Calculus
微積分
— 吳若喬
目錄
微積分
主要包括微分學和積分學兩個部分，是研究極限、微分、積分和無窮級數等的一個數學分支。更本質的講，微積分學是一門研究連續變化的學問。
它使得函數、速度、加速度和斜率等均可用一套通用的符號進行演繹。
-選錄自維基百科
前導知識
實數
微積分研究的對象是函數的變化，涉及的數字皆是實數。
1
無窮大
以質數和無限旅館悖論作解釋。
(先來凍凍腦)
2
趨勢
極限的前導概念。
3
無窮多?有限?
質數
無窮多?有限?
質數
歐幾里德證明法:
假設有限質數的集合=p1,p2,p3,...,p6
P=此集合的數相乘，q=P+1 (q可為質數或非質數)
無窮多?有限?
質數
歐幾里德證明法:
假設有限質數的集合=p1,p2,p3,...,p6
P=此集合的數相乘，q=P+1 (q可為質數或非質數)
1.假設q為質數
無窮多?有限?
質數
歐幾里德證明法:
假設有限質數的集合=p1,p2,p3,...,p6
P=此集合的數相乘，q=P+1 (q可為質數或非質數)
1.假設q為質數
=>至少有一個質數不存在於有限質數集合當中
無窮多?有限?
質數
歐幾里德證明法:
假設有限質數的集合=p1,p2,p3,...,p6
P=此集合的數相乘，q=P+1 (q可為質數或非質數)
2.假設q為非質數
無窮多?有限?
質數
歐幾里德證明法:
假設有限質數的集合=p1,p2,p3,...,p6
P=此集合的數相乘，q=P+1 (q可為質數或非質數)
2.假設q為非質數
即存在一個質數因子k可整除q
無窮多?有限?
質數
歐幾里德證明:
假設有限質數的集合=p1,p2,p3,...,p6
P=此集合的數相乘，q=P+1 (q可為質數或非質數)
2.假設q為非質數
即存在一個質數因子k可整除q
假設此質數因子k在有限質數的集合中:
k必整除P，但同時整除q，代表k可整除P、q之差(P+1-P=1)
但是質數皆無法整除1，即k無法同時整除P、q
因此k不在此有限集合p1,p2,p3,...,p6當中
無限旅館悖論
太長了啦放在hackmd
趨勢
請判斷以下的函數為發散還是收斂?
- 第一
- 第二
- 2u4n0
函數
請判斷以下的函數為發散還是收斂?
- 第一
- 第二
- 2u4n0
收斂
函數
請判斷以下的函數為發散還是收斂?
- 第一
- 第二
- 2u4n0
收斂
函數
請判斷以下的函數為發散還是收斂?
- 第一
- 第二
- 2u4n0
發散
函數
請判斷以下的函數為發散還是收斂?
- 第一
- 第二
- 2u4n0
收斂
Definition
發散:
當n越來越大，數列不會趨近一定數
收斂:
當n越來越大，數列會趨近於或等於某一定數。
而這個數列所趨近的數為L，稱之為該數列的極限
數學上定義的符號為
- 第一
- 第二
- 2u4n0
〞
切線是割線的極限。
〞
limit?
圓:
直線:
圓:
直線:
P
Q
圓:
直線:
P
Q
圓:
直線:
P
Q
圓:
直線:
P
Q
圓:
直線:
P
Q
無關
1/2
1/2
=
=
=
=
=
=
一些長得很怪的東西
一些長得很怪的東西
一些長得很怪的東西
小總結
1.一次函數和多項式
函數值=極限值
2.若f(x)中x≠a的條件和h(x)中x≠a的條件相同
則f(x)和h(x)在x趨近於a時相等
左極限和右極限
右極限
左極限
右極限
左極限
右極限
左極限
那前面的例子
有左右極限嗎??
那前面的例子
有左右極限嗎??
有!!
發現?
⇔
圓:
直線:
P
Q
透過極限找直線斜率!
圓:
直線:
P
Q
=m(x)
圓:
直線:
P
Q
=m(x)
圓:
直線:
P
Q
圓:
直線:
P
Q
圓:
直線:
P
Q
圓:
直線:
P
Q
- f(a)有定義
- f(x)在a的極限值存在
- f(x)在a的極限=f(a)
連續函數
極限題目練習!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
=-1
=16
=4
=1/𝝅
=-1/2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
=3/2
=2
=-2
不存在
0
0
0
0
1
2
不存在
導數和導函數
圓:
直線:
P
Q
=m(x)
圓:
P
Q
圓:
P
Q
圓:
P
Q
圓:
P
Q
圓:
P
Q
Definition
- 給定函數f(x)，若 存在，稱f(x)在這處可微分，且稱此處的極限為在x=a處的導數，以符號f'(a)表示，即
並且稱f'(a)為f(a)的導函數
圓:
P
Q
給定的函數f(x)
圓:
P
Q
給定的函數f(x)
該極限存在
圓:
P
Q
給定的函數f(x)
該極限存在
是非題:
是非題:
X
O
X
是非題:
若函數f(x)的圖形在x=0處的切線斜率為水平線，則f'(0)不存在。
若函數f(x)的圖形在x=3處的切線為y=2x+5，則f'(3)=2。
是非題:
若函數f(x)的圖形在x=0處的切線斜率為水平線，則f'(0)不存在。
若函數f(x)的圖形在x=3處的切線為y=2x+5，則f'(3)=2。
X
X
討論左右極限:
討論左右極限:
討論左右極限:
左導數不等於右導數，不可微
導函數
- f'(x)也會寫成 或者若f(x)=2x+1，則f'(x)也可寫成(2x+1)'
- 針對導函數f'(x)若再求它的導函數， 以符號f''(x)表示，稱為f的二階導函數
物理應用:
位置、速度和加速度
物理應用:
位置、速度和加速度
斜率:平均速率
極限:瞬時速率
結論:
證明:
補充:
c
b
a
θ
補充:
5
3
4
θ
補充:
5
3
4
θ
補充:
sin
補充:
補充:
(不定)積分和定積分
- 由導數f'(x)求出f(x)的表達式(求反導數)
- C為任意常數
不定積分
**此時f(x)的表達式並不唯一**
不定積分
不定積分
不定積分
- 1
- 2
- 3
不定積分
- 1
- 2
- 3
- 求出黎曼和
定積分
微積分基本定理
若函數f(x)在[a,b]區間上為連續函數，且F(x)是f(x)的一個反導函數(就是f(x)=F'(x)的意思啦)，任一反導函數皆可，則有
翻譯:
是函數在區間[a,b]上的定積分。
練習:
- 1
- 2
- 3
- 4
練習:
- 1
- 2
- 3
- 4
