二元索引樹

Binary Indexed Tree

Ruby@NTUIM

內容大綱

Ruby@NTUIM

實際應用

運作方式

運作原理

程式實作

二元索引樹

Ruby@NTUIM

實際應用

二元索引樹

Ruby@NTUIM

二元索引樹 > 實際應用

前綴和 Prefix Sum

7	5	8	3	-4	6	9	2

Naive

\text{O}(n)

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二元索引樹 > 實際應用

前綴和 Prefix Sum

7	5	8	3	-4	6	9	2

7

12

20

23

19

25

34

36

Accumulative

\text{O}(1)

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二元索引樹 > 實際應用

區間和 Range Sum

7	5	8	3	-4	6	9	2

Ruby@NTUIM

二元索引樹 > 實際應用

區間和 Range Sum

7	12	20	23	19	25	34	36

7	5	8	3	-4	6	9	2

Ruby@NTUIM

二元索引樹 > 實際應用

發現問題

7	5	8	3	-4	6	9	2

7	12	20	23	19	25	34	36

Ruby@NTUIM

二元索引樹 > 實際應用

發現問題

7	5	8	3	-4		9	2

16

7	12	20	23	19	25	34	36

Ruby@NTUIM

二元索引樹 > 實際應用

發現問題

7	5	8	3	-4		9	2

16

7	12	20	23	19

25

34

36

Ruby@NTUIM

二元索引樹 > 實際應用

發現問題

7	5	8	3	-4		9	2

16

7	12	20	23	19

35

34

36

Ruby@NTUIM

二元索引樹 > 實際應用

發現問題

7	5	8	3	-4		9	2

16

7	12	20	23	19

35

44

36

Ruby@NTUIM

二元索引樹 > 實際應用

發現問題

7	5	8	3	-4		9	2

16

7	12	20	23	19

35

44

46

Ruby@NTUIM

二元索引樹 > 實際應用

單點修改 Point Update

7	5	8	3	-4		9	2

16

7	12	20	23	19

35

44

46

\text{O}(n)

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二元索引樹 > 實際應用

解決方案 Solution

二元索引樹
Binary Indexed Tree

```
Prefix Sum Quries
```
```
Point Updates
```
```
Range Updates
```
```
Constrution
```

\text{O}(\log n)

\text{O}(n\log n)

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二元索引樹 > 運作方式

前綴和查詢 Prefix Sum Quries

\text{令 }\mathbf A\text{ 為一數列} \\ \text{令 }S_n\text{ 為 }\mathbf A\text{ 前 }n\text{ 項和 } \\ S_n=\sum\limits_{i=1}^n \mathbf A_i \\

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二元索引樹 > 運作方式

前綴和查詢 Prefix Sum Quries

\text{給定一棵基於 }\mathbf A\text{ 的所建構的二元索引樹，則} \\ S_n=\text{「第 N 號節點至根節點之路徑權重總和」} \\

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二元索引樹 > 運作方式

前綴和查詢 Prefix Sum Quries

\text{令 }\mathbf{BIT}\text{ 一棵基於 }\mathbf A\text{ 建構之二元索引樹} \\ \mathbf{BIT}_i\text{ 為第 } i \text{ 號節點之權重}

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二元索引樹 > 運作方式

前綴和查詢 Prefix Sum Quries

S_2=\mathbf{BIT}_2

S_5=\mathbf{BIT}_5+\mathbf{BIT}_4

S_{11}=\mathbf{BIT}_{11}+\mathbf{BIT}_{10}+\mathbf{BIT}_8

S_{12}=\mathbf{BIT}_{12}+\mathbf{BIT}_8

S_{15}=\mathbf{BIT}_{15}+\mathbf{BIT}_{14}+\mathbf{BIT}_{12}+\mathbf{BIT}_8

S_7=\mathbf{BIT}_7+\mathbf{BIT}_6+\mathbf{BIT}_4

S_n=\text{「第 N 號節點至根節點之路徑權重總和」}

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二元索引樹 > 運作方式

單點修改 Point Updates

\text{若修改 }\mathbf A_i\text{ 則要對 }\mathbf{BIT}\text{ 第 }i\text{ 之右兄弟節點及其父節點之右兄弟節點}

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二元索引樹 > 運作方式

建構 Construction

1. 將 BIT 始化所有節點初始化為 0
2. 對陣列的每個位置作單點更新

\text{O}(n\log n)

複雜度分析：
共 n 次更新、每次更新 O(log n)

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二元索引樹 > 運作方式

建構 Construction

Construction in linear time

\text{O}(n)

Credits @WilliamFiset

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二元索引樹 > 運作原理

前綴和查詢 Prefix Sum Quries

1. 節點編號 Least Significant Bit
     = 該節點負責區間之長度
2. 負責區間從自己本身往下數

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二元索引樹 > 運作原理

單點修改 Point Updates

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二元索引樹 > 程式實作

儲存方式 Array-based

N = 16
BIT = [ 0 ] * N

因此，BIT 很適合以「陣列」形式儲存

觀察：
一個基長度為 N 之陣列所建構的 BIT 必恰有 N 個節點，
且母節點與子節點之間編號關係明確。

Pseudo Code:

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二元索引樹 > 程式實作

前綴和查詢 Prefix Sum Quries

def query(i):
    sum = 0
    while i > 0:
        sum += BIT[i]
        i -= lsb(i)
    return sum

流程：
將索引值持續減去其本身的 Least Significant Bit，
並將所有經過節點權重相加，直到索引值被減至 0 為止。

Pseudo Code:

Ruby@NTUIM

二元索引樹 > 程式實作

def update(i, delta):
    while i <= N:
        BIT[i] += delta
        i += lsb(i)

流程：
將索引值持續加上其本身的 Least Significant Bit，
並將所有經過節點更新，直到索引值被加至超過 N 為止。

Pseudo Code:

單點修改 Point Updates

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二元索引樹 > 程式實作

def lsb(x):
    return x & -x

觀念：
要取得最小位元最簡單的方法是取 x 和 -x 的 bitwise and。
因為 -x 是 x 的補數 + 1 (Two's Complement)。

Pseudo Code:

二進制最小位元 Least Significant Bit

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完整範例程式碼 Example Code

Example Code Link

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二元索引樹 > 程式實作

推薦資源 Recommended Resources

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