YOU ARE THE

'NO.691' OF MY LIFE

S.RAMANUJAN'S

MODULAR

MODULAR

WAVE NUMBER

FUNDAMENTAL GRP-ZETA!

MY LOVELY ZETA

WEAKLY

KLF

THE TAU

CUSP FORM

YOU ARE THE 'NO.691' OF MY LIFE

MODULAR EQUATION

「この世で一番かっこいい素数」

ってなんだ？

選考基準

 

選考基準

 

・見た目がカッコいい　

(例)1111111111111111111

選考基準

 

・見た目がカッコいい　

(例)1111111111111111111

・カッコいいことができる

(例)29137　　(29137,9137,137,37,7は全て素数)

選考基準

 

・見た目がカッコいい　

(例)1111111111111111111

・カッコいいことができる

(例)29137　　(29137,9137,137,37,7は全て素数)

・カッコいい事実を隠し持ってる

(例)163

e^{\pi\sqrt{163}}
eπ163e^{\pi\sqrt{163}}

はかなり整数に近い

選考基準

 

・見た目がカッコいい　

(例)1111111111111111111

・カッコいいことができる

(例)29137　　(29137,9137,137,37,7は全て素数)

・カッコいい事実を隠し持ってる

(例)163

e^{\pi\sqrt{163}}
eπ163e^{\pi\sqrt{163}}

はかなり整数に近い

(小数点以下に9が12個も並ぶ!)

選考基準

 

・見た目がカッコいい　

(例)1111111111111111111

・カッコいいことができる

(例)29137　　(29137,9137,137,37,7は全て素数)

・カッコいい事実を隠し持ってる

(例)163

e^{\pi\sqrt{163}}
eπ163e^{\pi\sqrt{163}}

はかなり整数に近い

(小数点以下に9が12個も並ぶ!)

いや

ちょっと待てよ？

選考基準

 

・見た目がカッコいい　

(例)1111111111111111111

・カッコいいことができる

(例)29137　　(29137,9137,137,37,7は全て素数)

・カッコいい事実を隠し持ってる

(例)163

e^{\pi\sqrt{163}}
eπ163e^{\pi\sqrt{163}}

はかなり整数に近い

(小数点以下に9が12個も並ぶ!)

「1がいっぱい並ぶ」も

選考基準

 

・見た目がカッコいい　

(例)1111111111111111111

・カッコいいことができる

(例)29137　　(29137,9137,137,37,7は全て素数)

・カッコいい事実を隠し持ってる

(例)163

e^{\pi\sqrt{163}}
eπ163e^{\pi\sqrt{163}}

はかなり整数に近い

(小数点以下に9が12個も並ぶ!)

「1がいっぱい並ぶ」も

「左からカットして

全部素数」も

選考基準

 

・見た目がカッコいい　

(例)1111111111111111111

・カッコいいことができる

(例)29137　　(29137,9137,137,37,7は全て素数)

・カッコいい事実を隠し持ってる

(例)163

e^{\pi\sqrt{163}}
eπ163e^{\pi\sqrt{163}}

はかなり整数に近い

(小数点以下に9が12個も並ぶ!)

「1がいっぱい並ぶ」も

「左からカットして

全部素数」も

それが成り立つのは

10進法だけ！

選考基準

 

・カッコいい事実を隠し持ってる

(例)163

e^{\pi\sqrt{163}}
eπ163e^{\pi\sqrt{163}}

はかなり整数に近い

(小数点以下に9が12個も並ぶ!)

じゃあコレ↓を一番に考えよう

選考結果

 

選考結果

 

選考結果

 

選考結果

 

なんで？

その訳を話そう

ことの発端は

私がコイツに出会ったことだった

d(q)=q(1-q)^{24}(1-q^2)^{24}(1-q^3)^{24}\cdots
d(q)=q(1−q)24(1−q2)24(1−q3)24⋯d(q)=q(1-q)^{24}(1-q^2)^{24}(1-q^3)^{24}\cdots

やたら胡散臭いけど

無限積だし展開してみるか...

d(q)=q(1-q)^{24}(1-q^2)^{24}(1-q^3)^{24}\cdots
d(q)=q(1−q)24(1−q2)24(1−q3)24⋯d(q)=q(1-q)^{24}(1-q^2)^{24}(1-q^3)^{24}\cdots
=q-24q^2+252q^3-1472q^4
=q−24q2+252q3−1472q4=q-24q^2+252q^3-1472q^4
+4830q^5-6048q^6-16744q^7\cdots
+4830q5−6048q6−16744q7⋯+4830q^5-6048q^6-16744q^7\cdots
f(x)=x(1-x)^{24}(1-x^2)^{24}(1-x^3)^{24}\cdots
f(x)=x(1−x)24(1−x2)24(1−x3)24⋯f(x)=x(1-x)^{24}(1-x^2)^{24}(1-x^3)^{24}\cdots
=x-24x^2+252x^3-1472x^4
=x−24x2+252x3−1472x4=x-24x^2+252x^3-1472x^4
+4830x^5-6048x^6-16744x^7\cdots
+4830x5−6048x6−16744x7⋯+4830x^5-6048x^6-16744x^7\cdots
\tau(n)
τ(n)\tau(n)

とりあえず　　　の係数を

とおいてみよう

x^n
xnx^n
\underline{\text{Thm.}}\text{(Ramanujan)}
Thm.‾(Ramanujan)\underline{\text{Thm.}}\text{(Ramanujan)}
For\,all\,prime\,numbers
ForallprimenumbersFor\,all\,prime\,numbers
\tau(p)\equiv{1+p^{11}}\,(mod\,691)
τ(p)≡1+p11(mod691)\tau(p)\equiv{1+p^{11}}\,(mod\,691)
p,
p,p,
\underline{\text{Thm.}}\text{(Ramanujan)}
Thm.‾(Ramanujan)\underline{\text{Thm.}}\text{(Ramanujan)}
For\,all\,prime\,numbers
ForallprimenumbersFor\,all\,prime\,numbers
\tau(p)\equiv{1+p^{11}}\,(mod\,691)
τ(p)≡1+p11(mod691)\tau(p)\equiv{1+p^{11}}\,(mod\,691)
p,
p,p,

任意の素数　 に対し

  　　　　　   は　

\tau(p)-p^{11}-1
τ(p)−p11−1\tau(p)-p^{11}-1

　　　の倍数

691
691691
p
pp
\underline{\text{Thm.}}\text{(Ramanujan)}
Thm.‾(Ramanujan)\underline{\text{Thm.}}\text{(Ramanujan)}
For\,all\,prime\,numbers
ForallprimenumbersFor\,all\,prime\,numbers
\tau(p)\equiv{1+p^{11}}\,(mod\,691)
τ(p)≡1+p11(mod691)\tau(p)\equiv{1+p^{11}}\,(mod\,691)
p,
p,p,

任意の素数　 に対し

  　　　　　   は　

\tau(p)-p^{11}-1
τ(p)−p11−1\tau(p)-p^{11}-1

　　　の倍数

p
pp
691
691691

やばい

\tau(p)\equiv{1+p^{11}}\,(mod\,691)
τ(p)≡1+p11(mod691)\tau(p)\equiv{1+p^{11}}\,(mod\,691)

で、なんでこうなるの？

その前に一つ

定義の確認

\underline{\text{Def.1}}
Def.1‾\underline{\text{Def.1}}
\mathrm{Im}(z)>0\text{と無限遠点において正則であり, かつ}
Im(z)>0と無限遠点において正則であり, かつ\mathrm{Im}(z)>0\text{と無限遠点において正則であり, かつ}
\displaystyle f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d)^kf(z)
f(az+bcz+d)=(cz+d)kf(z)\displaystyle f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d)^kf(z)

ある整数　　が存在して

k
kk
ad-bc=1
ad−bc=1ad-bc=1

なる任意の

a,b,c,d\in\mathbb{Z}
a,b,c,d∈Za,b,c,d\in\mathbb{Z}

が

で成り立つとき

を

f(z)
f(z)f(z)

重さ　　の保型形式

という.

k
kk

ほけいけいしき

\underline{\text{Def.1}}
Def.1‾\underline{\text{Def.1}}
\mathrm{Im}(z)>0\text{と無限遠点において正則であり, かつ}
Im(z)>0と無限遠点において正則であり, かつ\mathrm{Im}(z)>0\text{と無限遠点において正則であり, かつ}
\displaystyle f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d)^kf(z)
f(az+bcz+d)=(cz+d)kf(z)\displaystyle f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d)^kf(z)

ある整数　　が存在して

k
kk
ad-bc=1
ad−bc=1ad-bc=1

なる任意の

a,b,c,d\in\mathbb{Z}
a,b,c,d∈Za,b,c,d\in\mathbb{Z}

が

で成り立つとき

を

f(z)
f(z)f(z)

重さ　　の保型形式

という.

k
kk

ココが重要!

\underline{\text{Thm.}}
Thm.‾\underline{\text{Thm.}}

同じ重さの保型形式どうしの商は定数.

\underline{\text{Def.}}
Def.‾\underline{\text{Def.}}
\underline{\text{Def.}}
Def.‾\underline{\text{Def.}}

で定める. これは重さ　　の保型形式.

重さ　　の正規化Eisenstein級数

k
kk

を

アイゼンシュタイン

\displaystyle E_k(z)=1-\frac{2k}{B_k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{k-1}(n)q^{n}
Ek(z)=1−2kBk∑n=1∞σk−1(n)qn\displaystyle E_k(z)=1-\frac{2k}{B_k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{k-1}(n)q^{n}
k
kk
\underline{\text{Def.}}
Def.‾\underline{\text{Def.}}

で定める. これは重さ　　の保型形式.

重さ　　の正規化Eisenstein級数

k
kk

を

アイゼンシュタイン

\displaystyle E_k(z)=1-\frac{2k}{B_k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{k-1}(n)q^{n}
Ek(z)=1−2kBk∑n=1∞σk−1(n)qn\displaystyle E_k(z)=1-\frac{2k}{B_k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{k-1}(n)q^{n}

ただし, 　　はBernoulli数

　　　　　　　　　　　 は　　の約数の　　　乗和

 

B_k
BkB_k
\sigma_{k-1}(n)
σk−1(n)\sigma_{k-1}(n)
n
nn
k-1
k−1k-1
q=e^{2\pi iz}
q=e2πizq=e^{2\pi iz}
k
kk
\underline{\text{Def.}}
Def.‾\underline{\text{Def.}}

で定める.

重さ　　の正規化Eisenstein級数

k
kk

を

アイゼンシュタイン

\displaystyle E_k(z)=1-\frac{2k}{B_k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{k-1}(n)q^{n}
Ek(z)=1−2kBk∑n=1∞σk−1(n)qn\displaystyle E_k(z)=1-\frac{2k}{B_k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{k-1}(n)q^{n}

ただし, 　　はBernoulli数

　　　　　　　　　　　 は　　の約数の　　　乗和

 

B_k
BkB_k
\sigma_{k-1}(n)
σk−1(n)\sigma_{k-1}(n)
n
nn
k-1
k−1k-1
q=e^{2\pi iz}
q=e2πizq=e^{2\pi iz}

今回使うのは

　　　　　　だけ

k=6,12
k=6,12k=6,12

こんなかんじ

\displaystyle E_6(z)=1-504\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{5}(n)q^{n}
E6(z)=1−504∑n=1∞σ5(n)qn\displaystyle E_6(z)=1-504\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{5}(n)q^{n}
\displaystyle E_{12}(z)=1+\frac{65520}{691}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{11}(n)q^{n}
E12(z)=1+65520691∑n=1∞σ11(n)qn\displaystyle E_{12}(z)=1+\frac{65520}{691}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{11}(n)q^{n}

こんなかんじ

\displaystyle E_6(z)=1-504\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{5}(n)q^{n}
E6(z)=1−504∑n=1∞σ5(n)qn\displaystyle E_6(z)=1-504\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{5}(n)q^{n}
\displaystyle E_{12}(z)=1+\frac{65520}{}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{11}(n)q^{n}
E12(z)=1+65520∑n=1∞σ11(n)qn\displaystyle E_{12}(z)=1+\frac{65520}{}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{11}(n)q^{n}
691
691691

こんなかんじ

\displaystyle E_6(z)=1-504\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{5}(n)q^{n}
E6(z)=1−504∑n=1∞σ5(n)qn\displaystyle E_6(z)=1-504\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{5}(n)q^{n}
\displaystyle E_{12}(z)=1+\frac{65520}{}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{11}(n)q^{n}
E12(z)=1+65520∑n=1∞σ11(n)qn\displaystyle E_{12}(z)=1+\frac{65520}{}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{11}(n)q^{n}
691
691691

難しいことは考えず

　　の冪級数として展開しよう

q
qq

やってみた

やってみた

E_6(z)=1-504q+\cdots
E6(z)=1−504q+⋯E_6(z)=1-504q+\cdots
\displaystyle E_{12}(z)=1+\frac{65520}{691}q+\cdots
E12(z)=1+65520691q+⋯\displaystyle E_{12}(z)=1+\frac{65520}{691}q+\cdots

ついでに上だけ二乗

E_6(z)^2=1-1008q+\cdots
E6(z)2=1−1008q+⋯E_6(z)^2=1-1008q+\cdots
\displaystyle E_{12}(z)=1+\frac{65520}{691}q+\cdots
E12(z)=1+65520691q+⋯\displaystyle E_{12}(z)=1+\frac{65520}{691}q+\cdots

ここで

ちょっと趣向を変えて

\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
f(z)=E12(z)−E6(z)2Δ(z)\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}

というものを考えよう

\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
f(z)=E12(z)−E6(z)2Δ(z)\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}

というものを考えよう

ここで, 　　はさっき考えた無限積

で　　　　　とした関数

\Delta(z)
Δ(z)\Delta(z)
d(q)
d(q)d(q)
q=e^{2\pi iz}
q=e2πizq=e^{2\pi iz}
\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
f(z)=E12(z)−E6(z)2Δ(z)\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}

というものを考えよう

ここで, 　　はさっき考えた無限積

で　　　　　とした関数

\Delta(z)
Δ(z)\Delta(z)
d(q)
d(q)d(q)
q=e^{2\pi iz}
q=e2πizq=e^{2\pi iz}

分子も分母も　　の冪級数!

q
qq

じゃあ展開してみよう

\displaystyle \frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
E12(z)−E6(z)2Δ(z)\displaystyle \frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
\displaystyle=\frac{(1+\frac{65520}{691}q+\cdots)-(1-1008q+\cdots)}{d(q)}
=(1+65520691q+⋯)−(1−1008q+⋯)d(q)\displaystyle=\frac{(1+\frac{65520}{691}q+\cdots)-(1-1008q+\cdots)}{d(q)}
\displaystyle=\frac{(\frac{65520}{691}+1008)q+\cdots}{q-24q^2\cdots}
=(65520691+1008)q+⋯q−24q2⋯\displaystyle=\frac{(\frac{65520}{691}+1008)q+\cdots}{q-24q^2\cdots}
\displaystyle \frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
E12(z)−E6(z)2Δ(z)\displaystyle \frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
\displaystyle=\frac{(\frac{65520}{691}+1008)+\cdots}{1-24q\cdots}
=(65520691+1008)+⋯1−24q⋯\displaystyle=\frac{(\frac{65520}{691}+1008)+\cdots}{1-24q\cdots}
\displaystyle \frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
E12(z)−E6(z)2Δ(z)\displaystyle \frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
\displaystyle=\frac{(\frac{65520}{691}+1008)+\cdots}{1-24q\cdots}
=(65520691+1008)+⋯1−24q⋯\displaystyle=\frac{(\frac{65520}{691}+1008)+\cdots}{1-24q\cdots}

ここで　　　　としてみる

q\rightarrow{0}
q→0q\rightarrow{0}
\displaystyle \frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
E12(z)−E6(z)2Δ(z)\displaystyle \frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
\displaystyle=\frac{65520}{691}+1008
=65520691+1008\displaystyle=\frac{65520}{691}+1008

ここで　　　　としてみる

q\rightarrow{0}
q→0q\rightarrow{0}
\lim_{z\rightarrow{i\infty}}
limz→i∞\lim_{z\rightarrow{i\infty}}
\displaystyle \frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
E12(z)−E6(z)2Δ(z)\displaystyle \frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
\displaystyle=\frac{65520}{691}+1008
=65520691+1008\displaystyle=\frac{65520}{691}+1008

左辺が定数関数なら嬉しい!

\lim_{z\rightarrow{i\infty}}
limz→i∞\lim_{z\rightarrow{i\infty}}
\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
f(z)=E12(z)−E6(z)2Δ(z)\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
E_{12}(z)
E12(z)E_{12}(z)
E_6(z)^2
E6(z)2E_6(z)^2
\Delta(z)
Δ(z)\Delta(z)

・・・重さ12の保型形式

・・・重さ12の保型形式

・・・重さ12の保型形式

\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
f(z)=E12(z)−E6(z)2Δ(z)\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}

・・・重さ12の保型形式

・・・重さ12の保型形式

分子

分母

\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
f(z)=E12(z)−E6(z)2Δ(z)\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}

・・・重さ12の保型形式

・・・重さ12の保型形式

分子

分母

よって　　は定数!

f(z)
f(z)f(z)
\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
f(z)=E12(z)−E6(z)2Δ(z)\displaystyle f(z)=\frac{E_{12}(z)-E_6(z)^2}{\Delta(z)}
\displaystyle=\frac{65520}{691}+1008
=65520691+1008\displaystyle=\frac{65520}{691}+1008

なので結局

691(E_{12}(z)-E_6(z)^2)
691(E12(z)−E6(z)2)691(E_{12}(z)-E_6(z)^2)

ちょっと変形

=(65520+691\times{1008})\Delta(z)
=(65520+691×1008)Δ(z)=(65520+691\times{1008})\Delta(z)
691(E_{12}(z)-E_6(z)^2)
691(E12(z)−E6(z)2)691(E_{12}(z)-E_6(z)^2)

ちょっと変形

=(65520+691\times{1008})\Delta(z)
=(65520+691×1008)Δ(z)=(65520+691\times{1008})\Delta(z)

もちろん両辺　　の冪級数なので

係数比較できる!

q
qq
65520\sigma_{11}(n)+691\times{504}\sigma_{5}(n)
65520σ11(n)+691×504σ5(n)65520\sigma_{11}(n)+691\times{504}\sigma_{5}(n)

やってみた

=(65520+691\times{1008})\tau(n)
=(65520+691×1008)τ(n)=(65520+691\times{1008})\tau(n)
65520\sigma_{11}(n)+691\times{504}\sigma_{5}(n)
65520σ11(n)+691×504σ5(n)65520\sigma_{11}(n)+691\times{504}\sigma_{5}(n)

やってみた

=(65520+691\times{1008})\tau(n)
=(65520+691×1008)τ(n)=(65520+691\times{1008})\tau(n)

両辺　　　　　で考える

\mathrm{mod}\,691
mod691\mathrm{mod}\,691

やってみた

\tau(n)\equiv\sigma_{11}(n)\,(\mathrm{mod}\,691)
τ(n)≡σ11(n)(mod691)\tau(n)\equiv\sigma_{11}(n)\,(\mathrm{mod}\,691)

やってみた

\tau(n)\equiv\sigma_{11}(n)\,(\mathrm{mod}\,691)
τ(n)≡σ11(n)(mod691)\tau(n)\equiv\sigma_{11}(n)\,(\mathrm{mod}\,691)

なので

もちろん素数　　に対して

\sigma_{11}(p)=1+p^{11}
σ11(p)=1+p11\sigma_{11}(p)=1+p^{11}
p
pp

やってみた

\tau(n)\equiv\sigma_{11}(n)\,(\mathrm{mod}\,691)
τ(n)≡σ11(n)(mod691)\tau(n)\equiv\sigma_{11}(n)\,(\mathrm{mod}\,691)

なので

もちろん素数　　に対して

\sigma_{11}(p)=1+p^{11}
σ11(p)=1+p11\sigma_{11}(p)=1+p^{11}
p
pp
\tau(p)\equiv 1+p^{11}\,(\mathrm{mod}\,691)
τ(p)≡1+p11(mod691)\tau(p)\equiv 1+p^{11}\,(\mathrm{mod}\,691)
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