Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

10 класс

 

vkrysanov320@gmail.com

version 1.2, 08-11-2023

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости.

M
M'
l_1
l_2
\alpha
\rho(M; \alpha)
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \end{cases}

Раст-е от точки до плоскости. Замечание (1)

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

* Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

​** Расстояние между плоскостями имеет место быть только для параллельных плоскостей.

M_1
\beta
\alpha
Q_1
M_2
Q_2
\rho(\alpha; \beta) = \rho(M_1; \alpha) = M_1Q_1; M_1Q_1 \perp \alpha, M_1Q_1 \perp \beta
\rho(\alpha; \beta) = \rho(M_2; \alpha) = M_2Q_2; M_2Q_2 \perp \alpha, M_2Q_2 \perp \beta
\rho(\alpha; \beta)
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \end{cases}
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \end{cases}
=

Раст-ие от точки до плоскости. Замечание (2)

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.

* B этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

** Расстояние между прямой и плоскостью имеет место быть только для прямой, параллельной данной плоскости.

a
\alpha
Q_1
\rho(a; \alpha)
\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}
M_1
M_2
M_3
\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}
\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}
Q_2
Q_3
\rho(a; \alpha)
\rho(a; \alpha)
a'
\rho(a; \alpha) = \rho(M_1; \alpha) = M_1Q_1; M_1Q_1 \perp \alpha
\rho(a; \alpha) = \rho(M_2; \alpha) = M_2Q_2; M_2Q_2 \perp \alpha
\rho(a; \alpha) = \rho(M_3; \alpha) = M_3Q_3; M_3Q_3 \perp \alpha
=
=

Раст-ие от точки до плоскости. Замечание (3)

Если две прямые скрещивающиеся, то, через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

* Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

a
b
M
M'
\alpha
\rho(a; b)
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \end{cases}
\Leftarrow a \parallel \alpha, a ∸ b

Перпендикуляр, наклонная, проекция

M
H
Q

наклонная к плоскости

ортогональная проекция наклонной на плоскость

\alpha

перпендикуляр из точки       на плоскость

M
\alpha
\alpha
\alpha
  • Наклонной к плоскости называется такая прямая, которая пересекает эту плоскость и не перпендикулярна ей.
  • Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Задачи

AA_1

1.

— перпендикуляр к плоскости     ,         и         — наклонные. Найти        .

\alpha
AB
AC
x, y

2.

3.

4.

5.

6.

Задачи (2)

AA_1

7.

— перпендикуляр к плоскости     ,         и         — наклонные. Найти        .

\alpha
AB
AC
x, y

8.

9.

10.

11.

12.

Свойство точки, равноудаленной от вершин многоугольника

A
B
C
O
S

Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр описанной около многоугольника окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника.

SO \perp ABC,
O

— центр описанной окруж-ти у

\Rightarrow
S_1
S_2
\rho(S_1; A) = \rho(S_1; B) = \rho(S_3; C)
\rho(S_2; A) = \rho(S_2; B) = \rho(S_2; C)
\rho(O; A) = \rho(O; B) = \rho(O; C)
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}
\rho(S; A) = \rho(S; B) = \rho(S; C)
\triangle ABC

Свойство точки, равноудаленной от вершин многоугольника (2)

A
B
C
O
S

Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, описанной около многоугольника.

O

— центр описанной окружности у

\Rightarrow
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}
\rho(S; A) = \rho(S; B) = \rho(S; C), SO \perp ABC
\triangle ABC

Свойство точки, равноудаленной от сторон многоугольника

M
N
Q
O
S

Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр вписанной в многоугольник окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от сторон многоугольника.

SO \perp ABC,
O

— центр вписанной окруж-ти в

\Rightarrow
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}
\rho(S; AB) = \rho(S; BC) = \rho(S; CA)
\triangle ABC
A
B
B
C
\rho(S_1; AB) = \rho(S_1; BC) = \rho(S_1; CA)
\rho(O; AB) = \rho(O; BC) = \rho(O; CA)
S_1

Свойство точки, равноудаленной от сторон многоугольника (2)

M
N
Q
O
S

Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от сторон многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, вписанной в многоугольник.

O

— центр вписанной окруж-ти в

\Rightarrow
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}
\rho(S; AB) = \rho(S; BC) = \rho(S; CA), SO \perp ABC
\triangle ABC
A
B
B
C

Задачи

1. Расстояние от точки       до вершин правильного треугольника   равно 4. Найти расстояние от точки      до плоскости           , если

 

2. Расстояние от точки     до каждой из сторон правильного треугольника            равно 4. Найдите расстояние от точки     до плоскости треугольника, если

M
ABC
M
ABC
AB = 6.
S
ABC
S
AB = 6.

Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

A
A'
B
\alpha
l

Обратная теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

AA' \perp \alpha, l \subset \alpha
l \perp BA'
\Rightarrow l \perp BA
\begin{cases} \\ \\ \end{cases}
AA' \perp \alpha, l \subset \alpha
AA' \perp \alpha, l \subset \alpha
l \perp BA
\Rightarrow l \perp BA'
\begin{cases} \\ \\ \end{cases}
AA' \perp \alpha, l \subset \alpha

Задачи

1.

— ромб

ABCD
MO \perp BD

т.д.

2.

AB = AC

т.д.

3.

— параллелограмм

ABCD
ABCD

т.д.

— прямоугольник

3.

4.

т.н.

MB

5.

т.н.

\rho(M; AC)
a \perp ABC
a \perp ABC
a \perp ABC
a \perp ABC
a \perp ABC

Задачи (2)

6.

a \perp ABC

Построить перпендикуляры из точки       к прямым         и     

M
AC
BC.

7.

\triangle ABC

— правильный

Построить перпендикуляры из точки       к прямым         и     

M
AC
BC.

8.

Построить перпендикуляр из точки       к прямой         

M
BC.
a \perp ABC
a \perp ABC

Задачи (3)

9.

a \perp ABC

т.н.

\rho(M; AC), \rho(M; BC)

10.

a \perp ABC
\triangle ABC

— правильный

т.н.

\rho(M; AB), \rho(M; BD)

11.

— параллелограмм

ABCD

т.н.

\rho(M; AD), \rho(M; DC)
a \perp ABC

Задачи (4)

12.

13.

a \perp ABC

— квадрат

ABCD

т.н.

MK
a \perp ABC
MD = 13

т.н.

MC

Задачи (5)

14.

15.

a \perp ABC
AB = 14

т.н.

MD
\triangle ABC

— правильный

O

— центр окружности,

\triangle ABC

 вписанный в

AB = 12, OM = 4

т.н.

\rho(M; BC)

Угол между прямой и плоскостью

A
A'
B
\varphi
l
l'
\alpha
\angle(l; \alpha) = \angle(AB; A'B) = \angle ABA' = \varphi

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

* Угол между плоскостью и параллельной ей прямой равен     .

** Угол между плоскостью и перпендикулярной ей прямой равен        .

0^{\circ}
AA' \perp \alpha,
\varphi
BA'

— проекция          на плоскость

BA
\alpha.

т.к.

90^{\circ}

Задачи

2. В кубе            найти угол между прямой          и плоскостью           .

A...D_1
A_1B
BCC_1

1. В правильном тетраэдре найти угол между боковым ребром и плоскостью основания.

3. В кубе            найти угол между прямой          и плоскостью           .

A...D_1
AB_1
ABC_1

4. В кубе            найти угол между прямой          и плоскостью           .

A...D_1
AB_1
ACC_1

5. В кубе            найти угол между прямой          и плоскостью            .

A...D_1
DD_1
A_1BC_1

6. В кубе            найти угол между прямой          и плоскостью           .

A...D_1
A_1C
BCC_1

Задачи (2)

7. В правильном треугольной призме                      , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой        и плоскостью            .

ABCA_1B_1C_1
AA_1
AB_1C_1

8. В правильном треугольной призме                      , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой        и плоскостью           .

ABCA_1B_1C_1
BC_1
ACC_1

9. В правильном треугольной призме                      , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой        и плоскостью            .

ABCA_1B_1C_1
AC
AB_1C_1

10. В правильном треугольной призме                      , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой        и плоскостью          .

ABCA_1B_1C_1
CC_1
ACB_1

Задачи (3)

11. В правильном шестиугольной призме          , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой     и плоскостью           .

A...F_1
AB_1
ABD_1

12. В правильном шестиугольной призме          , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой     и плоскостью           .

A...F_1
AA_1
BD_1F

13. В правильном тетраэдре              , все ребра которого равны 1, найти угол между апофемой         и плоскостью          .

MD
ABC
MABC

14. В правильном тетраэдре              , все ребра которого равны 1, точка     — середина        . Найти угол между прямой        и плоскостью

D
BM
MABC
AD
ABC.

Задачи (на дом)

16. В правильном треугольной призме                      , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой        и плоскостью          .

ABCA_1B_1C_1
ACC_1
BC

15. В кубе            найти угол между прямой        и плоскостью           .

A...D_1
AC
BCD_1

17. В правильном шестиугольной призме          , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой     и плоскостью           .

A...F_1
BB_1
ABD_1

18. В правильном четырехугольной пирамиде                , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой       и плоскостью           , где     — середина        .

MABCD
AE
MBC
E
MD

Двугранный угол. Угол между плоскостями.

Перпендикулярность плоскостей

Двугранный угол

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой     и двумя полуплоскостями с общей границей    , не принадлежащими одной плоскости.

a
a
a
\alpha
\alpha
\beta

Величина двугранного угла

Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

180^{\circ}

Величина двугранного угла, измеренная в градусах, принадлежит промежутку от      до         .

0^{\circ}
\varphi
\alpha
\beta
\Rightarrow \angle AOB = \angle \varphi.
\begin{cases} \\ \\ \end{cases}
\alpha \cap \beta = l, O \in l
l
AO \perp l, BO \perp l

Виды двугранных углов:

острый

прямой

тупой

Величина двугранного угла (2)

\alpha
\beta
\beta
l_1
l_2
\varphi_1
\varphi_2

Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла).

\varphi_4
\varphi_3
\varphi_1 = \varphi_3
\varphi_2 = \varphi_4

тупые:

острые:

* или же прямые, если плоскости перпендикулярны

Теорема: Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Величина двугранного угла (3)

Теорема: Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

\Rightarrow \angle A_1O_1B_1 = \angle \varphi_1.
\begin{cases} \\ \\ \end{cases}
\alpha \cap \beta = l, O_1 \in l
A_1O_1 \perp l, B_1O_1 \perp l
l
A_1
A_2
A_n
B_1
B_2
B_n
O_1
O_2
O_n
\alpha
\beta
\Rightarrow \angle A_2O_2B_2 = \angle \varphi_2.
\begin{cases} \\ \\ \end{cases}
\alpha \cap \beta = l, O_2 \in l
A_2O_2 \perp l, B_2O_2 \perp l
\Rightarrow \angle A_nO_nB_n = \angle \varphi_n.
\begin{cases} \\ \\ \end{cases}
\alpha \cap \beta = l, O_n \in l
A_nO_n \perp l, B_nO_n \perp l
...
\varphi_1
\varphi_2
\varphi_n
...
...
...
...
\varphi_1 = \varphi_2 = ... = \varphi_n.

Угол между плоскостями

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении.

\alpha
\beta
\beta
A
\begin{cases} \\ \\ \end{cases}
\alpha \cap \beta = l, O \in l
AO \perp l, BO \perp l
\Rightarrow \angle(\alpha; \beta) = \angle(AO; BO) =
= \angle AOB = \angle \varphi.
B
l
O
\varphi
\varphi

* или же вертикальный ему угол.

90^{\circ}

Величина угла между плоскостями, измеренная в градусах, принадлежит промежутку от      до        .

0^{\circ}

Нахождение угла между плоскостями

Метод перпендикуляров к плоскостям *

Метод перпендикуляров к линии пересечения плоскостей

\varphi
l
A
O
B
\begin{cases} \\ \\ \end{cases}
\alpha \cap \beta = l, O \in l
AO \perp l, BO \perp l
\Rightarrow \angle(\alpha; \beta) =
= \angle(AO; BO) = \angle AOB = \angle \varphi.

*полагается острый угол (или прямой)

Угол между плоскостями вычисляется как угол между перпендикулярами к данным плоскостям.

Угол между плоскостями вычисляется как угол между прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения.

\varphi
O
A
B
AO \perp \alpha
OB \perp \beta
\alpha \cap \beta = l
\begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}
\Rightarrow \angle(\alpha; \beta) = \angle(AO; BO) =
= 180^{\circ} - \angle AOB = \angle \varphi.
l
\alpha
\beta
\alpha
\beta

в данном случае тупой

Перпендикулярность плоскостей

Две плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен      .

90^{\circ}

Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Следствие: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

\gamma \perp a \Rightarrow \gamma \perp \alpha, \gamma \perp \beta.

Задачи

1.

\alpha \cap \beta = a
\angle(\alpha; \beta)

Известно, что                     . Для каждой задачи требуется найти                 или выразить его через любую тригонометрическую функцию:

2.

\angle BAC = 90^{\circ}; AO = 6

3.

AC = 2\sqrt{7}

4.

AB = 11; A_1B_1=10

Задачи (2)

5.

CD \perp ADB; \angle ADB = 90^{\circ}
\angle(ACB; ADB)

т.н.

(или выразить угол через любую тригонометрическую функцию)

6.

ABCD -

квадрат;

MO \perp ABC
\angle(MDC; ABC)

т.н.

(или выразить угол через любую тригонометрическую функцию)

Задачи (3)

7.

AMB \perp MCB

т.д.

8.

MB \perp ABC
AMC \perp DMB

т.д.

ABCD -

прямоугольник;

10.

ABCD -

квадрат

AMC \perp ABC

т.д. а)                             

AMC \perp BMD

б)                              

т.д. а)                              

т.д. 

AMD \perp ABC

9.

Задачи (4)

11.

\rho(BC; ADF)

т.н.

ABCD -

прямоугольник;

BCFE -

прямоугольник;

\alpha \perp \beta

12.

A \in \alpha; B \in \beta; A_1B1 = 9
AB

т.н.

13. В кубе                                     найти

ABCDA_1B_1C_1D_1
\angle (AB_1D_1; ACD_1).

14. Найдите угол между двумя гранями правильного тетраэдра.

Задачи (5)

15. В кубе              найти угол между плоскостями            и

A...D_1
ABC
ACC_1.

16. В кубе              найти угол между плоскостями            и           .

A...D_1
ABC_1
ABC

17. В кубе              найти угол между плоскостями           и             .

A...D_1
ABC
ACD_1

18. В кубе              найти угол между плоскостями           и               .

A...D_1
ABC
AB_1D_1

Задачи (6)

19. В кубе              найти угол между плоскостями             и

A...D_1
ABC_1
AB_1C.

20. В кубе              найти угол между плоскостями               и              .

A...D_1
AB_1D_1
BA_1C_1

21. В правильной треугольной призме                         все ребра которой равны    , найти угол между плоскостями           и            .

ABCA_1B_1C_1,
1
AB_1C
A_1BC_1

Задачи (7)

22. В правильной треугольной призме                         все ребра которой равны    , найти угол между плоскостями           и           .

ABCA_1B_1C_1,
1
ACC_1
BCC_1

23. В правильной треугольной призме                         все ребра которой равны    , найти угол между плоскостями           и          .

ABCA_1B_1C_1,
1
ACC_1
ABC

24. В правильной треугольной призме                         все ребра которой равны    , найти угол между плоскостями           и          .

ABCA_1B_1C_1,
1
BCA_1
ABC

Задачи (8)

25. В правильной шестиугольной призме                         все ребра которой равны    , найти угол между плоскостями           и           .

A...F_1,
1
BFF_1
BCC_1

26. В правильной шестиугольной призме             все ребра которой равны    , найти угол между плоскостями           и           .

A...F_1,
1
ACC_1
AEE_1

27. В правильной шестиугольной призме             все ребра которой равны    , найти угол между плоскостями           и           .

A...F_1,
1
ABC
BED_1

Задачи (9)

28. В правильной четырехугольной пирамиде                   все ребра которой равны    , найти угол между плоскостями            и           .

MABCD,
1
MAD
MBC

29. В правильной четырехугольной пирамиде                   все ребра которой равны    , найти угол между плоскостями            и           .

MABCD,
1
MAD
AMB

30. В правильной четырехугольной пирамиде                   все ребра которой равны    , найти угол между плоскостями            и           .

MABCD,
1
ABC
BDE
Made with Slides.com