Cadenas de Markov

Probabilidades de transicion en la n-ésima etapa

Suponga que se está estudiando una cadena de Markov con una matriz de transición conocida P.

Preguntas de interés: si una cadena de Markov está en el estado i en el tiempo m, ¿Cuál es la probabilidad de que n periodos despues la cadena esté en el estado j?

Probabilidades de transicion en la n-ésima etapa

Ya que se trata de una cadena de Markov estacionaria, esta probabilidad es independientede m, asi que se puede escribir

P (X m+n = j | Xm = i) = P(Xn = j|X0 = i) = Pij (n)

donde Pij(n) se llama probabilidad del n-ésimo paso de una transición del estado i al estdo j.

Probabilidades de transicion en la n-ésima etapa

Por lo anterior resulta que Pij (1) = Pij. Se debe observar que si el sistema está en el estado i, entonces para que el sistema termine en el estado j dos periodos a partir de ahora, se debe ir del estado i a algun estadk y luego al estado j. Lo que nos permite escribir

k = s
Pij (2) = Ƹ (probabilidad de transición de i a k)
k = 1
X (probabilidad de transición de k a j)

Probabilidades de transicion en la n-ésima etapa

Usando la definición de P, la matriz de probabilidad de transicón reescribimos la ecuación anterior como:

k = s
Pij (2) = Ƹ Pij Pkj
k = 1

Por consiguiente, Pij (2) es el ij-ésimo elemento de la matriz PɅ 2. Podemos demostrar que para n > 1,

Pij (n) = ij-ésimo elemento de PɅn

Probabilidades de transicion en la n-ésima etapa

Para n = 0, Pij (0) = P(X0 = j|X0 = i), asi que se debe escribir

Probabilidades de transicion en la n-ésima etapa

Ejemplos y Ejercicios:

Probabilidades de transicion en la n-ésima etapa

Ejemplo de la bebida de cola

Suponga que toda la industria de bebidas de cola produce sólo dos. Dado que una persona la última vez compró cola 1, hay 90% de probabilidades de que su siguiente compra sea cola 1. Dado que la última compra de una persona fue cola 2, hay un 80% de probabilidades de que su siguiente compra sea cola 2.

Si una persona en la actualidad es comprador de cola 2, ¿Cuál es la probabilidad de que compre cola 1 dos veces a partir de ahora?
Si una persona en la actualidad es comprador de cola 1, ¿Cuál es la probabilidad de que compre cola 1 tres ocaciones a partir de ahora?

Probabilidades de transicion en la n-ésima etapa

Problemas Grupo A

Cada familia estadounidense se clasifica según donde vive como urbana, rural o suburbana. Durante un año especifico, 15% de las familias urbanas se mudaron a una ubicacion suburbana, 5% se mudaron a un área rural; tambien, 6% de las familias suburbanas se trasladaron a un área urbana y 4% se pasaron a una ubicación rural; por último, 4% de las familias rurales se fueron a un área urbana y 6% cambiaron a un lugar suburbano.

Probabilidades de transicion en la n-ésima etapa

a) Si una familia ahora vive en un lugar urbano, ¿cual es la probabilidad de que viva en un área urbana dos años a partir dea ahora? ¿Un área suburbana? ¿Un área rural?

b) Suponga que en el presente, 40% de las familias viven en un área urbana, 35% viven en un área suburbana y 25% viven en un área rural. Dos años a partir de ahora, ¿qué porcentaje de familias estadounidenses viviran en un área urbana?

c) ¿Qué problemas podrian ocurrir si este modelo se utiliza para predecir la distribución poblacional futura de los Estados Unido?