Aula 05

Introdução à Física Clássica II

Prof. Ronai Lisbôa

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Objetivos

Identificar os tipos de ondas mecânicas.

Ao final dessa aula você deve se capaz de:

Explicar a propagação de ondas mecânicas.

Estudar as ondas periódicas (harmônicas):

rapidez de propagação;
período
frequência;
comprimento de onda;
número de onda.

Bibliografia

Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.

Capítulo 15 - Ondas Mecânicas.

Seções: 15.1, 15.2, 15.3

Fonte: https://physicsfootnotes.com/gifs/military-wave/

Distinguir o estudo de oscilações ao de ondas.

Interpretar a equação da onda.

Ondas. Definição.

A matéria é constituída de átomos e moléculas que estão vibrando a todo tempo.

Para poucos átomos ou moléculas é possível estudar o movimento utilizando as leis de Newton, mas na matéria isso pode ser complicado numericamente.

Visão macroscópica da matéria.

A matéria vibra segundo alguns modos normais.

Há um mecanismo que permite estudar o movimento coletivo dos átomos e moléculas.

Fonte: https://youtu.be/kvG7OrjBirI

Ondas. Definição.

Uma onda surge quando um sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio e a perturbação (sinal) se desloca ou se propaga de uma região para outra do sistema com uma rapidez bem definida pelo meio.

Fonte: https://www.youtube.com/embed/7yPTa8qi5X8?enablejsapi=1

O meio aparentemente contínuo da água é formado por uma enorme quantidade de moléculas que oscilam em torno de um ponto de equilíbrio (como massa-mola).

É possível estudar os movimentos coletivos de forma bem simplificada. Assim, não é necessário aplicar as leis de Newton para o movimento de cada molécula.

A transmissão do sinal ocorre sem que haja transporte direto de matéria.

Na transmissão há transferência de momento e energia.

Fonte: http://spiff.rit.edu/

Fonte: http://spiff.rit.edu/

Oscilladores (pontual)

Ondas (contínuo)

Ondas. Tipo. Mecânica.

Quanto à direção de propagação as ondas mecânicas distinguem-se em ondas:

Longitudinais

Fonte: https://youtu.be/GIkeGBXqWW0

Transversais

Fonte: https://youtu.be/y66PSaiGH7Y

Fonte: https://youtu.be/qdAEjWlmwfY

Fonte: https://youtu.be/ETWG1kEP-T4

A perturbação tem a mesma direção de propagação da onda. É longitudinal.

A perturbação tem a direção perpendicular à propagação da onda. É transversal.

As ondas mecânicas também são regidas pelas leis de Newton e exigem um meio elástico que se deforma e retorna ao equilíbrio tal como a Lei de Hooke, uma força restauradora.

Ondas. Tipo. Mecânica.

As ondas mecânicas necessitam de um meio físico para a propagação.

As ondas no ar (som) se propagam através do ar criando zonas de compressão e rarefação (diferença de pressão):

Fonte: https://youtu.be/XBP0jmpjzBw

A direção de propagação das ondas sonoras são longitudinais à direção de propagação. O deslocamento das partículas é paralelo à direção de propagação da onda. As partículas apenas oscilam para frente e para trás em torno de um ponto de equilíbrio.

No filme e na animação vemos as regiões de compressão e rarefação de uma onda sonora. Não há transporte de matéria de um extremo ao outro, mas há transferência de energia porque o sistema está fora do equilíbrio.

Fonte: https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves/wavemotion.html

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State

Ondas. Tipo. Mecânica.

As ondas mecânicas necessitam de um meio físico para a propagação.

As ondas em uma corda se propagam através de um meio flexível criando zonas de cristas e vales.

Fonte: https://youtu.be/PVX4V5Adbzk

Os modos de propagação dessas ondas são transversais à direção de propagação. O deslocamento da partícula é perpendicular à direção de propagação da onda. As partículas apenas oscilam para cima e para baixo em torno do equilíbrio.

O filme e a animação mostram as regiões de cristas e vales dessa onda. Não há transporte de matéria de um extremo ao outro, mas há transferência de energia porque o sistema está fora do equilíbrio.

Fonte: https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves/wavemotion.html

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State

Ondas. Tipo. Mecânica.

As ondas mecânicas necessitam de um meio físico para a propagação.

As ondas na água se propagam através de um meio fluido criando zonas de cristas e vales.

Fonte: https://www.youtube.com/embed/iSHboRQQqv8

As ondas de água são ondas que envolvem uma combinação de movimentos longitudinais e transversais. À medida que uma onda viaja através da água, as partículas viajam em círculos no sentido horário (Ondas de Gerstner).

Fonte: https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves/wavemotion.html

Pesquise sobre as ondas sísmicas. Elas são longitudinais, transversais ou uma mistura. Quais são os nomes? Como são as rapidezes de propagação?

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State

Ondas. Tipo. Mecânica.

As ondas mecânicas necessitam de um meio físico para a propagação.

As ondas sísmicas se propagam através da Terra. Percebe-se a transferência de energia e momento, mas a perturbação desloca-se em torno de um ponto médio.

Fonte: youtu.be/19fMs633Td4?si=kuy-v4J4PSYcKadW

Os modos de propagação (ondas de corpo) dessas ondas podem ser longitudinais ou transversais à direção de propagação.

Ondas P - Primeiras a chegar

Ondas S - Segundas a chegar

Fonte: https://youtu.be/ubRlaCCQfDk

Fonte: https://youtu.be/AtlxBODxWHc

Fonte: https://www.mtu.edu/geo/community/seismology/learn/seismology-study/

Ondas. Tipo. Mecânica.

As ondas mecânicas necessitam de um meio físico para a propagação.

Os modos de propagação (ondas de superfície) dessas ondas podem ser Love ou Rayleigh e são uma composição de ondas transversais e longitudinais.

Ondas L - Love Waves

Ondas R - Rayleigh

Fonte: https://www.mtu.edu/geo/community/seismology/learn/seismology-study/

As ondas de superfície viajam mais lentamente através do material da Terra na superfície do planeta e são predominantemente de menor frequência. Terremotos superficiais produzem ondas de superfície mais fortes; a força das ondas de superfície é reduzida em terremotos mais profundos.

Fonte: https://www.mtu.edu/geo/community/seismology/learn/seismology-study/surface-wave/

Ondas. Tipos. Eletromagnética.

As ondas eletromagnéticas não necessitam de um meio físico para a propagação.

Se as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo não há dispersão, mas em um meio há dispersão. São ondas transversais.

Fonte: https://www.geogebra.org/m/xhYwXSsH

Fonte: https://youtu.be/jMmG3ikQzGc

A luz é uma onda transversal.

Ondas. Tipo. Matéria.

As ondas de matéria.

Existe uma probabilidade da partícula elementar ser encontrada na região ∆x. Isto é, num pacote de ondas.

A incerteza do seu momento linear é limitado pelo princípio de incerteza de Heisenberg.

\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}

\Delta x

Ondas. Modelo físico-matemático.

Todos os exemplos anteriores têm características em comum:

2. Em cada caso a perturbação se desloca ou se propaga com uma rapidez definida pelo meio. A rapidez de propagação da onda definida pelas propriedades do meio de propagação.

1. O próprio meio não se desloca no espaço, mas o padrão geral da perturbação da onda é que se propaga. Um partícula do meio se movimenta verticalmente (transversalmente) ou horizontalmente (longitudinalmente) à medida que a onda passa.

3. Para produzir o movimento de qualquer um desses sistemas, é necessário fornecer energia mediante um trabalho mecânico realizado sobre o sistema.

A função de onda pode assumir qualquer forma desde que o argumento da função seja linear no espaço e no tempo. É este o padrão geral da perturbação (perfil) da onda é que se propaga.

y = f(x\pm vt)

O campo

A rapidez de propagação

A dependência temporal

A dependência espacial

A função

seno

cosseno

exponential

etc.

O sentido da propagação

Ondas. Ondas progressivas harmônicas.

Fonte: https://www.youtube.com/embed/L5qi4BoDvqY

Harmônicas

Fonte: https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves-intro/waves-intro.html

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State

perfil =>

Corda esticada em \(t=0\text{ s}\).

As coordenadas do ponto em estudo (quarto ponto verde) no tempo \(t=0\) s:

x= 3.8\text{ cm}

y= 0\text{ cm}

y = f(x,t)

A função para o ponto é:

O perfil (forma da onda ) fica completamente caracterizado por uma função \(y=f(x,t)\).

\Rightarrow 0 = f(3.8,0)

Fonte: PHET

Corda esticada em \(t=1.09\text{ s}\).

As coordenadas do ponto em estudo (quarto ponto verde) no tempo \(t=1.09\) s:

x= 3.8\text{ cm}

y= 1.0\text{ cm}

\Rightarrow 1.0=y(3.8,1.09)

A função para o ponto é:

y = f(x,t)

Fonte: PHET

\(y=0\)

\(x=3,8 \)cm

\(y=1,0\) cm

Ondas. Ondas progressivas harmônicas.

Amplitude nula em \(x=3,8\) cm e \(t=0\) s.

Amplitude não é nula em \(x=3,8\) cm e \(t=1,09\) s.

Chama-se de transformação de Galileu a operação que relaciona dois referenciais inerciais.

A transformação de Galileu é:

x' = x\pm vt

y(x,t)_{\forall\,t}=y(x\pm vt)

A rapidez é sempre positiva. Os sinais \(\pm\) indicam o sentido de propagação do pulso.

y(x,t)_{\forall t} = y(x')

O perfil se propaga de acordo com a função:

TERRA

PULSO

\vec v

y(x,t)=y(x- vt)

Para o pulso a Terra se move para trás

\vec v

y(x,t)=y(x+ vt)

Para o pulso a Terra se move para frente

ref. do pulso

ref. da terra

Ondas. Ondas progressivas harmônicas.

Fonte: https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves-intro/waves-intro.html

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State

As ondas mecânicas como ondas longitudinais que oscilam no espaço e no tempo.

Fonte: https://www.geogebra.org/m/SxNZa3Q2

As ondas mecânicas apresentam características comuns a todas as ondas, como amplitude, comprimento de onda, período, frequência e energia.

A distância entre as compressões (cristas) define um comprimento de onda (\(\lambda\)).

A rapidez da oscilação define uma frequência angular (\(\omega\)).

A rapidez da propagação define uma rapidez de propagação da onda (\(v\)).

v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\lambda}{T}

v=\lambda f

Ondas. Ondas progressivas harmônicas.

As ondas mecânicas como ondas transversais que oscilam no espaço e no tempo.

Fonte: https://www.geogebra.org/m/qyTMgkgX

A rapidez da oscilação define uma frequência angular (\(\omega\)).

A rapidez da propagação define uma velocidade da onda (\(v\)).

Fonte: https://youtu.be/6KY0Xh-xjX4

A distância entre as compressões (cristas) define um comprimento de onda (\(\lambda\)).

v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\lambda}{T}

v=\lambda f

Ondas. Ondas progressivas harmônicas.

As ondas mecânicas apresentam características comuns a todas as ondas, como amplitude, comprimento de onda, período, frequência e energia.

As funções harmônicas na representação de ondas progressivas:

f(x')=A\text{sen}(kx')

para uma transformação de Galileu \(x' \rightarrow x \pm vt\), obtemos:

f(x,t)=A\text{sen}[k(x-vt)]=A\text{sen}[kx-kv\,t]

De onde reconhecemos que:

com

kv=\omega

\Rightarrow v=\frac{\omega}{k}\equiv \frac{\lambda}{T}\equiv \lambda f

f(x,t)=A\text{sen}[kx-\omega t]

A rapidez de propagação de uma onda progressiva (\(v\)) é igual à razão entre a frequência angular (\(\omega\)) e o número de onda (\(k\)) ou a razão entre o comprimento de onda (\(\lambda\)) e o período (\(T\)) .

O número de onda deixa o argumento sem dimensão, como deve ser.

A frequência angular deixa o argumento sem dimensão, como deve ser.

Ondas. Ondas progressivas harmônicas.

Uma onda pode ser representada por uma função harmônica como seno ou cosseno.

No domínio do espaço (\(t=0\)), temos o perfil:

f(x,0) = f(x)=A\text{sen}(kx)

f(x+\lambda) =A\text{sen}(k(x+\lambda))

Uma vez que \(f(x)= f(x+\lambda)\):

\Rightarrow \quad k\lambda = 2\pi\text{ rad}

Define-se o número de onda, \(k\), com dimensão do inverso do comprimento:

k=\frac{2\pi}{\lambda}\text{ rad}

E o comprimento de onda, \(\lambda\), como dimensão de comprimento, é a periodicidade espacial.

Ondas. Ondas progressivas harmônicas.

Para \(\lambda = 2\pi \) rad há k = 1.

Uma onda pode ser representada por uma função harmônica como seno ou cosseno.

No domínio do tempo:

f(t,0) = f(t)=A\text{sen}(\omega T)

f(t+T) =A\text{sen}(\omega(t+T))

Uma vez que \(f(t)= f(t+T)\):

\Rightarrow \quad \omega T = 2\pi\text{ rad}

Define-se a frequência angular, \(\omega\), com dimensão do inverso do tempo:

\omega=\frac{2\pi}{T}\text{ rad}

E o período, \(T\), como dimensão de tempo, é a periodicidade temporal.

Ondas. Ondas progressivas harmônicas.

Para \(T= 2\pi \) rad há \(\omega\) = 1 rad/s.

Para a função de onda harmônica:

f(x,t)=A\text{sen}\left[kx-\omega t+\delta\right]

a sua fase:

\Phi=kx-\omega t+\delta

é uma constante mesmo quando (\(x,t\)) variam.

A constante de fase tem seu valor determinado da seguinte forma:

\delta=\text{Arcsen}\left[ \frac{f(x,t)}{A}\right]- kx+\omega t

A rapidez de propagação da onda é calculada facilmente porque a fase é constante:

\frac{d\Phi}{dt}=0

\Rightarrow kv-\omega =0

\Rightarrow v=\frac{\omega}{k}=\frac{\lambda}{T}=\lambda f

Fonte: Halliday & Resnick

Onda em \(t=0\)

Onda em \(t=\Delta t\)

Ondas. Ondas progressivas harmônicas.

\delta

Deslocamento da onda num tempo \(\Delta t\)

Ondas. A equação da onda.

Quando uma partícula do meio é deslocada a partir da posição de equilíbrio, em relação ao tempo, há uma velocidade e uma variação da velocidade no entorno de um ponto \(x\), para um dado intervalo de tempo \(\delta t\).

v_{t} = \frac{\partial y(x,t)}{\partial t}

a_{t} = \frac{\partial ^2y(x,t)}{\partial t^2}

A velocidade e aceleração de uma partícula do meio são dadas pelas derivadas parciais da função de onda no tempo:

Fonte: https://www.wolframcloud.com/obj/ronai/Published/Ondas-Velocidade-Aceleracao.nb

Nos pontos de retorno as velocidades são nulas. Nos pontos de equilíbrio as velocidades são máximas, tal como no MHS!!!

Fonte: Sears & Zemansky

Ondas. A equação da onda.

Quando uma partícula da onda é deslocada a partir da posição de equilíbrio, em relação ao espaço, há inclinações e variações das inclinações (curvatura).

Fonte: Eric Mazur

Não confunda a velocidade transversal com a rapidez de propagação da onda.

I_2>I_3=I_4

I_2=I_3=I_4

I_2>I_3>I_4

I_2 < I_3>I_4

I_2 > I_3< I_4

I_2 = I_3 > I_4

I_2 < I_3 = I_4

I_2 = I_3 > I_4

Há variação da inclinação quando existe uma força resultante (elástica) na vertical sobre a corda.

Ondas. A equação da onda.

Quando uma partícula do meio é deslocada a partir da posição de equilíbrio há uma inclinação e uma variação da inclinação no entorno do ponto \(x\), para um dado instante \(t\).

Fonte: https://www.wolframcloud.com/obj/ronai/Published/A5-Onda-Corda-X-T.nb

I_{x=1,0} =

\left| \frac{\partial y}{\partial x}\right|_{t = 0,45\text{ s}}

I_{x=0,9} =

\left| \frac{\partial y}{\partial x}\right|_{t = 0,45\text{ s}}

I_{x=1,1} =

\left| \frac{\partial y}{\partial x}\right|_{t = 0,45\text{ s}}

I_{x=0,9} > I_{x=1,0} > I_{x=1,1}

As inclinações são:

A inclinação em um ponto em dado instante de tempo:

A variação da inclinação em torno de um ponto no mesmo instante de tempo:

I_x=\frac{\partial y}{\partial x}|_{t}

\Delta I_{x=1,0}

= \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}

\Delta I_{x}

=\frac{\tan[\theta(x+dx)]-\tan[\theta(x)]}{\Delta x}

=\left| \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\right|_{t}

A curvatura é para baixo

Ondas. A equação da onda.

A derivada segunda de \(y\) em relação a \(x\) está relacionada à curvatura da corda.

Fonte: Eric Mazur

\frac{\partial^2y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2y}{\partial t^2}

A aceleração da corda é grande quando a curvatura é grande. A aceleração é pequena quando a curvatura é pequena. A aceleração é nula quando a curvatura é nula.

A derivada segunda de \(y\) em relação a \(t\) está relacionada à aceleração da corda.

Curvatura fraca: aceleração pequena.

Curvatura forte: aceleração grande.

curvatura negativa: aceleração para baixo.

aceleração nula para curvatura nula.

Curvatura positiva: aceleração para cima.

Fonte: Eric Mazur

Fonte: Eric Mazur

A concavidade da curvatura informa o sentido da aceleração.

As ondas são regidas por uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Para uma onda harmônica:

y(x,t) = A \cos(kx-\omega t)

A velocidade e aceleração transversais \(v_t = dy/dt\) e \(a_t=dv_y/dt\):

v_t(x,t) =- \omega A\text{sen}(kx-\omega t)

a_t(x,t) =- \omega^2 A^2\text{cos}(kx-\omega t)

A inclinação e a variação da inclinação \(I_y = dy/dx\) e \(\Delta I_y = dI/dx\) :

I(x,t) = -k A\text{sen}(kx-\omega t)

\Delta I(x,t) = -k^2 A^2\text{cos}(kx-\omega t)

Dividindo a aceleração pela variação da inclinação:

\frac{a(x,t)}{\Delta I(x,t)} = \frac{\omega^2}{k^2}

\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2} = v^2\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}

\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}

\Rightarrow

A função harmônica satisfaz a equação de onda que se propaga com rapidez \(v\).

Ondas. A equação da onda.

Rapidez de propagação

Curvatura da onda

Aceleração transversal

Questão 1

Uma onda senoidal em uma corda é descrita pela equação

y=2,4\text{ sen(4,5 x - 3,8 t)}

onde x está expresso em metros e t em segundos. Determine ou calcule:

(a) A constante de fase;

(b) A fase da onda em x = 2,0 m e t = 0,1 s;

(d) O comprimento de onda da onda;

(e) A frequência;

Questão 2

A figura mostra o gráfico do deslocamento transversal em uma corda, y, devido a uma onda senoidal transversal que se propaga nela, em função do tempo t.

onde y = 8 cm e t = 4,0 ms. Determine ou calcule:

(a) O período.

(b) A velocidade transversal máxima.

Questão 3

Na figura abaixo é mostrado um pulso numa corda no instante t = 0 movendo-se para a direita. Onde estará o pulso no instante t = 4 s?

Questão 4

As estações sismológicas são montadas principalmente para registrar as ondas sísmicas geradas por terremotos, mas registram também as ondas sísmicas geradas por qualquer grande liberação de energia nas proximidades da Terra, como a produzida por uma explosão.

A figura mostra um dos registros das ondas sísmicas produzidas pelo misteriosos acidente ocorrido com o sumbarino russo Kursk em agosto de 2000. As primeiras oscilações registradas estão assinaladas por uma seta, e foram de pequena amplitude. Oscilações mais fortes começaram cerca de 134 s depois.

Os analistas concluíram que as primeiras ondas sísmicas foram geradas por uma explosão a bordo. As ondas sísmicas posteriores, muito mais fortes, froam geradas depois que o submarino afundo e foram geradas quando um incêndio provocou a explosão simultânea de vários mísseis.

As ondas mais fortes chegaram às estações sismológicas como pulsos gerados por um intervalo de tempo de cerca de 0,11 s. Qual era a profundidade D do local onde o submarino afundou?

Qual a distância d entre a estação e o local onde afundou?

Fonte: Halliday & Resnick

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Kursk_(K-141)

Questão 5

Uma onda senoidal de 500 Hz es propaga em uma corda a 330 m/s. (a) Qual e a distancia entre dois pontos da corda cuia diferença de fase e \(\pi/3\) rad? b) Qual é a e diferença de fase entre dois deslocamentos de um ponto da corda que acontecem com um intervalo de 1,00 ms?

Questão 6

Uma onda senoidal que se propaga em uma corda é mostrada duas vezes na figura, antes e depois que o pico A se desloque de 6,0 cm no sentido positivo de um eixo x em 4,0 ms. A distância entre as marcas do eixo horizontal é 10 cm; H = 6,00 mm.

Se a função da onda é da forma y(x,t) = A sen (kx - wt), determine:

a) A;

b) k;

c) w;

d) o sinal que precede w.

Fonte: Halliday & Resnick

Questão 7

Uma onda senoidal que se propaga em uma corda sob tensão. A figura mostra a inclinação da corda em função da posição no instante t = 0. A escala do eixo x é definida por xs = 0,80 m.

Qual é a amplitude da onda?

Fonte: Halliday & Resnick

Questão 8

A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é:

y(x,t) = 6,0 sen(0,020 \(pi\) x + 4,0 \(pi\) t),

onde x e y estão em centímetros e t em segndos.

(a) Qual é a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda?

(b) Qual é o deslocamento transversal em x = 3,5 cm para t = 0,26 s?

Simulação de ondas oceânicas para cinema, games e animações realísticas.

Isto é algo que você poderia fazer para apresentar.

Motivação

Em Setembro 2015, ondas gravitacionais da colisão entre dois buracos negros foram registrados em laboratórios da Terra.

Por causa disso, podemos medir a massa dos buracos negros pelas frequências de seus sinais de ondas gravitacionais.

Buracos negros maiores

mesclam em frequências mais baixas.

Buracos negros menores

mesclam em frequências mais altas

Fonte: https://labcit.ligo.caltech.edu/~jkanner/aapt/web/lesson.html

Motivação

Em Setembro 2015, ondas gravitacionais da colisão entre dois buracos negros foram registrados em laboratórios da Terra.

Encontre um modelo que se encaixe nos dados do GW150914.

Fonte: https://labcit.ligo.caltech.edu/~jkanner/aapt/web/lesson.html

Saiba mais em https://gwosc.org/path/.

Questão 9

Calcule o período (T) e frequência (f) para o sinal mostrado à esquerda.

A figura da direita mostra um gráfico da frequência versus o tempo dos dados, conhecido como espectrograma. Você pode ver o sinal como a faixa amarela brilhante. Em gráficos como este, a frequência é plotada no eixo y e o tempo é plotado no eixo x. A cor corresponde à amplitude de cada pixel.

Qual é a frequência do sinal à direita?

Isso corresponde à frequência no gráfico do domínio do tempo acima?

Questão 10

A frequência de um sinal de onda gravitacional pode nos dizer sobre o tamanho dos buracos negros binários. Cada ciclo de um sinal de onda gravitacional corresponde a uma meia órbita de um buraco negro binário. O período do sinal de onda gravitacional é sempre metade do período da órbita binária:

T_{orbita} = 2 T_{GW}

Os gráficos mostram o mesmo sinal simulado para uma fusão de buracos negros. À medida que os buracos negros se aproximam, eles orbitam mais rápido, então a frequência sobe perto do tempo de fusão (os buracos negros se fundem perto do tempo de 1,7 s).

Calcule o período orbital. Este é o dobro do período da onda gravitacional.

Perto da fusão, os buracos negros sempre se movem com uma rapidez de \(10^8\) m/s. Use essa velocidade para estimar o raio orbital dos buracos negros. Estime a massa deste sistema binário.

R_{BN}=\frac{6GM}{c^2}

Questão 1

Dado o pulso y(x,t) onde y e x estão em centímetros,

y(x,t) = \frac{1}{1+(x-3t)^2}

(a) Desenhe o perfil do pulso para t = 0 s

(b) Desenhe o perfil do pulso para t = 1 s

(d) Calcule a amplitude em x = 0 e t = 1 s

Fonte: https://www.wolframcloud.com

(e) Calcule a rapidez do pulso entre 0 s e 1 s.

Dado o pulso abaixo, onde \(y,x\) são dados em centímetros e \(t\) em segundos:

Questão 2

y(x,t)=\frac{1}{1+(x-3t)^2}

(a) O pulso se deslocado no sentido positivo ou negativo do eixo x?

(b) Qual a rapidez de propagação do pulso?

Fonte: https://www.wolframcloud.com

Quais pulsos listados abaixo têm a forma:

Questão 3

y(x,t)=y(x\pm vt)

y(x,t)=\frac{1}{1+(x-3t)}

y(x,t)=\cos(x+2t)

y(x,t)=\text{sen}(x-3t)

y(x,t)=\text{tan}^2(x-3t)

y(x,t)=\frac{1}{1+(x-3t^{1/2})}

y(x,t)=\cos(x^2+2t^3)

y(x,t)=\text{sen}^2(x-3t^3)

y(x,t)=\text{tan}^2(x^2-3t)

Seja um pulso isolado, cuja forma de onda é dada por h(x-5t), com x em centímetros e t em segundos s. Abaixo, ele é mostrado para t = 0s. Quais são:

Questão 4

A rapidez do pulso;

O sentido de propagação do pulso;

Plote h(x-5t) em função de x para t = 2 s;

Plote h(x-5t) em função de t para x = 10 cm.

Fonte: Halliday & Resnick

Questão 5

Dado o pulso y(x,t) onde y e x estão em centímetros,

y(x,t) = \frac{1}{1+(x-3t)^2}

a) Qual a velocidade da pertubação do pulso em x = 0 cm?

b) Qual a aceleração da perturbação do pulso em x = 0 cm?

c) Qual a inclinação do pulso em t = 0 s?

d) Qual a variação da inclinação do pulso em t = 0 s?

1. O próprio meio não se desloca no espaço, mas o padrão geral da perturbação da onda é que se propaga.

Fonte: https://www.youtube.com/embed/L5qi4BoDvqY

Para cada tempo \(t\) o pulso tem uma certa forma (perfil).

Queremos estudar o perfil do pulso enquanto ele existir e se propaga.

Vamos iniciar o estudo escolhendo um certo ponto fixo da corda e analisar o seu movimento.

Ondas. Propagação da Perturbação.

t = 1,0 \text{ s}

t = 0,5 \text{ s}

Seja um pulso perpendicular (ou longitudinal) à direção de propagação da onda.

A amplitude do pulso é a altura que o ponto material atinge ao longo do eixo vertical (ou horizontal).

A função de onda descreve a forma (perfil) da onda no espaço e no tempo:

y=f(x,t)

Instante de tempo

posição do pulso (horizontal)

Amplitude do pulso (vertical)

Fonte: https://www.compadre.org

função qualquer

Ondas. Propagação da Perturbação.

A função \(f\) pode ser qualquer tipo de função, mas o argumento deve ter uma característica especial.

Um caso particular é aquele para as perturbações em meios não-dispersivos:

y(x,t)_{\forall t} = y(x')

O perfil da perturbação se mantém no tempo. O perfil é estacionário. A energia é conservada.

Fonte: https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves-intro/waves-intro.html

2. A perturbação se desloca com uma rapidez de propagação do pulso definida pelas propriedades do meio de propagação.

\vec v

Ondas. Rapidez de Propagação.

rapidez de propagação do pulso

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State

Uma função de onda \(y=f(x\pm vt)\) precisa ser analisada com cautela. Ela é função do espaço e do tempo!

Fonte: https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/wave-x-t/wave-x-t.html

A partícula oscila verticalmente em MHS à medida que a onda se propaga.

y=f(10.25,\,t)

\(x\) é fixo

Ondas. Ondas progressivas harmônicas

Em \(x = 10,25\text{ cm}\) a posição transversal \(y\) varia no tempo.

Instantâneo da onda é o seu perfil.

y=f(x,\,27\text{ s})

\(t\) é fixo

Em \(t = 27,00\text{ s}\) temos um perfil \(y\) no espaço.

Uma onda \(y=f(x\pm vt)\) é função do espaço e do tempo!

Fonte: https://www.wolframcloud.com/obj/ronai/Published/A5-Funcao_x_t.nb

A partícula do meio oscila verticalmente em torno do equilíbrio, em MHS, à medida que a onda se propaga.

y=f(0,\,t)

\(x\) é fixo

Em \(x = 0\text{ m}\) a posição transversal \(y\) varia no tempo.

Instantâneo da onda é o seu perfil.

y=f(x,\,27\text{ s})

\(t\) é fixo

Em \(t = 6,28 \text{ s}\) temos um perfil \(y\) no espaço.

História da partícula no tempo (cinemática).

Uma partícula do meio.

Ondas. Ondas progressivas harmônicas

Embora possam parecer iguais à primeira vista, as animações não são idênticas.

Ondas. A equação da onda.

Fonte: https://www.wolframcloud.com/obj/ronai/Published/A5-Perfil-Onda.nb

Fonte: https://www.wolframcloud.com/obj/ronai/Published/A5-Historia-onda.nb

Aqui temos a forma da onda em t = 0.

Aqui temos o deslocamento y de uma partícula da onda para x = 2 (ou x = 8,2) em função do tempo.

y=f(x,\,0)

y=f(2,\,t)

A rapidez de propagação do pulso depende apenas da força aplicada ao meio e da densidade do meio.

Ondas. Rapidez de Propagação.

A velocidade de um ponto material do meio não afeta a rapidez de propagação.

Para o segmento de corda B, via semelhança de triângulos:

\frac{F_y}{F_x}=\frac{v_t\Delta t}{v\Delta x}

\Rightarrow {F_y}=F_x\frac{v_t}{v}

A taxa de transferência de momento da componente da força \(F_y\):

m\Delta v_t=F_y\Delta t

(\mu\Delta x)v_t=F_y\Delta t

\Rightarrow(\mu v\Delta t)v_t=F_y\Delta t

\Rightarrow v=\sqrt{\frac{F_x}{\mu}}

densidade linear de massa: m = \(\mu \Delta x\)

v\Delta t

Fonte: Eric Mazur

Fonte: Eric Mazur

Fonte: Eric Mazur

Fonte: Eric Mazur

Ondas. A equação da onda.

Fonte: https://www.geogebra.org/m/qyTMgkgX

Fonte: https://www.geogebra.org/m/zsESysFA

As velocidades e acelerações da perturbação não se alteram a rapidez de propagação da onda.

3. Um partícula do meio (ou da corda) se movimenta verticalmente (transversalmente) ou horizontalmente (longitudinalmente) à medida que a onda passa.

As partículas da corda (meio) oscilam verticalmente à direção de propagação do pulso.

As partículas do ar (meio) oscilam horizontalmente à direção de propagação do pulso.

Primeira em relação ao tempo: velocidade.

Conhecida a função de onda:

Sabemos que para um ponto material da onda, as derivadas:

y(x,t) = f(x\pm vt)=f(z)

Segunda em relação ao tempo: aceleração.

Primeira em relação à posição: inclinação.

Segunda em relação à posição: curvatura.

Ondas. A equação da onda.

v_t=\frac{\partial y}{\partial t}

I_x=\frac{\partial y}{\partial x}

a_t=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}

\Delta I_x=\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}

Obtemos a Equação da Onda que rege o movimento da onda para todo espaço-tempo:

\frac{\partial^2y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2y}{\partial t^2}

\(\text{curvatura} = \frac{1}{v^2}\text{aceleração}\)

=\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t} =\pm v \frac{\partial f}{\partial z}

= \frac{\partial}{\partial t}\left( \pm v \frac{\partial f}{\partial z}\right) = \frac{\partial}{\partial z}\left( \pm v \frac{\partial f}{\partial z}\right) \frac{\partial z}{\partial t} = v^2 \frac{\partial ^2f}{\partial z^2}

=\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}=1.\frac{\partial f}{\partial z}

=\frac{\partial}{\partial x}\left( 1. \frac{\partial f}{\partial z}\right)=\frac{\partial}{\partial z}\left( 1.\frac{\partial f}{\partial z}\right) \frac{\partial z}{\partial x} = 1^2.\frac{\partial ^2f}{\partial z^2}