Многогранники

10 класс

 

vkrysanov320@gmail.com

version 1.0 not-fixed, 20-01-2023

Понятие многогранника

Поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело называется многогранной поверхностью или многогранником.

Многогранники

выпуклые

невыпуклые

Призма

Призма — многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям то призма называется прямой, в противном случае — наклонной.

h

высота призмы

прямая

наклонная

* высота перпендикулярна обоим основаниям

Призма называется правильной, если она прямая и ее основания — правильные многоугольники.

прямая пятиугольная

треугольная

Площадь поверхности призмы

S_1
S_2
S_3
S_4
S_n
S_1 ... S_n

— площади боковых пов-тей

S_{бок} = S_1 + S_2 + ... + S_n = P_{пс}l
S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}
S_{осн}
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}
l

перпендикулярное сечение

S_{бок} = P_{осн}h

для прямой призмы

\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}
h
S_1
S_2
S_3
S_4
S_n
S_{осн}

Задачи

1.  Расстояния между ребрами наклонной треугольной призмы равны:        и   . Боковая поверхность призмы —           . Найти ее боковое ребро.

2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна    , а диагональ боковой грани     . Найти площадь боковой и полной поверхности призмы.

3. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно   , а диагональ боковой грани равна     . Найти площадь боковой и полной поверхности призмы.

4. Основание прямой призмы  — прямоугольный треугольник с катетами     и 20. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найти площадь боковой и полной поверхности призмы.

5. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 и катетом 20. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найти площадь боковой и полной поверхности призмы.

6. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в      . Найти угол между диагональю и плоскостью основания.

45 \text{ } ед^{2}
2, 3
4
30^{\circ}
10
6
15
9
15

Задачи (2)

7. Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная описанная около окружности трапеция с боковой стороной, равной    , и высотой, равной    . Боковое ребро призмы равно    . Найдите площадь полной поверхности призмы.

8. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна    , диагональ призмы образует с плоскостью основания угол       градусов. Найти диагональ призмы, площадь боковой поверхности призмы, угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани.

5
3
2
45^{\circ}
a

Пирамида

Пирамида — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину.

Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник (все углы равны и все стороны равны) и выполнено одно из эквивалентных условий:

h

высота пирамиды

плоскость основания

  • боковые ребра равны;
  • высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;
  • боковые ребра наклонены к основанию под одинаковым углом.
h

высота пирамиды

пример неправильной пирамиды:

Площадь поверхности пирамиды

S_{бок} = S_1 + S_2 + ... + S_n
S_1
S_2
S_3
S_4
S_n
S_{осн}
S_1 ... S_n

— площади боковых пов-тей

в основании произвольный многоугольник

апофема

S_{бок} = \frac{1}{2}P_{осн}l_a = \frac{S_{осн}}{\cos \varphi}

для правильной пирамиды

l_a
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}
S_{осн}
S_1
S_2
S_3
S_4
S_n
S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}
\varphi

двугранный угол при основании пирамиды

Свойство точки, равноудаленной от сторон многоугольника

M
N
Q
O
S

Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр вписанной в многоугольник окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от сторон многоугольника.

SO \perp ABC,
O

— центр вписанной окруж-ти в

\Rightarrow
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}
\rho(S; AB) = \rho(S; BC) = \rho(S; CA)
\triangle ABC
A
B
B
C
\rho(S_1; AB) = \rho(S_1; BC) = \rho(S_1; CA)
\rho(O; AB) = \rho(O; BC) = \rho(O; CA)
S_1

Свойство точки, равноудаленной от сторон многоугольника (2)

M
N
Q
O
S

Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от сторон многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, вписанной в многоугольник.

O

— центр вписанной окруж-ти в

\Rightarrow
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}
\rho(S; AB) = \rho(S; BC) = \rho(S; CA), SO \perp ABC
\triangle ABC
A
B
B
C

Свойство точки, равноудаленной от вершин многоугольника

A
B
C
O
S

Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр описанной около многоугольника окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника.

SO \perp ABC,
O

— центр описанной окруж-ти у

\Rightarrow
S_1
S_2
\rho(S_1; A) = \rho(S_1; B) = \rho(S_3; C)
\rho(S_2; A) = \rho(S_2; B) = \rho(S_2; C)
\rho(O; A) = \rho(O; B) = \rho(O; C)
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}
\rho(S; A) = \rho(S; B) = \rho(S; C)
\triangle ABC

Свойство точки, равноудаленной от вершин многоугольника (2)

A
B
C
O
S

Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, описанной около многоугольника.

O

— центр описанной окружности у

\Rightarrow
\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}
\rho(S; A) = \rho(S; B) = \rho(S; C), SO \perp ABC
\triangle ABC

...

  • Множество всех точек пространства, равноудаленных от сторон данного треугольника, есть прямая, перпендикулярная плоскости треугольника, проходящая через центр вписанной в него окружности. На этой прямой лежат центры всех шаров, касающихся сторон треугольника.
  • Множество всех точек пространства, равноудаленных от трех данных точек, не лежащих на одной прямой, есть прямая, перпендикулярная плоскости этих точек и проходящая через центр окружности, описанной около треугольника с вершинами в данных точках. Этой прямой принадлежат центры всех сфер, проходящих через данные точки

Задачи

1. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны     , боковые ребра равны       . Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

2. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды,  стороны основания которой равны    и высота равна   .

3. Площадь боковой поверхности правильной пятиугольной пирамиды равна     . Чему будет равна площадь боковой поверхности пирамиды, если все ее ребра уменьшить в     раза?

4. DACB — пирамида с треугольником            в основании;                                                 ,

Найти площадь бокового сечения.

5. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна   , высота пирамиды —       Найти сторону основания пирамиды, угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды, угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания пирамиды, площадь боковой поверхности пирамиды, площадь полной поверхности пирамиды.

AB = AC = 13, AD \perp ABC
ACB
72
164
6
4
4
13
2
AD = 9.
6
3\sqrt{2}.

Задачи (2)

SABC
AB
6
SA
7
AB
SC
K
M
AK:KB = SM:MC = 1:5
\alpha
KM
BC
\alpha
SA
\alpha
SBC

6*. В правильной треугольной пирамиде              сторона основания        равна    , а боковое ребро       равно   . На рёбрах        и        отмечены точки     и     соответственно, причём                                                    . Плоскость     содержит прямую         и параллельна прямой       .

         а) Доказать, что плоскость     параллельна прямой       .

         б) Найти угол между плоскостями     и          .

  

SABC
AB
SA
7
AB
SC
K
M
AK:KB = SM:MC = 1:5
\alpha
KM
BC
\alpha
SA
\alpha
SBC
SABC
AB
5
SA
3
AB
SC
K
M
AK:KB = SM:MC = 1:4
\alpha
KM
BC
\alpha
SA
\alpha
SBC

7*. В правильной треугольной пирамиде              сторона основания        равна    , а боковое ребро       равно   . На рёбрах        и        отмечены точки     и     соответственно, причём                                                    . Плоскость     содержит прямую         и параллельна прямой       .

         а) Доказать, что плоскость     параллельна прямой       .

         б) Найти угол между плоскостями     и          .

  

Задачи (3)

8. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна    , а одна из диагоналей    . Найти боковые ребра пирамиды, если ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна   .

9. Основанием пирамиды              является треугольник          , у которого                           ,

 

7
8
5
DABC
ABC
AB = AC = 13
BC = 10

; ребро         перпендикулярно к плоскости основания и равно   . Найти

площадь боковой поверхности пирамиды.

AD
9

10. Основанием пирамиды              является прямоугольный треугольник          , у которого гипотенуза                , катет               . Ребро        перпендикулярно к плоскости основания и равно     . Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

11. Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны     и     , а площадь равна             . Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна     . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

12. Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна   . Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в       и       . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

DABC
ABC
AB = 29
AC = 21
AD
20
20
36
360 \text{ ед}^2
12
8
30^{\circ}
45^{\circ}

Задачи (4)

13. Высота треугольной пирамиды равна     , а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна     .

      а) Доказать, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание.

      б) Найти площадь основания пирамиды, если его периметр равен     .

14. Основанием пирамиды является треугольник с сторонами                . Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом      . Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

15. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребра образуют с ее высотой, равной     , углы в      . Найти площадь основания пирамиды.

16. Основанием пирамиды               является прямоугольный треугольник с гипотенузой       . Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота равна     . Найти боковое ребро пирамиды, если                 .

40
42
12, 10, 10
41
45^{\circ}
45^{\circ}
16
DABC
BC
12
BC = 10

Усеченная пирамида

Усеченной пирамидой называется многогранник, заключенный между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной ее основанию.

  • Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники

  • Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.

Усеченная пирамида, полученная из правильной пирамиды, называется правильной усеченной пирамидой.

  • Боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
  • Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные между собой равнобедренные трапеции и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
  • Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды равны.

* Свойства проекции вершины на основание аналогичны обыкновенным пирамидам.

Площадь поверхности усеченной пирамиды

S_{бок} = S_1 + S_2 + ... + S_n
S_1
S_2
S_3
S_4
S_n
S_{н.осн}
S_1 ... S_n

— площади боковых пов-тей

в основании произвольный многоугольник

S_{бок} = \frac{1}{2}(P_{н.осн} + P_{в.осн})l_a =

для правильной усеченной пирамиды пирамиды

S_{полн} = S_{бок} + S_{н.осн} + S_{в.осн}

апофема

\begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}
= \frac{S_{н.осн} - S_{в.осн}}{\cos \varphi}
\varphi

двугранный угол при основании пирамиды

S_{н.осн}
S_1
S_2
S_3
S_n
S_{в.осн}
S_{в.осн}

Задачи

1. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 22 и 6, а высота — 13. Вычислить площадь полной поверхности пирамиды.

2. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 24 и 8, а высота — 15. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

3. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 и 2, а боковое ребро равно 2. Найти высоту и апофему пирамиды.

4. Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 и 3 соответственно. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскостям оснований и равно 1. Найти площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

5. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4 и 4; боковая грань наклонена к плоскости основания под углом      . Найти полную поверхность пирамиды.

6. Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды равно и наклонено к плоскости основания под углом      . Диагональ пирамиды перпендикулярна боковому ребру. Найти площадь меньшего основания пирамиды.

60^{\circ}
60^{\circ}

7.

Задачи

т.н.

S(A_1A'_1A'_3A_3)

т.н.

S_{бок}

8.

В ниже приведенных задачах даны правильные усеченные пирамиды:

Made with Slides.com