Théorie de Mie

Théorie et implémentation sous MATLAB

Théorie

Plan

Calculs & IMplémentation

Exemples

Une présentation peu Intéressante

?

Pourquoi le ciel est bleu ?

Pourquoi les nuages sont blancs ?

La théorie

Une vue d'ensemble de l'outil

Vue d'ensemble

Une solution particulière des équations de Maxwell

Particulière pour :

  • la géométrie ( sphérique )

  • le type de diffusion ( élastique )

Rappel

Particule

Absorption

Diffusion

Diffusion : paramètres

x = ka = \frac{2 \pi N a}{\lambda}
x=ka=2πNaλx = ka = \frac{2 \pi N a}{\lambda}
m = \frac{N_1}{N}
m=N1Nm = \frac{N_1}{N}

Diffusion : Définitions utiles

Section d'extinction/diffusion/absorption

$$ I = I_0 \exp(-n\sigma_{ext}z) $$

avec \(\sigma_{ext} = \sigma_{abs} + \sigma_{diff} \)

Efficacité d'extinction/diffusion/absorption

$$ Q_{\star} = \frac{\sigma_{\star}}{\pi a^2} $$

Et là je vous vois venir...

\sigma_{\star} = \frac{P_{\star}}{I_{i}}
σ⋆=P⋆Ii\sigma_{\star} = \frac{P_{\star}}{I_{i}}

Comment on calcule \(\sigma_{\star}\) ?

\text {avec } P_{\star} = \frac{1}{2} \Re \left( \iint \left( E_{\star} \times H_s^* \right) r^2 \sin \theta\ d\theta d\phi \right)
avec P⋆=12ℜ(∬(E⋆×Hs∗)r2sinθ dθdϕ)\text {avec } P_{\star} = \frac{1}{2} \Re \left( \iint \left( E_{\star} \times H_s^* \right) r^2 \sin \theta\ d\theta d\phi \right)

Et comment on calcule...

Au final

\sigma_\text{diff} = \frac{2 \pi}{k^2} \sum_{\ell=1}^{\infty} (2\ell+1) \left( |a_\ell|^2 + |b_\ell|^2 \right)
σdiff=2πk2∑ℓ=1∞(2ℓ+1)(∣aℓ∣2+∣bℓ∣2)\sigma_\text{diff} = \frac{2 \pi}{k^2} \sum_{\ell=1}^{\infty} (2\ell+1) \left( |a_\ell|^2 + |b_\ell|^2 \right)
\sigma_\text{ext} = \frac{2 \pi}{k^2} \sum_{\ell=1}^{\infty} (2\ell+1) \, \Re(a_\ell + b_\ell)
σext=2πk2∑ℓ=1∞(2ℓ+1)ℜ(aℓ+bℓ)\sigma_\text{ext} = \frac{2 \pi}{k^2} \sum_{\ell=1}^{\infty} (2\ell+1) \, \Re(a_\ell + b_\ell)
a_\ell = \frac{m\, \psi_\ell(m x)\, \psi'_\ell (x) - \psi_\ell(x)\, \psi'_\ell(m x)}{m\, \psi_\ell(m x)\, \xi'_\ell (x) - \xi_\ell(x)\, \psi'_\ell(m x)}
aℓ=mψℓ(mx)ψℓ′(x)−ψℓ(x)ψℓ′(mx)mψℓ(mx)ξℓ′(x)−ξℓ(x)ψℓ′(mx)a_\ell = \frac{m\, \psi_\ell(m x)\, \psi'_\ell (x) - \psi_\ell(x)\, \psi'_\ell(m x)}{m\, \psi_\ell(m x)\, \xi'_\ell (x) - \xi_\ell(x)\, \psi'_\ell(m x)}
b_\ell = \frac{\psi_\ell(m x)\, \psi'_\ell (x) - m\, \psi_\ell(x)\, \psi'_\ell(m x)}{\psi_\ell(m x)\, \xi'_\ell (x) - m\, \xi_\ell(x)\, \psi'_\ell(m x)}
bℓ=ψℓ(mx)ψℓ′(x)−mψℓ(x)ψℓ′(mx)ψℓ(mx)ξℓ′(x)−mξℓ(x)ψℓ′(mx)b_\ell = \frac{\psi_\ell(m x)\, \psi'_\ell (x) - m\, \psi_\ell(x)\, \psi'_\ell(m x)}{\psi_\ell(m x)\, \xi'_\ell (x) - m\, \xi_\ell(x)\, \psi'_\ell(m x)}

avec

maintenant...Le ciel

Modélisation Théorique

L'air (le ciel)

 - Particules de diazote de 2nm de rayon

Les Nuages

 - Particules d'eau 10µm de rayon

Modélisation numérique

Chargement des données

data = dlmread('./données/n2.csv');
wlgths = data(:,1);
n = data(:,2);
k = data(:,3);

Calculs des coefficients

for lambda=lambda1:step:lambda2
    % Interpolate the experimental refractive index of the particle...
    npart = interp1q(wlgths,n,lambda) + 1i*interp1q(wlgths,k,lambda);
    
    [e s a] = MieScattering(lambda,R,n_m,npart);
    Qsca(count,1) = s/A;
    Qext(count,1) = e/A;
    Qabs(count,1) = a/A;
    lambdas(count,1) = lambda*1e9;
    count = count + 1  
end

Modélisation numérique

Calculs des coefficients

function [Cext,Csca,Cabs]=MieScattering(lambda,R,n_m,npart)
% Beaucoup de code inutile

j=(1:N); % finite upper bond for the sum

% Ricatti-Bessel functions and their derivatives
fpsi = @(j,x) sqrt(pi*x/2)*(besselj(j+1/2,x));
deriv_psi = @(j,x) fpsi(j-1,x) - (j/x) * fpsi(j,x);

kzi = @(j,x) sqrt(pi*x/2)*(besselh(j+1/2,1,x));
deriv_kzi = @(j,x) kzi(j-1,x) - (j/x) * kzi(j,x);

% Definition of the coefficients
global a b;
a = @(j) (m*fpsi(j,w)*deriv_psi(j,v)-fpsi(j,v)*deriv_psi(j,w))/...
    (m*fpsi(j,w)*deriv_kzi(j,v)-deriv_psi(j,w)*kzi(j,v));
b = @(j) (fpsi(j,w)*deriv_psi(j,v)-m*fpsi(j,v)*deriv_psi(j,w))/...
    (fpsi(j,w)*deriv_kzi(j,v)-m*deriv_psi(j,w)*kzi(j,v));

% Definition of the coeffients of extinction, scattering and absorption respectively
Cext=(2*pi)/(k^2)*sum_sig_ext(j);
Csca=(2*pi)/(k^2)*sum_sig_sca(j);
Cabs=Cext-Csca;

end

Résultats - Pour l'air

Résultats - Pour les nuages

Conclusion

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