Aula 06

Objetivos

Ao final dessa aula você deve se capaz de:

Bibliografia

Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.

Capítulo 15 - Ondas Mecânicas.

Seções: 15.4, 15.5

Calcular a energia e potência em uma onda.

Enunciar o princípio de superposição.

Calcular a reflexão e transmissão de ondas em um ponto de junção.

Calcular a rapidez de propagação de uma onda em uma corda.

Qualquer onda se propagando é descrita pela equação de onda, quer ela seja periódica, quer não. A solução da equação da onda deve ter a forma:

Ondas. A equação da onda.

Alternativamente,

Fonte: Tipler

onde a rapidez de propagação da onda é:

Para produzir o movimento de qualquer em um meio elástico é necessário fornecer energia mediante um trabalho mecânico realizado sobre esse meio.

A equação da onda é um E.D.O. de 2a. ordem:

A equação de movimento de onda (ou pulso) é uma EDO de segunda ordem:

Ondas. A equação da onda.

A curvatura  e aceleração são proporcionais a menos de um fator multiplicativo e constante $v^2$.

A rapidez de propagação da onda é $v$ e tem as seguintes propriedades:

Curvatura

Aceleração

A rapidez de propagação do pulso depende apenas da força aplicada ao meio e da densidade do meio.

A velocidade transversal ($v_y$) de um ponto material do meio não afeta a rapidez de propagação ($v$).

Para o segmento de corda (B), via semelhança de triângulos:

A taxa de transferência de momento da componente da força $F_y$:

Fonte: Eric Mazur

Fonte: Eric Mazur

Fonte: Eric Mazur

Ondas. A equação da onda.

onde as constantes de permissividade e permeabilidade são

Fonte: Giphy

onde,

A rapidez de propagação da onda eletromagnética no vácuo é constante.

Ondas. A equação da onda.

A rapidez de propagação da luz no vácuo. Para o campo elétrico:

e

Temos uma onda eletromagnética e transversal que não precisa de um meio para se propagar.

Energia e Potência no movimento ondulatório

Onda é uma perturbação ou variação que transfere energia e momento progressivamente de um ponto ao outro em um meio que pode ter a forma de uma deformação elástica, ou de uma variação de pressão, ou de uma indensidade eletromagnética, ou temperatura.

Na Aula 5, vimos três características comuns as ondas. Entre elas, a energia.

Para produzir qualquer onda, devemos aplicar força a uma parte do meio onde a onda se propaga; o ponto sobre o qual a força é exercida se move, portanto, realizamos trabalho sobre o sistema.

À medida que a onda se propaga, cada porção do meio exerce uma força e realiza um trabalho sobre a porção adjacente.

Energia e Potência no movimento ondulatório

A força tangencial $\vec F_T$ é a força que a corda do lado esquerdo (não mostrada) exerce sobre o lado direito da corda (cor laranja).

Essa força transfere energia e potência para a corda.

Se a aceleração é nula, a curvatura também é nula.

Quando as energias cinéticas e potencial elástica assumem seus valores máximos a energia mecânica tem a forma:

Quais as expressões para estas densidades energias?

Energia potencial no movimento ondulatório

A energia potencial depende da deformação do meio, $\Delta L$. Para uma corda:

A energia potencial por unidade de comprimento do meio de propagação da onda:

Há energia potencial quando existe uma força de tensão e alguma inclinação na corda.

Energia potencial no movimento ondulatório

Para uma onda periódica:

A densidade de energia potencial é uma função da posição e do tempo.

A densidade de energia potencial é máxima se $\text{sen}^2(kx-\omega t) =1$ e mínima se $\text{sen}^2(kx-\omega t) =0$

A densidade de energia potencial média, em um período, é:

Energia cinética no movimento ondulatório

A densidade de energia cinética é uma função da posição e do tempo:

A densidade de energia cinética é máxima se $\text{sen}^2(kx-\omega_0 t) =1$ e mínima se $\text{sen}^2(kx-\omega t) =0$

A densidade de energia, em um período, para uma onda periódica:

Para uma onda periódica:

Energia e Potência no movimento ondulatório

A densidade de energia total máxima de uma onda se propagando em um meio homogêneo é a soma das densidades de energia cinética e potencial:

A energia mecânica total média:

A potência total média,

As figuras mostram como se dá o processo de transferência de energia à medida que o tempo avança.

Observe que $d\overline{K}/dx = d\overline{U}/dx$. Um pulso contém iguais quantidades de energia cinética e potencial elástica.

Nestas expressões não confunda $v_{0,y}$ com $v$, a rapidez de propagação da onda.

Potência no movimento ondulatório

A força tangencial $\vec F_T$ é a força que a corda do lado esquerdo (não mostrada) exerce sobre o lado direito da corda (cor laranja).

No referencial mostrado:

E a potência instantânea é:

Fonte: Tipler

Fonte: Sears & Zemansky

A potência somente é transferida quando existe uma inclinação e uma velocidade de perturbação da corda. A força transversal ($F_y$) realiza trabalho na direção da velocidade transversal ($v_y$).

Força que tira a corda do equilíbrio

Velocidade trasnversal

Potência no movimento ondulatório

A potência instantânea é válida para qualquer onda se propagando em uma corda seja a onda periódica ou não.

Para ondas periódicas:

A potência instantânea é:

Fonte: Sears & Zemansky

A potência instantânea é máxima quando $\text{sen}^2(kx-\omega t)=1$ e mínima se $\text{sen}^2(kx-\omega t)=0$.

A potência média (em um período) é:

A potência média não depende do tempo. É conservada!!!

Potência no movimento ondulatório

Em geral, para ondas mecânicas de todos os tipos, a equação é sempre válida:

Para ondas sísmicas, a potência quadruplica se a frequência for dobrada (para a mesma amplitude) ou se a amplitude for dobrada (para a mesma frequência).

Fonte: Sears & Zemansky

ou

ou

A superposição de ondas

A interferência é um fenômeno que se refere ao que acontece quando duas ou mais ondas passam pela mesma região ao mesmo tempo.

Duas ondas (ou mais) podem ocupar a mesma região do espaço no mesmo instante!

Interferência construtiva

Interferência destrutiva

Fonte: https://www.youtube.com/embed/7bkZbqcXRIA?enablejsapi=1

Fonte: https://www.youtube.com/embed/-UEj0wcgeUk?enablejsapi=1

Se duas ondas interferem em um meio que obedece à Lei de Hooke, então a função de onda resultante a qualquer instante é a soma algébrica das funções de onda individuais.

Fonte: https://www.geogebra.org/m/dJrTcxYd

Onda 1

Onda 2

Interferência

Se $y_1(x,t)$ é solução da equação da onda 1 e $y_2(x,t)$ é solução da equação da onda 2, então a combinação linear também é solução da onda total.

Duas ondas podem passar uma através da outra sem mudança da forma da outra.

A superposição de ondas

Uma onda passa pela outra como se nada tivesse ocorrido.

Fonte: https://www.geogebra.org/m/dJrTcxYd

É possível ouvir música e ouvir alguém falando porque o som total é a soma algébrica do som produzido pela voz de quem fala e da onda produzida pelo alto-falante do aparelho de som.

Supondo que os perfis têm a mesma forma, $|y_1(x-vt)| = |y_2(x+vt)|$, a interferência pode ser:

Construtiva: $c_1 = c_2$

Destrutiva: $c_1 = - c_2$

Destrutiva/Construtiva parcial: $c_1 = -0,5 c_2 \text{ ou } c_1 = +0,5 c_2$

Fonte: https://www.acs.psu.edu/drussell/demos.html

A superposição de ondas

Para ondas idênticas, as energias devem ser as mesmas para cada onda porque cada onda contém quantidades iguais de energia cinética e energia potencial. A energia total é conservada.

Fonte: Eric Mazur

Atenção: Na interferência destrutiva a energia potencial elástica é nula, mas não a cinética!

Fonte: Eric Mazur

A velocidade trasnversal é $v_y$.

A velocidade transversal é $2v_y$.

A superposição de ondas

Aplicação. Transmissão e Reflexão de ondas.

Quando uma onda atinge as fronteiras de um meio, ocorre reflexão da onda inteira ou de uma parte dela. Caso seja parcial, uma parte da onda é transmitida.

Fonte: https://youtu.be/eEbM8G6YmJc

Fonte: https://youtu.be/O7aydScRbxc

Quando há uma descontinuidade do meio de propagação há uma alteração da rapidez,

Assim, pode existir ou não uma reflexão e/ou transmissão da onda incidente.

Aplicação. Transmissão e Reflexão de ondas.

Ocorre superposição entre a onda incidente e a refletida na mesma região do meio quando há uma reflexão (invertida ou direita) que depende das propriedades do meio e das condições de contorno.

Corda com extremidade fixa em uma parede.

Corda com extremidade livre em uma parede.

Assemelha-se a uma interferência destrutiva.

Assemelha-se a uma interferência construtiva.

pulso refletido é invertido

pulso refletido é direito

Repare que a onda que é transmitida nunca é invertida (veja seta azul).

Fonte: https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/reflect/reflect.html

O pulso será parcialmente refletido ($r$) e parcialmente transmitido ($t$). Os valores de ($r$) e ($t$) dependerão da rapidez de propagação ($v$).

A reflexão e transmissão dependerão das propriedades do material em ambos os lados da junção.

Aplicação. Transmissão e Reflexão de ondas.

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State

onde $r,t$ são os coeficientes de reflexão e transmissão:

Caso 1: Densidades iguais.

Caso 2: Densidade diminui.

Caso 3: Densidade aumenta.

notamos que pulso transmitido nunca é invertido.  O pulso refletido é invertido se $v_1 > v_2$.

Aplicação. Transmissão e Reflexão de ondas.

A partir dos coeficientes de reflexão e transmissão:

A onda incidente é $f$, a onda refletida é $f_r$ e a transmitida é $f_t$. Portanto,

onde

e

Chamam-se de refletividade $\rho$ e transmissividade $\tau$ as alturas dos pulsos refletido e transmitido,

De modo que:

Aplicação. Transmissão e Reflexão de ondas.

A potência é conservada.

Você pode mostrar que a potência é conservada utilizando a expressão abaixo na refletividade e transmissividade, acima.

Uma onda em uma corda é dada pela função y(x,t) = 0,075 cos[1,05 x - 12,6 t].  

(a) Mostre que essa função satisfaz a equação de onda.

(b) Suponha que a densidade linear da corda seja μ = 0,250 kg/m e que a tensão aplicada a corda seja F = 36,0 N, qual é a potência instantanea máxima?

(c) Qual é a potência média?

Questão 1

Seja a função de onda y(x,t) = 1,0 cos[x+2t].  (a) Faça um gráfico y versus x dessa função para t = 0. (b) Sobre os mesmo eixos, faça um desenho da potência instantânea P(x,t). Considere uma tensão aplicada de 0,5 N. (c) Explique a relação entre o valor de P(x,t) e a inclinação da curva y(x,t) em função de x. Em particular, explique o que ocorre no ponto P = 0, no qual não existe nenhuma transferência de energia instantânea. (d) A grandeza P(x,t) possui sempre valor negativo. O que isso implica sobre o sentido da transferência de energia?

Questão 2

Uma das extremidades de uma corda de náilon está presa a um suporte fixo no topo de um poço vertical de uma mina com profundidade igual a 80,0 m. A corda fica esticada pela ação do peso de uma caixa de minérios com massa igual a 20,0 kg presa na extremidade inferior da corda. A massa da corda é igula a 2,0 kg. Um geólogo no fundo da mina, balançando a corda lateralmente, envia um sinal para seu colega que está no topo da mina.

(a) Qual é a velocidade da onda transversal que se propaga na corda?

(b) Considerando a massa da corda na extremidade inferior, no meio e na extremidade superior da corda.

Questão 3

Suponha que a declividade de uma praia abaixo da água seja de 12 cm de variação vertical por cada 1,0 m de distância horizontal. Uma onda se move em direção à terra e desacelera ao entrar em águas mais rasas. Qual será sua aceleração quando ela estiver a 10 m da linha da praia?

Questão 4

Questão 5

Você segura uma ponta de um barbante que está preso à parede pela outra ponta. A corda tem uma densidade de massa linear de 0,067 kg/m. Você eleva sua extremidade rapidamente a 12 m/s por 0,016 s, criando uma onda transversal que se move a 31 m/s. (a) Quanto trabalho você realizou na corda? Quais são (b) a energia, (c) a energia potencial e (d) a energia cinética da onda?

Questão 6

Dois fios de diferentes densidades lineares estão soldados um ao outro, pelas pontas, e depois submetidos a uma tração F (a mesma para os dois fios). A rapidez de onda no primeiro fio é o dobro daquela no segundo fio. Uma onda senoidal, viajando no primeiro fio, inicide sobre a emenda dos dois fios.

(a) Se a amplitude da onda incidente é A, quais são as amplitudes das ondas refletidas e transimitida?

(b) Qual é a razão entre as densidades de massa?

(c) Que fração da potência média incidente é refletida na emenda e que fração é transmitida?

Uma corda com densidade de massa linear de 0,360 kg/m está presa a um oscilador harmônico que tem uma potência máxima de 200 W. (a) Com o oscilador operando nesta potência máxima e a tensão na corda fixada em 30,0 N, uma onda de amplitude de 8,00 × 10^(-3) m é criada. Qual é o comprimento de onda mínimo possível para uma onda desta amplitude? (b) Qual é a potência de saída do oscilador se a onda gerada tiver a mesma amplitude, mas o dobro do comprimento de onda calculado na parte a, e a tensão for 15,0 N?

Questão 7

Mostre que f(x, t) = e^b(x−vt), onde b e v são constantes, é uma solução para a equação da onda.

Questão 8

Motivação

Um pulso pode revelar o tipo de matéria a altas profundidades.

Basta estudar as transmissões e reflexões dos pulsos sonoros no meio.