Path Finding Algorithm

Graph theory (圖論)

離散數學

Topology (拓撲學)

Set theory (集合論)

Mathematical logic

(數理邏輯)

...

Graph theory (圖論)

無向圖

有向圖

頂點: 事物

線: 事物間的關係

Graph theory (圖論)

柯尼斯堡七橋問題

A

B

C

D

A

B

C

D

在所有橋都只能走一遍的前提下，如何才能把這個地方所有的橋都走遍？

Graph theory (圖論)

A

B

C

D

在所有橋都只能走一遍的前提下，如何才能把這個地方所有的橋都走遍？

Ans: 不可能（一筆畫問題，萊昂哈德·歐拉在1736年提出）

對於一個給定的連通圖，如果存在超過兩個（不包括兩個）奇頂點，那麼滿足要求的路線便不存在了

Dijkstra Algorithm

荷蘭科學家艾茲赫爾·戴克斯特拉在1956年發現的演算法
用於找到兩個頂點之間的最短路徑
該演算法後來衍生出許多變體（後面會提到）
大多應用在尋路、交通上
無法處理負權邊

a

b

c

d

e

f

7

9

14

10

2

9

11

15

6

A

B

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a

a

b

c

d

e

f

7

9

14

10

2

9

11

15

6

A

B

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞

a

b

c

d

e

f

7

9

14

10

2

9

11

15

6

A

B

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b

a

b

c

d

e

f

7

9

14

10

2

9

11

15

6

A

B

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22

7+10<9?

a

b

c

d

e

f

7

9

14

10

2

9

11

15

6

A

B

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c

a

b

c

d

e

f

7

9

14

10

2

9

11

15

6

A

B

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20

9+2<14 ?

9+11<22 ?

a

b

c

d

e

f

7

9

14

10

2

9

11

15

6

A

B

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20	d

a

b

c

d

e

f

7

9

14

10

2

9

11

15

6

A

B

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20	d
0	7	9	11	20	20

a

b

c

d

e

f

7

9

14

10

2

9

11

15

6

A

B

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20	d
0	7	9	11	20	20

Ended ?

Yes! Because

20(4) < 20(5)

a

b

c

d

e

f

7

9

14

10

2

9

11

15

-2

A

B

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20	d
0	7	9	11	20	20

If f -> e is negative weight, then the result will be incorrect

Bellman-Ford algorithm
- 可處理負權邊
- 可偵測負權環 (第n次後仍可降低cost，則中止)
Floyd-Warshall algorithm
- 可處理負權邊，但不能有負權環
A* search algorithm
- Dijkstra 改良版，多了評估函式
- 常應用於遊戲上（自動尋路）

Negative cycle

a

b

c

d

-1

1

-1

A* search algorithm

a

b

c

d

e

f

7

9

14

10

2

9

11

15

6

A

B

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a

f(n) = g(n) + h(n)

g(n)

h(n)

起點到頂點 n 的實際距離

頂點 n 到終點的估算距離

常見評估方式：歐幾里得距離、曼哈頓距離、切比雪夫距離

20

13

25

9

4

A* search algorithm

a

b

c

d

e

f

7

9

14

10

2

9

11

15

6

A

B

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞

20

13

25

9

4

a	b	c	d	e	f
∞	∞	∞	∞	∞	∞
20	32	18	27	∞	∞

f(n)

g(n)

...

更多細節可看影片教學

A* (A Star) Search Algorithm

Dijkstra

A star

由 Subh83 - 自己的作品, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=14916903

由 Subh83 - 自己的作品, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=14916867

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20	d
0	7	9	11	20	20

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20	d
0	7	9	11	20	20

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20	d
0	7	9	11	20	20

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20	d
0	7	9	11	20	20

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20	d
0	7	9	11	20	20

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20	d
0	7	9	11	20	20

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20	d
0	7	9	11	20	20

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20	d
0	7	9	11	20	20

a	b	c	d	e	f	新增
∞	∞	∞	∞	∞	∞	a
0	7	9	14	∞	∞	b
0	7	9	14	∞	22	c
0	7	9	11	∞	20	d
0	7	9	11	20	20