進階資料結構

線段樹

詢問區間[l, r]的和

把區間切成很多塊

透過這種分割方式

對於一個詢問，可以把它拆成多個線段樹上的節點

例:[0, 6]

線段樹節點的編號

可以用二元樹的方式編號

根結點的邊號為1

對一個節點，編號為\(i\)

他的左子節點編號為\(2\times i\)

他的右子節點編號為\(2\times i + 1\)

線段樹節點的編號

也可以隨便編號

但每個節點就要額外紀錄

他的左右子節點的編號

線段樹節點的編號

或是用指標

你就不需要編號了

建樹的code

void build(int v, int ll, int rr) {
	if (ll == rr) {
		node[v] = a[ll];
		return;
	}
	int mid = (ll + rr) / 2;
	build(v * 2, ll, mid);
	build(v * 2 + 1, mid + 1, rr);
	node[v] = node[v * 2] + node[v * 2 + 1];
}

詢問[ql, qr]的和

int query(int ql, int qr, int v, int ll, int rr) {
	if (ql == ll && qr == rr) {
		return node[v];
	}
	int mid = ll + rr >> 1;
	if (qr <= mid)
		return query(ql, qr, v * 2, ll, mid);
	else if (ql > mid)
		return query(ql, qr, v * 2 + 1, mid + 1, rr);
	else
		return query(ql, mid, v * 2, ll, mid) + query(mid + 1, rr, v * 2 + 1, mid + 1, rr);
}

單點修改

把a[i]的值改成x

找到他在線段樹中最底層的結點

修改他的值

在將有覆蓋到他的區間

由下而上的更新

例:修改a[5]

d539

TIOJ 1080

區間修改

一個一個改太浪費時間

懶人標記

碰到整個區間都要修改，

直接標記起來就好

之後碰到在往下推

int const N = 1e5;
struct Node {
	int sum, lazy_add = 0;
}node[N << 2];
int n;
void push(int v, int ll, int rr) {
	if (node[v].lazy_add) {
		int mid = ll + rr >> 1;
		node[v << 1].sum += (mid - ll + 1) * node[v].lazy_add;
		node[v << 1 | 1].sum += (rr - mid) * node[v].lazy_add;
		node[v << 1].lazy_add += node[v].lazy_add;
		node[v << 1 | 1].lazy_add += node[v].lazy_add;
		node[v].lazy_add = 0;
	}
}
void modify(int ml, int mr, int val, int v = 1, int ll = 1, int rr = n) {
	if (ml == ll && mr == rr) {
		node[v].lazy_add += val;
		return;
	}
	int mid = ll + rr >> 1;
	push(v, ll, rr);
	if (mr <= mid)
		modify(ml, mr, val, v << 1, ll, mid);
	else if (ml > mid)
		modify(ml, mr, val, v << 1 | 1, mid + 1, rr);
	else {
		modify(ml, mid, val, v << 1, ll, mid);
		modify(mid + 1, mr, val, v << 1 | 1, mid + 1, rr);
	}
	node[v].sum = node[v << 1].sum + node[v << 1 | 1].sum;
}
int query(int ql, int qr, int v, int ll, int rr) {
	if (ql == ll && qr == rr)
		return node[v].sum;
	int mid = ll + rr >> 1;
	push(v, ll, rr);
	if (qr <= mid)
		return query(ql, qr, v << 1, ll, mid);
	else if (ql > mid)
		return query(ql, qr, v << 1 | 1, mid + 1, rr);
	else
		return query(ql, mid, v << 1, ll, mid) + query(mid + 1, qr, v << 1 | 1, mid + 1, rr);
}

BIT

binary indexed tree

支援的操作

單點加值
區間和(前綴和)

int bit[200005], n;
int lowbit(int x) {
	return x & (-x);
}
int query(int x) {
	int sum = 0;
	while (x > 0) {
		sum += bit[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return sum;
}
void modify(int x, int val) {
	while (x <= n) {
		bit[x] += val;
		x += lowbit(x);
	}
}

區間加值單點查詢

差分陣列

例題:

zj g776

進階題:

zj c258

zj d788

Sparse Table

倍增表

Sparse Table

用於處理各種區間問題

(最大最小值、最大公因數、區間和)