Lambert Rhapsody

\zeta(2n+1)
ζ(2n+1)\zeta(2n+1)
\sum \frac{k^{-2n-1}}{e^{2\pi k}-1}
∑k−2n−1e2πk−1\sum \frac{k^{-2n-1}}{e^{2\pi k}-1}
\sum \frac{B_{2k}B_{2n-2k}}{(2k)!(2n-2k)!}
∑B2kB2n−2k(2k)!(2n−2k)!\sum \frac{B_{2k}B_{2n-2k}}{(2k)!(2n-2k)!}
\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})
ζr(s,w;ω)\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})

@691_7758337633

\zeta(2n+1)
ζ(2n+1)\zeta(2n+1)

本日の議題

\zeta(2n+1)
ζ(2n+1)\zeta(2n+1)

本日の議題

"奇数ゼータ値"

わかっている結果

わかっている結果

\zeta(3)
ζ(3)\zeta(3)

・　　　は無理数 (by Apéry)

わかっている結果

\zeta(3)
ζ(3)\zeta(3)

・　　　は無理数 (by Apéry)

・無限個の奇数ゼータが無理数

わかっている結果

\zeta(3)
ζ(3)\zeta(3)

・　　　は無理数 (by Apéry)

・無限個の奇数ゼータが無理数

・

\zeta(5),\zeta(7),\zeta(9),\zeta(11)
ζ(5),ζ(7),ζ(9),ζ(11)\zeta(5),\zeta(7),\zeta(9),\zeta(11)

のどれかは無理数

わかっている結果

\zeta(3)
ζ(3)\zeta(3)

・　　　は無理数 (by Apéry)

・無限個の奇数ゼータが無理数

・

\zeta(5),\zeta(7),\zeta(9),\zeta(11)
ζ(5),ζ(7),ζ(9),ζ(11)\zeta(5),\zeta(7),\zeta(9),\zeta(11)

のどれかは無理数

・多重三角関数の特殊値で書ける

etc...

ラマヌジャンによる級数表示

\displaystyle \zeta (2n+1)=2^{2n}\, \pi^{2n+1} \sum^{n+1}_{k=0} (-1)^{k+1} \, \frac{B_{2k}}{(2k)!} \, \frac{B_{2n+2-2k}}{(2n+2-2k)!}\\ -2 \! \sum^{\infin}_{k=1} \frac{k^{\!-2n-1}}{e^{2\pi k}-1}
ζ(2n+1)=22n π2n+1∑k=0n+1(−1)k+1 B2k(2k)! B2n+2−2k(2n+2−2k)!−2​∑k=1∞k​−2n−1e2πk−1\displaystyle \zeta (2n+1)=2^{2n}\, \pi^{2n+1} \sum^{n+1}_{k=0} (-1)^{k+1} \, \frac{B_{2k}}{(2k)!} \, \frac{B_{2n+2-2k}}{(2n+2-2k)!}\\ -2 \! \sum^{\infin}_{k=1} \frac{k^{\!-2n-1}}{e^{2\pi k}-1}

ラマヌジャンによる級数表示

\displaystyle \zeta (2n+1)=2^{2n}\, \pi^{2n+1} \sum^{n+1}_{k=0} (-1)^{k+1} \, \frac{B_{2k}}{(2k)!} \, \frac{B_{2n+2-2k}}{(2n+2-2k)!}\\ -2 \! \sum^{\infin}_{k=1} \frac{k^{\!-2n-1}}{e^{2\pi k}-1}
ζ(2n+1)=22n π2n+1∑k=0n+1(−1)k+1 B2k(2k)! B2n+2−2k(2n+2−2k)!−2​∑k=1∞k​−2n−1e2πk−1\displaystyle \zeta (2n+1)=2^{2n}\, \pi^{2n+1} \sum^{n+1}_{k=0} (-1)^{k+1} \, \frac{B_{2k}}{(2k)!} \, \frac{B_{2n+2-2k}}{(2n+2-2k)!}\\ -2 \! \sum^{\infin}_{k=1} \frac{k^{\!-2n-1}}{e^{2\pi k}-1}

奇数ゼータ

ラマヌジャンによる級数表示

\displaystyle \zeta (2n+1)=2^{2n}\, \pi^{2n+1} \sum^{n+1}_{k=0} (-1)^{k+1} \, \frac{B_{2k}}{(2k)!} \, \frac{B_{2n+2-2k}}{(2n+2-2k)!}\\ -2 \! \sum^{\infin}_{k=1} \frac{k^{\!-2n-1}}{e^{2\pi k}-1}
ζ(2n+1)=22n π2n+1∑k=0n+1(−1)k+1 B2k(2k)! B2n+2−2k(2n+2−2k)!−2​∑k=1∞k​−2n−1e2πk−1\displaystyle \zeta (2n+1)=2^{2n}\, \pi^{2n+1} \sum^{n+1}_{k=0} (-1)^{k+1} \, \frac{B_{2k}}{(2k)!} \, \frac{B_{2n+2-2k}}{(2n+2-2k)!}\\ -2 \! \sum^{\infin}_{k=1} \frac{k^{\!-2n-1}}{e^{2\pi k}-1}

奇数ゼータ

ベルヌーイ数の積の線型結合

ラマヌジャンによる級数表示

\displaystyle \zeta (2n+1)=2^{2n}\, \pi^{2n+1} \sum^{n+1}_{k=0} (-1)^{k+1} \, \frac{B_{2k}}{(2k)!} \, \frac{B_{2n+2-2k}}{(2n+2-2k)!}\\ -2 \! \sum^{\infin}_{k=1} \frac{k^{\!-2n-1}}{e^{2\pi k}-1}
ζ(2n+1)=22n π2n+1∑k=0n+1(−1)k+1 B2k(2k)! B2n+2−2k(2n+2−2k)!−2​∑k=1∞k​−2n−1e2πk−1\displaystyle \zeta (2n+1)=2^{2n}\, \pi^{2n+1} \sum^{n+1}_{k=0} (-1)^{k+1} \, \frac{B_{2k}}{(2k)!} \, \frac{B_{2n+2-2k}}{(2n+2-2k)!}\\ -2 \! \sum^{\infin}_{k=1} \frac{k^{\!-2n-1}}{e^{2\pi k}-1}

奇数ゼータ

ベルヌーイ数の積の線型結合

ヘンな級数

ラマヌジャンによる級数表示

ヘンな級数

ランベルト級数とは

\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_nx^n}{1-x^n}
f(x)=∑n=1∞anxn1−xn\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_nx^n}{1-x^n}

型の級数のこと.

ランベルト級数とは

\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_nx^n}{1-x^n}
f(x)=∑n=1∞anxn1−xn\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_nx^n}{1-x^n}

ランベルト級数とは

\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_nx^n}{1-x^n}
f(x)=∑n=1∞anxn1−xn\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_nx^n}{1-x^n}
=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\sum_{d|n} a_d\right)x^n
=∑n=1∞(∑d∣nad)xn=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\sum_{d|n} a_d\right)x^n

ランベルト級数とは

\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_nx^n}{1-x^n}
f(x)=∑n=1∞anxn1−xn\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_nx^n}{1-x^n}
=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\sum_{d|n} a_d\right)x^n
=∑n=1∞(∑d∣nad)xn=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\sum_{d|n} a_d\right)x^n

さっきの例だと・・・

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{-2k-1}}{e^{2\pi n}-1}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{-2k-1}e^{-2\pi n}}{1-e^{-2\pi n}}
∑n=1∞n−2k−1e2πn−1=∑n=1∞n−2k−1e−2πn1−e−2πn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{-2k-1}}{e^{2\pi n}-1}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{-2k-1}e^{-2\pi n}}{1-e^{-2\pi n}}
=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{-2k-1}(n)e^{-2\pi n}
=∑n=1∞σ−2k−1(n)e−2πn=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{-2k-1}(n)e^{-2\pi n}

How 2 Prove

How 2 Prove

・ラマヌジャン多項式を使う(ラマヌジャン)

 

 

How 2 Prove

・ラマヌジャン多項式を使う(ラマヌジャン)

 

・符号付き二重ポアソン和公式を使う(加藤)

 

 

How 2 Prove

・ラマヌジャン多項式を使う(ラマヌジャン)

 

・符号付き二重ポアソン和公式を使う(加藤)

 

・二重ゼータを使う(たけのこ赤軍)

How 2 Prove

二重ゼータ関数(バーンズ, 黒川)

\displaystyle\zeta_2(s,w;(\omega_1,\omega_2))=\sum_{m,n\geq{0}} (m\omega_1+n\omega_2+w)^{-s}
ζ2(s,w;(ω1,ω2))=∑m,n≥0(mω1+nω2+w)−s\displaystyle\zeta_2(s,w;(\omega_1,\omega_2))=\sum_{m,n\geq{0}} (m\omega_1+n\omega_2+w)^{-s}

How 2 Prove

二重ゼータ関数(バーンズ, 黒川)

\displaystyle\zeta_2(s,1;(1,i))=\sum_{m\geq{1},n\geq{0}} (m+ni)^{-s}
ζ2(s,1;(1,i))=∑m≥1,n≥0(m+ni)−s\displaystyle\zeta_2(s,1;(1,i))=\sum_{m\geq{1},n\geq{0}} (m+ni)^{-s}

(パラメータを特殊化)

\displaystyle\zeta_2(s,1;(1,i))=\sum_{m\geq{1},n\geq{0}} (m+ni)^{-s}
ζ2(s,1;(1,i))=∑m≥1,n≥0(m+ni)−s\displaystyle\zeta_2(s,1;(1,i))=\sum_{m\geq{1},n\geq{0}} (m+ni)^{-s}
\displaystyle\zeta_2(s,1;(1,i))=\sum_{m\geq{1},n\geq{0}} (m+ni)^{-s}
ζ2(s,1;(1,i))=∑m≥1,n≥0(m+ni)−s\displaystyle\zeta_2(s,1;(1,i))=\sum_{m\geq{1},n\geq{0}} (m+ni)^{-s}
\displaystyle\zeta_2(s,1;(1,i))=\sum_{m\geq{1},n\geq{0}} (m+ni)^{-s}
ζ2(s,1;(1,i))=∑m≥1,n≥0(m+ni)−s\displaystyle\zeta_2(s,1;(1,i))=\sum_{m\geq{1},n\geq{0}} (m+ni)^{-s}
\displaystyle\zeta_2(s,1;(1,i))=\sum_{m\geq{1},n\geq{0}} (m+ni)^{-s}
ζ2(s,1;(1,i))=∑m≥1,n≥0(m+ni)−s\displaystyle\zeta_2(s,1;(1,i))=\sum_{m\geq{1},n\geq{0}} (m+ni)^{-s}
\displaystyle\zeta_2(s,1;(1,i))=\sum_{m\geq{1},n\geq{0}} (m+ni)^{-s}
ζ2(s,1;(1,i))=∑m≥1,n≥0(m+ni)−s\displaystyle\zeta_2(s,1;(1,i))=\sum_{m\geq{1},n\geq{0}} (m+ni)^{-s}
\displaystyle =\frac{1}{1+e^{-i\pi s/2}+e^{-i\pi s}+e^{-3i\pi s/2}}
=11+e−iπs/2+e−iπs+e−3iπs/2\displaystyle =\frac{1}{1+e^{-i\pi s/2}+e^{-i\pi s}+e^{-3i\pi s/2}}
\displaystyle\times\sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus{(0,0)}} (m+ni)^{-s}
×∑(m,n)∈Z2∖(0,0)(m+ni)−s\displaystyle\times\sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus{(0,0)}} (m+ni)^{-s}

この計算より

\displaystyle\zeta_2(s,w;(1,i))=\frac{1+e^{i\pi s}}{1+e^{\frac{i\pi s}{2}}+e^{-i\pi s}+e^{\frac{3i\pi s}{2}}}
ζ2(s,w;(1,i))=1+eiπs1+eiπs2+e−iπs+e3iπs2\displaystyle\zeta_2(s,w;(1,i))=\frac{1+e^{i\pi s}}{1+e^{\frac{i\pi s}{2}}+e^{-i\pi s}+e^{\frac{3i\pi s}{2}}}
\displaystyle\times\left(\zeta(s)+\frac{(-2\pi i)^s}{\Gamma(s)}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{s-1}}{e^{2\pi n}-1}\right)
×(ζ(s)+(−2πi)sΓ(s)∑n=1∞ns−1e2πn−1)\displaystyle\times\left(\zeta(s)+\frac{(-2\pi i)^s}{\Gamma(s)}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{s-1}}{e^{2\pi n}-1}\right)

がわかる.

この計算より

\displaystyle\zeta_2(s,w;(1,i))=\frac{1+e^{i\pi s}}{1+e^{\frac{i\pi s}{2}}+e^{-i\pi s}+e^{\frac{3i\pi s}{2}}}
ζ2(s,w;(1,i))=1+eiπs1+eiπs2+e−iπs+e3iπs2\displaystyle\zeta_2(s,w;(1,i))=\frac{1+e^{i\pi s}}{1+e^{\frac{i\pi s}{2}}+e^{-i\pi s}+e^{\frac{3i\pi s}{2}}}
\displaystyle\times\left(\zeta(s)+\frac{(-2\pi i)^s}{\Gamma(s)}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{s-1}}{e^{2\pi n}-1}\right)
×(ζ(s)+(−2πi)sΓ(s)∑n=1∞ns−1e2πn−1)\displaystyle\times\left(\zeta(s)+\frac{(-2\pi i)^s}{\Gamma(s)}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{s-1}}{e^{2\pi n}-1}\right)

がわかる.

特殊値を計算(by ロピタルの定理)

\displaystyle\zeta_2(-4k-2,w;(1,i))=\frac{i}{\pi}(2\pi)^{-4k-2}(4k+2)!
ζ2(−4k−2,w;(1,i))=iπ(2π)−4k−2(4k+2)!\displaystyle\zeta_2(-4k-2,w;(1,i))=\frac{i}{\pi}(2\pi)^{-4k-2}(4k+2)!
\displaystyle\times\left(\zeta(4k+3)+2\sum_{n\geq{1}} \frac{n^{-4k-3}}{e^{2\pi n}-1}\right)
×(ζ(4k+3)+2∑n≥1n−4k−3e2πn−1)\displaystyle\times\left(\zeta(4k+3)+2\sum_{n\geq{1}} \frac{n^{-4k-3}}{e^{2\pi n}-1}\right)

一方, 特殊値公式

\displaystyle\zeta_2(-n,w;(\omega_1,\omega_2))=(-1)^nn!a_{2,n}(w;(\omega_1,\omega_2))
ζ2(−n,w;(ω1,ω2))=(−1)nn!a2,n(w;(ω1,ω2))\displaystyle\zeta_2(-n,w;(\omega_1,\omega_2))=(-1)^nn!a_{2,n}(w;(\omega_1,\omega_2))

を使うと...

より, 別の表示がわかる:

\displaystyle\zeta_2(-4k-2,1;(1,i))
ζ2(−4k−2,1;(1,i))\displaystyle\zeta_2(-4k-2,1;(1,i))
\displaystyle a_{r,4k+2}(1,(1,i))=-i\sum_{j=0}^{2k+2} \frac{B_{2j}B_{4k+4-2j}}{(2j)!(4k+4-2j)!}(-1)^j
ar,4k+2(1,(1,i))=−i∑j=02k+2B2jB4k+4−2j(2j)!(4k+4−2j)!(−1)j\displaystyle a_{r,4k+2}(1,(1,i))=-i\sum_{j=0}^{2k+2} \frac{B_{2j}B_{4k+4-2j}}{(2j)!(4k+4-2j)!}(-1)^j
\displaystyle=-i(4k+2)!\sum_{j=0}^{2k+2} \frac{B_{2j}B_{4k+4-2j}}{(2j)!(4k+4-2j)!}(-1)^j
=−i(4k+2)!∑j=02k+2B2jB4k+4−2j(2j)!(4k+4−2j)!(−1)j\displaystyle=-i(4k+2)!\sum_{j=0}^{2k+2} \frac{B_{2j}B_{4k+4-2j}}{(2j)!(4k+4-2j)!}(-1)^j

これを先程の結果と等置して

\displaystyle \zeta (2n+1)=2^{2n}\, \pi^{2n+1} \sum^{n+1}_{k=0} (-1)^{k+1} \, \frac{B_{2k}}{(2k)!} \, \frac{B_{2n+2-2k}}{(2n+2-2k)!}\\ -2 \! \sum^{\infin}_{k=1} \frac{k^{\!-2n-1}}{e^{2\pi k}-1}
ζ(2n+1)=22n π2n+1∑k=0n+1(−1)k+1 B2k(2k)! B2n+2−2k(2n+2−2k)!−2​∑k=1∞k​−2n−1e2πk−1\displaystyle \zeta (2n+1)=2^{2n}\, \pi^{2n+1} \sum^{n+1}_{k=0} (-1)^{k+1} \, \frac{B_{2k}}{(2k)!} \, \frac{B_{2n+2-2k}}{(2n+2-2k)!}\\ -2 \! \sum^{\infin}_{k=1} \frac{k^{\!-2n-1}}{e^{2\pi k}-1}

を得る. (Q.E.D.)

Conclusions.

・計算に二重ゼータを噛ませているので級数の出処がわかりやすい.

・応用が広い(一般の多重ゼータでもできる?)

Conclusions.

・計算に二重ゼータを噛ませているので級数の出処がわかりやすい.

・応用が広い(一般の多重ゼータでもできる?)

∴多重ゼータはやっぱり優秀.

Thank U 4 Ur Attention!

Made with Slides.com