Элементарные функции. Элементарные преобразования графиков

11 класс

vkrysanov320@gmail.com

version 3.1, 26-08-2025; not fixed

«Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама природа: он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет времена, пространства, силы, температуры.»

Жан-Батист Жозеф Фурье

Maтематика в системе наук

Что изучает матанализ?

Интегральное исчисление

Дифференциальное исчисление

Теория пределов

Математический анализ — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

Движение, переменные величины и их взаимосвязи окружают нас повсюду. Различные виды движения и их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук: физики, геологии, биологии, социологии и др. Поэтому точный язык и соответствующие математические методы описания и изучения переменных величин оказались необходимыми во всех областях знания примерно в той же степени, в какой числа и арифметика необходимы при описании количественных соотношений.

Что изучает матанализ? (2)

Так вот, математический анализ и составляет основу языка и математических методов описания переменных величин и их взаимосвязей.

Понятие числовой функции

Числовой (вещественной) функцией называется соответствие между элементами двух числовых множеств и , в котором каждому элементу из множества соответствует один элемент из .

D(f)

E(f)

(заштрихованная часть)

y=f(x), x\in X

f:X\rightarrow Y

Обозначение:

где обозначает закон, определяющий соответствие

— независимая переменная (аргумент)

— зависимая переменная (функция)

Способы задания функции

(1) Табличный способ задания функции

При табличном способе функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции.

Способы задания функции (2)

При аналитическом способе функция посредством формул. При этом функция может быть задана в декартовых или полярных координатах, в явном, неявном виде или параметрическом виде.

(2) Аналитический способ задания функции

Функция в неявном виде

F(x; y) = 0

Уравнение вида на некотором числовом множестве , если для каждого существует единственное число , удовлетворяющему данному уравнению.

x \in X

Пример:

xy - 2 = 0

Функция в явном виде

Если в уравнении , определяющем функцию, закон соответствия задается конкретным аналитическим выражением, зависящим от .

f(x)

Пример:

y = x^2 + 5

А что можно сказать о

?

x^2 + y^2 = 0

Способы задания функции (2.2)

(2) Аналитический способ задания функции

Функция в параметрическом виде

При параметрическом задании функции значение функции и ее аргумента задаются как функции от некоторой переменной из множества :

\begin{cases} x= x(t); \\ y=y(t). \end{cases}

Если эти функции вычислить при одном и том же значении параметра , получим получим координаты на плоскости (когда параметр пробегает все значения из множества , тогда точка описывает некоторую линию в плоскости ).

M(x;y)

Oxy

Способы задания функции (3)

y=f(x)

При графическом способе функция задается с помощью графика.

(3) Графический способ задания функции

Замечание: Множество точек на координатной плоскости является графиком некоторой функции только в том случае, когда каждая параллельная оси прямая пересекает его не более чем в одной точке.

График числовой функции — это множество точек, на плоскости с координатами .

Oxy

(x_i; f(x_i))

M(x_0, f(x_0))

f(x_0)

x_0

График функции

Не является графиком функции

*График функции иногда можно построить с помощью элементарных преобразований графика, некоторой уже известной функции.

Элементарные преобразования графиков функций

(1) Параллельный сдвиг вдоль осей координат

Параллельный сдвиг вдоль оси Oy

y = f(x)

y = f(x) + c

|c|

y = f(x) + c

График функции

получается из графика

y = f(x)

|c|

сдвигом вдоль оси

на

единиц:

|c|

вверх, если

c > 0

вниз, если

c < 0

Параллельный перенос вдоль Ox

вправо, если :

c < 0

y = f(x+c)

f(x)

f(x+c)

|c|

f(x+c)

f(x)

|c|

График функции

получается из графика

y = f(x)

|c|

влево, если :

c > 0

сдвигом вдоль оси

на

единиц:

(2) Растяжение (сжатие) вдоль осей координат

Растяжение (сжатие) вдоль оси Oy

y = k \cdot f(x)

График функции

получается из графика

y = f(x)

растяжением (сжатием) вдоль оси

в:

растяжением в раз, если

\frac{1}{k}

k>1

0 < k < 1

y = f(x)

y = 2f(x)

y = \frac{1}{2}f(x)

сжатием в раз, если

\frac{a}{2}

Растяжение (сжатие) вдоль оси Ox

y = f(k \cdot x)

График функции

получается из графика

y = f(x)

растяжением (сжатием) вдоль оси :

y = f(x)

y = f(\frac{1}{2}x)

y = f(2x)

\frac{b}{2}

\frac{a}{2}

сжатием в раз, если

\frac{1}{k}

k>1

0 < k < 1

растягиванием в раз, если

(3) Симметричное отражение относительно осей координат

Симметричное отражение отн. Ox

-f(x)

f(x)

y = - f(x)

График функции

получается из графика

y = f(x)

симметричным отражением относительно оси :

Симметричное отражение отн. Oy

f(-x)

f(x)

y = f(-x)

График функции

получается из графика

y = f(x)

симметричным отражением относительно оси :

(4) Преобразования, связанные с модулем

Преобразования вида

f(x) \rightarrow |f(x)|

y = |f(x)|

График функции

получается из графика

y = f(x)

следующим образом:

часть графика, расположенная ниже оси , симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.

y = f(x)

y = |f(x)|

Преобразования вида

f(x) \rightarrow f(|x|)

y = f(|x|)

График функции

получается из графика

y = f(x)

следующим образом:

часть графика, расположенная в области остается без изменений, а его часть в области удаляется и заменяется симметричным отображением относительно оси части графика области .

x \ge 0

x < 0

x > 0

y = f(|x|)

y = f(x)

Арифметические операции над функциями

Арифметические операции над ф-ями

y = g(x)

Пусть даны две функции и и области определения

y = f(x)

D(f)

и соответственно.

D(g)

Определим новую функцию .

y = f(x) \oplus g(x), \oplus \in \{+, - , \times, /\}

Тогда ОДЗ для каждой операции:

y = f(x) \oplus g(x)

y = f(x) \cdot g(x) \Rightarrow D(f) \cap D(g);

y = \frac{f(x)}{ g(x)} \Rightarrow D(f) \cap D(g) \backslash \{x | g(x) = 0\}.

y = f(x) - g(x) \Rightarrow D(f) \cap D(g);

y = f(x) + g(x) \Rightarrow D(f) \cap D(g);

Композиция функций

y = f(x)

Пусть область значений функции содержится в области значений функции :

E(f) \subset D(g)

g(y)

Тогда функция называется сложной функцией или композицией и .

z = g(f(x)), x \in D(f)

z = g(f(x))

z = (g \circ f) x

внешняя функция

внутренняя функция

Обозначение:

Свойства функции

Чётные и нечетные функции

Числовая функция называется чётной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для всех

f(x) = f(-x)

x \in D(f).

x_0

-x_0

f(-x_0)

f(x_0)

y=f(x)

График четной функции

Числовая функция называется нечётной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для всех

f(-x) = -f(x)

x \in D(f).

-x_0

x_0

-f(x_0)

f(x_0)

y=f(x)

График нечетной функции

Если функция не является ни четно, ни нечетной, то такая ф-я называется функцией общего вида.

Периодичность функции

Функция называется периодической с периодом если,

y=f(x)

T \ne 0

x - T

и принадлежит области определения функции и

x + T

f(x) = f(x \pm T)

для любого .

x \in D(f)

Все периоды кратны наименьшему :

T_0

T = n\cdot T_0, n \in \mathbb {Z}.

Сумма, разность, произведение и частное периодических функций с периодом является периодическая функция с периодом .

Если ф-я периодическая с периодом , то ее график переходит сам в себя при сдвиге вдоль на единиц влево или вправо.

f(x)

f(x)

Периодичность функции (2)

Теорема: Если функция периодическая с периодом , то функция

y=f(x)

y=Af(kx + b) + B

будет так же периодической с периодом:

T_* = \frac{T}{k}, k \in \mathbb{R}, k \ne 0.

T = 2\pi

T_* = \frac{2\pi}{2} = \pi

y = 2\sin(2x+\pi)

y = \sin x

Ограниченность функции

Функция , определенная на множестве , называется ограниченной, если множество её значений ограниченно как сверху, так и снизу.

y = f(x)

Функция , определенная на множестве , называется ограниченной сверху, если множество её значений ограниченно сверху. Иначе говоря, функция ограничена сверху, если существует такая постоянная , что для каждого выполняется неравенство

y = f(x)

x \in X

f(x) \le M.

Функция , определенная на множестве , называется ограниченной снизу, если множество её значений ограниченно снизу. Иначе говоря, функция ограничена снизу, если существует такая постоянная , что для каждого выполняется неравенство

y = f(x)

x \in X

M \le f(x).

Ограниченность функции (2)

M_1

M_2

Монотонность функции

Функция называется возрастающей на множестве , если для любых из неравенства следует неравенство

y = f(x)

X \subset D(f)

x_1, x_2 \in X

x_2 > x_1

f(x_2) > f(x_1).

Функция называется убывающей на множестве , если для любых из неравенства следует неравенство

y = f(x)

X \subset D(f)

x_1, x_2 \in X

x_2 > x_1

f(x_2) < f(x_1).

x_1

x_2

f(x_2)

f(x_1)

y=f(x)

x_1

x_2

f(x_2)

f(x_1)

строго!!!

Функция называется монотонной на множестве (области монотонности), если она является либо возрастающей, либо убывающей на этом множестве.

Монотонность функции (2)

Функция называется невозрастающей на множестве , если для любых из неравенства следует неравенство

y = f(x)

X \subset D(f)

x_1, x_2 \in X

x_2 > x_1

f(x_2) \le f(x_1).

Функция называется неубывающей на множестве , если для любых из неравенства следует неравенство

y = f(x)

X \subset D(f)

x_1, x_2 \in X

x_2 > x_1

f(x_2) \ge f(x_1).

y = f(x)

y =f(x)

x_1

x_2

f(x_1)=f(x_2)

x_1

x_2

f(x_1)=f(x_2)

Максимумы минимумы функции

Точка называется точкой максимума/минимума функции на некотором множестве , если для всех выполняются неравенства:

x_0

y = f(x)

A \subset D(f)

x \in A

для максимума:

для минимума:

f(x_0) \ge f(x);

f(x_0) \le f(x).

Если указанное множество представляет собой некоторую окрестность точки , то в этом случае называют точкой локального максимума/минимума.

x_0

точки локального максимума или минимума называют точками экстремума.

x_1

x_2

f(x_1)

f(x_2)

y = f(x)

x_1

x_2

— точка лок. максимума

— точка лок. минимума

Асимптота графика функции

Асимптотой называют прямую линию, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность.

y=f(x)

y=x

Обратимость ф-ии и понятие обратной ф-ии

Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.

g\bigl(f(x)\bigr) = x

Две функции и являются взаимно обратными, если выполняются два условия:

f\bigl(g(y)\bigr) = y

Обратная функция может существовать только для обратимой функции.

для всех в области определения ;

для всех в области определения .

y = x

y = f(x)

x_0

y_0

M_1

M_2

y = g(x)

1) График взаимно обратных функций симметричен относительно прямой

3) Если — возрастающая/убывающая функция, то она имеет обратную функцию, которая также является возрастающей/убывающей.

y = x.

D(f^{-1}) = E(f);

f^{-1}(f(x)) = x, x \in D(f).

E(f^{-1}) = D(f);

f(f^{-1}(y)) = y, y \in E(f).

f(x)

обозначение взаимно обратной ф-ии

Типы отображений

Инъективное отображение (инъекция)

Отображение называется инъективным, если для любых из неравенства следует неравенство .

f: X \rightarrow Y

x_1, x_2 \in X

x_1 \ne x_2

f(x_1) \ne f(x_2)

Примеры:

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}}

— отображение инъективно.

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}}

— отоб-е не инъективно.

f(-2) = f(2) = 4.

Контрпример:

Сюръективное отображение (сюръекция)

Отображение называется сюръективным, если для всех существует такой, что .

f: X \rightarrow Y

y \in Y

x \in X

Примеры:

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}}

— отображение сюръективно.

f(x) = y

— отоб-е не сюръективно.

f(x) = -16.

Контрпример: не найдется такого , что

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R},\;f(x)=x^{2}}

Биективное отображение (биекция)

Отображение называется биектиыным, если оно сюръективно и инъективно одновременно.

f: X \rightarrow Y

Примеры:

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{3}}

— отображение биективно.

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R},\;f(x)=x}

— отображение биективно.

Элементарные функции и их свойства

I. Степенная функция

y = x^a

1. Линейная функция

y = x^a, a=1

D(f) = (-\infty; +\infty)

E(f) = (-\infty; +\infty)

(0;0)

;
;
точка пересечения с осями координат: ;
неограниченная;
непериодическая;
нечетная (график симметричен относительно начала координат);
возрастающая;
обратимая (функция обратна сама себе);
графиком функции является прямая.

I. Степенная функция (2)

y = x^a

2. Функция вида

y = x^n, n \in \mathbb{N}, n > 1, n

D(f) = (-\infty; +\infty)

E(f) = [0; +\infty)

(0;0)

;
;
точка пересечения с осью : ;
ограниченна снизу числом ;
непериодическая;
четная;
функция убывает на ;
функция возрастает на ;
функция необратимая.

— четное

(-\infty; 0]

[0; +\infty)

-1

y = x^6

y = x^4

y = x^2

I. Степенная функция (3)

\bm{y = x^a}

Функция вида

y = x^{-n}, n \in \mathbb{N}, n > 1

D(f) = \mathbb{R}\backslash\{0\}; E(f) = \mathbb{R}_{> 0}

точек пересечения с осями нет
неограниченная
непериодическая
четная
асимптоты графика — оси координат

f\nearrow: (-\infty; 0);\text{ } f \searrow : (0; +\infty)

— четное:

D(f) = \mathbb{R}\backslash\{0\}; E(f) = \mathbb{R}\backslash\{0\}

точек пересечения с осями нет
неограниченная
непериодическая
нечетная
асимптоты графика — оси координат

f\searrow: (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)

— нечетное:

I. Степенная функция (4)

\bm{y = x^a}

Функция вида

y = \sqrt[n]{x}, n \in \mathbb{N}, n > 1

— четное:

— нечетное:

D(f) = \mathbb{R}; E(f) = \mathbb{R}

т-ка пересеч. с осями координат:
неограниченная
непериодическая
нечетная
возрастающая
функция обратимая

(0;0)

D(f) = \mathbb{R}_{\ge 0}; E(f) = \mathbb{R}_{\ge 0}

т-ка пересеч. с осями координат:
ограничена нулем снизу
непериодическая
нечетная
возрастает на
функция обратимая

(0;0)

\mathbb{R}_{\ge 0}

II. Показательная функция

y = a^x, a>0, a \ne 1

y = a^x, a > 1

D(f) = (-\infty; +\infty)

E(f) = (0; +\infty)

;
;
точка пересечения с осью ординат: ;
непериодическая;
возрастающая;
обратимая;
асимптота графика — ось абсцисс.

(0;1)

y = a^x, 0< a < 1

D(f) = (-\infty; +\infty)

E(f) = (0; +\infty)

;
;
точка пересечения с осью ординат: ;
непериодическая;
убывающая;
обратимая;
асимптота графика — ось абсцисс.

(0;1)

II. Показательная функция (2)

y = a^x, a>0, a \ne 1

III. Логарифмическая функция

y = \log_a x, a>0, a\ne1

y = \log_a x, a > 1

D(f) = (0; +\infty)

E(f) = (-\infty; +\infty)

;
;
точка пересечения с осью абсцисс: ;
неограниченная
непериодическая;
возрастающая;
обратимая;
асимптота графика — ось ординат.

(1;0)

III. Логарифмическая функция (2)

y = \log_a x, a>0, a\ne1

y = \log_a x, 0 < a < 1

D(f) = (0; +\infty)

E(f) = (-\infty; +\infty)

;
;
точка пересечения с осью абсцисс: ;
неограниченная
непериодическая;
убывающая;
обратимая;
асимптота графика — ось ординат.

(1;0)

IV. Тригонометрические функции

y = \sin x

D(f) = (-\infty; +\infty)

E(f) = [-1; 1]

;
;
точка пересечения с осями:
- с : .
- с : ;
ограничена: ;
периодическая: ;
нечетная;
возрастает на:
убывает на:
необратимая.

\frac{\pi}{2}

(0;0)

x = (\pi n; 0), n \in \mathbb{Z}

|\sin x| \le 1

T = 2\pi

(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z};

(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z};

\pi

\frac{3\pi}{2}

-\frac{\pi}{2}

-\pi

-1

IV. Тригонометрические функции (2)

y = \cos x

D(f) = (-\infty; +\infty)

E(f) = [-1; 1]

;
;
точка пересечения с осями:
- с :
- с : ;
ограничена: ;
периодическая: ;
четная;
возрастает на:
убывает на:
необратимая.

\frac{\pi}{2}

(0;1)

x = (\frac{\pi}{2} + \pi n; 0), n \in \mathbb{Z};

|\cos x| \le 1

T = 2\pi

(\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z};

(2\pi; \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z};

\pi

\frac{3\pi}{2}

-\frac{\pi}{2}

-\pi

-1

IV. Тригонометрические функции (3)

y = \tg x

D(f) = (-\infty; +\infty) \backslash \{\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}

E(f) = (-\infty; +\infty)

;
;
точка пересечения с осями:
- с :
- с : ;
неограниченная;
периодическая: ;
нечетная;
возрастает на:
необратимая;
асимптоты:

\frac{\pi}{2}

(0;0)

x = (\pi n; 0), n \in \mathbb{Z};

T = \pi

(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z};

\pi

\frac{3\pi}{2}

-\frac{\pi}{2}

-\pi

y = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.

-\frac{3\pi}{2}

IV. Тригонометрические функции (4)

y = \ctg x

D(f) = (-\infty; +\infty) \backslash \{\pi n, n \in \mathbb{Z}\}

E(f) = (-\infty; +\infty)

;
;
точка пересечения с осями:
- с :
неограниченная;
периодическая: ;
нечетная;
убывает на:
необратимая;
асимптоты:

\frac{\pi}{2}

x = (\frac{\pi}{2} + \pi n; 0), n \in \mathbb{Z};

T = \pi

(\pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z};

\pi

\frac{3\pi}{2}

-\frac{\pi}{2}

-\pi

y = \pi n, n \in \mathbb{Z}.

V. Обратные тригонометрические функции

y = \arcsin x

D(f) = [-1;1]

E(f) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]

;
;
точка пересечения с осями: ;
ограничена: ;
нечетная;
возрастающая.

(0;0)

\frac{\pi}{2}

-1

|\arcsin x| \le \frac{\pi}{2}

-\frac{\pi}{2}

y = \arccos x

D(f) = [-1;1]

E(f) = [0; \pi];

;
точка пересечения с осями:
- с : ; с :
ограничена: ;
убывающая;
обратимая.

0 \le \arccos x \le \pi

y=\arcsin x

(1; 0)

(0; \frac{\pi}{2})

\frac{\pi}{2}

-1

\pi

y=\arccos x

V. Обратные тригонометрические функции (2)

y = \arctg x

D(f) = (-\infty; +\infty)

E(f) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})

;
;
точка пересечения с осями: ;
ограничена: ;
нечетная; возрастающая; обратимая;
асимптоты:

(0;0)

-\frac{\pi}{2}

|\arctg x| < \frac{\pi}{2}

y = \arcctg x

E(f) = (0; \pi);

;
точка пересечения с :
ограничена: ;
убывающая;
обратимая;
асимптоты:

0 < \arcctg x < \pi

y=\arctg x

(0; \frac{\pi}{2})

y = \frac{\pi}{2}; y = -\frac{\pi}{2}.

\frac{\pi}{2}

\frac{\pi}{2}

y=\arcctg x

\pi

D(f) = (-\infty; +\infty)

y = 0; y = \pi.

Преобразования графиков функций

преобразования аргумента: если в функции присутствует несколько преобразований, последовательность преобразований аргумента происходит в «обратном» порядке по сравнению с обычными арифметическими действиями:

1. Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы преобразовываем.

2. Определения порядка преобразований:

g(x) = Cf(Ax + B):

f(x) \xrightarrow{(1)} f(x + B) \xrightarrow{(2)} f(Ax + B) \xrightarrow{(3)} Cf(Ax+B).

преобразования со смещениями по ; преобразования со внешними модулями, если таковые имеются:

g(x) = \bigl||\varphi(x)| + D\bigr|:

\varphi(x) \xrightarrow{(1)} |\varphi(x)| \xrightarrow{(2)} |\varphi(x)| + D \xrightarrow{(3)} \bigl||\varphi(x)| + D\bigr|.

Задача 1

\sqrt{x} \xrightarrow{(1)} \sqrt{|x|} \xrightarrow{(2)} \sqrt{|x+2|} \xrightarrow{(3)} \sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} \xrightarrow{(4)} 3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}\xrightarrow{(5)} -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} \xrightarrow{(6)}

f(x)=\Bigl|2 - 3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x + 2\bigr|}\Bigr|

\xrightarrow{(6)} -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} + 2 \xrightarrow{(7)} \Bigl|-3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr| + 2}\Bigr|.

Построить эскиз графика функции .

Решение:

1. Цепочка элементарных преобразований:

2. Построение:

Часть графика, расположенную левее оси стираем, часть графика, расположенную правее оси достраиваем симметрично относительно .

\sqrt{x} \xrightarrow{(1)} \sqrt{|x|}:

y = \sqrt{|x|}

y = \sqrt{x}

Задача 1. Продолжение

\sqrt{|x|} \xrightarrow{(2)} \sqrt{|x+2|}:

\sqrt{|x+2|} \xrightarrow{(3)} \sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}:

Переносим на 2 единицы по

влево.

Растягиваем в 2 раза по

Ox.

Растягиваем в 2 раза по

-2

-4

\sqrt{2}

y = \sqrt{|x|}

y = \sqrt{|x+2|}

y = \sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}

y = \sqrt{|x+2|}

Задача 1. Продолжение (2)

\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} \xrightarrow{(4)} 3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}:

Растягиваем в 3 раза

Oy.

по

\sqrt{2}

3\sqrt{2}

-4

3\sqrt{2}

-3\sqrt{2}

-4

3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}\xrightarrow{(5)} -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}:

Зеркально

отражаем график относительно .

y = 3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}

y = \sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}

y = 3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}

y = -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}

Задача 1. Продолжение (3)

-3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} \xrightarrow{(6)} -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} + 2:

-3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} + 2 \xrightarrow{(7)} \Bigl|-3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr| + 2}\Bigr|:

Часть графика, расположенную выше оси оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси , отображаем симметрично относительно этой оси.

Переносим на две единицы вверх по .

-3\sqrt{2}

-3\sqrt{2} + 2

-4

-3\sqrt{2} + 2

3\sqrt{2} - 2

x_1

x_2

y = -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}

y = -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} + 2

y = \Bigl|-3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr| + 2}\Bigr|

y = -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} + 2

Задача 2

Построить эскиз графика функции .

f(x) = -3\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) - 1

Решение:

1. Цепочка элементарных преобразований:

\sin(x) \xrightarrow{(1)} \sin(x + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(2)} \sin(|x| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(3)} \sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(4)} -\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(5)}

\xrightarrow{(5)} -3\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(6)} -3\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) - 1.

2. Построение:

Переносим на влево по

Ox.

\frac{\pi}{6}

y = \sin(x)

y = \sin(x+\frac{\pi}{6})

-\frac{\pi}{6}

\pi-\frac{\pi}{6}

\sin(x) \xrightarrow{(1)} \sin(x + \frac{\pi}{6}):

\sin\frac{\pi}{6}

Отражаем часть графика на зеркально относительно . Часть графика на стираем.

x > 0

y = \sin(x+\frac{\pi}{6})

y = \sin(|x|+\frac{\pi}{6})

\frac{5\pi}{6}

x < 0

y = \sin(|x|+\frac{\pi}{6})

y = \sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6})

\frac{5\pi}{6}

2 \cdot \frac{5\pi}{6}

Растягиваем в 2

\sin(x + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(2)} \sin(|x| + \frac{\pi}{6}):

\sin(|x| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(3)} \sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}):

раза по .

Задача 2 (продолжение)

y = -\sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6})

y = \sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6})

\frac{5\pi}{3}

\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(4)} -\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}):

Зеркально

отражаем график относительно .

\frac{1}{2}

-\frac{1}{2}

в 3 раза по .

Задача 2 (продолжение) (2)

-\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(5)} -3\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}):

Растягиваем

\frac{5\pi}{3}

y = -\sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6})

y = -3\sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6})

-3\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(6)} -3\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) - 1:

Переносим на единицу вниз по .

y = -3\sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6})

y = -3\sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6}) - 1

\frac{5\pi}{3}

-\frac{1}{2}

3 \cdot (-\frac{1}{2})

-1{,}5

-2{,}5

x_0

Задача 3 (более общие преобразования)

Построить эскиз графика функции .

y = 1 + 2f(-x)

Решение:

1. Цепочка элементарных преобразований:

f(x) \xrightarrow{(1)} f(-x)\xrightarrow{(2)} 2f(-x) \xrightarrow{(3)} 1 + 2f(-x).

2. Построение:

Симметрично отражаем относительно

Oy.

y = f(x)

y = f(-x)

f(x) \xrightarrow{(1)} f(-x):

y = f(-x)

y = 2f(-x)

f(-x)\xrightarrow{(2)} 2f(-x):

Растягиваем в 2 раза вдоль .

y = 2f(-x)

y = 2f(-x) + 1

2f(-x) \xrightarrow{(3)} 1 + 2f(-x):

Поднимаем на одну единицу вверх по .

Задачи

Построить эскизы следующих графиков функций с помощью элементарных преобразований:

y = 2\ln\bigl(-\frac{x}{3} \bigr) - 1;

а)

y = -\arcsin(|x| - 3);

в)

y = \sqrt{|1-2x|} - 1;

г)

y = \arctg |2x + 1|;

д)

е)

y = |x-3|;

б)

y = |x^2 + 4x + 3|;

y = 2^{1-3x};

ж)

y = \log_{2}(1-3x);

и)

y = 2 - \log_{\frac{1}{3}}(4-2|x|);

й)

y = \arctg \frac{|4x + 7|}{28}.

к)

л)

y = \sqrt{2 + 3x};

з)

y = 3\log_2 (2x+1) - 1;

График дробно-линейной функции

\displaystyle{y = \frac{ax + b}{cx + d}, cx + d \ne 0}

\displaystyle{y = \frac{ax + b}{cx + d} \Big|_{c=0} = \frac{ax + b}{0x + d} = \frac{ax + b}{d} = \frac{a}{d}x + \frac{b}{d} }

\displaystyle{y = \frac{ax + b}{cx + d} \Big|_{ad - bc = 0} = \frac{a(x + k)}{c(x + k)} = \frac{a}{c}}

\displaystyle{y = \frac{ax + b}{cx + d}, \frac{a}{c} \ne \frac{b}{d}, c \ne 0}

Частные случаи:

Общий случай:

(График — прямая)

(График — прямая, параллельная ).

Пример:

y = \frac{4x + 2}{2x + 1} = \frac{4(x + \frac{1}{2})}{2(x + \frac{1}{2})} = 2, x \ne -\frac{1}{2}

y = \frac{4x + 2}{3}

-\frac{1}{2}

c= 0:

ad - bc = 0:

Построение графика дробно-линейной ф-ии (I)

\displaystyle{\frac{ax + b}{cx + d} = A + \frac{k}{cx + d} = \frac{a}{c} + \frac{k}{cx + d}}

(I способ) С помощью элементарных преобразований:

главная часть (целая часть)

дробная часть

Пример:

y = \frac{2x + 1}{4x+2}

\frac{2x + 1}{4x+2} = \frac{2}{4} + \frac{1}{2x-1}

\frac{2x + 1}{4x+2} - \frac{2}{4} = \frac{2x + 1 - 2x + 1}{2(2x-1)} = \frac{2x}{4x-2} = \frac{1}{2x-1}

\Rightarrow

y = \frac{2x + 1}{4x+2} = \frac{2}{4} + \frac{1}{2x-1}

Цепочка элементарных преобразований:

\frac{1}{x} \xrightarrow{(1)} \frac{1}{x-1} \xrightarrow{(2)} \frac{1}{2x-1} \xrightarrow{(3)} \frac{1}{2x-1} + \frac{1}{2}

Построение графика дробно-линейной ф-ии (I-2)

\frac{1}{x-1} \xrightarrow{(2)} \frac{1}{2x-1}

\frac{1}{2x-1} \xrightarrow{(3)} \frac{1}{2x-1} + \frac{1}{2}

\frac{1}{x} \xrightarrow{(1)} \frac{1}{x-1}

Сдвигаем на единицу влево по .

Сжимаем по в 2 раза.

Сдвигаем на одну единицу вверх по .

-1

\frac{1}{2}

-\frac{1}{2}

Построение графика дробно-линейной ф-ии (II)

\displaystyle{y = \frac{ax + b}{cx + d}}

(II способ) С помощью асимптот:

(Вертикальная асимптота)

(Горизонтальная асимптота)

Пример:

y = \frac{3x - 2}{2x+3}

x = -\frac{d}{c}

y = \frac{a}{c}

x = -\frac{3}{2}

y = \frac{3}{2}

1. Горизонтальная асимптота:

2. Вертикальная асимптота:

y = \frac{3}{2}

x = -\frac{3}{2}

-\frac{3}{2}

\frac{3}{2}

\frac{3\cdot 0 - 2}{2 \cdot 0 +3} = \frac{2}{3}

0 = \frac{3x - 2}{2x+3} \Rightarrow -\frac{2}{3}

Задача 4

Построить эскиз графика функции с помощью элементарных преобразований и методом асимптот.

y=|\frac{3x + 2}{5x - 4}|

Задача 5

Построить эскиз графика функции с помощью элементарных преобразований и методом асимптот.

y=\frac{3|x| + 2}{5|x| - 4}

Задача 6

Найти множество значений функции

y=\sqrt{5-x} + 2.

1. Цепочка элементарных преобразований:

\sqrt{x} \xrightarrow{(1)} \sqrt{-x}\xrightarrow{(2)} \sqrt{-x + 5} \xrightarrow{(3)} \sqrt{-x + 5} + 2.

y = \sqrt{-x}

y = \sqrt{x}

y = \sqrt{-x + 5}

y = \sqrt{-x }

y = \sqrt{-x + 5}

y = \sqrt{-x + 5} + 2

E(\sqrt{5-x} + 2) = [2; +\infty).

\Rightarrow

2. Построение:

\sqrt{5-x} + 2 \Bigr|_{x={\underset {x}{\operatorname {argmin}}}(\sqrt{5-x})} = \sqrt{5-5} + 2 = 2

\sqrt{5-x} + 2 \Bigr|_{x={\underset {x}{\operatorname {argmax}}}(\sqrt{5-x})} = \sqrt{-(-\infty)-5} + 2 = +\infty

\Rightarrow

I. Графически:

II. Аналитически:

FIX IT!

Построение графиков вида

y = f(x) + g(x)

Пример 1

Построить эскиз графика

y=\cos x + x.

\frac{\pi}{2}

\pi

\frac{3\pi}{2}

y=\cos x

y= x

y=\cos x + x

y= x - 1

y= x + 1

Пример 2

Построить эскиз графика

y=\cos x + \sin x.

\max(\sin x + \cos x)

\frac{\pi}{2}

y=\cos x

y=\cos x + \sin x

y= \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

y=\sin x

\min(\sin x + \cos x)

\frac{\pi}{4}

y= -(\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4}) = -(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2}

{\pi}

\frac{3\pi}{4}

\frac{5\pi}{4}

Еще примерчик ...

Построить эскиз графика

y=|\cos x| + |\log_{\frac{1}{2}} x|.

y=|\log_{\frac{1}{2}} x|

y=|\cos x| + |\log_{\frac{1}{2}} x|

y=|\sin x|

{\pi}

2\pi

Построение графиков вида

y = f(x) \cdot g(x)

Пример

Построить эскиз графика

y=\cos x \cdot x.

\pi

2\pi

y=\cos x

y= x

y=\cos x \cdot x

y= -x

Построение графиков вида

y = f(g(x))

Пример 1

Построить эскиз графика

y=\ln(x^2 - 3x +2 ).

y=\ln(x^2 - 3x +2 )

y= x^2 - 3x +2

y= \ln x

Пример 2

Построить эскиз графика

y=\log_2(\sin x).

y=\log_2(\sin x)

y= \sin x

y= \log_2 x

\pi

Задачи

Построить эскизы следующих функций:

y=\lg( \cos x)

y=2^{\tg x}

y = \sqrt{x} + \sin x

y=\sqrt{\sin x}