Introduction

-- 課程簡介 --

Review

-- 你記得多少 --

懶人約定

假設沒特別說明，「數字」皆是指整數(int)
沒訂定明確下界的數(如 $N\leq10^6$ )，皆是指正整數
電腦一秒鐘約可以跑 $5\times10^8$ 個基本運算
區域變數約可以宣告 $2\times10^6$ bytes，全域變數則是 $4.9\times10^8$ bytes左右，題目通常限制是 $2\times10^8$ bytes
範例code不一定100%正確，WA了歡迎指正
TIOJ、ZeroJudge、Codeforces、Kattis、~~UXa~~、~~PTJ~~

河內塔

你現在有三根柱子跟 $R$ 個大小不一的圓環，一開始所有圓環都套在第一根柱子上，且較小的圓環在上，疊成一個塔。現在你要將所有圓環都移動到第三根柱子，每次你可以從任意柱子的最上方拿取一個圓環放到任意的另一根柱子上，但是在過程中大圓環不能疊在小圓環上，你有辦法將這個過程輸出嗎？

Thanos Sort

https://codeforces.com/contest/1145/problem/A

給一個長度 $2^N$ 的數列，現在你可以對這個序列使用兩種操作：(1)將左邊 $2^{N-1}$ 個數字拿掉；(2)將右邊 $2^{N-1}$ 個數字拿掉，每次操作結束之後數列長度都會變成一半。你可以使用這兩種操作任意多次，而使得序列變成一個遞增序列。請問這個遞增序列的長度最長是多少？ $(N \leq 16)$

鬼鬼鬼鬼鬼腳圖的拉

有人請你構造一個鬼腳圖出來，而他會給你一些要求，例如從左數來的第一個點要走到從左數來的第三個點、左數來的第四個點要走到從左數來的第二個點...

你的任務是輸出他給定的限制最少要幾個橫槓才能完成，讓他可以挑一個最客家的方式拿到他想要的鬼腳圖。

最多有 $5\times 10^5$ 個點

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/2146

第K大連續和

給你一個數列 $S$ ，一個該數列的連續和(Continuous Sum,以下簡稱CS)是指 $S$ 當中的某些連續項之總和。

很容易算得出來，一個總長度為項的數列 $S$ ，其連續和(CS)共有 $\frac{n(n+1)}{2}$ 個。注意，問題來囉！

請問，這 $\frac{n(n+1)}{2}$ 個連續和(CS)之中，第 $k$ 大的是多少？

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1208

最長遞增子序列

-- 就是LIS啦 --

這裡有 $N$ 個人排成一列，每個人的身高都不一樣，我們假設第 $i$ 個人的身高是 $h_i$ 。現在你要在這列人中挑選一些人出來，而且你想要這些人之中越右邊的人身高要越高才行。在這樣的條件下，你最多可以挑選出多少人呢？ $(N\leq2000, h_i\leq10^9)$

你可以滾了

換一種狀態：

dp[i][j] - 前 $i$ 個數字中所有長度為 $j+1$ 的遞增子序列最右邊數字的最小值

列出轉移式：

dp[i][j] ← $\min\limits_{j = 0 或 dp[i-1][j-1]<a[i]}$ {dp[i-1][j], a[i]}

明顯看到 i 這個維度可以重複利用，把它拔掉

dp[j] ← $\min\limits_{j = 0 或 dp[j-1]<a[i]}$ {dp[j], a[i]}

一些發現

換一種狀態：

dp[j] - 前 $i$ 個數字中所有長度為 $j+1$ 的遞增子序列最右邊數字的最小值

列出轉移式：

dp[j] ← $\min\limits_{j = 0 或 dp[j-1]<a[i]}$ {dp[j], a[i]}

1. 不管 i 是多少，dp[j] 隨著 j 增加而增加

2. 對於每個 i，轉移時用到 a[i] 的 j 只有一個，其餘都是從 dp[j] 轉移來

最長遞增子序列

-- 類題：印出LIS --

這裡有 $N$ 個人排成一列，每個人的身高與能力都不一樣，我們假設第 $i$ 個人的身高是 $h_i$ 。現在你要在這列人中挑選一些人出來，而且你想要這些人之中越右邊的人身高要越高才行。在這樣的條件下，你需要挑選出哪些人呢？ $(N\leq2000, h_i\leq10^9, a_i\leq10^9)$

最長遞增子序列

-- 類題：帶權LIS --

這裡有 $N$ 個人排成一列，每個人的身高與能力都不一樣，我們假設第 $i$ 個人的身高是 $h_i$ 、能力是 $a_i$ 。現在你要在這列人中挑選一些人出來，而且你想要這些人之中越右邊的人身高要越高才行。在這樣的條件下，你挑選出的這些人能力總和最大是多少呢？ $(N\leq2000, h_i\leq10^9, a_i\leq10^9)$

Basketball Exercise

教練想要挑幾個人組隊打籃球，他希望挑到的人身高總和越大越好。現在所有選手兩個兩個並排成兩排，每一排都是 $N$ 個人。教練不喜歡選到連續的人，所以只要有一個人被選到，他的前後或旁邊的人都不能再選。現在輸入每個人的身高，求教練能選到的最大身高總和。 $(N \leq 10^5)$

https://codeforces.com/contest/1195/problem/C

貪婪之糊

https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d652

給一個 $N$ 個數字的序列，你每次可以選擇一個不是最左邊或最右邊的數字 $a_i$ 把它消除，不過這樣需要花費 $a_{i-1}\times a_i \times a_{i+1}$ 的代價，直到序列只剩下左右兩個數字為止。求操作完成後的最小花費。 $(N \leq 50)$

Fire

https://codeforces.com/contest/864/problem/E

火場裡有 $N$ 個人 $(N \leq 100)$ ，每個人因為被困在不同地方所以有不同救援難度，假設拯救第 $i$ 個人所需的時間是 $t_i$ 。因為火勢的蔓延，第 $i$ 個人要趕在時間點 $d_i$ 以前被救出來。由於救援隊私心的緣故，他們偷偷將每個人賦予權重 $p_i$ ，並且希望被拯救的那些人權重和越大越好。你能知道哪些人終會得救嗎？ $(t_i \leq 20, d_i \leq 2000, p_i\leq 20)$

搜集寶藏 (Treasure)

有兩個人在 $N\times M$ 的格子裡找寶藏，每個格子可能是寶藏、障礙物或空地。兩個人都由左上角進，右下角出，且每次只能往右或往下。若兩人可以分開行動，且一個寶藏只能拿一次，問兩人總共最多可以拿到多少寶藏。 $(N, M \leq 100)$

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/2173

撿石子遊戲

有三個人(P, E, C)走在一條筆直的路徑上，路徑上依序有 $N$ 顆石塊排成一排 $(N \leq 2\times 10^6)$ ，且每一顆都只能被特定其中一個人撿起。之後P、E、C會各選一個區間將區間內所有可以被他撿起的石塊都拿起來。他們所選定的區間兩兩交集必須要是空的。

說石持那十塊，P、E、C三個人已經走完這條路並且撿好石塊了。請計算他們三人所持有的石塊個數總和最大是多少。

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1924

Beautiful Array

給一個 $N$ 個整數的序列以及一個整數 $X$ $(N\leq 3\times 10^5, |X| \leq 100)$ ，現在你有一次機會可以將某段區間(可以為空)的所有數字乘上 $X$ ，乘完之後你可以再選擇一個區間(可以為空)，這個區間的總和就是序列的美妙程度。求美妙程度最大可能值。

https://codeforces.com/contest/1155/problem/D

矩陣冪DP

-- 費氏數列 --

a_n = a_{n-1} + a_{n-2}

a_n = a_{n-1} + a_{n-2}

\begin{bmatrix} a_n \\ a_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{n-1} \\ a_{n-2} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a_n \\ a_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{n-1} \\ a_{n-2} \end{bmatrix}

塞到矩陣裡

變成矩陣冪了

a_n = a_{n-1} + a_{n-2}

a_n = a_{n-1} + a_{n-2}

\begin{bmatrix} a_n \\ a_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{n-1} \\ a_{n-2} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a_n \\ a_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{n-1} \\ a_{n-2} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a_n \\ a_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-1} \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{0} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a_n \\ a_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-1} \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{0} \end{bmatrix}

打地鼠

地鼠基地是一個長型的基座，基座上每隔一公尺就會有一個地鼠洞。玩家站在這個基地的最左邊，與第一個地鼠洞相距一公尺。

已知由左而右編號為 $i$ 的地鼠洞每 $T_i$ 秒地鼠會出現一次，且玩家移動一公尺需要一秒鐘。若被打中的地鼠便不再出現，求將所有地鼠打完所需的最少秒數。

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1014

提示：洞不多，最多16個

索拉數列

如果說一個數列s符合
$s_0=a$
$s_1=b$
$s_n=xa_{n-2}+ya_{n-1} (2\leq n)$
那我們就稱這個數列為索拉數列(sola sequence)

求索拉數列第 $n$ 項

其中 $n$ 不會大於 $1,000,000,000$
而 $a, b, x, y$ 則會小於 $2^{32}$

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1331

	#include <bits/stdc++.h>
	#define int long long
	using namespace std;

	int power(int a, int b, int m){
	if(!b) return 1;
	int x = power(a, b>>1, m);
	if(b&1) return ((xx)%m a)%m;
	else return (x*x)%m;
	}

	int main(){
	int a, b, m;
	cin >> a >> b >> m;
	cout << power(a%m, b, m) << endl;
	}

	#include <bits/stdc++.h>
	#define int long long
	using namespace std;

	int power(int a, int b, int m, int ans = 1) {
	while(b) {
	if(b & 1) ans *= a, ans %= m;
	a *= a, a %= m, p >>= 1;
	}
	return ans;
	}

	int main() {
	int a, b, m;
	cin >> a >> b >> m;
	cout << power(a%m, b, m) << endl;
	}

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;

	void move(int r, int from, int to){
	if(r == 1){
	cout << from << ' ' << to << endl;
	return;
	}
	int relay = 6 - from - to;
	move(r - 1, from, relay);
	move(1, from, to);
	move(r - 1, relay, to);
	}

	int main(){
	int n;
	cin >> n;
	move(n, 1, 3);
	}

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;

	int a[500010], temp[500010];
	void merge_sort(int, int);

	int main(){
	int n;
	cin >> n;
	for(int i=0; i<n; i++) cin >> a[i];
	merge_sort(0, n);
	for(int i=0; i<n; i++) cout << a[i] << ' ';
	cout << endl;
	}

	void merge_sort(int l, int r){
	if(l+1 == r) return;
	int mid = l + r >> 1;
	merge_sort(l, mid), merge_sort(mid, r);
	int lptr = l, rptr = mid, ptr = l;
	while(lptr < mid \|\| rptr < r){
	if(lptr != mid && (rptr == r \|\| a[lptr] < a[rptr]))
	temp[ptr++] = a[lptr++];
	else temp[ptr++] = a[rptr++];
	}
	for(int i=l; i<r; i++) a[i] = temp[i];
	}

	// sorting an array with ascending order
	sort(arr, arr+n);

	// sorting an array with custom comparison
	sort(arr, arr+n, cmp);

	// sorting a vector with ascending order
	sort(vec.begin(), vec.end());

	// sorting a vector with custom comparison
	sort(vec.begin(), vec.end());

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;

	int fib(int n){
	if(n <= 1) return n;
	return fib(n-1) + fib(n-2);
	}

	int main(){
	int n;
	cin >> n;
	cout << fib(n) << endl;
	}

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;

	int FIB[51];

	int fib(int n){
	if(n <= 1) return n;
	if(FIB[n]) return FIB[n];
	return FIB[n] = fib(n-1) + fib(n-2);
	}

	int main(){
	int n;
	cin >> n;
	cout << fib(n) << endl;
	}

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;

	int a[10000010], dp[10000010];

	int main(){
	int n;
	cin >> n;
	for(int i=0; i<n; i++) cin >> a[i];
	for(int i=0; i<n; i++)
	dp[i] = max(0, dp[i-1] + a[i]);
	cout << *max_element(dp, dp+n) << endl;
	}

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;

	int a[10010], dp[10010];

	int main(){
	int n, p;
	cin >> n >> p;
	dp[0] = 1;
	for(int i=1; i<=n; i++) cin >> a[i];
	for(int i=1; i<=n; i++)
	for(int j=p; j>=0; j--)
	if(j-a[i] >= 0)
	dp[j] = max(dp[j], dp[j-a[i]]);
	cout << dp[p] << endl;
	}

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;

	int dp[2010], h[2010];

	int main(){
	int n;
	cin >> n;
	for(int i=0; i<n; i++) cin >> h[i];
	for(int i=0; i<n; i++){
	for(int j=0; j<i; j++)
	if(h[j] < h[i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j]);
	dp[i]++;
	}
	cout << *max_element(dp, dp+n) << endl;
	}

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespce std;

	int a[100010], dp[100010];

	int main(){
	int n;
	cin >> n;
	for(int i=0; i<n; i++) cin >> a[i];
	fill(dp, dp+n, 1e9);
	for(int i=0; i<n; i++)
	*lower_bound(dp, dp+n, a[i]) = a[i];
	cout << lower_bound(dp, dp+n, 1e9) - dp << endl;
	}

	int sub = sup;
	do {
	// 枚舉sup的所有子集
	sub = (sub - 1) & sup;
	} while(sub != sup);

	int tmp = (1 << k) - 1;
	while(tmp < (1 << n)) {
	// 枚舉大小為k的集合
	int x = tmp & -tmp, y = tmp + x;
	tmp = ((tmp & ~y) / x >> 1) \| y;
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;

	int dp[1 << 16][16];

	signed main() {
	for(int S=0;S<(1<<n);S++) fill(dp[S], dp[S] + n, -1e18);
	dp[(1 << n) - 1][0] = 0; // 目標
	for(int S=(1<<n)-1-1;S>=0;S--) {
	for(int v=0;v<n;v++) for(int u=0;u<n;u++) {
	if(!(S >> u & 1)) {
	dp[S][v] = min(dp[S][v], dp[S \| 1 << u][u] + d[v][u]);
	}
	}
	}
	cout << dp[0][0] << endl;
	}

	for(int i=0;i<(1<<n);i++) {
	// 枚舉所有集合
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;

	int dp[16][1 << 16], ans;

	signed main() {
	for(int msk=0;msk<(1 << n);msk++) dp[0][msk] = 1;
	for(int i=1;i<n;i++) {
	for(int msk=0;msk<(1 << n);msk++) {
	for(int pre=0;pre<(1 << n);pre++) {
	if(valid(msk, pre)) dp[i][msk] += dp[i-1][pre];
	}
	}
	}
	for(int msk=0;msk<(1 << n);msk++) ans += dp[n-1][msk];
	cout << ans << endl;
	}

9/18 DQ & DP

-- 程式競賽基礎篇 --