Ρευστά:
H εξίσωση του Bernoulli
Οι δυνάμεις
Στον σωλήνα του σχήματος υπάρχει ιδανικό υγρό...
- Το ύψος του υγρού στα δύο σκέλη είναι ίδιο.
- Η στοιχειώδης μάζα δέχεται και στις δύο πλευρές της ίσες κατά μέτρο δυνάμεις και δεν επιταχύνεται:
F_1 = p_1\cdot A
F1=p1⋅A
F_2 = p_2\cdot A
F2=p2⋅A
\color{Yellow}{F_{o \lambda}=(p_1-p_2)\cdot A =0}
Foλ=(p1−p2)⋅A=0
Αν οι πιέσεις μεταβληθούν, η στοιχειώδης μάζα μετακινείται κατά Δx και παράγεται έργο:
W = F_{o\lambda} \cdot \Delta x
W=Foλ⋅Δx
ή
W = (p_1-p_2)A\cdot \Delta x\Rightarrow {\color{Yellow}{ W = (p_1-p_2)\cdot \Delta V}}
W=(p1−p2)A⋅Δx⇒W=(p1−p2)⋅ΔV
\color {Yellow} {{W \over \Delta V} = \Delta p}
ΔVW=Δp
Text
η επιπλέον πίεση δίνει
το έργο ανά μονάδα όγκου...
Γενικά:
Αν κατά μήκος μίας φλέβας (συνεχής ροή), μετακινείται μια στοιχειώδης μάζα, Δm
H ενέργεια που προσφέρεται ανά μονάδα όγκου, μετατρέπεται σε Κινητική και Δυναμική ενέργεια
(διατήρηση της ενέργειας)
W = \color{Red}{\Delta K} +\color{Aqua}{ \Delta U_\beta}
W=ΔK+ΔUβ
(p_1-p_2)\cdot \Delta V = \color{Red}{\frac{1}{2}\cdot \Delta m\cdot (\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)}+\color{Aqua}{\Delta m\cdot g (h_2 - h_1)}
(p1−p2)⋅ΔV=21⋅Δm⋅(υ22−υ12)+Δm⋅g(h2−h1)
όπου η πυκνότητα
p_1 + \frac{1}{2}\cdot \varrho\cdot\upsilon^2_1+ \varrho\cdot g \cdot h_1 = p_2 + \frac{1}{2}\cdot \varrho\cdot\upsilon^2_2+ \varrho\cdot g \cdot h_2
p1+21⋅ϱ⋅υ12+ϱ⋅g⋅h1=p2+21⋅ϱ⋅υ22+ϱ⋅g⋅h2
\varrho =\frac{\Delta m}{\Delta V}
ϱ=ΔVΔm
\color{Yellow}{p + \frac{1}{2}\cdot \varrho\cdot\upsilon^2+ \varrho\cdot g \cdot h = \sigma \tau \alpha \vartheta.}
p+21⋅ϱ⋅υ2+ϱ⋅g⋅h=σταϑ.
Εξίσωση του Bernoulli
Παρατηρήσεις
Σύμφωνα με την εξίσωση του Βernoulli:
- Σε περιοχές με αυξημένη ρευματική ταχύτητα (πυκνότερες ρευματικές γραμμές) η πίεση ελαττώνεται.
- Η ταχύτητα εκροής του υγρού στο διπλανό δοχείο:
\upsilon _k = \sqrt{2gh}
υk=2gh
p_1>p_2
p1>p2
Εφαρμογή:
Για την διάταξη του σχήματος, να δείξετε ότι η ταχύτητα ροής του (ιδανικού) υγρού στην περιοχή (1) δίνεται από τη σχέση :
\upsilon_1=\sqrt{\frac{2gh}{(\frac{A_1}{A_2})^2-1}}
υ1=(A2A1)2−12gh
Ρευστά: H εξίσωση του Bernoulli