Ей было тысяча сто лет,
она в сто первый класс ходила,
с собою пó сто книг носила —
всё это правда, а не бред!

Когда, пыля десятком ног,
она шагала по дороге,
за ней всегда бежал щенок
с одним хвостом, зато — стоногий!

Она ловила каждый звук
своими десятью ушами,
и десять загорелых рук
портфель и поводок держали.

И десять темно-синих глаз
рассматривали мир привычно...
С такой девчонкой необычной
и вы встречались, и не раз!

44 года назад

Системы счисления

10 класс

 

vkrysanov320@gmail.com

 

version 2.1, 26-09-2024

Системой счисления называется способ записи чисел.

Что такое система счисления?

Непозиционная система счисления — система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа.

Типы систем счисления (1)

  • Римская система счисления:
  • Древнеегипетская десятичная система счисления:

= 345 (Сумма эл-тов числа)

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, ...

Типы систем счисления (2)

Позиционная система счисления — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

  • Система счисления индейцев Майя:
  • Арабская система счисления (десятичная):
0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,...

Позиционные системы счисления

Число в системе счисления с основанием   ,               , записывают в виде последовательности его цифр, которые удовлетворяют неравенству                                , перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

В ненулевых числах начальные нули обычно опускаются:

b
0 \le x < b - 1
142_5, 542_6, 888_9, 777_7, 108_{10}.

Не может быть семеричным числом!

00782 \Rightarrow 782.
(b > 1)
\overline{a_n ... a_2a_1a_0}_b, b > 1, a_i \in \{0; 1; ...; b-1\}

Примеры:

Основные правила перевода

  • Из десятичной в любую другую:
  • Из любой другой в десятичную:
\overline{a_n ... a_2a_1a_0}_b = a_0 \cdot b^0 + a_1 \cdot b^1 + ... + a_n \cdot b^n =\sum\limits_{i = 0}^{n} a_i \cdot b^i.

Для перевода десятичного числа в с.c. c основанием     его необходимо последовательно делить на     до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный           . Число в c.с. с основанием      записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

b
b
b-1
b

Основные правила перевода. Пример

623_9 \rightarrow x_{10}:
623_9 = 6 \cdot 9^2 + 2 \cdot 9^1 + 3 \cdot 9^0 = 507_{10}.

2 1 0

Из любой другой в десятичную с.с.:

5B_{12} \rightarrow x_{10}:
5B_{12} = 5 \cdot 12^1 + 11 \cdot 12^0 = 60 + 11 = 71_{10}.
B = 11

1   0

Основные правила перевода. Пример (2)

507_{10} \rightarrow x_{9}:
71_{10} \rightarrow x_{12}:

Из десятичной в любую другую:

507
9
56
504
9
6
54
3
2
\Rightarrow 507_{10} = 623_{9}
71
12
5
60
11
=
B
\Rightarrow 71_{10} = 5B_{12}

Ещё один способ перевода...

HEX
BIN
BIN
OCT
\underbrace{001}_{1}\underbrace{011}_{3}{\underbrace{101}_{5}}{}_2 \Rightarrow 135_8
\underbrace{0101}_{5}{\underbrace{1101}_{D}}{}_2 \Rightarrow 5D_{16}
  • в восьмеричную с.с. отделяем по три цифры с конца 
  • в шестнадцатеричную с.с. отделяем по четыре цифры с конца

Для перевод из двоичной в

Для обратного перевода каждая цифра в числе заменяется на три или четыре цифры двоичной системы счисления в соответствии с таблицей.

Системы счисления с отрицательным основанием

11101001_{-2} = (-2)^7 + (-2)^6 + (-2)^5 + (-2)^3 + (-2)^0 =
= -128 + 64 - 32 - 8 + 1 = -103.

Перевод из системы счисления с отрицательным основанием осуществляется согласно основной формуле. Например:

Представление дробных чисел

\overline{a_n ... a_2a_1a_0,a_{-1} ... a_{-m}}_b = \sum\limits_{i = -m}^{n} a_i \cdot b^i.

Как и в случае десятичной системы счисления, в любой другой после знака запятой к числу можно приписать дробную часть. При этом цифры после запятой означают
не десятые, сотые, тысячные и т.д., а несколько иные числа. Формула для перевода в десятичную с.с.:

Пример:

110101,00101_2 = 2^5 + 2^4 + 2^2 + 2^0 + 2^{-3} + 2^{-5} =
=32 + 16 + 4 + 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} = 53\frac{5}{32} = 53,15625.

Представление дробных чисел (2)

1. Переводим в нужную с.с. целую часть стандартным способом.

2. Перевод дробной части числа из десятичной с.с. в другую выполняется последовательным умножением дробной части на основание системы счисления в которую необходимо перевести, пока дробная часть не станет равна 0.

3. Полученные целые части произведений выразить цифрами алфавита новой системы счисления и записать дробную часть числа в новой системе счисления начиная с целой части первого произведения.

180{,}65625_{10} \rightarrow x_{4}

Целая часть:

180_{10} = 3210_{4}

Дробная часть:

0{,}65625
2{,}625
4
\times
2{,}{\text{ }}5
2{,}{\text{ }}0
4
4
\times
\times
\Rightarrow 0{,}65625_{10} = 0{,}222_4
\Rightarrow 180{,}65625_{10} = 3210{,}222_{4}

* Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов.

Алгоритм перевода из десятичной c.с. в любую другую:

Задачи

1. Перевести числа в указанную сисстему счисления:

125_7 \rightarrow x_{4}

1. Перевести числа в указанную сисстему счисления:

а)

б)

в)

г)

д)

д)

е)

ж)

з)

и)

7F_{17} \rightarrow x_{7}
1001101_{2} \rightarrow x_{5}
11011011_{2} \rightarrow x_{8}
11011011_{2} \rightarrow x_{16}
23{,}43_{5} \rightarrow x_{10}
710{,}2_{8} \rightarrow x_{10}
18F{,}A_{16} \rightarrow x_{10}
11011011_{2} \rightarrow x_{16}
FR{,}R_{36} \rightarrow x_{10}

й)

к)

л)

м)

н)

11010001_{-2} \rightarrow x_{10}
323_{-4} \rightarrow x_{10}
5{,}625_{10} \rightarrow x_{2}
57{,}515625_{10} \rightarrow x_{4}
5{,}1_{8} \rightarrow x_{2}

Задачи (2)

3. В системе счисления с некоторым основанием     десятичное число записывается в виде      . Найдите это основание.

x
18
30

4. Запись числа         в некоторой системе счисления выглядит так:          . Найдите основание системы счисления     .

65_8
311_{\alpha}
\alpha

2. Ука­жи­те наиболь­шее де­ся­тич­ное число, которое в шестеричной системе счисления можно записать с по­мо­щью трёх цифр.

1. Сколько существует натуральных чисел    , для которых выполнено неравенство                                                 ?

11011100_2 < x < DF_{16}
x

Сложение в позиционных системах счисления

Если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, то единица переносится в следующий слева разряд.

15_{10} + 6_{10}
1111_{2} + 110_{2}
17_{8} + 6_{8}

Вычитание в позиционных системах счисления

При вычитании из меньшего числа большего производится заем из старшего разряда.

1000_{10} - 99_{10}
3210_{4} - 33_{4}
1010100_{2} -
- 1001110_{2}

Последняя цифра (крайняя справа) в записи числа в системе счисления с основанием    — представляет собой остаток от деления этого числа на   :

Некоторые свойства (1)

b
b
7_{10} = 11\boldsymbol{1}_2 \Leftarrow 7 \texttt{ }\mathrm{mod}\texttt{ }{2} = \boldsymbol{1};
14\boldsymbol{2}_{10} \Leftarrow 142 \texttt{ } \mathrm{mod}\texttt{ }{10} = \boldsymbol{2}.

Все цифры, кроме последней (крайней справа) в записи числа в системе счисления с основанием    — представляет собой значение операции деления нацело этого числа на   :

Некоторые свойства (2)

b
b
\boldsymbol{14}2_{10} \Leftarrow 142 \texttt{ }\mathrm{div}\texttt{ }{10} = \boldsymbol{14};
77_{10} = \boldsymbol{100110}1_2 \Leftarrow 77 \texttt{ }\mathrm{div}\texttt{ }{2} = 38_{10} = \boldsymbol{100110}_2.

Любое десятичное число вида      в системе счисления с основанием    записывается как единица и     нулей:

Некоторые свойства (3)

a^n
n
a^n_{10} = \overline{1{\underbrace{0...0}_{n}}}{}_a.
a

Число              в системе счисления с основанием записывается как     старших цифр этой системы счисления, то есть           :

Некоторые свойства (4)

a^n - 1
n
a^n_{10} - 1_{10} = \overline{{\underbrace{\{a-1\}\{a-1\} ... \{a-1\}}_{n}}}{}_a.
a
a - 1

Число                 в системе счисления с основанием  записывается как              (при               ) старших цифр этой системы счисления, то есть           , и      нулей:

Некоторые свойства (5)

a^n - a^m
n > m
a^n_{10} - a^m_{10} = \overline{{\underbrace{\{a-1\}\{a-1\} ... \{a-1\}}_{n - m}}{\underbrace{0...0}_{m}}}{}_a.
a
n-m
a-1
m

Задачи (1)

1. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие      , запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на         .

2. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие      , запись которых в четверичной системе счисления оканчивается на      .

4. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в котором запись числа       оканчивается на    .

3. В системе счисления с основанием     запись числа          оканчивается на    , а запись числа             — на    . Чему равно число     ?

25
101
25
11
79_{10}
2
n
111_{10}
1
n
23
2

Задачи (2)

5. Значение выражения                           записали в системе счисления с основанием    . Сколько цифр     содержится в этой записи?

3
9^{12} + 3^8 - 3
2

6. Значение выражения                                записали в системе счисления с основанием    . Сколько цифр     содержится в этой записи?

6
36^7 + 6^{19} - 18
0

7. Значение выражения                                               записали в системе счисления с основанием   . Сколько цифр     содержится в этой записи?

7
6 \cdot 343^5 + 5 \cdot 49^7 - 50
6

Какова последняя цифра записи числа         ?

7^{2019}

Какова последняя цифра записи числа          в девятеричной системе счисления?

7^{2019}
Made with Slides.com