Topoi

Bilder fra https://bartoszmilewski.com/2017/07/22/topoi/

Vi har brukt mengder som assembly for vår kategoriteori, ikke sikkert det er det beste eller mest naturlige

 

Hva med å bruke rom i stedet? De har mere struktur enn mengder og kan formuleres uavhenig av mengdeteori.

 

Rom, mengder og delmengder er viktige begrep innen topologi

 

Man kan formulere topologi gjennom kategorier av typen topos i stedet for Set

 

En topos har blant annet delobjekter, som er en generalisering av delmengder

 

Delmengder som funksjoner

\text{En vilkårlig funksjon}\;f :: a \rightarrow b\\ \text{definerer en delmengde av}\;b\\ \text{som er bildet av}\;a\;\text{under}\;f
\text{Vi krever at}\;f\;\text{skal være injektiv}
\text{En annen injektiv funkjson}\;f^\prime::a^\prime\rightarrow b\\ \text{kan definere samme delmengde}
\text{Vi sier at}\;f\;\text{og}\;f^\prime\;\text{er ekvivalente}\\ \text{hvis det finnes en}\;h::a\rightarrow a^\prime\;\\ \text{slik at}\;f = f^\prime \circ h
\text{Generalisere injektive funksjoner til \textit{monomorfier}}
m\;\text{er en monomorfi hvis}\\ g::c\rightarrow a\\ g^\prime::c\rightarrow a\\ \text{og}\\ m \circ g = m \circ g^\prime\quad\Rightarrow\quad g = g^\prime

Delmengder som karakteristiske funksjoner

\text{Karakteristisk funksjon for delmengde}\;s\subseteq b\;\\ \,\\ \chi_s::b\rightarrow \Omega\\ \,\\ \Omega = \{0, 1\} \Leftrightarrow \{\mathrm{true}, \mathrm{false}\}\\ \chi_s(x) = 1\;\text{hvis}\;x\in s\\ \chi_s(x) = 0\;\text{hvis}\;x\notin s
\text{Hva er true? (uten å kikke inn i}\;\Omega)
\mathrm{true} :: 1 \rightarrow \Omega\quad\text{(monomorfi)}
\text{Pullback av true langs}\;\chi\;\\ \text{definerer både}\;a\;\text{og}\;f
a\;\text{fordi den er universell}\\ f\;\text{fordi alt annet allerede er definert}
\mathrm{true}\circ\mathrm{unit}=\chi\circ f\\ \,\\ \mathrm{true}\circ\mathrm{unit}\;\text{mapper alle}\\ \text{elementer i}\;a\;\text{til ``true''}\\ \text{Derfor må}\;f\;\text{mappe til}\\ \text{de elementer i}\;b\;\text{hvor}\\ \chi\;\text{er ``true''}
\text{Siden pullbacken er universell er}\;f\;\text{injektiv (?)}
\text{I andre kategorier enn}\;\mathbf{Set}\;\text{kreves:}\\ \checkmark\;\text{terminalt objekt}\;(\mathbf 1)\\ \checkmark\;\text{alle finite grenseverdier eksisterer (pullback)}\\

I en generell kategori

\text{Da defineres}\;\Omega\;\text{av egenskapen:}\\ \text{For hver monomorfi}\;f\;\text{finnes en unik morfi}\;\chi\\ \text{som gør at pullback-diagrammet kommuterer}
\text{Tidligere hadde vi}\;\Omega,\;b\;\text{og}\;\mathbf{1}\\ \text{og søkte}\;a\;\text{og}\;f\\
\text{I det generelle fallet har vi}\;a\;\text{og}\;b,\\ \text{og søker}\;\Omega\;\text{og true.}\\ \text{De ekisterer bare om det finnes en monomorfi}\;f\\ \text{som er en pullback av en unik}\;\chi
f\;\text{er kun unik opp til isomorfi}\\ \mathrm{Sub}(b):=\text{mengden av subobjekter i}\;b\\ \mathrm{Sub}(b) \cong \mathbf{C}(b,\Omega)\\ \mathrm{Sub}(-)\;\text{er en kontravariant representerbar funktor}\\

Topos

Et topos er en kategori som er:

  • Kartesisk lukket: Har alle produkter, et terminalobjekt og eksponentialer (høyreadjunkt til produkt)
  • Har grenseverdier for alle finite diagrammer
  • Har en "delobjekt-klassifikator" Ω

Topoi og logikk

  • I et topos kan et predikat generaliseres til en morfi fra a til Ω
  • Topoi innholder alle byggeblokkene for logikk
    • produkt - og
    • koprodukt - eller
    • eksponential - implikasjon
  • Alle aksiomer utenom Loven om den ekskluderte tredje holder:
    • Det finnes påstander som vi ikke kan vite om de er falske eller sanne (intuisjonistisk/konstruktiv logikk)
    • Beslektet med beregninger som ikke kan fullføres
Made with Slides.com