Элементарные логарифмические уравнения

Задача 1

\log_2 (4-x) = 7.

Решить уравнение:

+1 балл

Задача 1. Решение

\log_2 (4-x) = \log_2 2^7;\\ 4-x = 128;\\ x = -124.

+1 балл

Ответ:

-124.
\log_2 (4-x) = 7;

Задача 2

\log_5 (4+x) = 2.

Решить уравнение:

+1 балл

Задача 2. Решение

\log_5 (4+x) = \log_5 5^2;\\ 4+x = 25;\\ x = 21.

+1 балл

Ответ:

21.
\log_5 (4+x) = 2;

Задача 3

\log_5 (15+x) = \log_5 3.

Решить уравнение:

+1 балл

Задача 3. Решение

15+x = 3;\\ x = -12.

+1 балл

Ответ:

-12.
\log_5 (15+x) = \log_5 3;

Задача 4

\log_{\frac{1}{7}}(7-x) = -2.

Решить уравнение:

+1 балл

Задача 4. Решение

\log_{\frac{1}{7}}(7-x) = \log_{\frac{1}{7}} \left( \frac{1}{7} \right)^{-2};\\ 7-x = 49;\\ x = -42.

+1 балл

Ответ:

-42.
\log_{\frac{1}{7}}(7-x) = -2;

Задача 5

Решить уравнение:

\log_4 (x+3) = \log_4 (4x-15).

+2 балла

Задача 5. Решение

\begin{cases} x+3 = 4x-15; \\ x+3 > 0; \end{cases} \begin{cases} x = 6; \\ x > -3; \end{cases} \Rightarrow x = 6.

Ответ:

6.
\log_4 (x+3) = \log_4 (4x-15);

+2 балла

Задача 6

\log_7 (x+9) = \log_7 (2x-11).

Решить уравнение:

+2 балла

Задача 6. Решение

Ответ:

20.
\log_7 (x+9) = \log_7 (2x-11);
\begin{cases} x+9 = 2x-11; \\ x+9 > 0; \end{cases} \begin{cases} x = 20; \\ x > -9; \end{cases} \Rightarrow x = 20.

+2 балла

Задача 7

\log_{11} 2x = \log_{11} (-x-1).

Решить уравнение:

+2 балла

Задача 7. Решение

Ответ:

\varnothing.
\log_{11} 2x = \log_{11} (-x-1);
\begin{cases} 2x = -x-1; \\ 2x > 0; \end{cases} \begin{cases} x = -\frac{1}{3}; \\ x > 0; \end{cases} \Rightarrow x \in \varnothing.

+2 балла

Задача 8

\log_{\sqrt{2}} (x^2 + 2x) = \log_{\sqrt{2}} (x^2 + 10).

Решить уравнение:

+2 балла

Задача 8. Решение

Ответ:

5.
\log_{\sqrt{2}} (x^2 + 2x) = \log_{\sqrt{2}} (x^2 + 10);
\begin{cases} x^2 + 2x = x^2 + 10; \\ x^2 + 10 > 0; \end{cases} \begin{cases} x = 5; \\ x \in \mathbb{R}; \end{cases} \Rightarrow x = 5.

+2 балла

Задача 9

\log_5 (5-x) = 2\log_5 3.

Решить уравнение:

+2 балла

Задача 9. Решение

\log_5 (5-x) = \log_5 3^2;\\ 5-x = 9;\\ x = -4.

Ответ:

-4.
\log_5 (5-x) = 2\log_5 3;

+2 балла

Задача 10

\log_5 (7-x) = \log_5 (3-x) + 1.

Решить уравнение:

+3 балла

Задача 10. Решение

\log_5 (7-x) = \log_5 (3-x) + \log_5 5;\\ \log_5 (7-x) = \log_5 [5(3-x)];\\ \begin{cases} 7-x = 15 - 5x;\\ 7-x > 0; \end{cases} \begin{cases} x=2;\\ x < 7; \end{cases} \Rightarrow x = 2.

Ответ:

2.
\log_5 (7-x) = \log_5 (3-x) + 1.

+3 балла

Задача 11

2^{\log_8 (5x-3)} = 4.

Решить уравнение:

+3 балла

Задача 11. Решение

2^{\log_8 (5x-3)} = 2^2;\\ \log_8 (5x-3) = 2;\\ \log_8 (5x-3) = \log_8 8^2;\\ 5x-3 = 64;\\ x = 13{,}4.

Ответ:

13{,}4.
2^{\log_8 (5x-3)} = 4;

+3 балла

Made with Slides.com