Strings

-校培 edition-

關於講師與他的廢話

王以安
又藍又笨，甚麼都做不好
不會字串所以當字串講師
過一年還是不會字串
段考要燒了
簡報字體大小詭譎，請多見諒

藍色的都會講到

一些約定

字串的代號會用$s,t$
字串的長度會用$|s|或n$表示
字串和陣列的第i項會用$a[i]或a_i$表示
$s的k$前綴代表$s[0$~$k-1]$
$s的k$後綴代表$s[k$~$n-1]$
真前綴就是除了|s|前綴以外的所有前綴

Hash

中文叫雜湊

為什麼需要這個

字串太大不好比較

我們希望透過一個函數把一個字串變成一個數字

這樣看到兩個函數值不一樣，就知道兩個字串不一樣

$$a=f(s)$$

$$這個f就是雜湊函數，a就是雜湊值$$

兩個不同字串對到同個值，則稱兩個字串碰撞了

所以怎麼做?

$$把字串壓成數字(加密)，a是1，z是26$$

$$p進位，模M$$

$$p是>26的小(質)數(如31,127,257)，M是大(質)數(如998244353)$$

a b c b g

$$例 : 設p=31, M=127$$

1 2 3 2 7

× × × × ×

$p^0$ $p^1$ $p^2$ $p^3$ $p^4$

$1*1+2*31+3*961+2*29791+7*923521=6527175$

這個字串的hash值就是6527175模127，也就是10

"abcbg"和"j"碰撞了

a b c b g

反過來也是行的，但值不一樣

1 2 3 2 7

× × × × ×

$p^4$ $p^3$ $p^2$ $p^1$ $p^0$

$1*923521+2*29791+3*961+2*31+7*1=986055$

$986055 ≡ 27 (mod 127)$

子字串

用前綴和的方式

再除(or乘)上一個$p$的冪次使得每個子字串第一個字元乘的數是固定的

子字串

用前綴和的方式

再除(or乘)上一個$p$的冪次使得每個子字串第一個字元乘的數是固定的

舉例: 問[1,3]和[0,2]是否一樣，[1,3]是誰?

子字串

用前綴和的方式

再除(or乘)上一個$p$的冪次使得每個子字串第一個字元乘的數是固定的

舉例: 問[1,3]和[0,2]是否一樣，[1,3]是誰?

前綴和

子字串

用前綴和的方式

再除(or乘)上一個$p$的冪次使得每個子字串第一個字元乘的數是固定的

舉例: 問[1,3]和[0,2]是否一樣，[1,3]是誰?

前綴和

子字串

用前綴和的方式

再除(or乘)上一個$p$的冪次使得每個子字串第一個字元乘的數是固定的

舉例: 問[1,3]和[0,2]是否一樣，[1,3]是誰?

前綴和

除冪次

子字串

用前綴和的方式

再除(or乘)上一個$p$的冪次使得每個子字串第一個字元乘的數是固定的

舉例: 問[1,3]和[0,2]是否一樣，[1,3]是誰?

前綴和

除冪次

發生碰撞怎麼辦

碰撞的機率可以用生日悖論概算

會發現$M$(下面公式的$N$)越大(值域越大)，越難碰撞

所以就把$M$調大一點

還是碰撞呢?

$n = 0.83\sqrt{M}$時，便約50%機率會碰撞了

還是碰撞呢?

~~一個便當不夠，就吃兩個~~

一個hash不夠，就用兩個

用兩組不同的$p和M$，hash值用pair表示

$$值域從M變成M_1 M_2$$

參考code

//判斷兩個子字串是否一樣
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int M=8e7+23, P=31;

long long pp[1010000];
int n, pre[1010000], q;
string s;

int f(int l, int r){
	int res = pre[r];
    if(l-1>=0) res-=pre[l-1];
	res=(res+M)%M;
    res=res*pp[n-l]%M; //把子字串第一個字元乘的p^(l-1)變成p^n
	return res;
}

int main(){
	pp[0]=1;
    for(int i=1; i<1000010; i++) pp[i] = pp[i-1]*P%M;
    
    cin >> n >> s;
    for(int i=0; i<n; i++){
    	pre[i] =  ( pre[i]+(s[i]-'a'+1)*pp[i] )%M;
    	pre[i+1]=pre[i];
    }
    
    cin >> q;
    while(q--){
    	int l1, r1, l2, r2;
        cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
        if(f(l1,r1)==f(l2,r2)) cout << "Same!\n";
        else cout << "qq!\n";
    }
return 0;}

習題

Trie

中文叫字典樹

就是把很多字串用樹的結構存起來

右圖就是把Rad, Rau, Rand, Raum, Rose, Java放在樹上

CSES Word Combinations

$$有長度為n(<5000)的字串t和k個總長小於 10^6 的字串 s_1,s_2,...,s_k$$

$$問有幾種組合方式用s裡面的字串組出t$$

CSES Word Combinations

直接DP看看

$$設dp[0]=1$$

$$看到t的第i個字元的時候，看過所有s，如果 s_j可以i-1這個位置開始接$$

則從$i-1$轉移到 $ i-1+|s_j| $

時間複雜度$O(n*(s的總長))$，會TLE

CSES Word Combinations

放到Trie上

枚舉i，從$t_i$開始在Trie上走路，發現這個節點是$s$中的字串就轉移

每個i最多跟著走到n，所以時間複雜度$O(n^2)$

dp	1	0	0	0	0	0

a

b

a

b

c

a

c

b

a

b

dp	1	0	0	0	0	0

a

b

a

b

c

a

c

b

a

b

dp	1	0	1	0	0	0

a

b

a

b

c

a

c

b

a

b

dp	1	0	1	0	0	0

a

b

a

b

c

a

c

b

a

b

dp	1	0	1	0	1	0

a

b

a

b

c

a

c

b

a

b

dp	1	0	1	0	1	0

a

b

a

b

c

a

c

b

a

b

沒辦法繼續在Trie上跑

dp	1	0	1	0	1	0

a

b

a

b

c

a

c

b

a

b

b沒辦法在Trie上跑...

dp	1	0	1	0	1	0

a

b

a

b

c

a

c

b

a

b

dp	1	0	1	0	2	0

a

b

a

b

c

a

c

b

a

b

dp	1	0	1	0	2	0

a

b

a

b

c

a

c

b

a

b

沒辦法繼續在Trie上跑

dp	1	0	1	0	2	0

a

b

a

b

c

a

c

b

a

b

b沒辦法在Trie上跑...

dp	1	0	1	0	2	2

a

b

a

b

c

a

c

b

a

b

dp	1	0	1	0	2	2

a

b

a

b

c

a

c

b

a

b

已經是最後一個位元了，不用繼續跑了

答案就是2

Trie也很適合做位元操作，尤其是xor

CSES Maximum xor Subarray

給你一個長$n(<10^5)$的陣列$a$，你可以隨便選個子陣列並得到所有元素xor起來的值

請找到能得到的最大值

CSES Maximum xor Subarray

可以先做前輟xor

然後就從看子陣列變成看兩個值

$$怎麼求\max_ {0 \le i,j \le n} a_i \oplus a_j ，其中a_0=0 $$

CSES Maximum xor Subarray

把二進位數字放到Trie上面，高位的靠近根節點

依序把數字放上去

放上去前看一下與已經放上去的數字xor的最大值

如果最高位可以選不一樣，那就選不一樣

放001上去得到答案為5

參考code

//假設有n個字串要放上Trie, 0是根節點
int m=0, nxt[1010000][26], cnt[1010000]={0}; //cnt[i]紀錄有幾個字串在i這個節點結束
for(int i=0; i<1000010; i++) for(int j=0; j<26; j++)nxt[i][j]=-1;
for(int i=0; i<n; i++){
    string s;
    cin>>s;
    int now=0;
    for(char c:s){
      c-='a';
      if(nxt[now][c]==-1) nxt[now][c]=++m;
      now=nxt[now][c];}
    cnt[now]++;
 }

習題

KMP

Knuth - Morris - Pratt Algorithm

CSES String Matching

有兩個字串t,s，問s在t中出現幾次

例:bb在bbabbb出現3次

這種問題叫做「字串匹配」，s叫模式字串，t叫主字串

CSES String Matching

暴力做很爛，$O(|s||t|)$

最大的困境在於下面這種case

t為一百萬個連續的a，s為十萬個連續的a接一個b

每次都配了十萬個a才發現這個b配不起來，又要重配

有沒有辦法可以重複利用已經配好的地方?

$\pi$函數

$$\pi[i]存的就是i前輟的「最長共同真前後輟」(次長共同前後輟)$$

這個函數又叫失配函數

也有人叫共同真前後綴border

$\pi$函數怎麼用

t為aabaabaaa，s為aabaaa

	a	a	b	a	a	a
π		1	0	1	2	2

$\pi$函數怎麼用

	a	a	b	a	a	a
π		1	0	1	2	2

aabaabaaa

aabaaa

配失敗了QQ

$\pi$函數怎麼用

	a	a	b	a	a	a
π		1	0	1	2	2

aabaabaaa

aabaaa

$\pi$函數怎麼用

	a	a	b	a	a	a
π		1	0	1	2	2

aabaabaaa

aabaaa

$\pi$函數怎麼用

	a	a	b	a	a	a
π		1	0	1	2	2

aabaabaaa

aabaaa

換個位置繼續配(不用從頭)，這個位置是由$\pi$決定的

$\pi$函數怎麼用

	a	a	b	a	a	a
π		1	0	1	2	2

aabaabaaa

aabaaa

換個位置繼續配(不用從頭)，這個位置是由$\pi$決定的

$\pi$函數怎麼求

暴力做比原本更爛

每個前綴$|s|$個要和自己的後綴(最多$|s|$個，最長長$|s|$)比對

時間複雜度 $O(|s|^3)$

$\pi$函數怎麼求 - 觀察1

$ \pi[i+1] \leq \pi[i]+1 $

簡易證明:

令$\pi[i+1]=k$，則s[0 ~ k-1] = s[i+2-k ~ i+1]成立

顯然s[0 ~ k-2] = s[i+2-k ~ i]也成立

s[$\pi$[i]] = s[i+1]時，小於等於的等於才成立

$\pi$函數怎麼求 - 觀察2

那如果s[$\pi$[i]] != s[i+1] 呢?