Векторная алгебра

11 класс

 

vkrysanov320@gmail.com

version 4.1 not-fixed, 16-01-2024

Понятие вектора

Вектором называется направленный отрезок.

B
A
\overline{a}

Если даны начало вектора (точка     ) и его конец (точка     ), то вектор обозначается        . Также обозначается малыми латинскими буквами с чертой сверху:     или жирным шрифтом:    .

\overline{AB}
A
B
\mathbf{a}
\overline{a}

Нуль-вектором называется вектор, у которого конец совпадает с началом, обозначается:     или    . Можно считать, что нуль-вектор имеет любое желаемое в данный момент направление.

\mathbf{0}
\overline{0}
\overline{a}

Модулем вектора      называется его длина. Модуль вектора обозначается       .

|\overline{a}|

Очевидно, что               .

|\overline{0}| = 0

Основные определения вектора

\overline{a}

Векторы      и    называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону. Обозначается:

\overline{b}
\overline{a} \upuparrows \overline{b}.
\overline{a}

Векторы      и    называются противоположными, если они коллинеарны и направлены в разные стороны. Обозначается:

\overline{b}
\overline{a} \uparrow \downarrow \overline{b}.
\overline{a}

Векторы      и    называются коллинеарными, если  они расположены на параллельных прямых или на одной прямой. Обозначается:

\overline{b}
\overline{a} \parallel \overline{b}.
\overline{a}

Векторы      и    называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Обозначается:

\overline{b}
\overline{a} = \overline{b}.
\overline{a}
\overline{b}
\overline{a}
\overline{b}
\overline{a}
\overline{b}
\overline{a}
\overline{b}

Линейные операции над векторами

*Линейными называют операции сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число

Сложение векторов

\overline{a} + \overline{b}

Суммой двух векторов             называется вектор, полученный:

  • по правилу «треугольника»: второй вектор     откладывается так, чтобы его начало совпадало с концом первого вектора    :

 

 

 

​

\overline{a}
\overline{b}
\overline{b}
\overline{a}
\overline{a} + \overline{b}

Суммой будет являться «замыкающий» вектор            , начало которого совпадает с началом первого вектора     , а конец — с концом второго вектора    .

\overline{a} + \overline{b}
\overline{a}
\overline{b}
  • по правилу «параллелограмма»: второй вектор     откладывается из начала первого вектора    , на этих векторах строится параллелограмм и суммой             в этом случае является диагональ этого параллелограмма.
\overline{b}
\overline{a}
\overline{a} + \overline{b}
\overline{a}
\overline{b}
\overline{a} + \overline{b}
\overline{b}
\overline{a}

Сложения векторов. Свойства

\overline{a} + \overline{b} = \overline{b} + \overline{a}.

1. Коммутативный закон сложения:

(\overline{a} + \overline{b}) + \overline{c} = \overline{a} + (\overline{b} +\overline{c}).

2. Ассоциативный закон сложения:

3.

\overline{a} + \overline{0} = \overline{a}.

Разность векторов

\overline{a} - \overline{b}

Разностью двух векторов             называется сумма вектора векторов     и противоположного к    :

\overline{a}
\overline{a} - \overline{b} = \overline{a} + (- \overline{b}).
\overline{a}
\overline{b}

Противоположным к вектору     называется такой вектор, что его сумма с     равна нуль-вектору. Обозначается

\overline{a}
-\overline{a}: -\overline{a} + \overline{a} = \overline{0}.

Одним из векторов        будет, например, такой, что его начало совпадает с концом вектора     , а конец с началом    .

-\overline{a}
\overline{a}
\overline{a}
\overline{a}
-\overline{a}
\overline{a}
\overline{b}
\overline{a} + \overline{b}
\overline{a} - \overline{b}
-\overline{b}

Строим противоположный к     вектор,  «переворачивая» его в противоположную сторону и, откладывая его от конца вектора    , строим сумму векторов     и       .

\overline{b}
\overline{a}
\overline{a}
-\overline{b}

Умножение вектора на число

\lambda

Произведением вектора     на действительное число    называется вектор   , коллинеарный вектору    , имеющий длину                           сонаправленный с    , если             , и противонаправленный с    , если

\overline{a}
\overline{c}
\overline{a}
|\overline{c}| = |\lambda| \cdot |\overline{a}|
\overline{a}
\lambda > 0
\overline{a}
\lambda < 0.

Противоположный вектор       можно рассматривать как результат умножения вектора      на число 

-\overline{a}
\lambda = -1: -\overline{a} = (-1)\overline{a}.
\overline{a}
\overline{a}
2\overline{a}
\frac{1}{2}\overline{a}
-\frac{1}{2}\overline{a}

Легкие задачки...

2. Найти угол между векторами    и   , если вектор их разности           образует с ними углы       и      .

40^{\circ}
\overline{a}
\overline{b}
|\overline{a} + \overline{b} + \overline{c} + \overline{d} |
60^{\circ}

1. Найти                        .

\overline{a}
\overline{b}
\overline{c}
\overline{d}
\overline{a} - \overline{b}

3. Человек хочет переплыть реку так, чтобы оказаться на  другом ее берегу строго напротив того места, где он  зашёл в  воду. Под каким углом к  берегу ему необходимо плыть, если его скорость относительно воды в  два  раза больше скорости течения реки?

Легкие задачки. Решение

\overline{a}
\overline{b}
\overline{a} - \overline{b}
40^{\circ}
60^{\circ}
\varphi = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ.
\varphi
|\overline{a} + \overline{b} + \overline{c} + \overline{d} |

1. Найти                        .

\overline{a}
\overline{b}
\overline{c}
\overline{d}
\overline{b}
\overline{c}
\overline{d}

* Осуществляется параллельный перенос для выполнения правил сложнее векторов. Искомый вектор — пурпурный.

\Rightarrow |\overline{a} + \overline{b} + \overline{c} + \overline{d} | = 1.

2. Найти угол между векторами   и  , если вектор их разности           образует с ними углы       и      .

40^{\circ}
\overline{a}
\overline{b}
60^{\circ}
\overline{a} - \overline{b}

3. Человек хочет переплыть реку так, чтобы оказаться на  другом ее берегу строго напротив того места, где он  зашёл в  воду. Под каким углом к  берегу ему необходимо плыть, если его скорость относительно воды в  два  раза больше скорости течения реки?

\overline{v_1}
\overline{v_1} + \overline{v_2}
\overline{v_2}
\overline{v_2}
|\overline{v_1} + \overline{v_2}| = 2|\overline{v_1}|
|\overline{v_1} |
2|\overline{v_1}|
\varphi
A
B
C
D
30^{\circ}
\Rightarrow \varphi = 60^\circ

* из условия

Еще одна простая задачка...

4. Самолёт пролетел сначала 5 км на северо-запад, а потом 10 км на во-сток. На каком расстоянии от начала своего движения он оказался?

* пренебречь шарообразной формой Земли, то есть можно считать ее плоской при перемещениях на небольшие расстояния.

Еще одна простая задачка. Решение

4. Самолёт пролетел сначала 5 км на северо-запад, а потом 10 км на во-сток. На каком расстоянии от начала своего движения он оказался?

* пренебречь шарообразной формой Земли, то есть можно считать ее плоской при перемещениях на небольшие расстояния.

\overline{p_{NW}}
\overline{p_{E}}
\overline{p}
5
10
45^{\circ}

N

|\overline{p}| = \sqrt{|\overline{p_{NW}}|^2 + |\overline{p_{E}}|^2 - 2 \cdot |\overline{p_{NW}}| \cdot |\overline{p_{E}}| \cdot \cos \angle(\overline{p_{NW}}; \overline{p_{E}})}
= \sqrt{5^2 + 10^2 - 2 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \cos 45^\circ} = \sqrt{125 - 50 \cdot \sqrt{2}}.

Решение:

Ответ:

\sqrt{125 - 50 \cdot \sqrt{2}}.

Задача 1

Пусть                                — параллелепипед. Найти алгебраическую сумму векторов:

ABCDA_1B_1C_1D_1
\overline{AB} + \overline{AD} - \overline{AA_1};

1.

2.

3.

4.

5.

\overline{AB} - \overline{AD} + \overline{AA_1};
-\overline{AB} - \overline{AD} + \overline{AA_1};
\overline{AB} - \overline{AD} - \overline{AA_1};
-\overline{AB} + \overline{AD} - \overline{AA_1}.

Задача 1. Решение

Пусть                                — параллелепипед. Найти алгебраическую сумму векторов:

ABCDA_1B_1C_1D_1
\overline{AB} + \overline{AD} - \overline{AA_1} = \overline{AC} - \overline{AA_1} = \overline{A_1C};

1.

2.

 

3.

 

4.

5.

\overline{AB} - \overline{AD} + \overline{AA_1} = \overline{DB} + \overline{AA_1} =
-\overline{AB} - \overline{AD} + \overline{AA_1} = \overline{CA} + \overline{AA_1} =
\overline{AB} - \overline{AD} - \overline{AA_1} = \overline{DB} - \overline{DD_1} = \overline{D_1B};
-\overline{AB} + \overline{AD} - \overline{AA_1}= \overline{BD} - \overline{AA_1} = \overline{BD} - \overline{BB_1} = \overline{B_1D}.
= \overline{CA_1};
= \overline{DB} + \overline{BB_1} = \overline{DB_1};

Задача 2

Дан куб                              . Выразить данную алгебраическую сумму векторов через вектор, начало и конец которого есть вершины куба.

ABCDA_1B_1C_1D_1
\overline{a} + \overline{b} - \overline{c};

1.

2.

3.

4.

5.

\overline{a} - \overline{b} + \overline{c};
\overline{a} + \overline{b} - \overline{c};
-\overline{a} + \overline{b} - \overline{c};
-\overline{a} + \overline{b} + \overline{c}.
\overline{B_1A_1} = \overline{a}, \overline{B_1B} = \overline{b}, \overline{B_1C_1} = \overline{c},

где      — общее начало данных векторов.

B_1

базисные векторы

* Базис — упорядоченный (конечный или бесконечный) набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами. 

Задача 3

В параллелепипеде                               точки                                            — середины ребер. Пусть

ABCDA_1B_1C_1D_1
\overline{K_3T_1};
\overline{AA_1} = \overline{a}, \overline{AB} = \overline{b}, \overline{AD} = \overline{c}
P_1, P_2, ..., P_4, K_1, K_2, ... K_4

— базисные векторы.

\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}

1. Выразить заданные векторы через базисные (         ):

a)

\overline{DP_1};

б)

\overline{P_2K_3};

в)

\overline{A_1K_2};

г)

\overline{T_4K_1}.

д)

2. Доказать, что:

\overline{P_2K_3} = \overline{P_1K_4};

a)

\overline{K_1P_2} = \overline{K_4P_3};

б)

\overline{P_1T_3} = \overline{T_1K_3};

в)

\overline{K_1C_1} = \overline{AP_3};

г)

2\overline{T_2P_2} = \overline{K_1P_3}.

д)

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| \cdot |\overline{b}| \cdot \cos\angle(\overline{a}; \overline{b}).

Следствие I: Для ненулевые векторов     и    :

 

\overline{a}
\overline{b}
\overline{a} \upuparrows \overline{b}
\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| \cdot |\overline{b}| .

если             , то

\overline{a} \cdot \overline{b} = -|\overline{a}| \cdot |\overline{b}| .

если             , то

\overline{a} \uparrow \downarrow \overline{b}
\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}|^2

если            , то                        , тогда

\overline{a} = \overline{b}

Следствие II: Для ненулевые векторов     и    :

\overline{a}
\overline{b}
\cos\angle(\overline{a}; \overline{b}) = \frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|}.

Теорема: Для того, чтобы два ненулевых вектора были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

|\overline{a}| = \sqrt{\overline{a}^2}.

Скалярное произведение векторов. Св-ва

\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{b} \cdot \overline{a}.

1. Коммутативность:

(\lambda \cdot \overline{a}) \cdot \overline{b} = \lambda(\overline{a} \cdot \overline{b}).

2. Ассоциативный закон умножения:

3. Дистрибутивность относительно сложения и умножения векторов:

(\overline{a} + \overline{b}) \cdot \overline{c} = \overline{a}\cdot\overline{c} + \overline{b}\cdot\overline{c}.

4.               ; Если             , то               .

\overline{a}^2 \ge 0
\overline{a} \ne 0
\overline{a}^2 > 0

Задача 1

Дан куб                               со стороной   . Базисные векторы                                            

ABCDA_1B_1C_1D_1

Найти:

t
\overline{AA_1} = \overline{a}, \overline{AB} = \overline{b}, \overline{AD} = \overline{c},
|\overline{a}| = |\overline{b}| = |\overline{c}| = t, \angle(\overline{a}, \overline{b}) = \angle(\overline{a}, \overline{c}) = \angle(\overline{c}, \overline{b}) = 90^\circ.

где

\overline{AB_1} \cdot \overline{BC};

1.

2.

3.

4.

5.

\overline{CD_1} \cdot \overline{AC_1};
\angle(\overline{DC_1} ; \overline{CB_1});
\angle(\overline{A_1C} ; \overline{D_1B_1});
\rho(A_1D ; AB_1).

Задача 2

Дан правильная треугольная пирамида             , все ребра которой равны между собой. Известно, что                     — середины ребер. Базисные векторы:

и

DABC

Найти:

P, K, N, M
|\overline{a}| = |\overline{b}| = |\overline{c}| = t, \angle(\overline{a}, \overline{b}) = \angle(\overline{a}, \overline{c}) = \angle(\overline{c}, \overline{b}) = 60^\circ.

1.

2.

3.

\angle(\overline{AD} ; \overline{CB});
\angle(\overline{CP} ; \overline{AK});
\rho(CP ; AK).
|\overline{AD}| = |\overline{a}|, |\overline{AB}| = |\overline{b}|, |\overline{AC}| =|\overline{c}|,

Задача 3

            — пирамида, все ребра которой равны    .

SABC
m
\overline{AS} = \overline{a}, \overline{AB} = \overline{b}, \overline{AD} = \overline{c}

1.

2.

\rho(K_4T_4; K_3T_3);
\angle(\overline{T_4A} ; \overline{DT_3}).
T_1, T_2, T_3, T_4, K_5, K_2, K_3, K_4

— середины ребер. Полагая, что                                          , найти:

Координатно-векторный метод

Прямоугольная система координат в пространстве

x
y
z

абсцисса

ордината

аппликата

O

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.

M(x_0; y_0; z_0)

Разложение вектора на составляющие по осям координат

x
y
z
O
\overline{j}
\overline{i}
\overline{k}
\overline{a}
M
P
M_2
M_1
M_3

— единичный вектор по оси

\overline{i}

— единичный вектор по оси

\overline{j}

— единичный вектор по оси

\overline{k}
Ox
Oy
Oz
|\overline{i}| = |\overline{j}| = |\overline{k}| = 1.

три единичных вектора (орты), образуют декартов ортогональный базис.

\overline{a} = a_x \cdot |\overline{i}| + a_y \cdot |\overline{j}| + a_z \cdot |\overline{k}|

Ф-ла разложения вектора на составляющие по осям координат

\overline{a} = \{a_x; a_y; a_z \}

Основные теоремы

Напоминание: Пусть                                                       Тогда:

\overline{a}\{x_1; y_1; z_1\}, \overline{b}\{x_2; y_2; z_2\}.
k\overline{a}\{x_1; y_1; z_1\} = \{kx_1; ky_1; kz_1\};
\overline{a}\{x_1; y_1; z_1\}+ \overline{b}\{x_2; y_2; z_2\}= \{x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2\};
|\overline{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}.

* Если известны координаты вектора, то линейные операции над векторами можно заменить соответствующими арифметическими действиями над координатами

Скалярное произведение векторов в координатной форме на плоскости

\overline{a}(x_1; y_1), \overline{b}(x_2; y_2)

Теорема: Для векторов, записанных в координатной форме на плоскости —                                      , верно равенство:

\overline{a} \cdot \overline{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2.

Следствие I:  Если            , то                            , тогда

\overline{a} = \overline{b}
\overline{a}^2 = x_1^2 + y_1^2
|\overline{a}| = \sqrt{x^2_1 + y^2_1}.

Следствие II:  Если                                        , тогда

\overline{a} \ne 0, \overline{b} \ne 0, \overline{a} \perp \overline{b}
x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 0.

Следствие III:  Для                          :

\overline{a} \ne 0, \overline{b} \ne 0
\cos\angle(\overline{a}; \overline{b}) = \frac{x_1\cdot x_2 + y_1 \cdot y_2}{\sqrt{x^2_1 + y^2_1} \cdot \sqrt{x^2_2 + y^2_2}}.

Скалярное произведение векторов в координатной форме в пространстве

\overline{a}(x_1; y_1, z_1), \overline{b}(x_2; y_2, z_2)

Теорема: Для векторов, записанных в координатной форме в пространстве —                                                  , верно равенство:

\overline{a} \cdot \overline{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2.

Следствие I:  Если            , то                                      , тогда

\overline{a} = \overline{b}
\overline{a}^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2
|\overline{a}| = \sqrt{x^2_1 + y^2_1 + z^2_1}.

Следствие II:  Если                                        , тогда

\overline{a} \ne 0, \overline{b} \ne 0, \overline{a} \perp \overline{b}
x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2= 0.

Следствие III:  Для                          :

\overline{a} \ne 0, \overline{b} \ne 0
\cos\angle(\overline{a}; \overline{b}) = \frac{x_1\cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2}{\sqrt{x^2_1 + y^2_1 + z^2_1} \cdot \sqrt{x^2_2 + y^2_2 + z^2_2}}.

Задача

Дано:                                                      

Найти                                                    

\overline{a}\{-2; 1; -1\}, \overline{b}\{1; -3; 2\}.
|\overline{a} + 2\overline{b}| .

Задача. Решение

Дано:                                                      Найти                                                    

\overline{a}\{-2; 1; -1\}, \overline{b}\{1; -3; 2\}.
|\overline{a} + 2\overline{b}| .
2\overline{b} = \{2\cdot1; 2\cdot(-3); 2\cdot 2 \} = \{2; -6; 4\};
\overline{a} + 2\overline{b} = \{-2 + 2; 1-6; -1 + 4\} = \{0; -5; 3\};
|\overline{a} + 2\overline{b}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{34}.

Ответ:

\sqrt{34}.

Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если с точностью до параллельного переноса их можно одновременно разместить на одной прямой. Обозначение:

Теорема: Два ненулевых вектора     и     являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует число            , такое, что                 или когда пропорциональны их координаты.

\overline{a}
\overline{b}
k \ne 0
\overline{a} = k\overline{b},
\overline{a} \upuparrows \overline{b}.
\overline{a}
\overline{b}

Задача

Коллинеарны ли векторы

\overline{a}\{3;1;4\}, \overline{b}\{-3;-1;-4\}?

Задача. Решение

Коллинеарны ли векторы

\overline{a}\{3;1;4\}, \overline{b}\{-3;-1;-4\}?
\overline{a} = k\overline{b} \Rightarrow \overline{a}\{3;1;4\} = k\overline{b}\{-3;-1;-4\} \Rightarrow
\Rightarrow \overline{a}\{3;1;4\} = \overline{b'}\{-3k;-1k;-4k\}
\Rightarrow \begin{cases} -3k = 3;\\ -k=1;\\ -4k=4; \end{cases} \Rightarrow k = -1.

Из этого следует, что векторы коллинеарны.

Решение:

Компланарные векторы

Три ненулевые вектора называются компланарными, если с точностью до параллельного переноса их можно одновременно разместить в одной плоскости.

B_1
\overline{a}
\overline{b}
D
C
B
O
A
E
\overline{c}

Теорема: Для того, чтобы три ненулевых вектора    ,    , и     были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы существовала пара чисел     и    , таких, что                и

\overline{a}
\overline{b}
\overline{c}
x
y
xy \ne 0
\overline{c} = x\overline{a} + y\overline{b}.

Какие векторы компланарные?

Задача

Компланарны ли векторы

\overline{a}\{1;-3;2\}, \overline{b}\{4;2;-2\}, \overline{c}\{-3;-5;3\}?

Задача. Решение

Компланарны ли векторы

\overline{a}\{1;-3;2\}, \overline{b}\{4;2;-2\}, \overline{c}\{-3;-5;3\}?

Решение:

\overline{c} = x\overline{a} + y\overline{b},

Пусть                            т.е.

x\overline{a} = \{1;-3;2\} = \overline{a'} \{x;-3x;2x\}
y\overline{b} = \{4;2;-2\} = \overline{b'}\{4y;2y;-2y\};
\Rightarrow x\overline{a} + y\overline{b} = \overline{c'}\{x+4y;-3x+2y;2x-2y\} = \overline{c}\{-3;-5;3\}.
\Rightarrow \begin{cases} x+4y=-3;\\ -3x+2y=-5;\\ 2x-2y; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+4y=-3;\\ -x=-2;\\ 2x-2y; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4y=-5;\\ x=2;\\ 2y=1; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=-1{,}25;\\ x=2;\\ y = 0{,}5; \end{cases} \Rightarrow \varnothing

Таких чисел не существует, следовательно векторы не компланарны.

Разложение вектора по трем некопланарным векторам

Если вектор      представлен в виде                                     , где               — некоторые числа, говорят, что вектор     разложен по векторам       Числа              называются коэффициентами разложения.

\overline{q}
\overline{q} = x\overline{a} + y\overline{b} + z\overline{c}
x,y,z
\overline{q}
\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}.
x,y,z

Теорема: Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Задача

Разложить вектор

\overline{n}\{1;-1;2\}

по трем некомпланарным векторам

\overline{a}\{-2;1;-1\}, \overline{b}\{1;-3;2\}, \overline{c}\{2;-3;0\}.

Задача. Решение

Разложить вектор

\overline{n}\{1;-1;2\}

по трем некомпланарным векторам

\overline{a}\{-2;1;-1\}, \overline{b}\{1;-3;2\}, \overline{c}\{2;-3;0\}.

Решение:

Так как векторы              некомпланарны, то существуют числа             , не равные нулю, такие, что

\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}
x,y,z
\overline{n} = x\overline{a} + y\overline{b} + z\overline{c}.
\Rightarrow \begin{cases} 1 = -2x + y + 2z;\\ -1 = x - 3y - 3z;\\ 2 = -x + 2y + 0z; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -5y - 4z = -1;\\ -y - 3z = 1;\\ -x + 2y = 2; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 11z = -6;\\ -y - 3z = 1;\\ -x + 2y = 2; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z = -\frac{6}{11};\\ y = \frac{7}{11};\\ x = -\frac{8}{11}. \end{cases}
\Rightarrow \overline{n} = -\frac{8}{11}\overline{a} + \frac{7}{11}\overline{b} - \frac{6}{11}\overline{c}.

Задача (на дом)

\triangle ABC

В               вершины имеют координаты                                                      . Найти:

A(0;2;-1), B(2;0;1), C(4;2;-2)

1. Длину медианы

2. Угол

3. Координаты точки    , если              — параллелограмм.

m_{AC} = BM;
C;
D
ABCD

Деление отрезка в данном отношении

Отрезок            определен своими концами

Если      делит делит отрезок            в отношении                  тогда координаты точки      вычисляются по следующему принципу:

M_1M_2
M_1(x_1;y_1; z_1), M_2(x_2;y_2; z_2).
M
M_1M_2
\frac{M_1M}{MM_2} = \lambda
M
M(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1+\lambda}; \frac{y_1 + \lambda y_2}{1+\lambda}; \frac{z_1 + \lambda z_2}{1+\lambda}).

Пример: Даны точки                                       Найти координаты точки      — середины           .

 

Решение:

M_1(1;2;3), M_2(2;1;1).
M
M_1M_2
\frac{M_1M}{MM_2} = \lambda = 1 \Rightarrow M(\frac{1 + 1 \cdot 2}{1+1}; \frac{2 + 1 \cdot 1}{1+1}; \frac{3 + 1 \cdot 1}{1+1}) \Rightarrow M(1{,}5; 1{,}5; 2).

Расстояние между двумя точками

d(M_1; M_2) = |\overline{M_1M_2}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
y
z
O
M_2
M_1

параллельный перенос

Задача 1

ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1

В правильной шестиугольной призме                                           отношение длин ребер, исходящих из одной вершины, равно             , где        — наибольшее ребро. Точки                    — середины, соответственно, ребер                                     Найти:

 

1)                       ;

2)                       ;

3)                     ;

4)                     ;

3:2:2
AA_1
N, K, T, P
B_1C_1, D_1E_1, CD, FE.
\angle(PD_1; DN)
\rho(D; FA_1)
\rho(FE_1; EB_1).
\angle(FA_1; AB_1)
\angle(NT; PK)
\angle(TF_1; BK)

5)                  ;

6)                    

Задача 2

ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1

В правильной шестиугольной призме                                           отношение длин ребер, исходящих из одной вершины, равно             , где        — наибольшее ребро. Точки                    — середины, соответственно, ребер                                     Найти:

 

1)                       ;

2)                       ;

3)                     ;

4)                     ;

3:2:2
AA_1
N, K, T, P
B_1C_1, D_1E_1, CD, FE.
\angle(PD_1; DN)
\rho(D; FA_1)
\rho(FE_1; EB_1).
\angle(FA_1; AB_1)
\angle(NT; PK)
\angle(TF_1; BK)

5)                  ;

6)                    

Уравнение плоскости

Пусть задана прямоугольная система координат            и дана некоторая поверхность    , например плоскость. Уравнение с тремя переменными           называется уравнением поверхности    , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности     и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

F
Oxyz
x,y,z
F
F
\overline{n}\{A;B;C\}
M_0(x_0; y_0;z_0)
M(x; y;z)
\alpha
\overline{n} \perp \alpha

, где

\overline{n}\{A;B;C\}
M_0 \in \alpha
M \in \alpha

, где

, где

M_0(x_0; y_0;z_0)
M(x; y;z)

Уравнение плоскости (2)

\overline{n}\{A;B;C\}
M_0(x_0; y_0;z_0)
M(x; y;z)
\alpha
\overline{n} \perp \alpha

, где

\overline{n}\{A;B;C\}
M_0 \in \alpha
M \in \alpha

, где

, где

M_0(x_0; y_0;z_0)
M(x; y;z)
\Rightarrow
\overline{M_0M} = \{x-x_0;y-y_0;z-z_0\}

причем

\overline{n} \cdot \overline{M_0M} = 0 (\overline{n} \perp \alpha)
\Rightarrow
A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0

Уравнение плоскости, которой принадлежит точка 

M_0(x_0; y_0;z_0)
Ax + By + Cz - (Ax_0 + By_0 + Cz_0) = 0
D
Ax + By + Cz + D = 0

Общий вид уравнения плоскости:

Задача 1

N_1(1;1;-1), N_2(2;-1;1), N_3(-1;1;1)
\Rightarrow -\frac{2}{3}Dx - Dy - \frac{2}{3}Dz + D = 0; (\cdot 3) (: (-D))

Точки                                                               принадлежат плоскости   . Написать уравнение данной плоскости.

\alpha
\begin{cases} Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0;\\ Ax_2 + By_2 + Cz_2 + D = 0;\\ Ax_3 + By_3 + Cz_3 + D = 0; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A + B - C + D = 0;\\ 2A - B + C + D = 0; 2 \cdot(1) - (2)\\ -A + B + C + D = 0; (1) + (3) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A + B - C + D = 0;\\ 0 + 3B - 3C + D = 0; \\ 0 + 2B + 0 + 2D = 0; \end{cases}

Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными, используя уравнение плоскости и подставляя в него координаты данных точек:

\Rightarrow \begin{cases} A + B - C + D = 0;\\ -3D - 3C + D = 0; \\ B = -D; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A = -\frac{2}{3}D;\\ B = -D;\\ C = -\frac{2}{3}D. \end{cases}
\Rightarrow 2x + 3y + 2z - 3 = 0.

Решение:

Задача 2

A(1;2;-7)

Найти расстояние от точки                   до плоскости   , заданной уравнением                                     .

\alpha
12x + 4y + 3z - 4 = 0
M_0
A
\overline{n}
\alpha

Решение:

Из условия задачи следует, что                  .

\overline{n}\{12;4;3\}
\overline{AM_0} \parallel \overline{n}, M_0 \in \alpha, M_0(x_0; y_0; z_0)
\Rightarrow \overline{AM_0}\{x_0-1; y_0-2; z_0+7\}.
\overline{AM_0} \parallel \overline{n}

Т.к.               , то существует

такое           , что                  . Значит:

p \ne 0
\overline{AM_0} = p\overline{n}
\begin{cases} x_0 - 1 = 12p;\\ y_0 - 2 = 4p;\\ z_0 + 7 = 3p; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_0 = 12p + 1;\\ y_0 = 4p + 2;\\ z_0 = 3p - 7. \end{cases}

Если учесть, что             , а значит, выполн. равенство

M_0 \in \alpha
12x_0 + 4y_0 + 3z_0 - 4 = 0.

подставляя получим уравнение относительно

p
\Rightarrow 12(12p+1) + 4(4p+2) + 3(3p-7)- 4 = 0 \Rightarrow p =\frac{5}{169}.

Задача 2 (2)

\overline{AM_0} = \sqrt{(x_0 - 1)^2 + (y_0 - 2)^2 + (z_0 + 7)^2} = \sqrt{(12p)^2 + (4p)^2 + (3p)^2} = 13|p|.
p =\frac{5}{169}

Т.к.              и                      , то

\overline{AM_0} = 13|p|
\overline{AM_0} = 13\cdot \frac{5}{169} = \frac{5}{13}.
\rho(A; \alpha) = |\overline{AM_0}| = \frac{5}{13}.

Ответ:

M_0
A
\overline{n}
\alpha

или можно воспользоваться формулой...

\rho(Q; \alpha) = \frac{|AQ_x + BQ_y + CQ_z + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}},
M_0
Q
\overline{n}
\alpha
\alpha :: Ax + By + Cz + D = 0

где

A(1;2;-7)

Найти расстояние от точки                   до плоскости   , заданной уравнением                                     .

\alpha
12x + 4y + 3z - 4 = 0
\rho(A; \alpha) = \frac{|AA_x + BA_y + CA_z + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|12\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot(-7) + (-4)|}{\sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{169}} = \frac{5}{13}.
\rho(A; \alpha) = \frac{5}{13}.

Ответ:

и тогда предыдущая задача решается так:

Задачи

AB = \sqrt{10}

4. В основании прямоугольного параллелепипеда                              лежит прямоугольник              со сторонами                    ,                     . Высота параллелепипеда                 . Найти расстояние от точки     до плоскости        

5. В кубе                               с ребром 2 точка     — середина ребра          . Найти расстояние от точки     до плоскости            . (Решить двумя способами)

AD = 3\sqrt{10}
AA_1 = \frac{6}{\sqrt{5}}
ABCDA_1B_1C_1D_1
ABCD
A
A_1DB.
ABCDA_1B_1C_1D_1
M
A_1D_1
C
AB_1M

1. В единичном кубе            найти расстояние от точки     до плоскости

A...D_1
B
ACD_1.

2. В правильной шестиугольной призме           , все ребра которой равны   ,  найти расстояние от точки     до плоскости

A...F_1
B
ACB_1.
1

3. В правильной треугольной призме           , все ребра которой равны   , найти расстояние от точки     до плоскости

A...С_1
A
A_1B_1C.
1

Угол между плоскостями

\varphi
\overline{n_1}
\overline{n_2}
\cos \varphi = \frac{|\overline{n_1} \cdot \overline{n_2}|}{|\overline{n_1}|\cdot | \overline{n_2}|}

* Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла. Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

Задачи

2. В кубе                               точки     и     — середины ребер           и         соответственно . Найти угол между плоскостями          и            .

ABCDA_1B_1C_1D_1
E
F
AEF
BDD_1
A_1B_1
A_1D_1

1. В единичном кубе            найти угол между плоскостями            и            .

A...D_1
AB_1D_1
BA_1C_1

Угол между прямой и плоскостью

\overline{n}
m
\overline{a}
\alpha
\varphi
\theta
\sin \varphi = \displaystyle{\frac{|\overline{n} \cdot \overline{a}|}{|\overline{n}|\cdot | \overline{a}|}} = \Bigl|\cos\bigl(\angle(\overline{a}; \overline{n})\bigr)\Bigr|

Задачи

1. В кубе                          точка     — середина ребра        . Найти синус угла между прямой       и плоскостью          .

ABCDA_1B_1C_1D_1
E
A_1B_1
AE
BDD_1

2. В кубе                           все рёбра равны 4. На его ребре         отмечена точка      так, что            . Через точки     и     построена плоскость    , параллельная прямой        .                          , где     — точка пересечения плоскости     с ребром         . Найти угол наклона плоскости      к плоскости грани             .

ABCDA_1B_1C_1D_1
BB_1
K
KB=3
K
C_1
\alpha
BD_1
A_1P : PB_1 = 2 : 1
P
\alpha
A_1B_1
\alpha
BB_1C_1C

Расстояние между скрещивающимися прямыми

a \parallel \alpha, b \subset \alpha, P \in a \Rightarrow
\rho(a; b) = \rho(P; \alpha) = \displaystyle{\frac{|AP_x + BP_y + CP_z + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}},

Способ I. Ищем расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.

\alpha :: Ax + By + Cz + D = 0.

где

a
b
\rho(a; b)
\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}
P
\alpha
P'

Способ II. Поиск расстояния между параллельными плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые.

=\rho(\alpha; \beta) = \displaystyle{\frac{|D_\alpha - D_\beta|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}},
\alpha :: Ax + By + Cz + D_\alpha = 0,

где

\beta :: Ax + By + Cz + D_\beta = 0.

Расстояние между скрещивающимися прямыми (2)

a
b
\alpha
\beta
\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}
M_1
\rho(a; b)
M_2
\alpha \parallel \beta
\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}
\rho(a; b) =
\Leftarrow
a \in \alpha, b \subset \beta
a ∸ b

Способ III. Поиск расстояния между проекциями этих прямых на плоскость, которая перпендикулярна одной из этих прямых.

Расстояние между скрещивающимися прямыми (3)

a
b
\begin{cases} \\ \\ \end{cases}
\rho(a; b)
b \perp \alpha
\alpha
a

— наклонная к

\alpha
M
Q
H
P
T
PH

— проекция     на

a
\alpha
MH \perp \alpha, M \in \alpha
\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}
\rho(a; b) = \rho(PH; T) .
\Leftarrow

проекция перпендикулярной к плоскости прямой на на эту плоскость — точка

... но тут уже проще решить классическим способом.

Задачи (решить методом координат)

1. Дана правильная треугольная призма                                       , ребра которой равны 2. Точка     — середина ребра        .

а) Доказать, что прямые        и        перпендикулярны.

б) Найти расстояние между прямыми        и       .


2. В кубе                                 все рёбра равны 4. На его ребре         отмечена точка      так,       что               . Через точки      и       построена плоскость     , параллельная прямой         .

                                , где     — точка пересечения плоскости     с ребром           .

Найдите угол наклона плоскости      к плоскости грани                 .



3. В правильной шестиугольной призме                                        

а) Докажите, что прямые         и        перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми        и       .

ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1
CE
BG
G
AD
AD
BG
ABCDA_1B_1C_1D_1
BB_1
K
KB=3
K
C_1
\alpha
BD_1
A_1P : PB_1 = 2 : 1
P
BB_1C_1C
ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1
AB = 2, AA_1 = 3.
AC_1
BE
AC_1
BE
\alpha
\alpha
A_1B_1
Made with Slides.com