Aula 06. Parte 2

Introdução à Física Clássica I

Prof. Ronai Lisbôa

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Objetivos

Estudar a relatividade do movimento de Galileu

Calcular a posição, velocidade e aceleração do centro de massa

Estudar os princípios de conservação no referencial do centro de massa

Relatividade de Galileu

O movimento é relativo. Depende do observador.

Fonte: Juan Carlos Casado

Analema Solar

Fonte: Juan Carlos Casado

Eclipse da lua

Mas é possível descrever o movimento independentemente de quem observa um fenômeno?

Relatividade de Galileu

O movimento é relativo. Depende do observador.

Mas é possível descrever o movimento independentemente de quem observa um fenômeno?

Fonte: https://youtu.be/08LS9CEB9qI

Relatividade de Galileu

Dada uma lei física em um certo referencial, qual será sua forma em outro referencial, isto é, como a lei física se transforma ao passarmos de um referencial para outro?

No início do movimento (origem):

As origens coincidem: \(x_{Pe} = x_{Ee} = 0 \) e \(y_{Pe} = y_{Ee} = 0\).

Os relógios estão sincronizados: \(t_{Pe} = t_{Ee} = 0 \).

Fonte: https://www.subpng.com/png-ldoroi/

Relatividade de Galileu

Dada uma lei física em um certo referencial, qual será sua forma em outro referencial, isto é, como a lei física se transforma ao passarmos de um referencial para outro?

\Delta \vec r_{PE}

As medidas do evento (giz lançado no ar).

Professor: \(x_{Pe}\) e \(t_{Pe}\).

Estudante: \(x_{Ee}\) e \(t_{Ee}\).

Fonte: https://www.subpng.com/png-ldoroi/

\vec r_{pE}

\vec r_{Ee}

Após o deslocamento relativo dos referenciais:

\(t_{Ee}\) = \(t_{Pe}\) = \(t\).

O tempo é absoluto.

\vec r_{Pe}

\vec r_{Pe} = \Delta \vec r_{PE} + \vec r_{Ee}

Relatividade de Galileu

As equações de transformação de Galileu.

\vec r_{Pe}

\Delta \vec r_{PE}

\vec r_{Ee}

\vec r_{Pe} = \Delta \vec r_{PE}+ \vec r_{Ee}

Fonte: https://www.subpng.com/png-ldoroi/

A posição do professor em relação ao evento é igual ao deslocamento relativo do professor em relação ao estudante mais a posição do estudante em relação ao evento.

O deslocamento relativo se dá em um intervalo de tempo \(\Delta t = t_e-0\). Assim,

\Delta \vec r_{PE} = \vec v_{PE}(t_e-0)

A equação da relatividade de Galileu fornece:

\vec r_{Pe} = \vec v_{PE}\,t_e + \vec r_{Ee}

Relatividade de Galileu

A partir da relatividade de Galileu:

\vec r_{Pe}

\vec v_{PE}t

\vec r_{Ee}

Derivando ambos os lados em relação ao tempo:

\vec r_{Pe} = \vec v_{PE}\,t_e + \vec r_{Ee}

\vec v_{Pe} = \vec v_{PE} + \vec v_{Ee}

A velocidade do evento (e) em relação ao professor (P) é igual à velocidade do evento (e) em relação ao professor (E) mais a velocidade relativa dos referenciais (PE).

\vec r_{Ee} = \vec r_{Pe} - \Delta \vec r_{PE}

referencial do estudante

referencial do professor

Usualmente, essas equações são reescritas (se preferir também), como:

\vec v_{Ee} = \vec v_{Pe}- \vec v_{PE}

Relatividade de Galileu

Por exemplo, se um passageiro caminha com velocidade de 5 km/h no corredor de um trem que se deslocada com velocidade de 50 km/h, em relação à estação do trem. Qual será a velocidade do passageiro em relação a essa mesma estação?

Referencial em repouso: A estação (e).

Referencial em movimento: O trem (t). \(v_{et} = 50\) km/h.

Evento: O passageiro (p) caminhando no trem (t). \(v'_{tp} = 5\) km/h.

referencial do passageiro

referencial do observador

v'_{tp}

v_{ep}

v_{et}

Se o passageiro caminha no sentido do movimento do trem:

Se o passageiro caminha no sentido contrário ao movimento do trem:

v_{ep} = v'_{tp}+v_{et}=55\text{ km/h}

v_{ep} = -v'_{tp}+v_{et}=45\text{ km/h}

Relatividade de Galileu

A partir da relatividade de Galileu:

\vec v_{Ae}

\vec v_{AB}

\vec r_{Be}

A variação é:

\vec v_{Ae} = \vec v_{AB} + \vec v_{Be}

\Delta \vec v_{Ae} = \vec v_{Ae,f} - \vec v_{Ae,i}

= ( \vec v_{AB} + \vec v_{Be,f} ) - ( \vec v_{AB} + \vec v_{Be,i} )

= \vec v_{Be,f} - \vec v_{Be,i} = \Delta \vec v_{Be}

As variações na velocidade do evento (giz) são as mesmas nos dois quadros de referência que se movem a uma velocidade relativa constante.

A aceleração é:

\vec a_{Ao} \equiv \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\Delta \vec v_{Bo}}{\Delta t} \equiv \vec a_{Bo}

Os dois observadores em movimento com velocidade constante medem a mesma aceleração.

Relatividade de Galileu

A partir da relatividade de Galileu:

\vec v_{Ae}

\vec v_{AB}

\vec r_{Be}

\vec v_{Ae} = \vec v_{AB} + \vec v_{Be}

Qualquer referencial que se desloca com velocidade constante em relação a ele será também um referencial inercial.

As leis físicas conservam sua forma quando transformadas porque os referenciais são inerciais.

\vec r_{Ae} = \vec r_{AB} + \vec r_{Be}

\vec a_{Ae} = \vec a_{Be}

Os dois observadores em movimento com velocidade constante medem a mesma aceleração.

Relatividade de Galileu

Fonte: https://youtu.be/jYMU6bn5GHY

Ponto de Verificação 6.8

Um corredor corre sobre uma esteira cujo cinto se move a \(v_{TBx}\) = + 2,0 m/s em relação à Terra. Considere que a origem do referencial da Terra e do referencial B se movendo junto com a superfície superior do cinto coincidirem em t = 0.
(a) Qual é a posição do corredor no referencial do cinto em t = 10 s?
(b) Use abaixo para mostrar que a medição da posição do corredor por um observador da Terra é \(r_{TJx}\) = 0 em todos os instantes.

\vec r_{Ae} = \Delta \vec r_{AB}+ \vec r\,'_{Be}

evento

ref. repouso

ref. movimento

Ponto de Verificação 6.9

Em um trem que segue para o norte a 3,1 m/s em relação à Terra, um passageiro carregando uma mala caminha para a frente no corredor a 1,2 m/s em relação ao trem. Uma aranha se arrasta ao longo do fundo da mala a 0,5 m/s para o sul em relação à mala. Qual é a velocidade da aranha em relação à Terra?

\vec r_{Ae} = \Delta \vec r_{AB}+ \vec r\,'_{Be}

evento

ref. repouso

ref. movimento

Exemplo 6.6

Você está dirigindo a 25 m/s em uma estrada reta e horizontal quando um caminhão que percorre 30 m/s na mesma direção ultrapassa você. Deixe a direção x positiva apontar na direção da viagem e deixe as origens dos referenciais fixados ao seu carro e ao caminhão coincidirem no instante em que o caminhão o ultrapassar. (a) Qual é a velocidade do seu carro, medida por alguém no caminhão? (b) Qual é a velocidade do caminhão em relação ao seu carro? (c) Qual é a posição do seu carro, medida por alguém no caminhão 60 s depois de ultrapassá-lo?

\vec r_{Ae} = \Delta \vec r_{AB}+ \vec r\,'_{Be}

evento

ref. repouso

ref. movimento

Centro de massa

Obtemos a inércia de um objeto desconhecido (d) colidindo com um objeto de inércia padrão (p):

m_d\equiv -\frac{\Delta v_{p}}{\Delta v_{d}}m_p

As variações na velocidade são as mesmas nos dois quadros de referência que se movem a uma velocidade relativa constante \(\Delta v_p = \Delta v_d\). Dois observadores medirão a mesma inércia.

m_{Ad}=m_{Bd}=m_d

O momento de um objeto medido em dois quadros de referência A e B são relacionados por:

\vec p_{Ad} \equiv m_d\vec v_{Ad}= m_d(\vec v_{AB}+\vec v_{Bd}) \equiv m_d \vec v_{AB} +\vec p_{Bd}

O momento medido no referencial B é diferente do momento medido no quadro de referência A.

Centro de massa

Podemos fazer com que o momento de um sistema de objetos seja zero:

\vec p_{A,sys} = \vec p_{A1}+ \vec p_{A2}+ \cdots

=(m_1\vec v_{AB} + \vec p_{B1}) + (m_2\vec v_{AB} + \vec p_{B2}) + \cdots

=(m_1+m_2+\cdots )\vec v_{AB} + (\vec p_{B1} + \vec p_{B2} + \cdots ) = m\vec v_{AB} + \vec p_{B\,sys}

\vec p_{Ad} \equiv m_d \vec v_{AB} +\vec p_{Bd}

\(m = m_1 + m_2 + \cdots\) é a inércia do sistema.

Se ajustarmos a velocidade \(\vec v_{AB} \) do quadro de referência B em relação ao quadro de referência A:

\vec v_{AB} = \frac{\vec p_{B\,sys}}{m}

O quadro de referência B é um quadro de referência de momento zero:

\vec p_{B\, sys} = \vec p_{A\,sys} -m\vec v_{AB} = \vec p_{A\,sys} -m \frac{\vec p_{A\,sys}}{m}=\vec 0

Centro de massa

Em relação à Terra, a velocidade do referencial de momento zero Z para um sistema de objetos é igual ao momento do sistema medido no referencial da Terra dividido pela inércia do sistema:

\vec v_{EZ} = \frac{\vec p_{E\,sys}}{m} = \frac{m_1\vec v_{E1}+m_2\vec v_{E2}+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}

A velocidade do referencial de momento zero está relacionada à posição do centro de massa de um sistema:

\vec r_{cm} \equiv \frac{m_1\vec r_{1}+m_2\vec r_{2}+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}

\frac{d\vec r_{cm}}{dt} = \frac{m_1(d\vec r_{1}/dt)+m_2(d\vec r_{2}/dt)+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}

\vec v_{cm} \equiv \frac{d\vec r_{cm}}{dt} = \frac{m_1\vec v_{1}+m_2\vec v_{2}+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}

Centro de massa

Para determinar o centro de massa de dois objetos de mesma inércia em relação a dois referenciais:

x_{A\,cm} = \frac{m_1 x_{A1}+m_2x_{A2}}{m_1+m_2} = \frac{m(x_{A1}+x_{A2})}{2m} = \frac{(x_{A1}+x_{A2})}{2}

x_{B\,cm} = \frac{m x_{B1}+mx_{B2}}{m+m} = \frac{m(0+x_{B2})}{2m} = \frac{x_{B}}{2}

O CM Esta posição está a 1/2 do caminho entre os dois carros.

Para inércias diferentes:

x_{A\,cm} = \frac{2m x_{A1}+mx_{A2}}{2m+m} = \frac{2x_{A1}+x_{A2}}{3}

x_{B\,cm} = \frac{2m .0+mx_{B2}}{2m+m} = \frac{x_{B2}}{3}

O CM Esta posição está a 1/3 do caminho entre os dois carros.

Centro de massa

A posição do centro de massa de um sistema é uma propriedade do sistema independente da escolha do quadro de referência.

\vec r_{cm} \equiv \frac{m_1\vec r_{1}+m_2\vec r_{2}+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}

A equação sugere que o centro de massa representa uma espécie de posição "média ponderada" de um sistema, mas o centro de massa é mais importante que isso.

O centro de massa nos permite especificar uma posição fixa em um sistema de acordo com uma prescrição exata.

Centro de massa

Para objetos discretos o centro de massa é calculado por meio da equação:

\vec r_{cm} \equiv \frac{m_1\vec r_{1}+m_2\vec r_{2}+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}

Para objetos simétricos com uma inércia uniformemente distribuída o centro de massa está em um eixo de simetria e em qualquer plano de simetria.

x_{cm} \equiv \frac{m_1x_{1}+m_2x_{2}+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}

y_{cm} \equiv \frac{m_1y_{1}+m_2y_{2}+m_3y_3}{m_1+m_2+m_3}

Centro de massa

O centro de massa também é uma ferramenta importante em nossa busca pela simplificação: nos permite ser precisos mesmo para sistemas onde o movimento é complexo.

Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_star

O movimento do centro de massa não é alterado quando não há uma força externa resultante em um sistema isolado.

O movimento do centro de massa é alterado quando o momento linear do sistema muda.

Fonte: @physicsfun

Fonte: https://aatishb.com/2014/10/06/skateboard-physics/

Energia cinética conversível

A energia cinética de um sistema de partículas no quadro de referência da Terra:

K_{E\,sis} = \frac{1}{2}m_1 v_{E1\,x}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{E2\,x}^2 + \cdots

em termos da energia cinética correspondente \(K_{Z sis}\) medida no quadro de referência de momento zero:

K_{E\,sis}= \frac{1}{2}m_1 (v_{cm\,x}+ v_{Z1})^2 + \frac{1}{2}m_2 (v_{cm\,x} + v_{Z2})^2 + \cdots

K_{E\, sis} = \frac{1}{2}m_1 v_{cm\,x}^2 + m_1 v_{cm\,x}v_{Z1} + \frac{1}{2}m_1v_{Z1}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{cm\,x}^2 + m_2 v_{cm\,x}v_{Z2} + \frac{1}{2}m_2v_{Z2}^2

onde

v_{Eo} = v_{EZ} + v_{Zo}

v_{EZ}=v_{cm}

K_{E\,sis} = \frac{1}{2}(m_1+m_2+\cdots)v_{cm}^2 + (m_1 v_{Z1\,x}+m_2 v_{Z2\,x}+\cdots)v_{cm\,x} + \left( \frac{1}{2}m_1v_{Z1}^2+ \frac{1}{2}m_2v_{Z2}^2+\cdots\right)

K_{E\,sis} = \frac{1}{2}mv_{cm}^2 + K_{Z\,sis}

p_{Z\,sis}=0

Energia cinética conversível

A energia cinética do sistema é soma:

O primeiro termo à direita nesta equação, chamado de energia cinética de translação do sistema, é a energia cinética associada ao movimento do centro de massa do sistema:

K_{E\,sis} = \frac{1}{2}mv_{cm}^2 + K_{Z\,sis}

K_{cm}\equiv \frac{1}{2}mv_{cm}^2

Este termo tem a forma da energia cinética de um objeto de inércia m movendo-se à velocidade \(v_{cm}\).

Para um sistema isolado, a energia cinética de translação \(K_{cm}\) não é conversível, o que significa que não pode ser convertida em energia interna. Essa energia cinética é uma função da velocidade do centro de massa do sistema, que não pode mudar para um sistema isolado!

Energia cinética conversível

A energia cinética do sistema é soma:

O segundo termo à direita nesta equação é a energia cinética conversível do sistema.

K_{E\,sis} = \frac{1}{2}mv_{cm}^2 + K_{Z\,sis}

K_{conv}=K_{Z\,sis}=K_{E\,sis}- \frac{1}{2}mv_{cm}^2

é a quantidade que pode ser convertida em energia interna sem alterar a dinâmica do sistema.

Com esta última equação, podemos eliminar qualquer referência ao referencial de momento zero, deixando apenas as quantidades medidas no quadro de referência da Terra:

K_{E\,sis} = K_{cm} + K_{conv}

K_{conv} = \left( \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 + \cdots \right) - \frac{1}{2}mv_{cm}^2

Energia cinética conversível

A energia cinética de um sistema pode ser dividida em uma parte conversível e uma parte não conversível. A parte não conversível é a energia cinética de translação do sistema \(K_{cm} = (1/2)mv_{cm}^2\). O restante da energia cinética é conversível.

Para um sistema de dois objetos em colisão, a energia cinética conversível é:

K_{conv} = K -\frac{1}{2}mv_{cm}^2 = \left( \frac{1}{2}m_1v_1^2+ \frac{1}{2}m_2v_2^2 \right) - \frac{1}{2}(m_1 + m_2) v_{cm}^2

como:

\vec v_{cm} \equiv \frac{m_1\vec v_{1}+m_2\vec v_{2}}{m_1+m_2}

K_{conv} = \frac{1}{2} \left( \frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \right)v_{12}^2

onde define-se a inércia reduzida (\(\mu\)) do sistema e a velocidade relativa (\(v_{12}\)) dos dois objetos:

\mu \equiv \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}

v_{12}=v_2-v_1

K_{conv} = \frac{1}{2} \mu v_{12}^2

Energia cinética conversível

Em uma colisão elástica de dois corpos:

A velocidade relativa inicial dos dois carros é:

v_{12} = |v_2 - v_1| = |0-(+6,7)| = 6,7 \text{ m/s}

A energia cinética conversível:

K_{conv} = \frac{1}{2}(500\text{ kg})(6,7\text{ m/s}^2)=11\text{ kJ}

A energia cinética inicial do sistema é :

K_i = K_{1,i} = \frac{1}{2}(1000)(6,7)^2 = 22 \text{kJ}

A velocidade relativa inicial dos dois carros é:

v_{12} = |v_2 - v_1| = |6,7-(+6,7)| = 13,4 \text{ m/s}

A energia cinética conversível:

K_{conv} = \frac{1}{2}(500\text{ kg})(13,4\text{ m/s}^2)=45\text{ kJ}

A energia cinética inicial do sistema é :

K_i = K_{1,i} = \frac{1}{2}(500)(13,4)^2 = 45 \text{kJ}

Energia cinética conversível

Em uma colisão inelástica de dois corpos a rapidez relativa e a energia cinética variam. A energia cinética do sistema:

\Delta K = \Delta K_{cm} + \Delta K_{conv}

\Delta K = \frac{1}{2}\mu v_{12\,f}^2 - \frac{1}{2}\mu v_{12,f}^2 = \frac{1}{2}\mu(v_{12,i}^2-v_{12,i}^2)

\Delta K = \frac{1}{2}\mu v_{12,i}^2 \left( \frac{v_{12,f}^2}{v_{12\,i}^2}-1 \right) = \frac{1}{2}\mu v_{12,i}^2(e^2-1)

Este valor representa a quantidade de energia cinética convertida em energia interna durante a colisão inelástica. A variação máxima na energia cinética do sistema ocorre em uma colisão totalmente inelástica \(e = 0\):

\Delta K = -\frac{1}{2}\mu v_{12,i}^2

Em uma colisão elástica \(e = 1\):

\Delta K = 0

Leis de conservação e relatividade

Para um sistema de dois referenciais, A e B, que se movem a uma velocidade \(v_{AB}\) em relação um ao outro:

\Delta \vec p_{Ao} = m_o \Delta \vec v_{Ao}

Porque uma variação na velocidade no referencial A é a mesma que uma variação no quadro de referência B:

\Delta \vec p_{Ao} = m_o \Delta \vec v_{Ao} = m_o \Delta \vec v_{Bo} = \Delta \vec p _{Bo}

que nos diz que a variação no momento de um objeto é a mesma nos referenciais A e B. Então, para o momento de um sistema de objetos, temos:

\Delta \vec p_{A\,sis} = \Delta \vec p_{B\,sis}

As variações no momento de um sistema são as mesmas em quaisquer dois referenciais que se movem a velocidade constante um em relação ao outro.

Leis de conservação e relatividade

A energia interna é uma medida quantitativa de uma mudança de estado e o estado de qualquer objeto ou sistema não pode depender do movimento do observador.

\Delta E_{A\,int} = \Delta E_{B\,int}

A energia interna deve ser independente do referencial:

Se a velocidade de um objeto no referencial A aumenta para \(v_{Ao, i} + \Delta v_{Ao}\) de um valor inicial \(v_{Ao, i}\), a energia cinética aumenta em um valor:

\Delta K_{Ao} = \frac{1}{2}m_o \left[ (v_{Ao,i} + \Delta v_{Ao})^2 - (v_{Ao,i})^2 \right]

= m_o v_{Aox,i}\Delta v_{Ao} + \frac{1}{2}m_o(\Delta v_{Ao})^2

\Delta K_{Ao} = m_o (v_{AB} + v_{Bo,i})\Delta v_{Bo} + \frac{1}{2}m_o (\Delta v_{Bo})^2

No quadro referencial B:

\Delta K_{Bo} = m_o v_{Box,i}\Delta v_{Box} + \frac{1}{2}m_o (\Delta v_{Box})^2

Leis de conservação e relatividade

Se a velocidade de um objeto no referencial A aumenta para \(v_{Ao, i} + \Delta v_{Ao}\) de um valor inicial \(v_{Ao, i}\), a energia cinética aumenta em um valor:

\Delta K_{Ao} = \frac{1}{2}m_o \left[ (v_{Ao,i} + \Delta v_{Ao})^2 - (v_{Ao,i})^2 \right]

= m_o v_{Aox,i}\Delta v_{Ao} + \frac{1}{2}m_o(\Delta v_{Ao})^2

\Delta K_{Ao} = m_o (v_{AB} + v_{Bo,i})\Delta v_{Bo} + \frac{1}{2}m_o (\Delta v_{Bo})^2

No quadro referencial B:

\Delta K_{Bo} = m_o v_{Bo,i}\Delta v_{Bo} + \frac{1}{2}m_o (\Delta v_{Bo})^2

Assim:

\Delta K_{Ao} = m_o v_{AB}\Delta v_{Bo} +\Delta K_{Bo} \neq \Delta K_{Bo}

o que significa que a variação na energia cinética de um objeto depende do quadro de referência em que essa variação é medida.

Leis de conservação e relatividade

Vamos examinar a energia cinética convertida em energia interna. No quadro de referência A, temos:

\Delta K_A = \frac{1}{2}\mu(v_{A12,f}^2-v_{A12,i}^2)

Como as velocidades relativas são diferenças nas velocidades, \(v_{B12} = v_{A12}\) e, portanto, a variação na energia cinética do sistema também deve ser a mesma em quaisquer dois referenciais inerciais:

\Delta K_A = \Delta K_B

Generalizando o resultado para um sistema de mais de dois objetos, obtemos:

\Delta K_B + \Delta K_{B,int} = \Delta K_A + \Delta K_{A,int}

\Delta K_{B,sis} = \Delta K_{A,sis}

As variações na energia de um sistema são as mesmas em quaisquer dois referenciais que se movem a velocidade constante um em relação ao outro.

Leis de conservação e relatividade

Objetos 1 \(m_1 = 1,0\) kg e 2 \(m_2 = 3,0\) kg colidem inelasticamente. As velocidades são \(v_{1, i} = +4,0\) m/s, \(v_{2, i} = 0\), \(v_{1, f} = -0,50\) m/s e \(v_{2, f} = +1,5\) m/s. O coeficiente de restituição e:

A energia cinética convertida em energia interna tanto no referencial da Terra quanto em um referencial se movendo em \(v_{EM} = -1,0\) m/s em relação à Terra.

\(v_{12\,i} = |0 - (+ 4,0)| = 4,0 \text{ m/s} \)

\( v_{12\,f} = |(+ 1,5) - (-0,50) = 2,0 \text{ m/s} \)

\( \Rightarrow e = (2,0 \text{ m/s})/(4,0 \text{ m/s}) = 0,50.\)