Introduction to Algorithm

Updates

  • 2019 - Spring  , Set C++14 as Default Version

What is ALGORITHM?

演算法是什麼?

  • 計算的方法?
  • 思考的方法?
  • 數學公式?
  • 電腦程式?

[al-guh-rith-uh m]

What is ALGORITHM?

  • 精確定義演算法是困難的，但他有一些重要特徵

 

  • 0個以上的輸入
  • 1個以上的輸出
  • 有限多的步驟數可執行完畢
  • 每一個步驟都是精確無歧異的

計算理論

  • 採用什麼計算模型 Formal Lanauage
    • 自動機的設計
  • 哪些是能計算的、哪些是不能計算的Computability Theory
    • 自動機的能力
  • 要用多少時間、要用多少儲存Complexity Theory
    • 自動機的效率

Why IOI or ACM contest ?

  • 演算法競賽
    • IOI, ACM-ICPC
    • EDA
  • 資安競賽
    • CTF

不同型式的資訊競賽

  • 黑客松
    • Hackathon Taiwan
  • 軟體開發
    • 很多奇怪的比賽

Keep thinking

(只要夠大牌，用法就是對的)

Time Complexity

好的演算法?

  • 想法很簡單?
  • 實作很簡單?
  • 廢話比較少?
  • 需要的計算量很少?

時間複雜度

  • 用來描述一個演算法需要用多少計算時間來解決問題
    • 找\(N\)個元素最大值
      • 需要至少把每一個元素都檢查一次
int mx = a[0];
for(int i=1;i<N;++i)
{
    mx = max( mx , a[i] );
}

Big-O 表示法

  • 計算機科學中，使用符號\(O\)表示一個函數的成長關係

如果\(f(x)\in \mathcal{O}(g(x))\)

就存在\(c\)與\(x_0\)

如果\(x>x_0\)

\(c\times g(x)\geq f(x)\)

Big-O 表示法

如果\(f(x)\in \mathcal{O}(g(x))\)

 

Big-O 表示法

如果\(f(x)\in \mathcal{O}(g(x))\)

就存在\(c\)與\(x_0\)

 

\(x_0\)

\(c\times\)

Big-O 表示法

如果\(f(x)\in \mathcal{O}(g(x))\)

就存在\(c\)與\(x_0\)

如果\(x>x_0\)

\(x_0\)

\(c\times\)

\(x\)

Big-O 表示法

如果\(f(x)\in \mathcal{O}(g(x))\)

就存在\(c\)與\(x_0\)

如果\(x>x_0\)

\(c\times g(x)\geq f(x)\)

\(x_0\)

\(c\times\)

\(x\)

\(c\times g(x)\)

\(f(x)\)

Example

  • 證明\(x^2-x+2 \in O(x^2)\)

Example

  • 證明\(x^2-x+2 \in O(x^2)\)

如果\(x\geq1\)

\(x^2-x+2\)

\(\leq x^2+x+2\)

\(\leq x^2+x^2+2x^2=4x^2\)

 

Example

  • 證明\(x^2-x+2 \in O(x^2)\)

如果\(x\geq1\)

\(x^2-x+2\)

\(\leq x^2+x+2\)

\(\leq x^2+x^2+2x^2=4x^2\)

 

設\(c=4,x_0=1\)

如果\(x_0\leq x\)

\(x^2-x+2\leq cx^2\)

因此

\(x^2-x+2 \in O(x^2)\)

Fact

  • 對於多項式\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n\)

\(f(x)\in \mathcal{O}(x^n)\)

 

  • 多項式的複雜度就是\(x\)次數最大的項
  • 當\(x\)很大的時候，其他的數字比例小的可以忽略

演算法與Big-Oh

  • 計算演算法對於任意資料，要花費幾個基本運算算完
    • 基本運算ex:
      • 基本型態的加減乘除(3+5)
      • 存取一個基本型態的資料
      • 寫入一個基本型態的資料
         
  • ​​計較細節的操作過於瑣碎，因此使用bigO來表達

Example

  • 計算下演算法的BigO複雜度
// Find max value index in array
int index = -1;
for(int i=0;i<N;++i)
{
    bool flag = true;
    for(int j=0;j<N;++j)
    {
        if( a[j] > a[i] )
            flag = false;
    }
    if( flag )
        index = i;
}

如果一個演算法複雜度是\(O(x^2)\)，表示該方法最糟不會比所有\(O(x^2)\)的方法糟糕

Example

  • 計算下演算法的BigO複雜度
// Find max value index in array
int index = 0;
for(int i=1;i<N;++i)
{
    if( a[i] > a[index] )
        index = i;
}

Order of the Function

  • 由BigOh我們可以發現函數的成長幅度有階級關係
    • 如果\(f(x)\)是\(O(x)\)，那它也是\(O(x^2)\)
    • 如果一個函數的階級越大，數值成長速度越快

\(O(x^5)\)

\(O(x^3)\)

\(O(x)\)

Order of the function

Quick fact

  • 複雜度由小到大排列
    • \(O(1)\) 用公式解解一元二次方程式
    • \(O(\alpha (n) )\) Disjoint Set
    • \(O(logn)\) 二分搜尋法
    • \(O(\sqrt{n})\)
    • \(O(n)\) 找最大值
    • \(O(nlogn)\) C++的排序
    • \(O(n^2)\) 泡沫排序法

\(O(logn!)=O(nlogn)\)

Quick fact

  • 複雜度由小到大排列
    • \(O(nlogn)\) C++的排序
    • \(O(n^2)\) 泡沫排序法
    • \(O(n^3)\) 普通矩陣乘法
    • \(O(e^{\left(c + o(1)\right)(\ln n)^{\alpha}(\ln \ln n)^{1-\alpha}})\) 我覺得這很酷
    • \(O(2^n)\) 旅行推銷員問題DP
    • \(O(n!)\) 枚舉排列組合

競賽的經驗法則

  • 假設對於一個題目想到了複雜度是\(O(N^2)\)的方法
  • 這個方法會不會TLE呢?

 

把題目測資上限\((N=20000)\)代入

如果大於\(10^8\)，基本上就會TLE

More topics

  • 平攤複雜度
  • 遞迴複雜度與主定理
  • 什麼是P，什麼是NP?

Package data

打包資料

  • 有的時候會想要把有關聯的資料(ex 座標)合併在一起，同步操作，在C++有許多種方法可以使用
資料數量
struct/class 任意多
std::pair 2
std::tuple 任意多

struct

  • 在C++中，struct與class功能一樣，除了預設物件屬性不同，一般而言比賽都用struct。
//定義 
struct Point{
    int x;
    int y;
    string name;
};

//宣告
Point data, array[666];
//使用變數
data.x = data.y = array[2].x = 7122;
data.name = "StarStar";

建構子

  • 在變數被宣告時，呼叫用來初始化的函數
struct Point{
    int x;
    int y;
    string name;

    Point(){ //建構子
        name = "7122";
    }
};

//宣告
Point data; //會呼叫建構子
cout<< data.name ;

Output:
7122

有參數的建構子

  • 在變數被宣告時，呼叫用來初始化的函數
struct Point{
    int x;
    int y;
    string name;

    Point(int a,int b){ //建構子
        x=a; y=b;
    }
};

//宣告
Point data(94,87); //會呼叫建構子
cout<< data.x << ' ' <<data.y ;

Output:
94 87

有參數的建構子

  • 存在自定義建構子時，不會生成預設(無參數)建構子
struct Point{
    int x;
    int y;
    string name;

    Point(int a,int b){ //建構子
        x=a; y=b;
    }
};

//宣告
Point data; //會呼叫建構子

Output:
Compile Error!
Can not find Point()

有參數的建構子

  • 存在自定義建構子時，不會生成預設(無參數)建構子
struct Point{
    int x;
    int y;
    string name;

    Point(int a,int b){ //建構子
        x=a; y=b;
    }
    Point(){ //建構子 called
        name="MAAAA";
    }
};

//宣告
Point data;
cout<<data.name;

Output:
MAAAA

std::pair

  • 把兩個型態綁一起
#include<utility> //also in algorithm

using pis = std::pair<int,string>; 
typedef std::pair<int,string> pis2; //Old C++

pii data;

data.first = 7122;
data.second = "TFcis";

data = {123,"ABC"};
data = make_pair(123,"ABC");

std::pair

  • std::pair支援比較運算，皆以字典序比較
using pii =  pair<int,int>;
pii a[3] = { {2,1},{1,2},{3,0} };

sort( a,a+3 );

for( auto v:a )
    cout<<v.first<<' '<<v.second<<endl;
Output:
1 2
2 1
3 0

std::pair

  • 兩個不夠用，可以自己套自己 = =
typedef pair<int,pair<int,int>> piii; //C++11
typedef pair<int,pair<int,int> > piii2;

piii a;
a.first = a.second.first = a.second.second = 87

std::tuple

  • 把任意多的資料綁一起
#include<utility> //also in algorithm

using tiii= std::tuple<int,int,int>;

tiii a;

a = {1,2,3}; // C++11 and g++ >= 6
a = make_tuple(1,2,3); // Always OK

std::tuple (c++11)

  • tuple拆解資料
#include<utility> //also in algorithm

using tiii= std::tuple<int,int,int>;

tiii a = {1,2,3};

auto [i,j,k] = a; //C++17

int i,j,k;
tie(i,j,k) = a; //Always OK

i = get<0>(a);
j = get<1>(a);
k = get<2>(a); //Always OK

Basic Data Structure

with STL

What is STL

  • C++ Standard Template Library
    • 由標準實作的演算法與資料結構
  • 目前最新規格書N4700有1416頁
  • 多用多查資料

C++ 標準

  • 目前的最新C++標準是C++17
  • 大多數比賽使用C++/14
  • 從2017年開始ACM-ICPC使用C++14為競賽標準
  • 大陸OJ通常連C++11都沒有

C++ ISO Status

vector

  • 中文翻譯為「向量」，不過沒人用
  • 強化版的陣列，大小可以自動變大
  • 在尾部的元素操作效率佳
#include<vector>

std::vector<int> arr;

arr.resize(N); //設定大小為N

arr[0] = arr[N-1] = 1; //與一般陣列一樣

vector 新增元素

  • 使用emplace_back在最後方新增元素
    • 複雜度為平攤\(O(1)\)
vector<int> v;
    
v.emplace_back(2);

for(int i:v) cout<<i<<' ';
Output:
1 2

vector 新增元素 - 2

vector<tuple<int,int,int>> v;
    
v.emplace_back(7,8,9);

v.push_back({1,2,3});//C++11 & G++ >= 6.0
v.push_back(make_tuple(4,5,6));

for(auto [i,j,k]:v) //C++17
    cout<<i<<' '<<j<<' '<<k<<endl;
Output:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
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