Ender og ko-ender

Profunktorer

En morfi er en relasjon mellom objekter i en kategori

En profunktor mapper mellom ulike slike relasjoner:

- en global relasjon mellom objekter i kategorien

Eksempel: Hom-funktoren

Profunktorer er bifunktorer:

\mathbf{D}^\mathrm{op} \times \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{Set}\\ \mathbf{C} \nrightarrow \mathbf{D}

Homfunktoren:

\mathbf{C}(-,=) :: \mathbf{C}^\mathrm{op} \times \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{Set}
class Profunctor p where
  dimap :: (c -> a) -> (b -> d) -> p a b -> p c d
f :: a \rightarrow b \\ P \langle f, \text{id}_b \rangle :: P\langle b, b \rangle \rightarrow P \langle a, b \rangle \\ P \langle \text{id}_a, f \rangle :: P\langle a, a \rangle \rightarrow P \langle a, b \rangle
f :: a -> b
dimap f id (p b b) :: p a b
dimap id f (p a a) :: p a b

https://ocharles.org.uk/guest-posts/2013-12-22-24-days-of-hackage-profunctors.html

Eksempel

Dinaturlige transformasjoner

https://bartoszmilewski.com/2017/03/29/ends-and-coends/

https://bartoszmilewski.com/2017/03/29/ends-and-coends/

Ender

Grenseverdi

a

b

f

I

F

\Delta_c

F a

F b

F f

c

C

\text{Funktor } F :: \mathbf{I} \rightarrow \mathbf{C} \\ \text{Kjegle} \in \mathbf{C} \\ \mathrm{Lim}\mathbf{C} = \text{apex i universell kjegle}

Kile

a

b

f

C

P

P a a

P b b

x

P a b

P id f

P f id

X

\text{Gitt profunktor } P :: \mathbf{C}^\mathrm{op} \times \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{X} \\ \text{\textit{Kile}: Apex } x \in \mathbf{X} \text{ med dinaturlig transformasjon} \\ \alpha_a :: x \rightarrow P(a,a), \text{ som kommuterer, slik at } \\ P(\mathrm{id}_a, f) \circ \alpha_a = P(f, \mathrm{id}_b) \circ \alpha_b \\
\alpha_a
\alpha_b
\circlearrowleft

Ende

\text{En \textit{ende} } \langle e, \pi \rangle \text{ er en \textit{universell} kile med}\\ \text{apex } e \text{ og transformasjon } \pi. \\ \text{Det vil si:}\\ \text{Gitt en dinaturlig } \theta_c :: x \rightarrow P(c,c)\\ \text{finnes unik } f :: x \rightarrow e \\ \text{slik at } \theta_c = \pi_c f
e
P(c,c)
\pi_c
x
\theta_c
f
\circlearrowleft
\text{Notasjon:}\\ e = \int_c F(c, c)\\ \pi_c: \int_x F(x, x) \rightarrow F(c,c)\\

I Haskell

{-# LANGUAGE RankNTypes #-}

import Data.Profunctor

-- for a given p, all diagonal elements p a a exist
type End p = forall a. p a a

-- given a profunctor p, an a and an End for p, 
-- you can extract p a a
pi :: Profunctor p => forall a. (End p) -> p a a
pi e = e

-- Wedge condition
-- dimap f id . pi = dimap pi . f id

main :: IO ()
main = do
  print $ Main.pi id 1

Ender som equalizers

\pi_a
e
P(a,a)
\pi_b
P(b,b)
P(a,b)
\lambda_P
\varrho_P
\circlearrowleft

https://bartoszmilewski.com/2015/04/15/limits-and-colimits/

Naturlige transformasjoner som ender

\text{Naturlige transformasjener mellom } F \text{ og } G \\ \text{er en delmengde av hom-mengden } \mathbf{C}(F a, G b)\\
\langle a, b \rangle \rightarrow \mathbf{C}(F a, G b)\\ \\ \text{er en profunktor}
\int_c \mathbf{C}(F c, G c)
\pi_a
\pi_b
\mathbf{C}(F a, G a)
\mathbf{C}(F b, G b)
\mathbf{C}(F a, G b)
\mathbf{C}(\mathrm{id}_a, G f)
\mathbf{C}(F f, \mathrm{id}_b)
\text{Velg et element } \tau \text{ fra } \int_c\mathbf{C}(Fc, Gc)\\ \text{Det projiseres til}\\ \tau_a :: F a \rightarrow G a \\ \tau_b :: F b \rightarrow G b \\
\mathbf{C}(\mathrm{id}_a, G f) \tau_a = G f \circ \tau_a \circ \mathrm{id}_a \\ \mathbf{C}(F f, \mathrm{id}_b) \tau_b = \mathrm{id}_b \circ \tau_b \circ F f \\ \Rightarrow\\ \text{kilevilkåret} = \text{naturlighetskvadraten for } \tau
\text{Det vil si at } \int_c \mathbf{C}(Fc, Gc)\\ \text{tilsvarer mengden av naturlige transformasjoner} \\ \text{mellom } F \text{ og } G

Ko-ender

  • Snu alle pilene
    • projeksjoner blir injeksjoner
    • bytt plass på lambda og rho
  • Equalizer -> coequalizer
  • Generalisering av koprodukt
i_a
P(a,a)
i_b
P(b,b)
P(a,b)
\lambda_P
\varrho_P
\circlearrowleft
\int^x P(x,x)
-- exists a. p a a

{-# LANGUAGE ExistentialQuantification #-}
data Coend p = forall a. Coend (p a a)

{-# LANGUAGE RankNTypes #-}
data End p = End (forall a. p a a)

Coequalizer

In category theory, a coequalizer ... is a generalization of a quotient by an equivalence relation to objects in an arbitrary category. (Wikipedia)

Ekvivalens-relasjon

a \sim a
\text{if } a \sim b \text{ then } b \sim a
\text{if } a \sim b \text{ and } b \sim c \text{ then } a \sim c

refleksiv

symetrisk

transitiv

[a] := \left\{ x \in X\,|\, a \sim x\right\}

ekvivalens-klasse

kvote

X/\!\sim\; := \{ [x]\,|\,x \in X\}

Eksempel

a, b, c, d \in \mathbb{Z} \\ (a,b)\sim(c,d) \text{ iff } \frac a b = \frac c d

Rasjonale tall er ekvivalensklasser for denne ekvivalensen

\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\, /\! \sim \; = \mathbb{Q}
\text{Koenden er en coequalizer for } \lambda \; \text{og} \; \varrho . \\ \text{Gitt } P(a, b) \; \text{og} \; f :: a \rightarrow b \\ \text{finner den ekvivalente elementer i } \int_c P(c, c)
i_a
P(\frac 1 2, \frac 1 2)
i_b
P(\frac 2 4, \frac 2 4)
P(\frac 1 2,\frac 2 4)
\lambda_P
\varrho_P
\circlearrowleft
\int^x P(x,x) = \vee [\frac 1 2,\frac 2 4, \frac 4 8, \ldots], [\frac 1 3, \frac 3 9 \ldots], \ldots
P (a,b) \Leftrightarrow \;\sim\\ \int^x P(x,x) = \mathbb Q
\mathbf{Set} \left( \int^x\!\!P(x,x), \,c \right) \cong \int_x \mathbf{Set} \bigl(P(x,x),\,c\bigr)
\text{Hom-mengden mellom } \int^x P(x,x) \text{ og et objekt } c \\ \text{er ekvivalent/isomorf med \textit{enden} av } \\ \text{Hom-mengden mellom } P(x,x) \text{ og } c

Kontinuerlighet

(exists x. p x x) -> c ≅ forall x. p x x -> c

Parametrisk polymorfi (produktet av alle funksjoner)

Funksjon som tar en sumtype som er summen av alle typer

\mathbf{Set} \left( \int^x\!\!P(x,x), \,c \right) \cong \int_x \mathbf{Set} \bigl(P(x,x),\,c\bigr)

Ninja Yoneda Lemma

\int_z \mathbf{Set}\bigl(\mathbf{C}(a,z), F z\bigr) \cong F a \\ \;\\ \int^z \mathbf{C}(z,a) \times F z \cong F a\\ \;\\ \int \delta(z-a) f(z) dz= f(a)

Sammensetning

(Q \circ P)(a,b) = \int^c P(c,a) \times Q(b, c)
data Procompose q p a b where
  Procompose :: q a c -> p c b -> Procompose q p a b
  

exists c. (q a c, p c b)
Made with Slides.com