斐波那契数列

复习巩固

返回类型 函数名称(参数1,参数2,参数3,...){
    执行内容
}

返回类型 函数名称(参数1,参数2,参数3,...){
   执行内容
   ...
       
   return 结果
}
  • return用于返回函数的运算结果，并结束函数

例子

int Sum(int x,int y){
    return x + y;
}

斐波那契数列

斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……

斐波那契数列规律

问题：请计算出斐波那契数列的第30项

0、1、1、2、3、5、8、13、21、34

规律：从第三项开始，每一项都等于前两项之和

0+1=1\\ 1+2=3\\ 2+3=5\\ 3+5=8\\ 5+8=13

斐波那契数列的循环实现

int fib(int index){
    int pre_item = 0;
    int lat_item = 1;
    int result = 0;

    if (index == 1) return 0;
    if (index == 2) return 1;

    for(int i = 3;i <= index;i ++){
        result = pre_item + lat_item;

        pre_item = lat_item;
        lat_item = result;
    }
    return result;
}

递归算法

int fib(int index){
    if (index == 1) return 0;
    if (index == 2) return 1;
    return fib(index - 1) + fib(index - 2);
}

什么是递归算法：

递归算法是一种“自己调自己”，“有去有回”的算法，指一种通过重复将问题分解为同类的子问题而解决问题的方法。计算理论可以证明递归的作用可以完全取代循环，因此在很多函数编程语言（如Scheme）中习惯用递归来实现循环。

递归算法的基本特点：

  • 调用一个函数的过程中又出现直接或间接的调用该函数本身
  • 具备出口，能够结束调用
flowchart TD  
    A[fib 5] --> B[fib 4]  
    A --> C[fib 3]  
    B --> D[fib 3]  
    B --> E[fib 2]  
    D --> F[fib 2]  
    D --> G[fib 1]  
    C --> H[fib 2]  
    C --> I[fib 1]  
    F --> J[fib 1]  
    F --> K[fib 0]  
    H --> L[fib 1]  
    H --> M[fib 0]

例题一：请使用递归的方式来计算n的阶乘 $$ f(1) = 1\newline f(2) = f(1) * 2\newline f(3) = f(2) * 3\newline f(4) = f(3) *4\newline $$

#include <iostream>

using namespace std;

int factorial(int n){
    if (n == 1){	//设置递归条件
        return 1;
    }else
        return factorial(n-1)*n;	//调用自己
}

int main(){
    int result = factorial(4);

    cout << result << endl;

    return 0;
}

例题二：

利用递归算法，试编一程序，计算数组当中最大值

对于数组int a[] = {45, 24, 100, 24, 77, 22, 67, 89}

#include <iostream>  

using namespace std;  

int _max(int arr[], int len) {  
    if (len == 1) { // 设置终止条件  
        return arr[0];  
    }  

    int max_item = _max(arr, len - 1); // 求出最大值  

    if (max_item > arr[len - 1]) { // 求出最大值的条件  
        return max_item;  
    } else {  
        return arr[len - 1];  
    }  
}  

int main() {  
    int a[] = {45, 24, 100, 24, 77, 22, 67, 89};  
    int max = _max(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));  
    cout << max << endl;  

    return 0;  
}

综合练习

练习：

Pell数列$a1,a2,a3,...a1,a2,a3,...$的定义是这样的，$a1=1,a2=2,...,a_n=2a_n−1+a_n−2(n>2)$

给出一个正整数 kk，要求Pell数列的第 kk 项多少。

#include <iostream>  

using namespace std;  

// 递归函数，计算 Pell 数列的第 n 项  
int pell(int n) {  
    return (n == 1) ? 1 : (n == 2) ? 2 : 2 * pell(n - 1) + pell(n - 2);  
}  

int main() {  
    int k;  
    cout << "请输入正整数 k: ";  
    cin >> k;  

    // 计算并输出 Pell 数列的第 k 项  
    int result = pell(k);  
    cout << "Pell 数列的第 " << k << " 项是: " << result << endl;  

    return 0;  
}
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