Positional notation

資訊社社課[?]

• 現在國中小好像很少提，導致沒人會二進位
  • 對，剛去輔導完演算法小社的我忽然意識到這件事情，所以就講了
• 學會後能幹嘛？
  • 看懂以前看不懂的怪數字
  • 和人溝通
  • 看 hex 色碼比較輕鬆 可能
• 最主要是我發現複雜度要講的東西沒那麼多

Decimal.

• 從原始人的想法出發
  • 在沒有數字觀念的情況下，表達數量？
• 開始掰你的手指頭
  • 用完手指？
• 開始用你的腳指
  • 用完腳指？
• 撿幾根地上的樹枝來用吧
• 一定要那麼具體嗎？

• 把它用 畫/寫 的方式記錄下來！
• 是多少就畫幾條線
  • ：我今天捕了 |||||||||||||||||| 條魚喔
  • ：真的喔，你倒是說給我聽聽啊
• 要畫的線好像有點多欸
• 我們不如用一個 X 代表 |||||||||| 吧
  • 人有 |||||||||| 根手指頭

• 但是...
  • ：我今天又捕了 XXXXXXXXXX 條魚
  • ：？
• 使用新的符號 O 代表 XXXXXXXXXX
  • ：我今天又捕了 OOOOOOOOOO 條魚
  • ：你夠了喔
• 每次都發明一個新的符號好煩喔

• 首先，我們分別用 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 代表 |, ||, |||, ||||, |||||, ||||||... (下略)
• 當數字超過 9 時，將它濃縮
  • 我們不開新的符號，而是以它的位置表示它被濃縮過幾次
  • 10 的 1 代表它被濃縮過 1 次
  • 100 的 1 代表它被濃縮過 2 次
  • 2000 的 2 代表有 2 個被濃縮過 3 次的 1

• 原始生活結束，你是現代社會公民了
• 十進位的數學應該很熟吧？
  • 四位數 abcd = a * 1000 + b * 100 + c * 10 + d * 1
  • abc0 = abc * 10
  • abcd % 100 = cd
  • ...
• 你各位考進建中我相信數學沒一個差的
  • 四則運算什麼的沒問題的啦

Binary.

• 為什麼人類通常使用十進位？
  • 你有十根手指、十根腳指
• 其他動物在抗議
• 十不具有像是 0, 1 等數強大的性質
  • 難道我們要用 1 進位？
  • 這樣有進位和沒進位一樣 = =

• 既然十本身是個很醜的數字，不如使用其他性質更好的
• 既然 1 不行，2 可以嗎？
  • 以長度來說，確實簡短了不少
  • 只有 1, 0 兩種符號
  • 10 進位(誤
• 同時 2 進位還具備一些特別好的性質，讓我們在資訊科學裡喜歡用它

• 一件事通常會有「正」「反」兩面
  • 我「有」筆
  • 我「沒有」筆
  • 我「支持」某候選人
  • 我「不支持」某候選人
  • 你「應該」做某件事
  • 你「不應該」做某件事
• 正、反在敘述的過程中經常扮演關鍵的字眼
• 不如用 1, 0 分別代表正反

• 更重要地，比起測量電流大小之類可能會有誤差，如果用是否有電流代表 1, 0 會精確很多
• 很多東西都用 1, 0 表示會方便很多
• 除非你精通數學物理資訊三科，掌握開發量子電腦的技術並發展出更強大的電腦，否則目前的電腦都是以二進位為基礎

• 2 進位的規則很簡單，超過 2 就進位，和你用10 進位一模一樣
• 舉個例子 1 + 1 = 10 (Binary)
• 之前我們在十進位我們叫每個數字的單位是「位」，到二進位我們有時稱它「位元」
• 為了區分十進位 / 二進位的數字，我們經常在二進位前面加上 0b

• 觀察到一些十進位的性質換到二進位上
  • 0b110101 = 0b100000 + 0b10000 + 0b100 + 0b1
  • 0b1010 = 0b101 * 0b10
  • 0b10101 % 0b10 = 0b1 
• 所以，當我們處理二進位的數時，對每個位元分開來做會比較好做
• 乘以某個 2 的 x 次方相當於左移 x 位
• 取 2 的 x 次方的餘數相當於取後面幾個位元

• 剛剛提到 1, 0 也可以代表是或否 (布林值)
• 我們定義在邏輯上的一些運算方法：
• 比較特別的還有 not 運算子，會把 1 變成 0，0 變成 1

• 對於每個位元做上面講的邏輯運算

    0b 1 0 0

& 0b 1 1 0

    0b 1 0 0

    0b 1 0 0

|  0b 1 1 0

    0b 1 1 0

    0b 1 0 0

^  0b 1 1 0

    0b 0 1 0

• 上面三個分別代表 4 & 6 = 4, 4 | 6 = 6, 4 ^ 6 = 2

• 剛剛介紹完位元運算，接著要來講實際使用的部分
• 首先是位元遮罩
  • 當想要對其中幾個位元做操作時使用
  • 取 0b1000 的餘數：& 0b1111
• 移動：乘除法，或單純想要移動位元時用
  • 0b1 << 1 = 0b10 ，相當於 * 2
  • 0b11 >> 1 = 0b1，相當於 / 2 後向下取整
• 搭配在一起
  • x << 1 | 1，相當於 * 2 + 1

Hexadecimal.

• 因為二進位的數通常比較長，我們希望能縮寫
• 因此十六進位出現了
• A, B, C, D, E, F 分別代表 10, 11, 12, 13, 14, 15
• 常見的色碼 0x3a10fc 等就是十六進位
  • R, G, B 各佔兩位，數值從 0 ~ 255
• 怎麼縮寫？
  • 每四個位元縮寫成一個數字
  • 0110 1001 1110 1100
  •       6       9       E       C

• 縮寫的方式
• 原本每位是 0b10000, 0b1000, 0b100, 0b10, 0b1
• 現在每位是 0b1 0000 0000, 0b1 0000, 0b1
• 很自然地就縮起來了
• 同樣的道理可套用在 8 進位上