複雜度
Complexity
講師
- 225賴柏宇
- 海之音、小海或其他類似的
- 美術能力見底
- 表達能力差，不懂要問
- INFOR 36th 學術長
- 學弟加資訊社
目錄
定義/概念
Definition
程式的好壞
一份程式的好壞有很多面向
- 運行時間
- 占用記憶體
- 可讀性
如何評估？
運行時間
引用 time.h 直接測量
#include <time.h>
#include <iostream>
int main() {
clock_t start, finish;
start = clock();
// ...
finish = clock();
std::cout << finish - start;
return 0;
}變因過多（電腦效能等）
需要實際測量才能得知
運行時間
假設「基礎運算」運行時間為一單位時間
int a;
a = 1;
a += 3;- 宣告 = 賦值 = 運算 ... 皆為一單位時間
將時間表示成相關因素（e.g. 輸入量）的函數 T(n)
- 對「基礎運算」的定義？
- 程式很長？
粗略估計
考慮將 T(n) 以更簡單的方式描述
- 將 T(n) 分類
- 捨去不重要的項
- n 足夠大時，兩個函式有差不多的趨勢
\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}
- 數學
範例
- 顯然我們有 同一類
- 一樣顯然 同類
- 同類？
- 換個更精確的說法， 的級別小於或等於
- 幫這些類別取名
f(n) = 2,\ g(n) = 1
f(n)=2n+1,\ g(n)=n
f(n)=n,\ g(n)=n^2
f
g
大O符號
- 規範一個集合，將所有符合的函數 規範在 內
- 用等於不用屬於也行
- 規範了函數的上界
- 忽略常數、剩餘項作為代表
f
O(g(x))
f(x)\in O(g(x))
\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}
複雜度
- 歸納函數類別的方法應用在分析程式上
- 歸納方法不同符號不同，常見的還有
- 提供程式運行時間、空間等估計的依據
\Theta
分析方法
Algorithm Analysis
複雜度分析
- 「抓個大概就好」
- 在分析時經常可以忽略最高項以外的其他項
- 常見複雜度：
- 常數時間
- 對數時間
- 線性時間
- 線性對數時間
- 各種冪次
- 指數時間
O(1)
O(log\ n)
O(n)
O(n\ log\ n)
O(n^2),\ O(n^3)...
O(2^n),\ O(3^n)...
例子
- 泡沫排序
- 合併排序
- 快速排序
一般來說， C++ 每秒可以跑 1e8 ~ 1e9 (約 3e8)
Python 可能 1e7 或以下(?
常見複雜度範圍
| 複雜度 | 範圍 |
|---|---|
| 10~12 | |
| 20~23 | |
| 24~28 | |
| 500~600 | |
| 5000~6000 | |
| 5e3~1e4 |
O(n!)
O(2^n)
O(n2^n)
O(n^3)
O(n^2log\ n)
O(n^2)
| 複雜度 | 範圍 |
|---|---|
| 1e5~5e5 | |
| 5e5~6e5 | |
| 1e6~2e6 | |
| (輸入) | 1e6~5e6 |
| (不含) | 1e7~3e8 |
| 1e18 |
O(n\ log^2n)
O(n)
O(n\ log\ n)
O(n\sqrt n)
O(n)
O(log\ n)
實際上因為常數關係，經驗成分居多(
一些延伸
理論計算機科學