基礎資結

Basic Data Structure

by PolarisChiba

講師介紹

姓名：李昕威

PolarisChiba

清大準大一生

 

就是他

課程流程

  1. STL

  2. 並查集、BIT、線段樹

  3. 額外：稀疏表

  1. 某資料結構介紹

  2. 例題演練

  3. 額外延伸（如果有的話）

方法vs函式

method V.S function

方法函式大考驗

  • 蔣立元在跳舞 
  • IonCamp受理報名 
  • 蔣立元和黃恩明報名參加IonCamp　

（方法）

（方法）

（函式）

方法與函式

  • 方法：描述一個物件的行為與能做的事
  • 函式：一塊程式碼，用來重複呼叫的

題外話

其實方法在C++中叫做member function

在JAVA中才叫做method

emplace V.S push

push：複製一個再丟進去

emplace：把數字放進去建構出一個來

vector<pair<int,int>> vec;
vec.push_back(make_pair(1, 2));
vec.emplace_back(1, 2);

Queue佇列

你說你不懂怎麼排隊？上這堂課就對了

#include<queue>
using namespace std;

queue<int> q;

先進先出（FIFO）

emplace

q.emplace(2);

front

q.front();

pop

q.pop();

總結

#include<queue>
using namespace std;

queue<int> q;
q.emplace(7122);
q.front();
q.pop();

  1. 為甚麼叫做front？

  2. 為甚麼不叫做IONthe1st？

  3. 為甚麼我不能愛叫就叫甚麼？

  4. 我可以自己為它取名嗎？

Stack堆疊

你說你不懂怎麼放盤子？上這堂課就對了

#include<stack>
using namespace std;

stack<int> s;

後進先出（LIFO）

emplace

s.emplace(2);

top

s.top();

pop

s.pop();

總結

#include<stack>
using namespace std;

stack<int> s;
s.emplace(7122);
s.top();
s.pop();

例題演練

Parentheses Balance

Parentheses Balance

（【【】（【】）（）】）

給一個括號序列，請問其是否是合法的？

  1. 空字串是合法的
  2. A是合法的的話，(A)和[A]也是合法的
  3. A、B是合法的話，AB也是合法的

Parentheses Balance

【【】（【】）（）】）

（

stack：

Parentheses Balance

【】（【】）（）】）

（【

stack：

Parentheses Balance

】（【】）（）】）

（【【

stack：

Parentheses Balance

（【】）（）】）

（【

stack：

Parentheses Balance

【】）（）】）

（【（

stack：

Parentheses Balance

】）（）】）

（【（【

stack：

Parentheses Balance

）（）】）

（【（

stack：

Parentheses Balance

（）】）

（【

stack：

Parentheses Balance

）】）

（【（

stack：

Parentheses Balance

】）

（【

stack：

Parentheses Balance

）

（

stack：

Parentheses Balance


bool check( string line ) {
    stack<char, vector<char>> sk;
    for (auto x : line) {
        if ( x == '(' || x == '[' ) sk.emplace(x);
        else if ( x == ')' || x == ']' ) {
            if ( sk.empty() ) return false;
            char top = s.top();
            sk.pop();
            if ( top != x ) return false;
        }
    }
    return true;
}

deque雙向佇列

你說你想當個排隊達人？上這堂課就對了

#include<deque>
using namespace std;

deque<int> d;

emplace_front

d.emplace_front(2);

pop_front

d.pop_front();

總結

#include<deque>
using namespace std;
deque<int> d;
d.resize(10);
d.push_back(7122);
d.back();
d.pop_back();
d.push_front(7122);
d.front();
d.pop_front();
d[3] = 7122;

例題演練

Sliding Window（簡化版）

Sliding Window（簡化版）

７　１　２　２　７１　２２

維護未來有可能成為答案的那些數字

（k = 3 為例）

Sliding Window（簡化版）

７　１　２　２　７１　２２

deque：７

Sliding Window（簡化版）

７　１　２　２　７１　２２

deque：７　１

Sliding Window（簡化版）

７　１　２　２　７１　２２

deque：７　２

Sliding Window（簡化版）

７　１　２　２　７１　２２

deque：２　２

Sliding Window（簡化版）

７　１　２　２　７１　２２

deque：７１

Sliding Window（簡化版）

７　１　２　２　７１　２２

deque：７１　２２

Sliding Window（簡化版）

vector<int> solve( vector<int> a, size_t k ) {
    vector<int> b;
    deque<size_t> dq;
    
    for (size_t i = 0, n = a.size(); i < n; ++i) {
    	while ( !dq.empty && a[i] > a[dq.back()] ) 
            dq.pop_back();
        dq.emplace_back(i);
        while( dq.front() <= i - k ) dq.pop_front(); 
        // 刪掉不符合的
        // 這題先刪、還是後刪過期的都可以
        if ( i > k - 2 ) b.emplace_back( a[dq.front()] ); 
        //答案
    }
    return b;
}

單調隊列

定義：維護一個有單調性的序列

應用：DP區間極值、DP優化

例題：求一個序列中所有長度為K的連續子序列的區

　　　間最大值的最小值

 

Priority Queue優先佇列

你說想你當個比大小大師？上這堂課就對了

#include<queue>
using namespace std;

priority_queue<int> pq;

Heap堆積

你說想你當個比大小大師？讓我們先成為堆積木大師吧

這一棵樹有甚麼性質呢？

蔣立元

上方的元素都比下方大

這一棵樹有甚麼性質呢？

Top：71

這一棵樹有甚麼性質呢？

Push：27

這一棵樹有甚麼性質呢？

Push：27

這一棵樹有甚麼性質呢？

Pop：71

這一棵樹有甚麼性質呢？

Pop：71

這一棵樹有甚麼性質呢？

Pop：71

這一棵樹有甚麼性質呢？

Pop：71

這一棵樹有甚麼性質呢？

Pop：71

不同的Heap

  • Min-Heap：維護最小值的堆積

  • Max-Heap：維護最大值的堆積

top

pq.top();

emplace

pq.emplace(27);

emplace

pq.emplace(27);

pop

pq.pop();

pop

pq.pop();

pop

pq.pop();

總結

#include<queue>
using namespace std;

priority_queue<int> pq;
pq.emplace(7122);
pq.top();
pq.pop();

例題演練

中位數

中位數

中位數

中位數

中位數

中位數

if ( mh.empty() || mh.top() > i ) mh.emplace(i);
else Mh.emplace(i);

if (mh.size() > Mh.size() + 1) {
    Mh.emplace(mh.top());
    mh.pop();
}

if (Mh.size() < mh.size() + 1) {
    mh.emplace(Mh.top());
    Mh.pop();
}

為甚麼沒有？？？

你說你找不到你的祖父的手機？說不定那根本不存在

priority_queue<int> pq;
pq.clear(); // Compile Error!

Priority Queue？

Priority Queue挖挖挖

Priority Queue？

Priority Queue放大鏡

Priority Queue？

Priority Queue大解密

Stack？

Stack大解密

Queue？

Queue大解密

Deque？

Deque大解密

why？

資料結構：Priority Queue、Stack、Queue

容器　　：vector、deque

Stack？

Stack大解密

效能較高的他們

stack<int, vector<int>> s;
queue<int, vector<int>> q;
priority_queue<int, vector<int>> pq;

less<int>

greater<int>

stack<int, vector<int>> s;
queue<int, vector<int>> q;
priority_queue<int, vector<int>> pq;
priority_queue<int, vector<int>, less<int>> pq1; // top最大，預設
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> pq2; // top最小

Set集合

你認為人類有很多地球嗎？不，我們並沒有

#include<set>
using namespace std;

set<int> s;

Red–Black Tree紅黑樹

地球上有很多棵樹，其中有一棵......

Red–Black Tree紅黑樹

How does red-black tree works？

  1. 各ノードは赤か黒の色をもつ。 
  2. 根は黒である (この条件はしばし省かれる。根は赤から黒に変えることはできるので、解析にはほとんど影響しない)。
  3. 葉 (NIL) はすべて黒である。葉はすべて根と同じ色である。
  4. 赤のノードは黒ノードを 2つ子に持つ（したがって、赤のノードの親ノードは黒である）。
  5. 任意のノードについて、そのノードから子孫の葉までの道に含まれる黒いノードの数は、選んだ葉によらず一定である（この条件は、「根から葉までの道に含まれる黒いノードの数は、葉によらず一定である」と言い換えることができる）。

好像有點複雜餒

你說你也這麼覺得？

Binary Search Tree

二元搜尋樹

二元搜尋樹

  1. 左邊的都比根小
  2. 右邊的都比根大
  3. 根和根一樣大
set<int> s;

find

s.find(17);

insert

s.insert(25);

erase

s.erase(17);

begin

s.begin();

rbegin

s.rbegin();

總結

#include<set>
using namespace std;

set<int> s;
s.insert(7122);

s.begin(); // pointer
*s.rbegin(); // integer
s.end(); // NULL

s.erase(7122); 
s.erase(s.begin());
s.erase(s.find(7122));

額外延伸

multiet重集

你認為人類有很多地球嗎？......可能真的有唷

multiset

multiset<int> s;

由大到小

set<int, greater<int>> s;

簡單圖判定

給定N個點和M條邊，請問這張圖是不是簡單圖？

不包含重邊

不包含自環

簡單圖判定

bool check(vector<pair<int,int>> &v) {
    set<pair<int,int>> s;
    for (auto i:v) {
    	if (i.first == i.second) return false;
        s.insert(i);
    }
    if (v.size() != s.size()) return false;
    return true;
}

Map映射

你說你無法將朋友的臉和名字對上嗎？來上這堂課就對了

#include<map>
using namespace std;

map<int, string> m;

Binary Search Tree

二元搜尋樹

題外話，競賽中朋友、同學很重要

map映射

從數字到字串的映射

map映射

從字串到數字的映射

map映射

map挖挖挖

erase

m.erase("CSY");

insert

m["joylintp"] = 1;

修改

m["joylintp"] = -1;

總結

#include<map>
using namespace std;

map<string, int> m;
m["CSY"] = 1;
m.erase(m.find("CSY"));

m.begin(); // pointer
*m.rbegin(); // pair
m.begin()->first // string
m.rbegin()->second // int

題外話 : /

例題演練

動態眾數問題

動態眾數問題

每次加入一個數字，問目前的眾數是誰？

如果有多個的話請輸出最大的

ex：1, 3, 2, 5, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 5

ex：1, 3, 3, 5, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2

動態眾數問題

void mode(vector<int> &v) {
    map<int,int> m;
    int ans;
    for (auto i:v) {
    	m[i]++;
        if (m[ans] < m[i]) ans = i;
        else if (m[ans] == m[i] && ans < i) ans = i;
        cout << i << endl;
    }
}

雜湊表

你嫌你不夠快嗎？來上這堂課就對了

unordered_map<int, string> m;
unordered_set<int> s;
unordered_multiset<int> ss;

もっと、速く

hash碰撞

雜湊：將資料打亂混和

STL例題演練

如果時間不夠的話，就會先換到下個章節

給你 N 個數字，每次你可以選兩個數字 X、Y ，並花費 X+Y 元將兩者合併變成 X+Y ，請問最少要花多少元才能合併到只剩一個數字？

手續費(fee)

把所有數字丟進 Priority Queue 中

並每次取出最小的兩個

再把它們相加後放回去

是不是很想要每次取出最小的兩個相加？

手續費(fee)

手續費(fee)

int fee(vector<int> &v) {
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> pq;
    for (auto i:v) pq.emplace(i);
    int ans = 0;
    while (pq.size() >= 2) {
    	int u = pq.top(); pq.pop();
        int t = pq.top(); pq.pop();
        ans += u + t;
        pq.emplace(u + t);
    }
    return ans;
}

後序運算式（簡化版）

給你一個後序運算式，請求出這個式子的結果。

範例：6 3 / 1 4 - * 3 + 8 - ­ 請輸出 ­11

（假設所有數字都小於等於九、且為正整數）

後序運算式（簡化版）

void sol(string s) {
    vector<int> v;
    for (auto i:s) {
    	if ('0' <= i && i <= '9') v.push_back(i - '0');
        else {
            int a = v.back(); v.pop_back();
            int b = v.back(); v.pop_back();
            if (i == '+') v.push_back(a + b);
            if (i == '-') v.push_back(a - b);
            if (i == '*') v.push_back(a * b);
            if (i == '/') v.push_back(a / b);   
        }
    }
    return v.back();
}

你講那麼快，

STL 的東西又那麼多，

我怎麼可能記得住？

中場休息

C++ reference

http://en.cppreference.com

中場休息

中場休息

中場休息

英文好難QAQ

中場休息

Disjoint Set 並查集

你知道你的爺爺的堂兄的父親不一定是

你隔壁同學的父親的表弟的祖父的哥哥的兒子嗎？

//disjoint set要自己手寫
//因為STL並沒有支援

Disjoint 並查集

一開始每個人的老大都是自己

Disjoint 並查集

某一天 22 號打贏 1 號

Disjoint 並查集

但隔天 22 號卻輸給了7122

Disjoint 並查集

過了幾天，變成了這樣

find

int find(int x) {
    if (x == boss[x]) return x;
    else return find(boss[x]);
}

unite

void unite(int x, int y) {
    boss[y] = x;
}

糟糕的情況...

此乃線性

好的情況

啟發式合併（其他技巧會教）

unite

void unite(int x, int y) 
{ 
    x = boss[x];
    y = boss[y];
    if (x == y) return;
    
    if (size[x] < size[y]) swap(x, y);
    boss[y] = x;
    size[x] += y;
}

更好的情況

路徑壓縮

find

int find(int x) {
    if (x == boss[x]) return x;
    boss[x] = find(boss[x]);
    return boss[x];
}

總結

int boss[N], size[N];
int find(int x) {
    return x == boss[x] ? x : boss[x] = find(boss[x]);
}
bool same(int x, int y) {
    return find(x) == find(y);
}
void unite(int x, int y) {
    x = find(x), y = find(y);
    if ( same(x, y) ) return;
    if ( size[x] < size[y] ) swap(x, y);
    boss[y] = x;
    size[x] += size[y];
}

例題演練

可愛的小動物

可愛的小動物

朋友的敵人是敵人

朋友的朋友是朋友

敵人的朋友是敵人

敵人的敵人是朋友

不能矛盾

可愛的小動物

如果只有朋友的話......

可愛的小動物

但是這個題目中有敵人...

可愛的小動物

如果只有朋友的話可以用並查集去維護

那敵人呢？

可愛的小動物

把朋友丟在黑色圈圈裡

把敵人丟到紫色圈圈裡

可愛的小動物

同個圈圈中的紫色和黑色是敵人

同個圈圈中的紫色和紫色是朋友

同個圈圈中的黑色和黑色是朋友

不同圈圈間沒什麼關係

可愛的小動物

紫色圈圈裡的數字可以當作 i + N

可愛的小動物

int aa = find(a), bb = find(b);
int ra = find(a + N), rb = find(b + N);

//a、b朋友
if (aa == rb) cout << "angry" << endl;
unite(a, b), unite(ra, rb);

// a、b敵人
if (aa == bb) cout << "angry" << endl;
unite(aa, rb), unite(bb, ra);

// a、b朋友嗎？
if (aa == bb) cout << "yeap" << endl;
else cout << "nope" << endl;

//a、b敵人嗎？

if (aa == rb) cout << "yeap" << endl;
else cout <<< "nope" << endl;

Segment Tree 線段樹

一般人在資料結構都會在這關放棄

你，能夠撐過這一關嗎？

//Segment Tree要自己手寫
//因為STL並沒有支援

雖然也有人因此中毒

就是了......

Segment Tree 線段樹

將序列不斷切一半

Segment Tree 線段樹

儲存區間的答案

Segment Tree 線段樹

查詢區間的答案

Segment Tree 線段樹

查詢區間的答案

int seg[4 * N + 1];
int query(int id, int l, int r, int ql, int qr) {
    if (qr < l || r < ql) return 0;
    if (ql <= l && r <= qr) return seg[id];
    int m = (l + r) / 2;
    int v1 = query(id * 2, l, m, ql, qr);
    int v2 = query(id * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr);
    return v1 + v2;
}

Segment Tree 線段樹

修改單點的值

Segment Tree 線段樹

修改單點的值

void update(int id, int l, int r, int i, int v) {
    if (l == r) {
    	seg[id] += v;
        return;
    }
    int m = (l + r) / 2;
    if (i <= m) update(id * 2, l, m, i, v);
    else update(id * 2 + 1, m + 1, r, i, v);
    seg[id] = seg[id * 2] + seg[id * 2 + 1];
}
  1. 將區間的值都改成X
  2. 查詢區間的值

Segment Tree 線段樹

Segment Tree 線段樹

修改區間的值，懶惰標記

Segment Tree 線段樹

修改區間的值，懶惰標記

tag[4 * N + 1];

Segment Tree 線段樹

路過就推一下，將懶惰標記向下推

Segment Tree 線段樹

將懶惰標記向下推

void push(int id, int l, int r) {
    tag[id * 2] = tag[id];
    tag[id * 2 + 1] = tag[id];
    seg[id] = tag[id] * (r - l + 1);
    tag[id] = 0;
}

Segment Tree 線段樹

修改區間的答案

void update(int id, int l, int r, int ql, int qr, int x) {
    push(id, l, r);
    if (r < ql || qr < l) return;
    if (ql <= l && r <= qr) {
    	tag[id] = x;
        push(id, l, r);
        return;
    }
    int m = (l + r) / 2;
    update(id * 2, l, m, ql, qr, x);
    update(id * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr, x);
    seg[id] = seg[id * 2] + seg[id * 2 + 1];
}

Segment Tree 線段樹

查詢區間的答案

int query(int id, int l, int r, int ql, int qr) {
    push(id, l, r);	
    if (qr < l || r < ql) return 0;
    if (ql <= l && r <= qr) return seg[id];
    int m = (l + r) / 2;
    int v1 = query(id * 2, l, m, ql, qr);
    int v2 = query(id * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr);
    return v1 + v2;
}

如果是區間加X呢？

  1. 查詢區間加總

  2. 將區間所有數字加上一個數字X

區間加上X？

將懶惰標記向下推

void push(int id, int l, int r) {
    tag[id * 2] += tag[id];
    tag[id * 2 + 1] += tag[id];
    seg[id] += tag[id] * (r - l + 1);
    tag[id] = 0;
}

區間加上X？

修改區間的答案

void update(int id, int l, int r, int ql, int qr, int x) {
    push(id);
    if (r < ql || qr < l) return;
    if (ql <= l && r <= qr) {
    	tag[id] += x;
        push(id);
        return;
    }
    int m = (l + r) / 2;
    update(id * 2, l, m, ql, qr, x);
    update(id * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr, x);
    seg[id] = seg[id * 2] + seg[id * 2 + 1];
}

例題演練

RMQ

RMQ

給你一個數列，請動態支援以下兩種操作

  1. 詢問區間最大值

  2. 將一個區間所有數字修改成V

RMQ push

void push(int id) {
    tag[id * 2] = tag[id];
    tag[id * 2 + 1] = tag[id];
    seg[id] = tag[id];
    tag[id] = 0;
}

RMQ query

int query(int id, int l, int r, int ql, int qr) {
    push(id);
    if (qr < l || r < ql) return 0;
    if (ql <= l && r <= qr) return seg[id];
    int m = (l + r) / 2;
    int v1 = query(id * 2, l, m, ql, qr);
    int v2 = query(id * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr);
    return max(v1, v2);
}

RMQ update

void update(int id, int l, int r, int ql, int qr, int x) {
    push(id);
    if (r < ql || qr < l) return;
    if (ql <= l && r <= qr) {
    	tag[id] = x;
        push(id);
        return;
    }
    int m = (l + r) / 2;
    update(id * 2, l, m, ql, qr, x);
    update(id * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr, x);
    seg[id] = max( seg[id * 2], seg[id * 2 + 1] );
}

BIT樹狀樹組

你說你不想寫線段樹？那就寫BIT吧

//Binary Indexed Tree要自己手寫
//因為STL並沒有支援

二進位制

1：0001

2：0010

3：0011

4：0100

5：0101

6：0110

7：0111

8：1000

BIT 樹狀樹組

樹狀樹組的長相

BIT 樹狀樹組

樹狀樹組查詢

BIT 樹狀樹組

樹狀樹組修改

舉個例子

２，５，１，４，７，１０，２，６

單點加值

２，１２，１，４，７，１０，２，６

單點加值

update

int bit[N];
void update(int i, int x) {
    while (i <= N) {
    	bit[i] += x;
        i += i & -i;
    }
}

Lowit Bit

1：0001：0001

2：0010：0010

3：0011：0001

4：0100：0100

5：0101：0001

6：0110：0010

7：0111：0001

8：1000：1000

二進位制，最小的一個 1-bit 的值

區間（前綴）查詢

query

２，１２，１，４，７，１０，２，６

區間（前綴）查詢

query

int query(int i) {
    int res = 0;
    while (i > 0) {
    	res += bit[i];
        i -= i & -i;
    }
    return res;
}

區間查詢

將兩個前綴相減

如何單點改值？

把第二格改成12

２，５，１，４，７，１０，２，６

如何單點改值？

等價於把第二格加上７

２，１２，１，４，７，１０，２，６

例題演練

逆序數對

逆序數對

給定一個數列，求有多少個（i, j）數對滿足：

i < j \\ a_i > a_j

逆序數對

檢查這個元素前面有多少元素在

逆序數對

檢查這個元素前面有多少元素在

//cnt[i]紀錄1~i總共出現在s中幾次
for(auto i:s) {
    ans += cnt[i - 1] - query(i - 1);
    update(i, 1);
}
cout << ans << '\n';

逆序數對

小提醒：

  1. 有可能會有重複的元素

  2. 有可能會超出int範圍

  3. 有可能有負數

額外延伸

二維BIT修改

int r, c, bit[N][N];
void update(int x, int y, int v) {
	while (x <= r) {
    	int t = y;
        while (y <= c) {
        	bit[x][y] += v;
            y += y & -y;
        }
        y = t;
        x += x & -x;
    }
}

二維BIT查詢

int query(int x, int y) {
	int res = 0;
    while (x > 0) {
    	int t = y;
        while (y > 0) {
        	res += bit[x][y];
            y -= y & -y;
        }
        y = t;
        x -= x & -x;
    }
    return res;
}

Sparse Table稀疏表

你說你不想寫BIT，那就寫Sparse Table吧

前提是對面不會動

//Sparse Table要自己手寫
//因為STL並沒有支援

Sparse Table 稀疏表

稀疏表的示意圖

Sparse Table 稀疏表

稀疏表的查詢

Sparse Table 稀疏表

int n, s[LOGN][N];
for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
	for(int i = 0; i + (1 << j) <= n; i++)   
		s[j][i] = min( 
        	s[j - 1][i], 
        	s[j - 1][i + (1 << (j - 1) )] 
        );

int query(int l,int r) {
    int k = __lg(r - l + 1);
    return max( s[k][l], s[k][r - (1 << k) + 1] );
}

例題演練

桑京邀請賽

桑京邀請賽

給定一個序列長度為N，並有許多詢問

每次詢問一個區間中的最大值與最小值。

（空間只夠開 10N 個 int）

桑京邀請賽

對稀疏表做滾動

int s1[2500000], n, m;
int l[1000006], r[1000006];
bitset<1000006> ok;
int main(){
    scanf("%d %d",&n, &m);
    for(int i = 0 ; i < m ; i++)
    	scanf("%d %d", &l[i], &r[i]), l[i]--, --r[i];
    for(int i = 0 ; i < n ; i++) scanf("%d", &s1[i]);
        
    for(int i = 0 ; i < m ; i++)
    	if( lo(l[i], r[i]) == 0 )
        	l[i] = s1[ l[i] ], ok[i] = 1;    
    
    for(int i = 1; (1 << i) <= n ; i++){
        for(int j = 0 ; j + (1 << i) <= n ; j++)
            s1[j] = max( s1[j], s1[ j + ( 1 << (i - 1) ) ] );
        for(int j = 0 ; j < m ; j++)
            if( lo( l[j], r[j] ) == i && !ok[j] )
                l[j] = max( 
                	s1[ l[j] ], 
                	s1[ r[j] - ( 1 << i ) + 1 ] ), ok[j] = 1; 
    }
    for(int i = 0 ; i < m ; i++) printf("%d\n", l[i]);
}

非STL例題演練

如果沒時間的話就請請大家回去練習吧

食物鏈

有三種動物A, B, C，A會吃B、B會吃C、C會吃A

現在有N隻動物，分別屬於ABC其中一種，並有人給你許多它們之間的關係

  1. X與Y是同類
  2. X吃Y

但這個人有可能說謊，只要滿足以下就算這個人說謊

  1. X或Y大於N
  2. X吃X

請問這個人說了多少謊？

食物鏈

可愛小動物的三種關係的版本

詳細實作就請大家參考可愛小動物那一題

地雷區

在一張N X M的棋盤上，有些地方有地雷，一個地雷被引爆的話會炸到周圍3 X 3的區域；若兩個地雷的3 X 3區域有重疊的話，引爆其中一個的話另一個也會被連鎖引爆。

請問要人工引爆多少個地雷才能炸掉所有地雷？

地雷區

from TIOJ

地雷區

for (int t = 0; t < v.size(); ++t)
{
    pair<int,int> i = v[t];
    for(int dx = -2; dx <= 2; ++dx) for(int dy = -2; dy <= 2; ++dy)
    {
        int x = i.first + dx, y = i.second + dy;
        int d = lower_bound(all(v), make_pair(x,y)) - v.begin();
        if(v[d] != make_pair(x,y)) continue;
        d = find(d);
        int dd = find(t);
        if(dd != d) fa[d] = dd, ++cnt;
    }
}
cout << n - cnt << endl;

強者物質

有一個長度最多為 10^5 的數列，有正有負。

請問有多少區間的和為正的？

並請問區間和最大為多少？

第二個問題的答案是DP，就當作早上的課的練習請大家想想囉

強者物質

看到區間和，有個小技巧是換成前綴和來思考

區間和為正

等價於前綴和相減為正

等價於後面的前綴和比前面的前綴和大

計算多少個後面的元素比前面的大可以用BIT

強者物質

for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	ans += (s[i] > 0);
    \\離散化
    s[i] = lower_bound(all(li), s[i]) - li.begin() + 1; 
    add(s[i], 1);
    ans += sum(s[i] - 1);
}
cout << ans << endl;

隕石

有一個無限長的數列，一開始所有數字都是零。

給 N 個區間 (L, R)，要將那個區間的數字都加一。

現在你能刪掉 K 個區間，請問最後整個數列中的最大值最小可以是多少？

隕石

二分搜答案

將區間放在數線上，如果數線上有個點被太多線段覆蓋到的話，代表就要刪掉線段

要刪掉線段的話，刪掉右界最右邊的最好

隕石

pair<int,int> a[N];
set<int> s;

bool check(int mid)
{
    int res = k;
    s.clear(); // 儲存線段在數線上的資訊
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        while(s.size() && *s.begin() <= a[i].first) 
            s.erase(s.begin()); // 過期了
        s.insert(a[i].second);
        while(s.size() > mid) { //現在這個點被太多線段覆蓋
            s.erase((--s.end())); // 刪掉右界最右邊的
            --res; //我只能刪掉K個區間
        }
        if(res < 0) return false;
    }
    return true;
}

矩形覆蓋面積計算

給定座標平面上的許多平行於 X 軸與 Y 軸的矩形

請求出所有矩形的面積的聯集大小

矩形覆蓋面積計算

掃描線

矩形覆蓋面積計算

計算此時的 y 軸上有多少個被覆蓋

矩形覆蓋面積計算

宣告

int flag[4 * N + 1];
int count[4 * N + 1];

矩形覆蓋面積計算

pull

void pull(int id, int l, int r) {
    if ( flag[id] > 0 ) 
    	count[id] = r - l + 1;
    else count[id] = 
    	count[id * 2] + count[id * 2 + 1];
}

矩形覆蓋面積計算

Query

int query() {
    return count[1];	
}

矩形覆蓋面積計算

Update

void update(int id, int l, int r, int ql, int qr, int v) {
    if (qr < l || r < ql) return;
    if (ql <= l && r <= qr) {
    	flag[id] += v;
    }
    else {
    	int m = (l + r) / 2;
        update(id * 2, l, m, ql, qr, v);
        update(id * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr, v);
    }
    pull(id, l, r);
}

如果，生命的腳印終有一天

會被時間的塵埃掩埋... ...

那我們就永遠不能

－－停下腳步

FIN

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