Интегральное исчисление

11 класс

 

vkrysanov320@gmail.com

Новая идея математического анализа

x
y = f(x)
y
O
a
f(a)
A

Нам понятно, что делает функция в точке    , но как она выглядит в, если подойти очень- очень близко к точке    ?

a
a

Новая идея математического анализа (2)

x
y = \frac{1}{x}+2
y
O
2

Рассмотрим функцию                    . Она определена для всех    , кроме            .

Рассмотрим, как изменяются значения этой функции при неограниченном возрастании    :

x
x=0
y = \frac{1}{x}+2
x
x
y
1
2
4
8
10
10^2
10^{10}
3
2{,}5
2{,}25
2{,}125
2{,}1
2{,}01
\frac{1}{10^{10}} + 2

Значения данной функции приближаются к двум, когда независимая переменная неограниченно возрастает.

\lim\limits_{x \rightarrow \infty} (\frac{1}{x} + 2) = 2

Данное в математике записывается следующим образом:                            .

Новая идея математического анализа (3)

x
y = \frac{1}{x}+2
y
O
2

А теперь рассмотрим, как изменяются значения этой функции при приближении зависимой переменной к единице:

x
y
\frac{1}{10^{10}}
\frac{1}{10^2}
\frac{1}{10}
0{,}125
0,{25}
0{,}5
1
10^{10}+2
102
12
10
6
4
3

Значения данной функции приближаются к трем, когда независимая переменная стремится к одному.

x
y
1
2
4
8
10
10^2
10^{10}
3
2{,}5
2{,}25
2{,}125
2{,}1
2{,}01
\frac{1}{10^{10}} + 2

приближение слева:

приближение справа:

\lim\limits_{x \rightarrow 1} (\frac{1}{x} + 2) = 3

Данное в математике записывается следующим образом:                          .

Еще пример

f(x) = x, \text{ если } x \ne 1
x
y
O
f(x) = x, x \ne 1
1
1

Несмотря на то, что функция не существует  в точке           , 

x = 1
\lim\limits_{x \rightarrow 1} f(x) = 1:
x
y
1
\frac{10}{11}
\frac{5}{6}
\frac{4}{5}
\frac{3}{4}
\frac{1}{2}
0
-
\frac{10}{11}
\frac{5}{6}
\frac{4}{5}
\frac{3}{4}
\frac{1}{2}
0

По дороге график может вилять туда-сюда, но в конце концов все же приходит к           — в том смысле, что попадает в любую сколь угодно малую окружность с центром в            и остается там.

(a, L)
(a, L)

Идея пределов при стремлении к конечной величине

\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A
x_0
x_0
O
O
O
x
x
x
y
y
y
x_0
x_0
x_0
A
A
A
f(x_0)

оператор предела

аргумент предела

значение предела

f \left( x \right) \xrightarrow[x \to x_0]{} A

или:

Задача 1. Вычислить пределы

\lim\limits_{x \rightarrow -3} x^2;
\lim\limits_{x \rightarrow 1} (3x-7);
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\pi};
\lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{2}{x};
\lim\limits_{x \rightarrow \pi} \cos x;
\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{|x-1|};
\lim\limits_{x \rightarrow 2} \frac{1}{(x-2)^3};
\lim\limits_{x \rightarrow -2} \frac{-3}{x+2};
\lim\limits_{x \rightarrow 5} \frac{1}{x-5};
\lim\limits_{x \rightarrow 2} \log_2 x.

А есть ли разница, с какой стороны приближаться?

Конечно есть! И опять эта функция ...

O
x
y
y = \frac{1}{x}
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = ?
x
y
-10
-5
-1
-0{,}125
-0,{25}
-0{,}5
-\frac{1}{10}
-\frac{1}{5}
-1
-2
-4
-8
-100

приближение слева:

-\frac{1}{100}

*стремится к    

-\infty.
x
y
10
5
1
0{,}125
0,{25}
0{,}5
\frac{1}{10}
\frac{1}{5}
1
2
4
8
100

приближение слева:

\frac{1}{100}

*стремится к    

+\infty.
-\infty.
+\infty.

Левосторонний и правосторонний предел

O
x
y
y = \frac{1}{x}
\lim\limits_{x \rightarrow 0-0} \frac{1}{x} = -\infty
\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} \frac{1}{x} = +\infty

Левосторонний предел:

Правосторонний предел:

Первый замечательный предел

Рассмотрим функцию

y= \frac{\sin x}{x}:
O
y
x
y= \frac{\sin x}{x}
y= \frac{1}{x}
y= \sin x
\pi
2\pi

Точка разрыва

\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} \frac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0-0} \frac{\sin x}{x} = 1 \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1.

Второй замечательный предел

Рассмотрим функцию

y= (1+x)^\frac{1}{x}.
\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} (1+x)^\frac{1}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0-0} (1+x)^\frac{1}{x} = e \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow 0} (1+x)^\frac{1}{x} = e.

Точка разрыва при          . Но при сближении что слева, что справа к нулю:                               ,                               .

x=0
\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} (1+x)^\frac{1}{x} = e
\lim\limits_{x \rightarrow 0-0} (1+x)^\frac{1}{x} = e

Свойства пределов (1)

\lim\limits_{x \rightarrow x_0}(f(x) + g(x)) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) + \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x);
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}(f(x) - g(x)) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) - \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x);
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}(f(x) \cdot g(x)) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) \cdot \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x);
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)}{\lim\limits_{x \rightarrow x_0} g(x)}, \lim\limits_{x \rightarrow x_0} g(x) \ne 0;
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}(k \cdot f(x)) = k \cdot \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x);

1.

2.

3.

4.

5.

где 

\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x), \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x) \in \mathbb{R}.

Свойства пределов (2)

\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) = \infty \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{1}{f(x)} = 0;
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) = 0 \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{1}{f(x)} = \infty;

1.

2.

где 

f(x) \ne 0.
Made with Slides.com