The News From Riemannhypothesis

難しい数列に

出会ったとき―――

しばしば"母関数"は

有用な対抗策となる

では...

"難しい関数の代表例"

ゼータ関数を持ち出してみよう

\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

ゼータ関数の数列

\zeta(2),\zeta(4),\zeta(6),\cdots

\zeta(2),\zeta(4),\zeta(6),\cdots

も当然、難しい数列になることが予想できる

ではこれの母関数、即ち

f(x)=\zeta(2)x^2+\zeta(4)x^4+\zeta(6)x^6+\cdots

f(x)=\zeta(2)x^2+\zeta(4)x^4+\zeta(6)x^6+\cdots

はどれだけ難しい関数になってしまうのだろうか?

選ばれたのは、三角関数でした。

\displaystyle 1-\pi x\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}

\displaystyle 1-\pi x\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}

=2(\zeta(2)x^2+\zeta(4)x^4+\zeta(6)x^6+\cdots)

=2(\zeta(2)x^2+\zeta(4)x^4+\zeta(6)x^6+\cdots)

\underline{\text{定理(Euler,18世紀)}}

\underline{\text{定理(Euler,18世紀)}}

\displaystyle 1-\pi x\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}

\displaystyle 1-\pi x\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}

=2(\zeta(2)x^2+\zeta(4)x^4+\zeta(6)x^6+\cdots)

=2(\zeta(2)x^2+\zeta(4)x^4+\zeta(6)x^6+\cdots)

\underline{\text{定理(Euler,18世紀)}}

\underline{\text{定理(Euler,18世紀)}}

\displaystyle 1-\pi x\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}

\displaystyle 1-\pi x\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}

=2(\zeta(2)x^2+\zeta(4)x^4+\zeta(6)x^6+\cdots)

=2(\zeta(2)x^2+\zeta(4)x^4+\zeta(6)x^6+\cdots)

\underline{\text{Thm.}}

\underline{\text{Thm.}}

いやいや、

ちょっと待て

\displaystyle 1-\pi x\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}

\displaystyle 1-\pi x\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}

=2(\zeta(2)x^2+\zeta(4)x^4+\zeta(6)x^6+\cdots)

=2(\zeta(2)x^2+\zeta(4)x^4+\zeta(6)x^6+\cdots)

\underline{\text{Thm.}}

\underline{\text{Thm.}}

この「2」は

一体何だ?

\underline{\text{Ans.}}

\underline{\text{Ans.}}

「2」はモノイドと群をつなぐ

パスポートである.

～~~適当な~~簡単な復習～

モノイド・・・足し算ができる

～~~適当な~~簡単な復習～

モノイド・・・足し算ができる

(例) 自然数の集合

\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\cdots\}

\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\cdots\}

～~~適当な~~簡単な復習～

群・・・足し算ができてマイナスがある

(例) 整数の集合

\mathbb{Z}=\{\cdots -2,-1,0,1,2,\cdots\}

\mathbb{Z}=\{\cdots -2,-1,0,1,2,\cdots\}

\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

今までのゼータ関数

和が自然数、つまりモノイド

\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

今までのゼータ関数

和が自然数→「モノイドのゼータ」

\displaystyle \zeta_{\mathbb{Z}}(s)=\sum_{0\neq{n}\in\mathbb{Z}}^{} \frac{1}{n^s}

\displaystyle \zeta_{\mathbb{Z}}(s)=\sum_{0\neq{n}\in\mathbb{Z}}^{} \frac{1}{n^s}

新しいゼータ関数

和が整数→「群のゼータ」

\displaystyle 1-\pi x\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}

\displaystyle 1-\pi x\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}

じゃあさっきの三角関数は...

→「群のゼータ」の母関数が三角関数

=\zeta_{\mathbb{Z}}(2)x^2+\zeta_{\mathbb{Z}}(4)x^4+\zeta_{\mathbb{Z}}(6)x^6+\cdots

=\zeta_{\mathbb{Z}}(2)x^2+\zeta_{\mathbb{Z}}(4)x^4+\zeta_{\mathbb{Z}}(6)x^6+\cdots

じゃあ「モノイドゼータの母関数」はなんだ？

\displaystyle -\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}-\frac{1}{x}-\gamma

\displaystyle -\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}-\frac{1}{x}-\gamma

→ガンマ関数がその答え

=\zeta(2)x+\zeta(3)x^2+\zeta(4)x^3+\zeta(5)x^4+\cdots

=\zeta(2)x+\zeta(3)x^2+\zeta(4)x^3+\zeta(5)x^4+\cdots

～要するに～

三角関数から群の、

ガンマ関数からモノイドの

様子がわかる！

ゼータを通じて

\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin{\pi s}}

\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin{\pi s}}

～三角関数とガンマ関数の関係～

\frac{\pi}{\sin{\pi s}}

\frac{\pi}{\sin{\pi s}}

～三角関数とガンマ関数の関係～

→　　　　　　と　　　　　　　　から　　　　が

作れることに対応！

\Gamma(s)

\Gamma(s)

\Gamma(1-s)

\Gamma(1-s)

\{0,1,2,3,\cdots\}

\{0,1,2,3,\cdots\}

\{0,-1,-2,-3,\cdots\}

\{0,-1,-2,-3,\cdots\}

=

=

整数全体

この三角関数たちの美しい関係、

4次元に拡張できるのでは?

1ヶ月考えた結果出てきた定義

\displaystyle \sin_{4-dim}(x)=x\prod_{n\in{\mathbb{N}_4}}^{} \left(1-\frac{x^4}{n^4\varpi^4}\right)

\displaystyle \sin_{4-dim}(x)=x\prod_{n\in{\mathbb{N}_4}}^{} \left(1-\frac{x^4}{n^4\varpi^4}\right)

\displaystyle \Gamma_{4-dim}(x)=\frac{1}{x}e^{-P(x)}\prod_{n\in{\mathbb{N}_4}}^{} \left(\frac{n}{n+x}\right)e^{\frac{x}{n}-\frac{1}{2}\frac{x^2}{n^2}}

\displaystyle \Gamma_{4-dim}(x)=\frac{1}{x}e^{-P(x)}\prod_{n\in{\mathbb{N}_4}}^{} \left(\frac{n}{n+x}\right)e^{\frac{x}{n}-\frac{1}{2}\frac{x^2}{n^2}}

(Pは定数項0の二次多項式)

～見慣れない記号の解説～

・・・「レムニスケート周率」

4次元での円周率にあたる

・・・4次元での自然数

(実部が正で虚部が非負のGauss整数)

\mathbb{N}_4

\mathbb{N}_4

\varpi

\varpi

～この4次元世界でできること～

・サインとガンマによる群とモノイドの対応

～この4次元世界でできること～

・サインとガンマによる群とモノイドの対応

・バーゼル問題の一般化

←New!

～バーゼル問題(復習)～

\displaystyle \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}

\displaystyle \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}

～バーゼル問題(復習)～

\displaystyle \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}

\displaystyle \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}

※Eulerによって一般の　　　が求められている！

\zeta(2n)

\zeta(2n)

～バーゼル問題(復習)～

\displaystyle \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}

\displaystyle \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}

※Eulerによって一般の　　　が求められている！

\zeta(2n)

\zeta(2n)

これはあくまで「2次元」の話

～バーゼル問題(4次元)～

\displaystyle \zeta_{4-dim}(4)=\frac{\varpi^4}{15}

\displaystyle \zeta_{4-dim}(4)=\frac{\varpi^4}{15}

～バーゼル問題(4次元)～

\displaystyle \zeta_{4-dim}(4)=\frac{\varpi^4}{15}

\displaystyle \zeta_{4-dim}(4)=\frac{\varpi^4}{15}

※Hurwitzによって一般の　　　

が求められている！

\zeta_{4-dim}(4n)

\zeta_{4-dim}(4n)

～バーゼル問題(4次元)～

\displaystyle \zeta_{4-dim}(4)=\frac{\varpi^4}{15}

\displaystyle \zeta_{4-dim}(4)=\frac{\varpi^4}{15}

※Hurwitzによって一般の　　　

が求められている！

\zeta_{4-dim}(4n)

\zeta_{4-dim}(4n)

～三角関数(4次元)～

肝心の「群ゼータの母関数」

は一体何者？

\sin_{4-dim}(x)

\sin_{4-dim}(x)

～三角関数(4次元)～

\underline{\text{定理(Weierstrass)}}

\underline{\text{定理(Weierstrass)}}

\sin_{4-dim}^{-2}(x)=\wp(x;\varpi,\varpi i)

\sin_{4-dim}^{-2}(x)=\wp(x;\varpi,\varpi i)

～三角関数(4次元)～

\underline{\text{定理(Weierstrass,19世紀後半)}}

\underline{\text{定理(Weierstrass,19世紀後半)}}

\sin_{4-dim}^{-2}(x)=\wp(x;\varpi,\varpi i)

\sin_{4-dim}^{-2}(x)=\wp(x;\varpi,\varpi i)

4次元三角関数は

楕円関数だった!

～三角関数(4次元)～

しかし...

～三角関数(4次元)～

これを発見したWeierstrassでも

気づかなかったことがあった

～三角関数(4次元)～

\underline{\text{定理(私,2017)}}

\underline{\text{定理(私,2017)}}

\displaystyle -x^{n-1}\prod_{k=1}^n \Gamma_{n-dim}(\zeta_n x)=\frac{\pi_n}{\sin_{n-dim}(\pi_n x)}

\displaystyle -x^{n-1}\prod_{k=1}^n \Gamma_{n-dim}(\zeta_n x)=\frac{\pi_n}{\sin_{n-dim}(\pi_n x)}

～超簡単な解説～

・n次元ガンマ関数及び三角関数におけるreflection formulaの類似

・定義は位数nの円分体の整数環を単数群の作用で割った商空間をn次元自然数に置いた無限積

・高次円定数は積分表示で定義可能と予想される

・　　　は　　　回微分が定数となる多項式

・Barnes(1904)のガンマ関数と類似するがあちらは基本領域ではない, かつStirling保型形式はこちらで無視している

・代数性とLerch's formulaの成立条件は　　を除いて一致

・Kurokawa(1992)に依存しない4次元の場合のみShintani(1980)と私が発見した単数群の位数に一致するとされる特殊値誘導から明示化が示された

・4次元における解析接続はLipshitz formulaの　　上補完から可能

\rho

\rho

P_n

P_n

\phi(n)

\phi(n)

\mathbb{C}

\mathbb{C}

～三角関数(4次元)～

\underline{\text{定理(私,2017)}}

\underline{\text{定理(私,2017)}}

\displaystyle \prod_{k=1}^n \Gamma_{n-dim}(\zeta_n x)=\frac{\pi_n}{\sin_{n-dim}(\pi_n x)}

\displaystyle \prod_{k=1}^n \Gamma_{n-dim}(\zeta_n x)=\frac{\pi_n}{\sin_{n-dim}(\pi_n x)}

[疑問]

　 E.Barnesと黒川信重先生が

似たようなこと示してなかった？

～三角関数(4次元)～

Barnes&黒川先生→「Lerchの公式」が成り立つように拡張

たけのこ赤軍→「群とモノイドの関係」

が成り立つように拡張

※Lerchの公式・・・偏微分によってゼータからガンマを錬成する

魔法のこと

～三角関数(4次元)～

Barnes&黒川先生→「Lerchの公式」が成り立つように拡張

たけのこ赤軍→「群とモノイドの関係」

が成り立つように拡張

※Lerchの公式・・・ゼータからガンマを錬成する魔法のこと

要するに・・・

今までは「解析的」な公式

私のものは「代数的」な公式

～まとめ～

黒川先生は「多重三角関数論」を創始

～まとめ～

黒川先生は「多重三角関数論」を創始

→「リーマン予想の証明の鍵？」と期待

～まとめ～

それに対して...

私の理論は「代数的な」多重三角関数論といえる

～まとめ～

それに対して...

私の理論は「代数的な」多重三角関数論といえる

→黒川先生の理論でリーマン予想が解ければ

「代数的な解法」も見つかるかもしれない!

～おわり～

ご清聴ありがとうございました！