Расстояния между скрещивающимися прямыми

10 класс

 

vkrysanov320@gmail.com

version 1.0 not-fixed, 16-04-2023

Расстояние между скрещивающимися прямыми (I)

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

a
b
M
M'
\rho(a; b)
\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}
MM'\perp a
MM'\perp b
\begin{cases} \\ \\\\ \end{cases}
\Rightarrow \rho(a; b) = MM'.
a ∸ b

Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести одну плоскость.

Вытекает из определения расстояния между двумя фигурами: расстояние между двумя фигурами называется расстояние между ближайшими точками этих фигур (если такие точки имеются).

* a ∸ b

Задачи (I)

1. Прямая    перпендикулярна плоскости          . Т.н.:              .

ABC
\rho(a, AC)
a

2. Прямая    перпендикулярна плоскости          . Т.н.:              .

ABC
\rho(a, AC)
a

3. Прямая    перпендикулярна плоскости          . Т.н.:              .

ABC
\rho(a, AC)
a

4. Точка     лежит вне плоскости

M
ABC.

Т.н.:                    .

\rho(BM, AC)

5. Точка     лежит вне плоскости

M
ABC.

Т.н.:                    .

\rho(AM, BD)
ABCD

— квадрат.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми (II)

a
b
a
b
a
b

Шаг 1. «Обернуть» одну из прямых в плоскость, которая будет параллельна второй прямой.

Шаг 2. Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на проведенную плоскость (он и будет искомым расстоянием).

\rho(a; b)
\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}
M
\alpha
\alpha
M'
* a ∸ b
MM' \perp \alpha, M \in a
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \end{cases}
\rho(a; b) = MM'.
\Leftarrow

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это расстояние между параллельными плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые.

Расстояние между скрещивающимися прямыми (III)

\alpha \parallel \beta
M_1M_2 \perp \alpha
\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}
\rho(a; b) = \rho(\alpha; \beta) .
\Leftarrow
a
b
\alpha
\beta
\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}
M_1
\rho(a; b)
M_2
a \in \alpha, b \in \beta
a ∸ b

1.

2.

M_1M_2 \perp \beta
\begin{cases} \\ \\ \end{cases}
\rho(\alpha; \beta) = M_1M_2.
\Leftarrow

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это расстояние между их проекциями на плоскость, которая перпендикулярна одной из этих прямых.

Расстояние между скрещивающимися прямыми (IV)

a
b
\begin{cases} \\ \\ \end{cases}
\rho(a; b)
b \perp \alpha
\alpha
a

— наклонная к

\alpha
M
Q
H
P
T
PH

— проекция     на

a
\alpha
MH \perp \alpha, M \in \alpha
\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}
\rho(a; b) = \rho(PH; T) .
\Leftarrow

1.

2.

\rho(PH; T) = HT,

т.к. 

PH \perp HT.

проекция перпендикулярной к плоскости прямой на на эту плоскость — точка

Задачи

1. В кубе                         , ребро которого равно        найти расстояние между         и        .

ABCDA_1...D_1
\sqrt{32}
DB_1
CC_1

2. В единичном кубе                         , найти расстояние между       и        .

ABCDA_1...D_1
AC
BB_1

4. В правильной треугольной призме                       , все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми       и          .

ABCA_1B_1C_1
AB
B_1C_1

5. В единичном кубе                         , найти расстояние между       и        .

ABCDA_1...D_1
CD
BB_1

3. В единичном кубе                         , найти расстояние между        и        .

ABCDA_1...D_1
AA_1
BD_1

6. В единичном кубе                         , найти расстояние между        и        .

ABCDA_1...D_1
BA_1
CC_1

7. В правильной треугольной призме                       , все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми         и       .

ABCA_1B_1C_1
BB_1
AC

8. В правильной треугольной призме                       , все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми         и       .

ABCA_1B_1C_1
AB_1
BC

Задачи (2)

9. Основанием прямой треугольной призмы                       является
прямоугольный треугольник          с прямым углом    . Грань         является квадратом.
а) Доказать, что прямые         и        перпендикулярны.
б) Найти расстояние между прямыми         и        , если              ,             .

ABCA_1B_1C_1
ACC_1A_1
C
ABC
CA_1
AB_1
CA_1
AB_1
AC= 4
BC = 7

10. Основание пирамиды                — квадрат            . Боковое ребро
перпендикулярно плоскости основания.
а) Доказать, что плоскости          и          перпендикулярны.
б) Найти расстояние между прямыми       и       , если сторона основания
равна    , а высота пирамиды равна        .

SABCD
ABCD
SA
ASD
CSD
SC
BD
2
2\sqrt{2}

11. В правильной треугольной призме                       все ребра равны   . Точка      — середина ребра        .
а) Доказать, что прямые        и         перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми        и        .

ABCA_1B_1C_1
2
M
AA_1
MB
B_1C
MB
B_1C

Задачи (3)

12. Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L — середина ребра MC, O — центр грани ABC.

13. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) длина каждого ребра равна 4. Точка K — середина ребра SA. Найдите расстояние между прямыми AD и BK.

14. В правильной четырёхугольной пирамиде                сторона основания        равна   , а боковое ребро        равно     . На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC= SK : KC = 1 : 7. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость     делит ребро       в отношении        , считая от вершины    .

б) Найдите расстояние между прямыми       и       .

S
SA
KN
\alpha
SB
1:7
SABCD
AB
8
SA
10
Made with Slides.com