Зачем изучать математику?

10 класс

vkrysanov320@gmail.com

version 3.5, 31-09-2024

Парадокс познания:

«Чем больше мы знаем, тем больше мы не знаем.»

Математика в системе наук

Проверим внимательность...

Сколько будет ?

2^2

Сколько будет ?

3^2

Сколько будет ?

4^2

А чему равен угол в квадрате?

Следователь Петров хочет установить по фотографии куда ехал автобус. Как это сделать?

Дверь с правой стороны

Простоя геометрическая задачка

AB = 10;

CH= 6;

т.н.:

S(ABC)

Простоя геометрическая задачка (2)

AB = 10;

CH= 6;

т.н.:

S(ABC)

\begin{cases} \\ \\ \end{cases}

\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}

10-a

\begin{cases} (10-a)^2 + 6^2 = AC^2;\\ a^2 + 6^2 = BC^2;\\ AC^2 + BC^2 = AB^2; \end{cases}

Применив теорему Пифагора:

a^2 + (10-a)^2 + 72 = 100

a^2 + 100 - 20a + a^2 + 72 = 100

2a^2 - 20a + 72 = 0

a^2 - 10a + 36 = 0

D = 100 - 4\cdot36 < 0

\begin{cases} a^2 + (10-a)^2 + 72 = AC^2 + BC^2;\\ AC^2 + BC^2 = 100; \end{cases}

\Rightarrow a \notin \mathbb{R}

S(ABC) = \frac{1}{2} AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30.

Тривиальное решение:

— но неверное!

\Rightarrow S(ABC) \in \varnothing.

а вот почему ...

Под крылом самолета

Самолёт покрывает расстояние от города А до города Б в 1 час 20 минут. Однако обратный перелет он совершает в 80 минут. Как вы это объясните?

Под крылом самолета. Ответ

А то объяснять??? То что 80 минут и 1 час 20 минут — это одно и то же?

Чему равна сумма чисел

от 1 до 100?

Сумма чисел от 1 до 100

S_{n} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \Rightarrow S_{100} = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = 5050.

По формуле суммы арифметической прогрессии:

... или более простым путем:

...

+ 50

\underbrace{\text{\hspace{4.5cm}}}

+ 100

49 \cdot 100

\sum = 100 + 49 \cdot 100 + 50 = 5050.

А теперь совсем чуть-чуть посложнее...

Вычислить в уме

a)\text{ }0{,}75 \cdot \frac{3}{4}

b)\text{ }-3{,}5 + \frac{7}{2}

c)\text{ }(\sqrt{144})^2

d)\text{ }0{,}25 \cdot 19 \cdot 4

e)\text{ }\sqrt{81} - 2^4

f)\text{ }6^3 \cdot 6^{-3}

g)\text{ }1{,}5 \cdot \frac{4}{3}

j)\text{ }-1{,}25 + \frac{5}{4} + 3

k)\text{ }(\sqrt{3})^4

l)\text{ }3^7 \cdot 3^{-4}

m)\text{ }(-3\frac{1}{3})^3

n)\text{ }2{,}5 \cdot 0{,}4

o)\text{ }(\sqrt{4})^6

p)\text{ }\sqrt{1\frac{9}{16}}

i)\text{ }0{,}3 \cdot \frac{10}{3} : 0{,}2

h)\text{ }(-1\frac{1}{2})^2

Вычислить без использования вычислительных средств

5678901011^2 - 5678901010 \cdot 5678901012 = ?

(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

Приведём выражение к «нужному» виду. По формуле сокращённого умножения получим:

5678901011^2 - 5678901010 \cdot 5678901012 =

= 5678901011^2 - [(5678901011 - 1)(5678901011 + 1)] =

= 5678901011^2 - 5678901011^2 + 1 = 1.

5678901011^2 - 5678901010 \cdot 5678901012 = ?

Вычислить без использования вычислительных средств. Решение

19911991 \cdot 199219921992 - 19921992 \cdot 199119911991 = ?

Вычислить без использования вычислительных средств (2)

19911991 \cdot 199219921992 - 19921992 \cdot 199119911991 = ?

1991 \cdot 10001

1992 \cdot 100010001

{\underbrace{19911991 \cdot 199219921992}_{1991 \cdot 1992 \cdot 10001 \cdot 100010001}} - {\underbrace{19921992 \cdot 199119911991}_{1992 \cdot 1991\cdot 10001 \cdot 100010001}} = 0.

Вычислить без использования вычислительных средств (2). Решение

Вычислить

24\frac{3}{4} - \Bigl(12\frac{5}{9} - 4\frac{7}{8} + 1\frac{5}{12}\Bigr) - \Bigl(13\frac{15}{16} - 10\frac{5}{9} \Bigr) - 2\frac{13}{48};

\frac{\bigl(15: \frac{5}{18} : 3\frac{3}{8}\bigr) \cdot \bigl(\frac{1}{16} + \frac{11}{36} + \frac{5}{48} + \frac{5}{18} \bigr)}{\bigl(11\frac{5}{11} - 8\frac{21}{22}\bigr): 1\frac{2}{3}};

\Bigl(\frac{928 \cdot 10^{-2}}{0{,}8} - 0{,}6\Bigr): \Bigl[\frac{\bigl(42 \cdot 3\frac{5}{6} + 3{,}3 : 0{,}03 \bigr) : \frac{1}{15}}{\bigl( 3\frac{3}{4} : 0{,}625 - 0{,}84 : 0{,}8 \bigr) : 0{,}03} \Bigr]^{-1}.

а)

б)

в)

Вычислить. Ответы

24\frac{3}{4} - \Bigl(12\frac{5}{9} - 4\frac{7}{8} + 1\frac{5}{12}\Bigr) - \Bigl(13\frac{15}{16} - 10\frac{5}{9} \Bigr) - 2\frac{13}{48} = 10;

\frac{\bigl(15: \frac{5}{18} : 3\frac{3}{8}\bigr) \cdot \bigl(\frac{1}{16} + \frac{11}{36} + \frac{5}{48} + \frac{5}{18} \bigr)}{\bigl(11\frac{5}{11} - 8\frac{21}{22}\bigr): 1\frac{2}{3}} = 8;

а)

б)

в)

Сколько путей ведет

из A в B?

Сколько путей ведет из A в B? Решение

Ответ: 56.

n+m

Для каждой вершины будет работать следующее правило (метод динамического программирования):

А вот еще геометрическая задачка...

Пластина имеет форму круга, в котором вырезано круглое отверстие меньшего радиуса так, что окружности, являющиеся границами кругов, касаются друг друга. Длина хорды большей окружности, которая параллельна их общему диаметру и касается меньшей окружности, равна 6 см. Найдите площадь пластины.

Геометрическая задачка (2). Решение

AO \cdot OB = CO \cdot OD;

\underbrace{\text{\hspace{1.5cm}}}

S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = 9 \pi.

3 \cdot 3 = (R - r)(R+r);

9 = R^2 - r^2.

Посетитель пришёл в музей и увидел в музее странные часы (рисунок справа). На их циферблате нет цифр и вообще не понятно, где у часов верх. А секундная, минутная и часовая стрелки имеют одинаковую длину. Какое время показывали часы?

Странные часы

Странные часы. Часовая стрелка

B — часовая стрелка. Так как, если бы часовая стрелка смотрела ровно на часовую отметку, минутная и секундная стрелка смотрели бы ровно на отметку «12».

Странные часы. Где «12»?

Оставшиеся две стрелки указывают ровно на часовые отметки, поэтому сейчас сколько-то часов и целое число минут — в частности, секундная стрелка указывает на отметку «12».

Какая стрелка минутная а какая секундная?

12?

Странные часы. Два варианта

Рассматриваем два случая:

Если секундная стрелка — стрелка А, то на часах немного меньше семи часов (судя по часовой стрелке), и по минутной стрелке — 10 минут, что невозможно.

Странные часы. Ответ

Так образом, B — часовая стрелка. А — минутная, С — секундная.

4:50
 16:50

или

Время на часах:

И совсем легенькая геометрическая задачка ...

Возьмем квадрат со стороной и, следовательно, с площадью . Разрежем его на три части так, как показано на первом чертеже. Затем переложим эти части так, как показано на втором. Получается прямоугольник, площадь которого легко вычислить:

8 \text{ см}

64 \text{ см}^2

S = 7 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 63 \text{ см}^2.

В чем же дело?

Метро в Запрещаевске

В городе Запрещаевске в метро строго запрещено провозить предметы, длина, ширина или высота которых превосходит 1 м. Тем не менее первокласснику Васе удалось провезти лыжи длиной 1,5 м. Как?

Задача про автобус

Весь путь автобус ехал с неизменной скоростью. В первую часть пути автобус проехал столько километров, сколько минут ему осталось ехать. Во вторую часть пути автобус проехал столько километров, сколько минут ехал в первую часть пути. Какова скорость автобуса?

Задача про автобус. Решение

\underbrace{\text{\hspace{4.5cm}}}

\underbrace{\text{\hspace{3.8cm}}}

x \text{ км}

y \text{ км}

y \text{ мин}

x \text{ мин}

\Rightarrow

\frac{x}{y}

\frac{y}{x}

\text{км/мин}

\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{y}{x} = 1 \text{ км/мин} = 60 \text{ км/ч}.

Ответ: 60 км/ч.

... и опять про автобус

Дорога между двумя горными селами A и B идет то в гору, то под гору. Старый автобус, который развивает среднюю скорость 30 км/ч в гору и 60 км/ч под гору, проехал из A в B и обратно. Какова была его средняя скорость на всем пути?

... и опять про автобус. Решение

\underbrace{\text{\hspace{13cm}}}

км — проехал в гору,

км — проехал с горы (ехал туда-обратно же).

\Rightarrow v_{\text{ср}} = \frac{\sum s_{i}}{\sum t_{i}} = \frac{2S}{\frac{S}{30} + \frac{S}{60}} = \frac{2S}{\frac{2S + S}{60}} = \frac{2S \cdot 60}{3S} = 40 \text{ км/ч}.

Ответ: 40 км/ч.

«Реактивная муха»

Два города А и В находятся на расстоянии 300 км друг от друга. Из этих городов одновременно выезжают друг другу навстречу два поезда и мчатся, не останавливаясь, со скоростью 50 км/ч. В начальный момент движения поезда из пункта А взлетает муха и принимается летать вперед и назад между поездами, пока те не встретятся, со скоростью 1000 км/ч. Сколько километров пролетела муха?