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東京工業大学名誉教授・黒川信重先生曰く・・・

東京工業大学名誉教授・黒川信重先生曰く・・・

「21 世紀に入って、黒川テンソル積が

見直されてきた」

''黒川テンソル積" とは ?

→ゼータ函数を ''多重化" する一種の手法 

''黒川テンソル積" とは ?

定義.

Z_i(s)=\prod_{\rho_i} (s-\rho_i)^{m_i}
Zi(s)=∏ρi(s−ρi)miZ_i(s)=\prod_{\rho_i} (s-\rho_i)^{m_i}

r 個のゼータ函数が正規積を用いて

と書けるとき, 黒川テンソル積を

\displaystyle\{Z_1\otimes\cdots\otimes{Z_r}\}(s)=\prod_{(\rho_1,\cdots,\rho_r)} (s-(\rho_1+\cdots+\rho_r))^{m(\rho_1,\cdots,\rho_r)}
{Z1⊗⋯⊗Zr}(s)=∏(ρ1,⋯,ρr)(s−(ρ1+⋯+ρr))m(ρ1,⋯,ρr)\displaystyle\{Z_1\otimes\cdots\otimes{Z_r}\}(s)=\prod_{(\rho_1,\cdots,\rho_r)} (s-(\rho_1+\cdots+\rho_r))^{m(\rho_1,\cdots,\rho_r)}

で定める. ただし

m(\rho_1,\cdots,\rho_r)=\begin{cases} 1 & (\mathrm{Im}(\rho_i)\geq{0}) \\ (-1)^{r-1} & (\mathrm{Im}(\rho_i)<{0}) \\ 0 & (otherwise) \end{cases}
m(ρ1,⋯,ρr)={1(Im(ρi)≥0)(−1)r−1(Im(ρi)<0)0(otherwise)m(\rho_1,\cdots,\rho_r)=\begin{cases} 1 & (\mathrm{Im}(\rho_i)\geq{0}) \\ (-1)^{r-1} & (\mathrm{Im}(\rho_i)<{0}) \\ 0 & (otherwise) \end{cases}

''黒川テンソル積" とは ?

(有用な)具体例.

・可換環 R の Hasse ゼータ函数:

\displaystyle\zeta(s,R)=\prod_{m:maximal} (1-|R/m|^{-s})^{-1}
ζ(s,R)=∏m:maximal(1−∣R/m∣−s)−1\displaystyle\zeta(s,R)=\prod_{m:maximal} (1-|R/m|^{-s})^{-1}

''黒川テンソル積" とは ?

(有用な)具体例.

の場合:

\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p)=(1-p^{-s})^{-1}
ζ(s,Fp)=(1−p−s)−1\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p)=(1-p^{-s})^{-1}
R=\mathbb{F}_p
R=FpR=\mathbb{F}_p

''黒川テンソル積" とは ?

黒川テンソル積

\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p\otimes\mathbb{F}_q):=\zeta(s,\mathbb{F}_p)\otimes\zeta(s,\mathbb{F}_q)
ζ(s,Fp⊗Fq):=ζ(s,Fp)⊗ζ(s,Fq)\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p\otimes\mathbb{F}_q):=\zeta(s,\mathbb{F}_p)\otimes\zeta(s,\mathbb{F}_q)

を考える.

''黒川テンソル積" とは ?

ところで・・・

は三角関数っぽい ?

\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p)=(1-p^{-s})^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\cot\frac{is\log p}{2}
ζ(s,Fp)=(1−p−s)−1=12+i2cotislogp2\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p)=(1-p^{-s})^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\cot\frac{is\log p}{2}

''黒川テンソル積" とは ?

実際のところ:

が成立.

(ただし右辺は二重三角関数)

2\sin\frac{is}{\omega_1}\otimes 2\sin\frac{is}{\omega_2}\simeq{S}_2(is,(\omega_1,\omega_2))
2sinisω1⊗2sinisω2≃S2(is,(ω1,ω2))2\sin\frac{is}{\omega_1}\otimes 2\sin\frac{is}{\omega_2}\simeq{S}_2(is,(\omega_1,\omega_2))

''黒川テンソル積" とは ?

→有限体の Hasse zeta の黒川テンソル積は

二重三角関数に似ている ?

''黒川テンソル積" とは ?

零点と極を比較することで簡単に

\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p\otimes\mathbb{F}_q)\simeq{S}_2\left(is,\left(\frac{2\pi}{\log p},\frac{2\pi}{\log q}\right)\right)
ζ(s,Fp⊗Fq)≃S2(is,(2πlogp,2πlogq))\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p\otimes\mathbb{F}_q)\simeq{S}_2\left(is,\left(\frac{2\pi}{\log p},\frac{2\pi}{\log q}\right)\right)

が得られる.

''黒川テンソル積" とは ?

おもいだし: 無限積表示

\displaystyle\sin\pi s=\pi s\prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{s^2}{n^2}\right)
sinπs=πs∏n=1∞(1−s2n2)\displaystyle\sin\pi s=\pi s\prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{s^2}{n^2}\right)

''黒川テンソル積" とは ?

おもいだし: 無限積表示

\displaystyle\sin\pi s=\pi s\prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{s^2}{n^2}\right)
sinπs=πs∏n=1∞(1−s2n2)\displaystyle\sin\pi s=\pi s\prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{s^2}{n^2}\right)

→sin にあるんやから二重三角関数にもあるやろ

''黒川テンソル積" とは ?

\displaystyle S_2(z,(\omega_1,\omega_2))=\left((1-e^{2\pi i\frac{z}{\omega_1}})(1-e^{2\pi i\frac{z}{\omega_2}})\right)^{\frac{1}{2}}
S2(z,(ω1,ω2))=((1−e2πizω1)(1−e2πizω2))12\displaystyle S_2(z,(\omega_1,\omega_2))=\left((1-e^{2\pi i\frac{z}{\omega_1}})(1-e^{2\pi i\frac{z}{\omega_2}})\right)^{\frac{1}{2}}
\displaystyle\cdot\exp\left(\frac{\pi iz^2}{2\omega_1\omega_2}-\frac{\pi i}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right)+\frac{\pi i}{12}\left(3+\frac{\omega_1}{\omega_2}+\frac{\omega_2}{\omega_1}\right)\right.
⋅exp(πiz22ω1ω2−πi2(1ω1+1ω2)+πi12(3+ω1ω2+ω2ω1)\displaystyle\cdot\exp\left(\frac{\pi iz^2}{2\omega_1\omega_2}-\frac{\pi i}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right)+\frac{\pi i}{12}\left(3+\frac{\omega_1}{\omega_2}+\frac{\omega_2}{\omega_1}\right)\right.
\displaystyle\left.+\frac{1}{2i}\left(\sum_{k\geq{1}} \frac{\cot\pi k\frac{\omega_2}{\omega_1}}{k}e^{2\pi ik\frac{z}{\omega_1}}+\sum_{n\geq{1}} \frac{\cot\pi n\frac{\omega_1}{\omega_2}}{n}e^{2\pi in\frac{z}{\omega_2}}\right)\right)
+12i(∑k≥1cotπkω2ω1ke2πikzω1+∑n≥1cotπnω1ω2ne2πinzω2))\displaystyle\left.+\frac{1}{2i}\left(\sum_{k\geq{1}} \frac{\cot\pi k\frac{\omega_2}{\omega_1}}{k}e^{2\pi ik\frac{z}{\omega_1}}+\sum_{n\geq{1}} \frac{\cot\pi n\frac{\omega_1}{\omega_2}}{n}e^{2\pi in\frac{z}{\omega_2}}\right)\right)

''黒川テンソル積" とは ?

\displaystyle S_2(z,(\omega_1,\omega_2))=\left((1-e^{2\pi i\frac{z}{\omega_1}})(1-e^{2\pi i\frac{z}{\omega_2}})\right)^{\frac{1}{2}}
S2(z,(ω1,ω2))=((1−e2πizω1)(1−e2πizω2))12\displaystyle S_2(z,(\omega_1,\omega_2))=\left((1-e^{2\pi i\frac{z}{\omega_1}})(1-e^{2\pi i\frac{z}{\omega_2}})\right)^{\frac{1}{2}}
\displaystyle\cdot\exp\left(\frac{\pi iz^2}{2\omega_1\omega_2}-\frac{\pi i}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right)+\frac{\pi i}{12}\left(3+\frac{\omega_1}{\omega_2}+\frac{\omega_2}{\omega_1}\right)\right.
⋅exp(πiz22ω1ω2−πi2(1ω1+1ω2)+πi12(3+ω1ω2+ω2ω1)\displaystyle\cdot\exp\left(\frac{\pi iz^2}{2\omega_1\omega_2}-\frac{\pi i}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right)+\frac{\pi i}{12}\left(3+\frac{\omega_1}{\omega_2}+\frac{\omega_2}{\omega_1}\right)\right.
\displaystyle\left.+\frac{1}{2i}\left(\sum_{k\geq{1}} \frac{\cot\pi k\frac{\omega_2}{\omega_1}}{k}e^{2\pi ik\frac{z}{\omega_1}}+\sum_{n\geq{1}} \frac{\cot\pi n\frac{\omega_1}{\omega_2}}{n}e^{2\pi in\frac{z}{\omega_2}}\right)\right)
+12i(∑k≥1cotπkω2ω1ke2πikzω1+∑n≥1cotπnω1ω2ne2πinzω2))\displaystyle\left.+\frac{1}{2i}\left(\sum_{k\geq{1}} \frac{\cot\pi k\frac{\omega_2}{\omega_1}}{k}e^{2\pi ik\frac{z}{\omega_1}}+\sum_{n\geq{1}} \frac{\cot\pi n\frac{\omega_1}{\omega_2}}{n}e^{2\pi in\frac{z}{\omega_2}}\right)\right)

→長い(うざい).

''黒川テンソル積" とは ?

\displaystyle \sum_{k,n\geq{1}} H\left(2\pi\left(\frac{k}{a}+\frac{n}{b}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(\sum_{k\geq{1}} H\left(2\pi\frac{k}{a}\right)+\sum_{n\geq{1}} H\left(2\pi\frac{n}{b}\right)\right)
∑k,n≥1H(2π(ka+nb))+12(∑k≥1H(2πka)+∑n≥1H(2πnb))\displaystyle \sum_{k,n\geq{1}} H\left(2\pi\left(\frac{k}{a}+\frac{n}{b}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(\sum_{k\geq{1}} H\left(2\pi\frac{k}{a}\right)+\sum_{n\geq{1}} H\left(2\pi\frac{n}{b}\right)\right)
\displaystyle =-\frac{ia}{4\pi}\sum_{k\geq{1}}\cot\left(\pi\frac{ka}{b}\right)\hat{H}(ka)-\frac{ib}{4\pi}\sum_{n\geq{1}}\cot\left(\pi\frac{nb}{a}\right)\hat{H}(nb)-\frac{iab}{8\pi^2}\hat{H}'(0)
=−ia4π∑k≥1cot(πkab)H^(ka)−ib4π∑n≥1cot(πnba)H^(nb)−iab8π2H^′(0)\displaystyle =-\frac{ia}{4\pi}\sum_{k\geq{1}}\cot\left(\pi\frac{ka}{b}\right)\hat{H}(ka)-\frac{ib}{4\pi}\sum_{n\geq{1}}\cot\left(\pi\frac{nb}{a}\right)\hat{H}(nb)-\frac{iab}{8\pi^2}\hat{H}'(0)

これの証明に使うもの:

''Signed Double Poisson Summation Formula"

→明示公式 (ゼータの零点の和を出すための公式, Selberg trace formula とも関係) を使って示せる

''黒川テンソル積" とは ?

Signed Double Poisson Summation Formula と

Gel'fond-Schneider の定理

より, S_2 の (長くてうざい) 表示がわかる.

''黒川テンソル積" とは ?

Signed Double Poisson Summation Formula と

Gel'fond-Schneider の定理

より, S_2 の (長くてうざい) 表示がわかる.

(なぜか) ここで超越数論が関係.

''黒川テンソル積" とは ?

さて, S_2 の表示が出たのなら

有限体の Hasse zeta の黒川テンソル積にも

使えるんじゃないか ?

''黒川テンソル積" とは ?

\displaystyle\cdot\exp\left(\frac{1}{2i}\left(\sum_{k\geq{1}} \frac{\cot\pi k\frac{\log p}{\log q}}{k}p^{-ks}+\sum_{n\geq{1}} \frac{\cot\pi n\frac{\log q}{\log p}}{n}q^{-ns}\right)\right)
⋅exp(12i(∑k≥1cotπklogplogqkp−ks+∑n≥1cotπnlogqlogpnq−ns))\displaystyle\cdot\exp\left(\frac{1}{2i}\left(\sum_{k\geq{1}} \frac{\cot\pi k\frac{\log p}{\log q}}{k}p^{-ks}+\sum_{n\geq{1}} \frac{\cot\pi n\frac{\log q}{\log p}}{n}q^{-ns}\right)\right)
\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p\otimes\mathbb{F}_q)\simeq(1-p^{-s})^{\frac{1}{2}}(1-q^{-s})^{\frac{1}{2}}
ζ(s,Fp⊗Fq)≃(1−p−s)12(1−q−s)12\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p\otimes\mathbb{F}_q)\simeq(1-p^{-s})^{\frac{1}{2}}(1-q^{-s})^{\frac{1}{2}}

''黒川テンソル積" とは ?

\displaystyle\cdot\exp\left(\frac{1}{2i}\left(\sum_{k\geq{1}} \frac{\cot\pi k\frac{\log p}{\log q}}{k}p^{-ks}+\sum_{n\geq{1}} \frac{\cot\pi n\frac{\log q}{\log p}}{n}q^{-ns}\right)\right)
⋅exp(12i(∑k≥1cotπklogplogqkp−ks+∑n≥1cotπnlogqlogpnq−ns))\displaystyle\cdot\exp\left(\frac{1}{2i}\left(\sum_{k\geq{1}} \frac{\cot\pi k\frac{\log p}{\log q}}{k}p^{-ks}+\sum_{n\geq{1}} \frac{\cot\pi n\frac{\log q}{\log p}}{n}q^{-ns}\right)\right)
\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p\otimes\mathbb{F}_q)\simeq(1-p^{-s})^{\frac{1}{2}}(1-q^{-s})^{\frac{1}{2}}
ζ(s,Fp⊗Fq)≃(1−p−s)12(1−q−s)12\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p\otimes\mathbb{F}_q)\simeq(1-p^{-s})^{\frac{1}{2}}(1-q^{-s})^{\frac{1}{2}}

なんぞこれ ?

''黒川テンソル積" とは ?

ここからわかること :

・絶対収束性

・函数等式

・Euler 積表示

・解析接続

''黒川テンソル積" とは ?

ここからわかること :

・絶対収束性

・函数等式

・Euler 積表示

・解析接続

→これらはすべて, もともとの

でも成立 !

\zeta(s,\mathbb{F}_p)
ζ(s,Fp)\zeta(s,\mathbb{F}_p)

''黒川テンソル積" とは ?

要するに :

「黒川テンソル積は, 函数等式や Euler 積など

''ゼータにとって重要なもの" を保存する」

''黒川テンソル積" とは ?

結論.

21 世紀こそ

''黒川テンソル積の時代" になるかもしれない.

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