Aula 13

Introdução à Física Clássica II

Prof. Ronai Lisbôa

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Objetivos

Ao final dessa aula você deve se capaz de:

Bibliografia

Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.

Capítulo 14 - Mecânica dos Fluidos

Seções: 14.2, 14.3.

Enunciar os princípios de Stevin, Pascal, Arquimedes.

Aplicar os princípios de Stevin, Pascal, Arquimedes.

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

O princípio e a lei de Stevin

Aplica-se a um fluido incompressível e em equilíbrio hidrostático no campo gravitacional.

Integrando na altura (z), temos a lei de Stevin:

f_z + \frac{\partial p(x,y,z)}{\partial z}=0

\rho g + \frac{dp}{d z}=0

p_2 = p_1 +\rho g (z_1-z_2)

A pressão no interior do fluido incompressível varia linearmente com a coluna do fluido.

Fonte: https://youtu.be/j5vzwBBAvz8

Caso a pressão na superfície seja a pressão atmosférica:

\Rightarrow

p_1

p_2

p>p_0

p = p_{atm} +\rho g h

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

O princípio e a lei de Stevin: Pressão absoluta, atmosférica, manométrica.

p = p_{atm} + \rho g h

pressão absoluta

pressão atmosférica

pressão manométrica

\Delta p = \rho g h > 0

p_C = 0

Pressão atmosférica padrão

p_{A,absoluta}

p_{A,man}

p_{B,man}

p_{B,absoluta}

Pressão atmosférica

p_{A,absoluta}=0

p_A=p_{atm}+\rho g h

\Delta p =-\rho g h <0

p_B=p_{atm}-\rho g h

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

O princípio e a lei de Stevin. Aplicações.

p_2 = p_1 +\rho g h

Vasos comunicantes

Manômetro

Barômetro

FONTE: https://youtu.be/9o-WZsN8p4I

Fonte: https://youtu.be/ZcPGeQ5nkec

Fonte: https://youtu.be/rKirIsdgCuE

A um mesmo nível (\(h=0\)) as pressões são iguais

p_2 = p_1

Fonte: Tipler

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

O princípio e a lei de Stevin. Aplicações. Barômetro.

A pressão atmosférica é medida com um barômetro. A altura da coluna de mercúrio é de 0,760 m.

p_{1} = p_{2}

p_{atm}=(13600\text{kg/m}^3)(9,80\text{m/s}^2)(0,760\text{m})

=1,013\times 10^{5}\text{ Pa}

Fonte: Randall

p_{atm} = 0+\rho_{liq} g h

p_{atm} = \rho_{lig} g h

Fonte: Randall

Fonte: Randall

Em um mesmo nível as pressões são iguais

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

O princípio e a lei de Stevin. Aplicações. Manômetro.

p_1 = p_2

A pressão em um fluido é medida com um manômetro em formato de U

Fonte: Randall

p_{gas}= p_{atm}+\rho_{liq} g h

Fonte: Randall

p_{man}=p-p_{atm}

p_{man}=p-1\text{ atm}

A pressão manométrica pode ser positiva, nula e negativa.

p_{gas}= p_{atm}+p_{man}

Em um mesmo nível as pressões são iguais

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

O princípio e a lei de Stevin: Vasos comunicantes.

Fonte: PHET

Fonte: https://youtu.be/rKirIsdgCuE

Fonte: https://youtu.be/OsMI1LJrmFs

A pressão em qualquer dos dois pontos do fluido é sempre igual em todos os pontos no mesmo nível do fluido. A forma do recipiente não altera essa pressão.

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

O princípio e a lei de Stevin: Vasos comunicantes.

Não. Um líquido em equilíbrio hidrostático, contido em recipiente e conectado, sobe até uma mesma altura em todas as regiões abertas do recipiente.

É \(p_1 > p_2\)?

Isso é possível?

Não. A pressão é a mesma em todos os pontos de uma linha horizontal através de um líquido contido em recipiente conectado e em equilíbrio hidrostático.

Fonte: Randall

Fonte: Randall

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

O princípio de Pascal

Num fluido em equilíbrio, a pressão:

É pontual:

Se produzirmos uma variação de pressão num ponto, essa variação se transmite a todo o fluido e as paredes do recipiente.

É independente da orientação da superfície:

A pressão em um dado ponto de um fluido em equilíbrio é a mesma em todas as direções.

p=\frac{F_{\bot}}{A}

\sum \vec F = \vec 0

\Rightarrow p_1=p_2=p_3

As forças sobre a porção do fluido triangular são as forças do fluido externo a essa porção (contato). Não são as forças dos pistões, pois eles não estão em contado com a porção do fluido.

\vec F_A

\vec F_B

A resultante das forças \(\vec F_A\) e \(\vec F_B\) é nula.

A resultante das forças \(\vec F_1\), \(\vec F_2\) e \(\vec F_3\) é nula.

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

O princípio de Pascal e os dispositivos hidráulicos.

Se a pressão em um ponto de um líquido for aumentada pela força de um pistão, esse aumento de pressão será transmitido para todos os pontos do líquido.

Fonte: https://www.youtube.com/embed/vZLUzu6_xmc?enablejsapi=1

Fonte: Randall

F_1 = \frac{A_1}{A_2}F_2+\rho g hA_1

h\approx 0 \rightarrow F_1 = \frac{A_1}{A_2}F_2

d_2 = d_1\frac{A_1}{A_2}=d_1\frac{F_1}{F_2}

Fonte: Randall

p_1=p_2

V_1=V_2

F_1< F_2

d_2< d_1

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

O princípio e a lei de Halley

Para um gás a pressão decresce exponencialmente com a altura.

Fonte: Randall

A pressão é também função da densidade e da aceleração da gravidade, pois:

Fonte: Tipler

p = p_0 e^{-\lambda h}

\lambda = \frac{\rho_0\,g}{p_0}

O princípio e a lei de Arquimedes. Empuxo.

Um corpo (c) submerso num fluido (f) deslocará um volume do fluido igual ao volume do corpo imerso no fluido.

Fonte: Ciência e Diversão

V_c

V_{fluido\,deslocado}

V_{c,imerso}

A massa do fluido deslocado é calculada por meio da definição de densidade:

\rho_f=\frac{m_{f,d}}{V_{f,d}}

m_{f,d}=\left(\rho V\right)_{f,d}

m_{f,d}

O peso do fluido deslocado é:

P_{f,d}=m_{f,d}g

P_{f,d}=\left(\rho V\right)_{f,d}g

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

Empuxo equivale ao peso do volume do fluido deslocado.

E=\left(\rho V\right)_{f,d}g

Não tem nenhuma relação com o peso do corpo e a densidade do corpo.

As forças verticais do fluido sobre sobre a base e o topo do cilindro são forças de contato.

\vec F_{topo}

\vec F_{base}

F_{base}-F_{topo}=p_2A-p_1A

E=p_2A-p_1A

E=(p_2-p_1)A

E=\rho_fghA

E=\rho_fgV_{f,d}

Empuxo equivale ao peso do volume do fluido deslocado.

Empuxo é uma força vertical para cima sobre um objeto imerso ou que flutua no fluido.

O empuxo é a resultante das forças de contato. Isto é, a força resultante que o fluido exerce sobre o objeto.

O princípio e a lei de Arquimedes. Empuxo.

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

Fonte: Halliday

O empuxo não precisa ser igual ao peso do corpo. Isto só ocorre no equilíbrio.

Submerge

Emerge

Equilíbrio

P_c=m_cg

E=m_fg

\vec F_r = \vec E+\vec P

F_r =(\rho_fV_f-\rho_cV_c)g

\rho_f = \rho_c

\rho_f < \rho_c

\rho_f > \rho_c

\vec F_r

Fonte: https://youtu.be/P-sbfyc6NEQ

O princípio e a lei de Arquimedes. Empuxo.

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

Fonte: Randall

É possível que o empuxo seja maior ou menor que o peso do corpo.

Quando imerso em um fluido, um corpo parece ser mais leve, pois a força necessária para sustentá-lo não precisa ser igual ao seu peso: o empuxo ajuda a empurrar o objeto para cima.

F =(\rho_f-\rho_c)gV

F = \rho_cgV-\rho_fgV

\vec E + \vec F = \vec P

E + F = P

F=P-E

Peso aparente

O princípio e a lei de Arquimedes. Empuxo.

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

Fonte: Tipler

Fonte: Tipler

O princípio de Arquimedes é válido quando o corpo está completamente circundado por fluidos.

SIM

NÃO

SIM

Neste caso, temos que levar em conta os volumes submersos em cada um dos fluidos.

Quando um dos fluidos for muito mais denso que os demais, basta considerar o empuxo deste fluido denso. É isso que ocorre, em boa aproximação, com a água e o ar.

água

O princípio e a lei de Arquimedes. Empuxo.

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

A partir da equação fundamental da hidrostática:

\vec f +\vec \nabla p=0

A partir do teorema do cálculo vetorial,

\int_V \vec \nabla v\,dV = \oint_S v \hat n\,dA

Calculamos:

\vec E = \oint_S p \hat n\,dA = \int_V(\vec \nabla p)dV

onde

\int_V \vec \nabla p\,dV = -\int_V \vec f dV=-\int_V \rho \vec g\,dV

\vec E = -\int_V \rho \vec g\,dV

= \left( -\int_V \rho\,dV\right)\vec g

= m\vec g

O princípio e a lei de Arquimedes. Empuxo.

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

O princípio e a lei de Arquimedes. Empuxo.

Hidrostática. O equilíbrio num campo de forças.

Questão 1

A água enche o tubo mostrado na figura. Qual é a pressão na parte superior do tubo fechado?

Fonte: Randall

Questão 2

O elevador hidráulico de uma oficina mecânica está cheio de óleo. Um carro se encontra sobre um pistão com 25 cm de diâmetro. Para levantar o carro, utiliza-se ar comprimido para pressionar um pistão de 6,0 cm de diâmetro. A densidade do óleo é 900 kg/m^3.

Que força de pressão do ar sustentará um carro de 1 300 Kg com o pistão de ar comprimido?
Em quanto deve ser aumentada a força de pressão do ar para levantar o carro em 2,0 m?

Questão 3

Ordene em sequência decrescente os módulos das forças Fa, Fb e Fc necessárias para equilibrar as massas. Elas estão em quilogramas.

Fonte: Randall

Questão 4

Qual é a pressão no alto do monte Everest com uma altura h = 8880 m?

Questão 5

Um manômetro submerso faz uma leitura de 60 kPa. Qual é a sua profundidade?

Questão 6

A pressão em um recipiente com gás é medida por um manômetro de mercúrio. O mercúrio está 36,2 cm mais alto no ramo externo do que no ramo conectado à célula de gás.

Qual é a pressão do gás.
Qual é a leitura de um manômetro acoplado ao recipiente com gás?

Questão 7

Um tubo em U aberto em ambos os lados é preenchido com água e óleo em equilíbrio hidrostático, como indicado na figura. Os valores das distâncias marcadas são l = 135 mm e d = 12,3 mm. Qual é a densidade do óleo? Use ρa = 1,0 kg/L.

Questão 8

Há plasma dentro de uma sacola ligada a um tubo plástico fino cujo extremo livre se pode ligar à veia do braço de um paciente.

Se a superfície inferior do plasma dentro da sacola está 1,5 m acima do braço do paciente, qual é a pressão do plasma ao entrar na veia?
Se a pressão sanguínea na veia é 12 mm Hg, a que altura mínima deve estar da superfície inferior do plasma para fluir dentro da veia?
Se o paciente está na Lua (g=1,63 m/s2), qual será a altura mínima da superfície interior do plasma?

Questão 09

Um bloco de 500 g de cobre, com densidade 8,96 kg/L está suspenso por um dinamômetro e está totalmente mergulhado em água.

(a) Qual é o empuxo sobre o bloco?

(b) Qual é a marcação no dinamômetro?

Questão 10

Você precisa determinar a densidade de um líquido desconhecido e nota que um bloco flutua neste líquido com 4,6 cm da lateral do bloco submerso. Quando o bloco é colocado na água, ele também flutua, mas com 5,8 cm submersos. Qual é a densidade do líquido desconhecido?

Questão 11

Calcule o empuxo sobre o cilindro imerso em dois fluidos.

Cortesia: Prof. André Bessa