_{r}=\frac{d \vec P_{sis}}{dt}
\Rightarrow
\Rightarrow

Cinemática do movimento do centro de massa (c.m.)

O centro de massa de um sistema de dois objetos é definido pela coordenada:

\otimes
x_{cm}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}
0
1
2
3
4
x

Se \(m_1=m_2=m\):

x_{cm}=\frac{m(1)+m(4)}{m+m}
x_{cm}=\frac{5m}{2m}=2,5\text{ cm}
\Rightarrow
\otimes
0
1
2
3
4
x

Se \(m_2=2m_1\):

x_{cm}=\frac{m_1(1)+2m_1(4)}{m_1+2m_1}
x_{cm}=\frac{9m_1}{3m_1}=3,0\text{ cm}
\Rightarrow
m_1
m_2
m_2
m_1

Cinemática do movimento do centro de massa (c.m.)

A velocidade do centro de massa é a taxa de variação da coordenada do centro de massa:

\otimes
v_{cm}= \frac{dx_{cm}}{dt} =\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}
0
1
2
3
4
x

Se \(m_1=m_2=m\) e \(v_1=v_2=v\):

v_{cm}=\frac{mv+mv}{m+m}
v_{cm}=\frac{2mv}{2m}=v
\Rightarrow
\otimes
0
1
2
3
4
x

Se \(m_2=2m_1\) e \(v_1 = 2v_2\):

v_{cm}=\frac{m_1(2v_2)+2m_1(v_2)}{m_1+2m_1}
v_{cm}=\frac{4m_1v_2}{3m_1}=1,3v_2
\Rightarrow
\vec v_1
\vec v_2
\vec v_{cm}
\vec v_1
\vec v_2
\vec v_{cm}
m_1
m_2
m_2
m_1

Cinemática do movimento do centro de massa (c.m.)

A aceleração do centro de massa é a taxa de variação da coordenada da velocidade do centro de massa:

\otimes
a_{cm}= \frac{dv_{cm}}{dt} =\frac{m_1a_1+m_2a_2}{m_1+m_2}
0
1
2
3
4
x

Se \(m_1=m_2=m\) e \(a_1=a_2\):

a_{cm}=\frac{ma+ma}{m+m}
a_{cm}=\frac{2ma}{2m}=a
\Rightarrow
\otimes
0
1
2
3
4
x

Se \(m_2=2m_1\) e \(a_1 = 2a_2\):

a_{cm}=\frac{m_1(2a_2)+2m_1(a_2)}{m_1+2m_1}
a_{cm}=\frac{4m_1a_2}{3m_1}=1,3a_2
\Rightarrow
\vec a_1
\vec a_2
\vec a_{cm}
\vec a_1
\vec a_2
\vec a_{cm}
m_1
m_2
m_2
m_1

Cinemática do movimento do centro de massa (c.m.)

O movimento do centro de massa é mais mais fácil de ser estudado.

As posições oscilam no tempo

A posição do c.m. varia uniformemente no tempo.

As velocidades oscilam no tempo

A velocidade do c.m. é constantes no tempo

Cinemática do movimento do centro de massa (c.m.)

Analise o simulador abaixo.

Fonte: https://www.geogebra.org/m/nwpjfuy6

Fonte: https://youtu.be/QsGMKv8Lrew?si=DLMm1-FXlkA_0DQR​

Cinemática do movimento do centro de massa (c.m.)

O movimento do rapaz é bastante complexo como um todo, mas o movimento de centro de massa é semelhante ao movimento de um único objeto com uma massa total localizada no centro de massa.

É possível substituir o movimento de todas as partes do sistema pelo movimento do centro de massa.

Fonte: Filipe Varela

Dinâmica do movimento do centro de massa (c.m.)

O c.m. se move como se toda a massa do sistema estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre ele.

m\vec R_{cm} = \sum_i m_i\vec r_i
m\vec V_{cm} = \sum_i m_i\vec v_i
m\vec A_{cm} = \sum_i m_i\vec a_i
\Rightarrow m\vec A_{cm} = \sum_i \vec F_i
\Rightarrow m\vec A_{cm} = \sum_i (\vec F_{ext}+\vec F_{int})
\Rightarrow m\vec A_{cm} = \sum_i \vec F_{ext}
\Rightarrow \frac{d\vec P{sis}}{dt}=\vec F_{ext}
\vec F_1
\vec F_2
\vec F_{12}
\vec F_{21}

Dinâmica do movimento do centro de massa (c.m.)

Para sistemas com dois objetos, é útil fazer uma distinção entre forças exercidas de dentro do sistema (forças internas: \(\vec F^{in}_{12}\) e \(\vec F^{in}_{21}\)) e forças exercidas de fora do sistema (forças externas: \(\vec F_{ext\,1}\)).

=\sum \vec F_1 + \sum \vec F_2
\vec F_{ext,1} + \vec F_{21}^{in}+\vec F_{12}^{in}

A taxa de variação do momento linear é:

\frac{d\vec p_{sis}}{dt}=\frac{d\vec p_1}{dt}+\frac{d\vec p_2}{dt}

A força resultante sobre o carrinho 1:

\sum \vec F_1 = \vec F_{ext,1} + \vec F_{21}^{in}

A força resultante sobre o carrinho 2:

\sum \vec F_2 =\vec F_{12}^{in}

Para um par de interação.

\vec F_{12} = -\vec F_{21}

Então:

\frac{d\vec p_{sis}}{dt}=

Dinâmica do movimento do centro de massa (c.m.)

Quando um força externa atua sobre um sistema isolado a taxa de variação do momento linear do sistema não é nula:

\frac{d\vec p_{sis}}{dt}=
\vec F_{ext,1} + \vec F_{21}^{in}+\vec F_{12}^{in}
\frac{d\vec p_{sis}}{dt}=
\vec F_{ext,1} 
interação de par
\vec 0

Uma vez que as forças internas formam um par de interação: (\(\vec F^{in}_{12}\) = - \(\vec F^{in}_{21}\)), então:

O momento linear do sistema isolado varia somente se houver uma força externa resultante atuando sobre ele:

\vec p_{sis,f} = \vec p_{sis,i} + \vec F_{ext,1}\Delta t

Existe uma sutileza nessa equação! Os momentos lineares são aqueles dos dois carrinhos! É o momento linear do sistema como um todo!

\vec F^{in}_{12} = -\vec F^{in}_{21}

Dinâmica do movimento do centro de massa (c.m.)

Apenas a força externa exercida no sistema variam o momento linear do sistema:

O momento linear do centro de massa do sistema de dois carrinhos é definido como:

\vec p_{sis}=\vec p_{cm}=m_{sis}\vec v_{cm}

Como a inércia \(m=m_1+m_2\) do sistema permanece constante na interação, temos

\frac{d\vec p_{cm}}{dt} = \frac{d(m_{sis}\vec v_{cm})}{dt} = m\frac{d\vec v_{cm}}{dt}

Então:

\vec F_{ext,1} = m_{sis}\vec{a}_{cm}

As forças internas não têm nenhum efeito no momento linear do sistema.

\frac{d\vec p_{cm}}{dt}= m_{sis}\vec a_{cm}
\vec F_{ext,1} =\frac{d\vec p_{sis}}{dt}
\vec F_{ext,1}\equiv \vec P

Dinâmica do movimento do centro de massa (c.m.)

A equação de movimento para o centro de massa do sistema

O centro de massa de um sistema de dois objetos acelera como se toda a massa estivesse localizado no centro de massa e a força externa fosse exercida nesse ponto. Os dois objetos se comportam como um único objeto.

\vec a_{cm}=\frac{\vec F_{ext,1}}{m_{sis}}
\equiv
\equiv
\vec p_{cm,f}= \vec p_{cm_i} + \vec F_{ext, 1}\Delta t
\vec v_{cm,f}= \vec v_{cm_i} + \frac{\vec F_{ext, 1}}{m_{sis}}\Delta t
\vec x_{cm,f}=\vec x_{cm,i}+ \vec v_{cm_i}(\Delta t) + \frac{\vec a_{cm}}{2}(\Delta t)^2
\otimes
cm
\vec F_{ext,1}
\otimes
cm
\vec F_{ext,1}
\Delta \vec r_{cm}
cm
\vec F_{R,ext}

Dinâmica do movimento do centro de massa (c.m.)

A equação de movimento para o centro de massa do sistema

\vec a_{cm}=\frac{\vec F_{ext,1}}{m_{sis}}

Nesse sistema isolado de duas partículas a força externa resultante é nula e a aceleração do centro de massa não varia. Isto é, o momento linear inicial é igual ao final, pois há somente forças internas.

As estrelas Sirius A e B têm cada uma sua órbita. Mas as forças gravitacionais entre elas (forças internas) não alteram o movimento do centro de massa.

Fonte: http://www.nasa.gov

Dinâmica do movimento do centro de massa (c.m.)

A equação de movimento para o centro de massa do sistema

O centro de massa de um sistema acelera como se toda a massa estivesse localizada no centro de massa e a força externa fosse exercida nesse ponto.

\vec a_{cm}=\frac{\vec F_{ext,R}}{m}

discreto

\Uparrow

contínuo

\Rightarrow

A força da gravidade atua sobre o centro de massa. A trajetória é similar aquela de uma partícula.

Fonte: https://www.youtube.com

Fonte: http://phy-lab.blogspot.com

Dinâmica do movimento do centro de massa (c.m.)

Vamos analisar o caso de um sistema em que existem mais de dois objetos interagindo.

\vec p_1
\vec p_2
\vec p_n
\vec p_3

A taxa de variação do momento linear é:

\frac{d\vec p_{sis}}{dt}=\frac{d\vec p_1}{dt}+\frac{d\vec p_2}{dt}+ \frac{d\vec p_3}{dt} +\cdots +\frac{d\vec p_n}{dt}
\sum \vec F_1 + \sum \vec F_2 + \sum \vec F_3+\cdots+ \sum \vec F_n
\frac{d\vec p_{sis}}{dt}=
\sum \vec F_1 = \sum \vec F_{ext,1}+ \sum \vec F_{int,1}
\sum \vec F_2 = \sum \vec F_{ext,2}+ \sum \vec F_{int,2}
\sum \vec F_n = \sum \vec F_{ext,n}+ \sum \vec F_{int,n}

onde

\vdots
\frac{d\vec p_{sis}}{dt}=
\sum( \vec F_{ext,1}+ \vec F_{ext,2}+ \cdots \vec F_{ext,n})+ \sum (\vec F_{int,1}+ \vec F_{int,2}+ \cdots \vec F_{int,n})
zero
\vec F_{ext,R} = m\vec{a}_{cm}
\vec F_{ext,R}

Dinâmica do movimento do centro de massa (c.m.)

Energia do Movimento do centro de massa (c.m.)

A cinemática de um sistema de partículas.

O movimento de um sistema de partículas é a soma da velocidade das partículas em relação ao centro de massa mais a velocidade do próprio centro de massa.

\vec v= \vec v_{cm} + \vec v_{rel}
\vec v_{cm}
\vec v_{rel}

Uma vez que, a energia cinética total é:

K= K_{cm}+K_{rel}
K_{cm}=\frac{1}{2}Mv_{cm}^2
K_{rel}=\sum_i\frac{1}{2}m_iv_{rel}^2
K=\sum_i\frac{1}{2}m_iv_i^2
v_i^2 =\vec v_i\cdot \vec v_i

e

onde, os termos são:

e

m_i

A cinemática de um sistema de partículas.

O movimento de um sistema de partículas é a soma da velocidade das partículas em relação ao centro de massa mais a velocidade do próprio centro de massa.

\vec v= \vec v_{cm} + \vec v_{rel}

Uma vez que, a energia cinética total é:

K= K_{cm}+K_{rel}
K_{cm}=\frac{1}{2}Mv_{cm}^2
K_{rel}=\sum_i\frac{1}{2}m_iv_{rel}^2
K=\sum_i\frac{1}{2}m_iv_i^2
v_i^2 =\vec v_i\cdot \vec v_i

e

onde, os termos são:

e

\vec v_{cm}
\vec v_{rel}
m_i

Energia do Movimento do centro de massa (c.m.)

Analise o simulador abaixo:

O disco A, deslizando sobre um trilho de ar horizontal sem atrito, se move a 1,0 m/s no sentido +x. Um disco idêntico, B, está em repouso sobre o trilho, à frente de A. A massa de cada disco é 1,0 kg e o sistema consiste nos dois discos. (a) Qual é a velocidade do centro de massa e qual é a velocidade de cada disco em relação ao centro de massa? (b) Qual é a energia cinética de cada disco em relação ao centro de massa? (c) Qual é a energia cinética total em relação ao centro de massa? (d) Os discos colidem e permanecem grudados um ao outro. Quanto passa a ser, então, a energia cinética total em relação ao centro de massa?

Fonte: https://www.geogebra.org/m/XZNtHeU4
v_{cm}=\hspace{0.8cm} \text{ m/s}
v_{A,rev}=\hspace{0.8cm} \text{ m/s}
v_{B,rev}=\hspace{0.8cm} \text{ m/s}

(a)

(b)

K_{A,rev}=\hspace{0.6cm} \text{ J}
K_{B,rev}=\hspace{0.6cm} \text{ J}
K_{rel}=\hspace{0.6cm} \text{ J}
+0,50
+0,50
-0,50
0,125
0,125
0,25

(c)

(d)

K_{rel}=\hspace{0.6cm} \text{ J}
0

Energia do Movimento do centro de massa (c.m.)

Sistema de massa variável

Como pode?

Fonte: https://www.youtube.com/embed/s1HA9LlFNM0​

Sistema de massa variável

O foguete tem inércia M = (m + dm), onde dm representa uma pequena quantidade de combustível ainda a bordo, mas prestes a ser expelida. Este é o instante inicial t.

A velocidade do foguete de inércia M é \(v_{rocket}\) no tempo t.

v(t_i) = v_i = v_{rocket}

Em seguida, uma pequena quantidade de combustível (dm) é ejetada do foguete (dentro do sistema) em um instante t + dt, pouco tempo depois.

O foguete se move a uma velocidade ligeiramente maior nesse tempo futuro:

v(t_i+dt) = v_f = v_{rocket}+dv_{rocket}
\vec P
\vec P

Sistema de massa variável

A velocidade do elemento de massa ejetado é

\vec v_{dm}=\vec v_{fuel}+\vec v_{rocket}

O sistema está sujeito à uma força externa resultante (peso).

\vec{F}dt=dm(\vec v_{fuel} +\vec v_{rocket})+m(\vec v_{rocket}+d\vec v_{rocket})-(m+dm)\vec v_{rocket}
\vec Fdt=+\vec v_{fuel}dm+md\vec v_{rocket}
\vec F_{ext,res}dt = d\vec P
\vec P
\vec P

inicial

final

\vec F=+\vec v_{fuel}\frac{dm}{dt}+m\frac{d\vec v_{rocket}}{dt}

Sistema de massa variável

Essa equação descreve uma equação diferencial da variação da velocidade do foguete que ocorre um curto intervalo de tempo:

A segunda lei de Newton para esse sistema de massa variável (referencial positivo para cima)

\vec F=\vec v_{fuel}\frac{dm}{dt}+m\frac{d \vec v_{rocket}}{dt}
-mg - v_{fuel}\frac{dm}{dt}=m\frac{d \vec v_{rocket}}{dt}

Para um caso particular onde a massa é queimada a uma taxa constante, \(R\), a massa do foguete varia linearmente no tempo,

m=m_0-Rt

A segunda lei de Newton se reduz para:

-m g + v_{fuel}R=m\frac{d \vec v_{rocket}}{dt}

Sistema de massa variável

A força de empuxo que empurra o foguete para cima é,

A aceleração do foguete é calculada a partir da expressão,

A velocidade do foguete é calculada ao integrar a equação acima no tempo,

F_{emp}= v_{fuel}\frac{dm}{dt}
\frac{d v_{rocket}}{dt}= \frac{v_{fuel}R}{m_0-Rt} -g
v_{rocket} = v_{fuel}\ln\left(\frac{m_0}{m_0-Rt}\right) - gt

Sistema de massa variável

Exemplo para g = 0.

\vec v_{rocket,f}- \vec v_{rocket,i} = - \vec v_{fuel}\ln\left( \frac{m_f}{m_i} \right)
m_i = 200\times 10^3\text{ kg}
m_f = 200\times 10^3\text{ kg} - 9,00\times 10^3 \text{ kg}=191\times 10^3\text{ kg}
v_f = 500 \text{m/s}
\Delta v_{rocket} =500\ln\left( \frac{200\times 10^3}{191\times 10^3} \right)=23 \text{ m/s}

Sistema de massa variável

Exemplo para g = 9,81 m/s\(^2\).

m_0 = 2,85\times 10^6\text{ kg}
R = 13,84\times 10^3\text{ kg/s}
F_{emp} = 34,0\times 10^6\text{ N}

(a)

v_{fuel}=F_{amp}/R=2,46\text{ km/s}

(b)

m_{queima}=0,270m_0=7,70\times 10^5\text{ kg}

(c)

t_{queima}=\frac{m_0-m}{R}=150\text{ s}

(d)

a_{rocket}=\frac{v_{fuel}}{m_0}R-g
=\frac{2,46}{2,85\times 10^6}(13,84\times 10^3)-9,81=2,14\text{ m/s}^2

(e)

a_{rocket}=\frac{v_{fuel}}{m_q}R-g
=\frac{2,46}{7,70\times 10^6}(13,84\times 10^3)-9,81=34,3\text{ m/s}^2

(f)

v_{rocket}=1,75\text{ km/s}

Sistema de massa variável

Exemplo:

A partir do vídeo (LINK):

t=\frac{1}{24}\times 100=4,2\text{ s}

Qual é a aceleração nesses 60 m de subida inicial?

x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2
a=\frac{2\Delta x}{t^2}
a=6,8\text{ m/s}^2

A velocidade final nesse intervalo:

\Delta v = at
\Delta v = 29\text{ m/s}

LINK​

Em preparação

  • Exemplo 4: T8-55 - Um corpo de 5,0 kg com uma rapidez de 4,0 m/s, colide frontalmente com ouro corpo, de 10,0 kg, que se move de encontro a ele com 3,0 m/s. O corpo de 10,0 kg fica parado após a colisão. 

(a) Qual é a rapidez do corpo de 5,0 kg após a colisão?

(b) A colisão é elástica?

  • Exemplo 5: T8-59 - Um bloco de massa m1 = 2,0 kg desliza sobre uma mesa sem atrito com uma rapidez de 10 m/s. Diretamente à frente dele e se deslocando no mesmo sentido com uma rapidez de 3,0 m/s, está um bloco de massa m2 = 5,0 kg. Uma mola ideal, de constante elástica k = 1120 N/m, está presa ao segundo bloco.

 

(a) Qual é a velocidade do centro de massa do sistema?

(b) Durante a colisão, a mola sofre uma compressão máxima D. Qual é o valor de D?

(c) Os blocos acabarão por se separar novamente. Quais são as velocidades dos dois blocos, após a separação, medidas no referencial do centro de massa?

  • Exemplo 6: T8-79 - Uma bola repica até 80 por cento de sua altura original. 

 

(a) Qual fração de sua energia mecânica é perdida a cada repicada?

(b) Qual é o coeficiente de restituição do sistema bola-chão?

  • Exemplo 1: T8-32) Um bloco de madeira e um revólver estão firmemente fixos nas extremidades opostas de uma longa plataforma montada sobre um trilho de ar sem atrito. O bloco e o revólver estão separados de uma distância L. O sistema está inicialmente em repouso. O revólver dispara uma bala que o abandona com uma velocidade vb, atingindo o bloco e nele se encravando. A massa da bala é mb e a massa do sistema revólver-plataforma-bloco é mp.
  • (a) Qual é a velocidade da plataforma imediatamente após a bala deixar a arma? 
  • Qual é velocidade da plataforma imediatamente após a bala atingir o repouso dentro do bloco?
  • (b) Qual é a distância percorrida pela plataforma, enquanto a bala está em trânsito entre o revólver e o bloco?
  • Exemplo 2: T8-36) A figura mostra o comportamento de um projétil justo após ele ter se partido em três pedaços. Qual era a rapidez do projétil justo antes de se partir? 
  • Exemplo 4: T40) Uma cunha de massa M é colocada sobre uma superfície horizontal e sem atrito, e um bloco de massa m é colocado sobre a cunha, que também tem uma superfície sem atrito. O centro de massa do bloco desce de uma altura h, enquanto o bloco desliza de sua posição inicial até o piso horizontal.
  • (a) Quais são os valores de rapidez do bloco e da cunha, no instante em que se separam, seguindo seus próprios caminhos?
  • (b) Teste a plausibilidade de seus cálculos para o caso limite M >> m.

Movimento do centro de massa (c.m.)

A localização do centro de massa.  Sistema contínuo.

\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int \vec r \,dm
\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int_0^L( x\hat i) \lambda \,dx
\vec r = x\hat i
dm=\lambda dx
\vec R_{cm} =\frac{\lambda}{M}\frac{L^2}{2}\hat i
\vec R_{cm} =\frac{L}{2}\hat i
\lambda=\frac{M}{L}

Movimento do centro de massa (c.m.)

A localização do centro de massa.  Sistema contínuo.

\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int \vec r \,dm
\vec R_{cm} = \frac{1}{M}\int_0^r\int_0^{2\pi}\vec r dm
\vec r = x\hat i
dm=\sigma da
\sigma=\frac{M}{A}

Movimento do centro de massa (c.m.)

A localização em relação ao referencial do centro de massa.

\vec r_1^{ \,\prime}=\vec r_1 - \vec R_{cm} = \frac{m_2}{m_1+m_2}(\vec r_1-\vec r_2)
\vec r_2^{ \,\prime}=\vec r_2 - \vec R_{cm} = \frac{m_1}{m_1+m_2}(\vec r_2-\vec r_1)
\vec r_1^{ \,\prime}=-\frac{m_2}{m_1}\vec r_2^{\,\prime}
\Rightarrow m_1\vec r_1^{ \,\prime}+{m_1}\vec r_2^{\,\prime}=0

Derivando em relação ao tempo,

m_2\vec u_2+{m_1}\vec u_1=0
\vec p_2^{\,\prime} + \vec p_1^{\,\prime} = 0
\Rightarrow \vec P_{sis}^{\,\prime} = 0

Dividindo membro a membro:

Movimento do centro de massa (c.m.)

No referencial do laboratório

\vec V_{cm} = \frac{m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}{m_1+m_2}
\Rightarrow M\vec V_{cm} = {m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}

No referencial do centro de massa

\vec u_1=\vec v_1 - \vec V_{cm}
\vec u_2=\vec v_2 - \vec V_{cm}
\Rightarrow0= {m_1\vec u_1+m_2\vec u_2}
\Rightarrow M\vec V_{cm} = \vec P_{sis}
\vec V_{cm} =\frac{ \vec P_{sis}}{M}
0 = { \vec P^{\prime}_{sis}}

Movimento do centro de massa (c.m.)

A energia 

A partir do teorema trabalho-energia cinética para um sistema de partículas

\Delta K = W_{ext}+W_{int}

podemos estudar os processos de colisão de partículas. Se recordarmos que

\Delta K = W_{ext}^c+ W_{ext}^{nc}+ W_{int}^c+ W_{int}^{nc}
\Delta K= \Delta K_{cm}+\Delta K_{int}
\Delta K_{cm}+\Delta K_{int}= W_{ext}^c+ W_{ext}^{nc}+ W_{int}^c+ W_{int}^{nc}

Daí,

em que:

W^c = -\Delta U

Temos o princípio da energia:

\Delta E = W_{ext}^{nc}+ W_{int}^{nc}

Movimento do centro de massa (c.m.)

A energia 

Em uma colisão as forças externas se cancelam ou são nulas,

A velocidade do centro de massa não varia (\(F_{ext} = M A_{cm} = 0)\)

\Delta K_{cm}=0

O tempo de contato é muito pequeno as variações nas posições da partículas do sistema são desprezíveis e a energia potencial interna conservativa não varia.

W_{ext}^{c}+ W_{ext}^{nc}=0
W_{int}^{c}=0

Daí,

\Delta K_{cm}+\Delta K_{int}= W_{ext}^c+ W_{ext}^{nc}+ W_{int}^c+ W_{int}^{nc}
\Rightarrow\Delta K_{int}=W_{int}^{nc}

Movimento do centro de massa (c.m.)

A energia 

Nas colisões elásticas, o trabalho das forças internas não conservativas é nulo. A energia cinética total do sistema permanece constante.

As forças externas são nulas.

\Delta K_{int}=W_{int}^{nc}=0
\Rightarrow K_{int,i}=K_{int,f}
\Delta \vec P_{sis} = \vec F_{ext}\Delta = 0
\Rightarrow\vec P_{sis,i}=\vec P_{sis,f}

Movimento do centro de massa (c.m.)

A energia 

Nas colisões inelásticas, o trabalho das forças internas não conservativas durante a colisão é diferente de zero.

As forças externas são nulas quando comparada as forças internas durante a colisão.

\Delta K_{int}=W_{int}^{nc}\neq 0
\Rightarrow K_{int,i}\neq K_{int,f}
\Delta \vec P_{sis} = \vec F_{ext}\Delta = 0
\Rightarrow\vec P_{sis,i}=\vec P_{sis,f}

No dia-a-dia, parte da energia é sempre transferida da energia cinética para outras formas de energia, como a energia térmica e sonora.

 

A energia cinética não é conservada.

Movimento do centro de massa (c.m.)

A energia 

Nas colisões perfeitamente inelásticas a distância relativa entre quaisquer partículas do sistema é constante, após a colisão.

Isso significa que derivando em relação ao tempo, após a colisão

\vec r_1^{ \,\prime}=\vec r_1 - \vec R_{cm}

onde \(\vec r_1^{\,\prime}\) permanece constante.

\vec v_1 - \vec V_{cm} =0
\vec V_{cm} =\vec v_1
\Delta K_{cm} = 0

Depois da colisão,  a energia cinética interna final do sistema é zero.

\Delta K = W_{int}^{nc}
\Delta K = -K_{int,i}
-K_{int,i} = W_{int}^{nc}<0

Princípio da conservação da energia

As interações entre dois sistemas pode ser interpretada como uma troca de momento, mas pode ser expressa como uma troca de energia.

A análise de sistemas de partículas em termos de energia é importante não só para a física, como também para a química, a biologia e a engenharia.

Como tratar a energia de um sistema de partículas?

Podem atuar sobre as partículas tanto forças externas como internas.

O trabalho total pode ser separado como o trabalho das forças internas e das forças externas.

Princípio da conservação da energia

A variação da energia cinética de um sistema de partículas é igual ao trabalho realizado sobre o sistema pelas forças externas e internas.

\vec F

A força externa do pistão executa um trabalho externo.

 

As forças intermoleculares executa um trabalho interno.

O trabalho total leva a uma variação da energia cinética do sistema.

\Delta K_{sis} = W_{ext} + W_{int}

Princípio da conservação da energia

Quando as forças internas em um sistema de partículas são conservativas, existe uma energia potencial interna que depende da natureza das forças internas.

No sistema planetário e atômico as forças dependem atuam al ao longo da linha que une as duas partículas, a energia potencial interna depende apenas da distância ao centro de forças.

Nesse caso, 

\Delta K_{sis} = W_{ext} -\Delta U_{int}
U=U(r_{12})
W_{int}=-\Delta U_{int}
\Delta K_{sis} +\Delta U_{int}= W_{ext}

Princípio da conservação da energia

Em um sistema de partículas, define-se a energia própria como a grandeza:

em que

\Delta E = W_{ext}
E = K_{sis} +\Delta U_{int}
K_{sis}=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2++\frac{1}{2}mv_3^2\cdots
U_{int} = U_{12}+U_{13}+\cdots+U_{23}+\cdots

Portanto,

a variação da energia própria de um sistema de partículas é igual ao trabalho realizado sobre o sistema por forças externas.

Princípio da conservação da energia

Pode ocorrer do trabalho das forças externas ser nulo. Assim,

\Delta E = 0

A soma da energia cinética com a energia potencial interna, ou energia própria, \(E\), de um sistema de partículas isolado permanece constante em relação a um observador inercial.

Em um sistema isolado existe uma conversão contínua de energia cinética em potencial interna e vice-versa.

Princípio da conservação da energia

Pode ocorrer do trabalho das forças externas ser devido à forças conservativas,

W_{ext} = -\Delta U_{ext}

Nesse caso, temos a energia total do sistema sujeito à ação de forças externas conservativas:

\Delta E + \Delta U_{ext} = 0
\Delta E_{total}=0

Para o átomo de hidrogênio em um campo elétrico externo:

E_{total}=\frac{1}{2}mv_e^2+\frac{1}{m}v_p^2+k \frac{q_e q_p}{r_{12}}+\frac{1}{2}CV^2

Princípio da conservação da energia

A energia total de uma molécula diatômica sujeita ao campo gravitacional e que interage como se fosse um sistema massa mola (modelando a interação eletrostática)

A energia própria:

K_{sis}=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2
\vec v_1
\vec v_2
x_{12}
U_{int}=\frac{1}{2}kx_{12}^2
U_{ext}=mgy_1+mgy_2
E=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}kx_{12}^2

A energia total:

E_{total}=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}kx_{12}^2+mgy_1+mgy_2
y_1
y_2

O trabalho realizado sobre uma partícula não é necessariamente igual ao trabalho realizado por um sistema de partículas. Tudo depende de como o centro de massa do sistema se move.

Trabalho realizado em um sistema de muitas partículas

\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
\vec F_{ext}
W_{ext} = F_{ext}\Delta x_F

Partícula

O movimento do centro de massa é único

Há um movimento do centro de massa e também relativo ao centro de massa

\Delta K = W_{ext}
W_{ext} = F_{ext}\Delta x_F

Sistema sólido indeformável

\Delta K = W_{ext}
\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
\vec F_{ext}
W = F_{ext}\Delta x_{cm}

Sistema sólido deformável

\Delta K_{cm} = W^{pseudo-trabalho!}
\Delta \vec r_{cm}
\vec F_{ext}
\vec F_{ext}

Trabalho realizado em um sistema de partículas

Para um sistema de uma partícula ou um objeto rígido (indeformável):

\Delta K = F_{ext} \Delta x_F

Para um sistema de muitas partículas:

\Delta K_{cm} \neq F_{ext} \Delta x_F

pois

\Delta K_{cm} = F_{ext}\Delta x_{cm}

A expressão \(F_{ext}\Delta x_{cm}\) não é o mesmo que \(W= F_{ext}\Delta x_F\), pois para sistemas de muitas partículas:

\Delta x_F \neq \Delta x_{cm}

Trabalho realizado em um sistema de partículas

Equação de movimento

Lei da energia

Equação do trabalho

Lei da energia

Variação da energia cinética

Única partícula ou corpo rígido

Sistema de partículas ou objeto deformável

\vec a =\frac{\sum \vec F}{m}
\vec a_{cm} =\frac{\sum \vec F_{ext}}{m}
\Delta E =W
\Delta E =W
W = (\sum F_{ext,x})\Delta x_{cm}
W = (\sum F_{ext, nx})\Delta x_{Fn}
\Delta K = W
\Delta K_{cm} = (\sum F_{ext, x})\Delta x_{cm}

Trabalho realizado em um sistema de partículas

Ao pular, o saltador eleva seu centro de massa de uma altura h. O sistema sofre mudança de forma.

\Delta E = \sum F_i \Delta x_i

Modelando o saltador como um objeto extenso.

\vec N
\vec P

A energia do sistema inclui energia cinética do centro de massa, energia cinética relativo ao centro de massa  e energia interna:

cm

Fonte: Chabay & Sherwood

\Delta K_{cm} + \Delta K_{rel}+\Delta E_{int} = \sum F_i \Delta x_i
\Delta K_{cm} + \Delta K_{rel}+\Delta E_{int} =N\Delta x_N - P\Delta x_P
\Delta x
0
\Delta K_{cm} + \Delta K_{rel}+\Delta E_{int} =-Mgh

Trabalho realizado em um sistema de partículas

Ao pular, o saltador eleva seu centro de massa de uma altura h. O sistema não muda de forma.

\Delta E = \sum F_i \Delta x_{cm}

Modelando o saltador como uma partícula.

\vec N
\vec P

A energia do sistema é puramente cinética. Então, desconsidera-se qualquer mudança de forma (ou energia interna):

\Delta K_{cm} = \sum F_i \Delta x_{cm}
cm

Fonte: Chabay & Sherwood

\Delta K_{cm}= (N-P) h
\Delta K_{cm}= (N-Mg)h

Trabalho realizado em um sistema de partículas

Repare que as equações para os modelos são diferentes:

\Delta E = \sum F_i \Delta x_{cm}=\Delta K_{cm}

Podemos combinar os dois modelos. Pois o segundo nos mostrou como varia a energia cinética do centro de massa.

Fonte: Chabay & Sherwood

\Delta E = \sum F_i \Delta x_i

Modelo de partícula

Modelo de corpo extenso

Substituindo o modelo de partícula no modelo de corpo extenso:

\Delta K_{cm}= (N-Mg)h
\Delta K_{cm} + \Delta K_{rel}+\Delta E_{int} =-Mgh
\Delta K_{rel}+\Delta E_{int} =-Nh

O saltador usa a energia cinética dos seus braços e pernas, em relação ao centro de massa e alguma energia interna (energia química) para saltar.  A energia sai do sistema devido ao trabalho negativo!

O trabalho realizado sobre uma partícula não é necessariamente igual ao trabalho realizado por um sistema de partículas. Tudo depende de como o centro de massa do sistema se move.

Trabalho realizado em um sistema de muitas partículas

\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
\vec F_{ext}
W_{ext} = F_{ext}\Delta x_F

Partícula

O movimento do centro de massa é único

Há um movimento do centro de massa e também relativo ao centro de massa

\Delta K = W_{ext}
W_{ext} = F_{ext}\Delta x_F

Sistema sólido indeformável

\Delta K = W_{ext}
\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
\vec F_{ext}
W = F_{ext}\Delta x_{cm}

Sistema sólido deformável

\Delta K_{cm} = W^{pseudo-trabalho!}
\Delta \vec r_{cm}>\Delta \vec F_F
\vec F_{ext}
\vec F_{ext}

Trabalho realizado em um sistema de partículas

Para um sistema de uma partícula ou um objeto rígido (indeformável):

\Delta K = F_{ext} \Delta x_F

Para um sistema de muitas partículas:

\Delta K_{cm} \neq F_{ext} \Delta x_F

pois

\Delta K_{cm} = F_{ext}\Delta x_{cm}

A expressão \(F_{ext}\Delta x_{cm}\) não é o mesmo que \(W= F_{ext}\Delta x_F\), pois para sistemas de muitas partículas:

\Delta x_F \neq \Delta x_{cm}

Trabalho realizado em um sistema de partículas

Equação de movimento

Lei da energia

Equação do trabalho

Lei da energia

Variação da energia cinética

Única partícula ou corpo rígido

Sistema de partículas ou objeto deformável

\vec a =\frac{\sum \vec F}{m}
\vec a_{cm} =\frac{\sum \vec F_{ext}}{m}
\Delta E =W
\Delta E =W
W = (\sum F_{ext,x})\Delta x_{cm}
W = (\sum F_{ext, nx})\Delta x_{Fn}
\Delta K = W
\Delta K_{cm} = (\sum F_{ext, x})\Delta x_{cm}

Exemplo 10.7

Os discos 1 e 2 deslizam no gelo e colidem. A inércia do disco 2 é duas vezes a do disco 1. O disco 1 se move inicialmente a 1,8 m/s; o disco 2 se move inicialmente a 0,20 m/s em uma direção que faz um ângulo de 45° com a direção do disco 1. Após a colisão, o disco 1 se move a 0,80 m/s em uma direção que faz um ângulo de 60° com sua direção original. Qual é a velocidade e a direção do disco 2 após a colisão

A colisão é elástica?

Exemplo 13 (A4.P2-13)

Um pequeno foguete de coleta de dados meteorológicos é lançado verticalmente para cima. Após vários segundos de vôo, sua velocidade é de 120 m/s e sua aceleração é de 18 m/s^2. Neste instante, a massa do foguete vale 48 kg, e ele perde massa a uma taxa de 0,50 kg/s enquanto queima combustível. Qual é a força resultante sobre o foguete?

Exemplo 14 (A4.P2-14)

O primeiro estágio de um veículo espacial Saturno V consumiu combustível e oxidante a uma taxa de 1,50 x 10^4 kg/s com uma velocidade escalar de exaustão de 2,60 x 10^3 m/s. (a) Calcule o impulso produzido por este motor, (b) Encontre a aceleração que o veículo teve quando acabou de deixar a plataforma de lançamento na Terra, considerando a massa inicial do veículo como 3,00 x 10^6 kg.

Exemplo 15 (A4.P1-12)

Uma corrente de comprimento L e massa total M é liberada do repouso com sua extremidade inferior ape­nas tocando o topo de uma mesa, como mostrado na figura a. Encontre a força exercida pela mesa sobre a corrente depois que a corrente caiu por uma distância x, como mos­ trado na b. (Considere que cada elo entra em repouso no instante em que toca a mesa.)

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