圖論

Outline

圖介紹
BFS/DFS
歐拉路徑
樹的介紹
- 樹上最遠距離
DAG (有向無環圖)
DSU
樹壓平、 LCA
最小生成樹
最短路
二分圖匹配

圖的介紹

圖的種類

稀疏圖
- $$|V| \approx |E|$$
稠密圖
- $$E| \approx |V|^2$$
無向圖
- 無向邊所構成的圖
有向圖
- 有向邊所構成的圖
有向無環圖 (DAG)
- 有向邊 + 無環

圖的種類

完全圖
- 每個點對間都有邊相連
二分圖
- 可把圖分成恰兩部分，使得兩部分內部無邊相連、邊只會連接兩部分

圖的儲存

Edge List

就按照題目要求，用一個陣列把所有邊存下來
缺點:
- 每條邊之間沒有關聯性,在做圖的走訪時每次要重新枚舉整個陣列

鄰接矩陣

建一個 $n \times n$ 的陣列, $e[i][j]$ 存從 $i \rightarrow \ j$ 的邊
優點:
- 有表示到節點和邊的關係
缺點:
- 這樣空間複雜度為 $O(n^2)$ , 在稀疏圖太慢

鄰接陣列

改善鄰接矩陣，因為稀疏圖實際上邊數很少
所以改成開 $n$ 個 vector 去存每個點 $i$ 連出去的邊

vector<int> v[N];
vector<pair<int,int> > e[N];
void add_edge(int a,int b){
	v[a].eb(b);
}
void add_edge(int a,int b,int w) {
	e[a].eb(mp(b,w));
}

圖的遍歷

深度優先搜索 (DFS)

和人走路相同，
會持續從一個點往下走直到沒路可走
實作時通常直接用遞迴

void dfs(int x){
	vis[x]=true;
	for(int i:v[x]){
    	if(!vis[i]) dfs(i);
    }
}

廣度優先搜索 (BFS)

他是再一個點時往他所有相鄰的點走
實作通常是使用 queue

void bfs(int s){
  queue<int> q;
  q.push(s);
  while(!q.empty()){
    int x=q.front();q.pop();
    for(int i:v[x]) {
      if(!vis[i]){
        vis[i]=true;
        q.push(i);
      }
    }
  }
}

1209 - 圖論之二分圖測試

判斷給定的圖是不是二分圖
二分圖定義是可以分成兩堆內部無邊的點集

1209 - 圖論之二分圖測試

可以把點上色，這樣只要有邊的顏色必定要不同
DFS、BFS都可做

歐拉路徑

也稱作一筆畫問題
問是否可以在不走重複邊的情況下走完所有邊
並構造一組解

歐拉路徑

有向圖歐拉路徑存在條件
- 除起終點外其餘點的入度=出度,起點出度多1,終點入度多1
無向圖歐拉路徑存在條件
- 至多兩個奇點(度數為奇數)(其實只有 0/2)
- 0個奇點稱為歐拉迴路

歐拉路徑

對邊 DFS
- 實作上還是點枚舉
離開一條邊時加入答案
最終再把答案反轉

歐拉路徑

可注意到因為是對邊 DFS
因此一條邊遍歷後要從該點的陣列刪除
或是可以維護一個標記 $in[i]$ 代表節點 $i$ 已經枚舉到哪

1084 . 一筆畫問題

求字典序最小的歐拉路徑

1084 . 一筆畫問題

求字典序最小的歐拉路徑
只要DFS 時把邊按照字典序排好即可

大家來找碴

wiwihorz 讀書會圖論I簡報的 code

大家來找碴

wiwihorz 讀書會圖論I簡報的 code

前面有說過必須避免重複遍歷已走過的邊
若遇到恰兩個點互連爆多邊就會噴到 $O(nm)$

void dfs(int x){
	for(int &p=it[x];p<SZ(e[x]);p++){
		if(!used[e[x][p].S]) {
			used[e[x][p].S]=1;
			dfs(e[x][p].F);
		}
	}
	ans.eb(x);
}

一種正確寫法

樹

圖論中的一種特例
由恰 $n-1$ 條無向邊所組成的聯通圖

樹的遍歷

通常用 DFS
不同根節點會建出不同樹
可以注意到一個點會恰有一個祖先
其他為子節點
所以DFS 只需判斷該點是不是祖先

void dfs(int x,int p=-1,int d=0){
	dep[x]=d;
	for(int i:v[x]){
		if(i==p) continue;
		dfs(i,x,d+1);
	}
}

b967. 第 4 題血緣關係 (樹直徑)

求樹上最遠兩點的距離
因為最遠距離必定有一端在根節點的最遠點
所以做兩次 DFS
- 第一次找到與根節點最遠的點
- 再從該點出發

b967. 第 4 題血緣關係 (樹DP)

可以注意到對 $x$ 子樹來說距離只有兩種情況
- 通過$x$ 的
- 橫跨$x$某一子樹
維護 $dis[x] , maxdep[x]$ 分別代表 $x$ 內的最遠距離、距離 $x$ 的最遠點(最深)
$dis[x]=\max_{c_1,c_2 \in x}(dis[x],maxdep[c_1]+max_dep[c_2]+2$

b967. 第 4 題血緣關係 (樹DP)

實作時可以維護目前為止的 $maxdep[c_1]$
所以不需同時枚舉點對 $c_1,c_2$

int dis[N],maxdep[x];
void dfs(int x,int p=-1){
	maxdep[x]=dis[x]=0;
	for(int i:v[x]){
    	if(i!=p){
        	dfs(i,x);
            dis[x]=max(dis[x],max(dis[i],maxdep[x]+maxdep[i]+1));
            maxdep[x]=max(maxdep[x],maxdep[i]+1);
        }
    }
}

有向無環圖 (DAG)

有向無環圖

每條邊有方向、沒有出現環

拓撲排序

要怎麼好的遍歷 DAG
走訪一個點之前指向他的邊一定要先走訪
因為保證有向無環，必定有點可以先走訪
沒有被任何人指到的可以先走訪
拔掉該點後一樣是 DAG

拓撲排序

void toplogical sort(){
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!deg[i]) q.push(i);
    while(q.size()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(auto [i,w]:v[x]){
            deg[i]--;
            if(!deg[i]) q.push(i);
        }
    }
}

DAG dp

a454. TOI2010 第二題：專案時程

每個任務 $x$ 有其花費天數、也有一些順序關係。他能開始做只有當連向 $x$ 的所有任務都完成了

a454. TOI2010 第二題：專案時程

令 $dp[x]$代表 $x$ 完成的天數
$dp[x]=max\{dp[i]+w\}(i,x,w)∈edge$
按照拓撲排序順序轉移就好

void toplogical sort(){
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!deg[i]) q.push(i);
    while(q.size()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(auto [i,w]:v[x]){
            dp[i]=max(dp[i],dp[x]+w);
            deg[i]--;
            if(!deg[i]) q.push(i);
        }
    }
}

並查集

一種資料結構可以進行兩種操作
詢問元素所在的集合
把兩集合合併
這裡的集合在圖論上被稱為連通塊

a445: 新手訓練系列- 我的朋友很少

朋友的朋友也是朋友
給定$M$筆朋友關係，和$Q$筆詢問，問$A,B$是不是朋友。

並查集

把連通關係當作一顆樹，根節點就是最高層的祖先
同一棵樹代表在同一連通塊
初始每個人都是一棵樹
合併時就等價兩棵樹合併

並查集

既然是兩顆樹合併，直接拿根節點合併即可
有兩個優化
路徑壓縮
啟發式合併
用其中一個單次時間複雜度變成 $O(\log{n})$
兩者都用變成 $O(\alpha(n)) \sim O(1)$

並查集

路徑壓縮
- 因為你只在乎誰是樹根，尋找時也是要找樹根
- 找到後直接把尋找路段壓縮起來

並查集

啟發式合併
- 兩樹合併時用小的指向大的
- 也可以用樹高低的指向大的

並查集


void init(int n){
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i,sz[i]=1;
}
int fp(int x){
    if(x!=p[x]) p[x]=fp(p[x]);//路徑壓縮
    return p[x];
}
void Union(int a,int b){
    a=fp(a);//找到連通塊的祖先
    b=fp(b);
    if(a!=b){
        if(sz[a]<sz[b]){
            swap(a,b);//確保a是數量較大的
        }
        p[b]=a;//把b指向a
        sz[a]+=sz[b];
    }
}

一樣有 CF EDU 教學和習題可練

樹壓平

把樹變成序列，維護進入和離開時間戳記
$in_i,out_i$
有以下性質
$[in_x,out_x]$ 表示 $x$ 子樹

樹壓平

時間序列: [1,2,6,6,5,5,2,4,4,3,3,1]

int in[N],out[N];
int t=1;
void dfs(int x,int p=-1){
    in[x]=t++; // 進入的時間戳記
    for(int i:v[x]) {
        if(i!=p) dfs(i,x);
    }
    out[x]=t++; // 離開的時間戳記
}

樹壓平

有了時間序列就可以判祖孫關係
剛剛提到在 $[in[x],out[x]$ 內出現的是 $x$ 子樹，
也就是 $x$ 的子孫

bool isanc(int a,int b){
	return in[a]<=in[b]&&out[b]<=out[a];
}

最低共同祖先(LCA)

LCA

$O(\log{n})$ 求任意兩點$a,b$在樹上的最小共同祖先
$LCA(5,6)=2$
$LCA(3,6)=1$

LCA

假設 $LCA(a,b)=w$
那 $w$ 會是 $a$ 的 $d_a$ 層祖先
對 $a$ $1 \sim d_a-1$ 都不是 $b$ 祖先
$d_a \sim \inf $ 都是 $b$ 祖先
有二分搜性質
可以把 $d_a$ 二進位分解

LCA 倍增法

既然要二進為分解，代表需要知道 $2$ 的冪次層祖先
倍增

void build(){
    for(int i=1;i<=K;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++) ac[i][j]=ac[i-1][ac[i-1][j]];
    }
}

LCA

二進位分解後就依序看每一個 $bit$ 要是 $ 1/0 $

int LCA(int a,int b){
    if(isanc(a,b)) return a;
    if(isanc(b,a)) return b;
    for(int i=K;i>=0;i--){//跳到洽 $k_1-1$ 層的位置
        if(!isanc(ac[i][a],b)) a=ac[i][a];
    }
    return ac[0][a];
}

LCA

int in[N],out[N];
int t=1;
void dfs(int x,int p=-1){
    in[x]=t++; // 進入的時間戳記
    if(p!=-1) ac[0][x]=p;
    else ac[0][x]=x; // 預處理父親
    for(int i:v[x]) {
        if(i!=p) dfs(i,x);
    }
    out[x]=t++; // 離開的時間戳記
}
void build(){
    for(int i=1;i<=K;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++) ac[i][j]=ac[i-1][ac[i-1][j]];
    }
}
bool isanc(int a,int b){//判斷 a 是否為 b 的祖先
  return in[a]<=in[b]&&out[b]<=out[a];  
}
int LCA(int a,int b){
    if(isanc(a,b)) return a;
    if(isanc(b,a)) return b;
    for(int i=K;i>=0;i--){//跳到洽 $k_1-1$ 層的位置
        if(!isanc(ac[i][a],b)) a=ac[i][a];
    }
    return ac[0][a];
}

LCA

有了 $LCA$ 可以幹嘛
樹上兩點距離會恰巧通過 $LCA(a,b)$
$dis(a,b)=dis(a,LCA(a,b))+dis(LCA(a,b),b)$
可以透過建深度陣列求出距離

最小生成樹

給一堆邊，求權重總和最小的樹
同時也會是權重最大值最小的樹

Kruskal’s algorithm

把邊按照權重由小到大排序
依序確認這條邊是否可加入(是否不形成環)
最終即可得到答案

Kruskal’s algorithm

把邊權由小到大排序
一條邊要加入等價會合併兩聯通塊
並查集

Kruskal’s algorithm

DSU s; //並查集
void Kruskal(vector<edge> e){
    sort(e.begin(),e.end(),cmp);//按照邊權由小到大排
    int sum=0;
    for(edge ei:e){
        if(!s.same(ei.a,ei.b)) s.union(ei.a,ei.b),sum+=ei.w;
    }
}

Kruskal’s algorithm

證明:
- 假設目前找到的為 $T$ ,權重更小者為 $T^*$
- $T^*$ 按照 Kruskal 加邊順序第一條$T$ 沒有的邊 $e$
- 那考慮把這條邊加上去，那會形成還需要再拔一條邊 $e^*$
- 但因為是按照邊權由小到大，所以 $w(e^*)<w(e) $
- 故與假設矛盾
出現邊權最小的生成樹證明也相同

裏表次元 (Dimension) (校內賽pF)

題目等價有一張圖和 $Q$ 次詢問
每次詢問從 $s \rightarrow t$ 經過的最大邊最小可能是多少

裏表次元 (Dimension) (校內賽pF)

給定的是圖，但可以簡化成樹
最小生成樹
之後題目剩下要怎麼快速求兩點路徑上最大邊
倍增、LCA

最短路

Dijkistra
Bellman-ford
Floyd-Washall

Shortest Routes I

給你 $n$ 點 $m$ 邊的正權圖
求 $1$ 到所有點的最短距離
$1 \leq n \leq 10^5$
$1 \leq m \leq 2 \cdot 10^5$

Shortest Routes I

考慮 BFS
當你 BFS 時依序更新路 ...
但問題是可能會重複鬆弛 (後來才該走的路先走了)
鬆弛 (relax) : 對節點 $v$ 更新他指向的所有節點 $u$
時間複雜度會噴到 $O(nm)$
但假如可以定一個走的順序就只用走一次

Dijkistra

BFS 時的問題是可能後來反而距離較小
所以如果可以保證每次都走距離小的就好了
queue $\rightarrow$ priority_queue
按照當前到所有點的距離，每次走最小的更新

Dijkistra

實作時和 BFS Code 大致相同，改成 priority_queue 就好

typedef pair<int,int> pii;
void dijkistra(int s,int t){
	priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii>> pq;
    pq.push(mp(0,s));
    fill(dis,dis+N,INF);
    dis[s]=0;
    while(pq.size()){
    	pii now=pq.top();
        pq.pop();
        for(pii p2:v[now.S]){
        	if(dis[p2.F]>dis[now.S]+p2.S) {
            	dis[p2.F]=dis[now.S]+p2.S;
                pq.push(mp(dis[p2.F],p2.F));
            }
        }
    }
}

Dijkistra

每條邊只會走一次、每個點也只會進入一次
時間複雜度是 $O(|V|+|E|\log{|V|})$

Dijkistra

那如果有負權呢 ?
允許重複入隊

typedef pair<int,int> pii;
void dijkistra(int s,int t){
	priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii>> pq;
    pq.push(mp(0,s));
    fill(dis,dis+N,INF);
    dis[s]=0;
    while(pq.size()){
    	pii now=pq.top();
        pq.pop();
        if(dis[now.S]<now.F) continue; //允許重複入隊寫法
        for(pii p2:v[now.S]){
        	if(dis[p2.F]>dis[now.S]+p2.S) {
            	dis[p2.F]=dis[now.S]+p2.S;
                pq.push(mp(dis[p2.F],p2.F));
            }
        }
    }
}

Dijkistra

可判負環的時間複雜度不是好的

Bellman-Ford 算法

relax 一次不夠，就 relax 很多次
一條最短路必定是至多走$n-1$ 條邊
因此只要 $n-1$ 次 relax 即可
時間複雜度為 $O(nm)$

SPFA 算法

可注意到不一定每次都要 relax 所有點
第 $t-1$ 次沒被 relax , 第 $t$ 次必定不會
code 和前面重複入隊 Dijkistra 很像，只是又把 priority_queue $\rightarrow$ queue
期望時間複雜度 $O(|V|+|E|)$
但最差可能和 Bellman-ford 一樣 $O(nm)$
~~但師大測資一定可以~~

SPFA 算法

wiwihorz 暑培圖論II簡報的 code

A. 負權單點源最短路徑

給 $n$ 點 $m$ 邊的有向有權圖
輸出 $n$ 行，其中第 $i$ 行包含一個整數，表示從節點 $1$ 走到節點 $i$ 的最短路徑長，如果無法走到 $i$，輸出 QwQ；如果從節點 $1$ 到 $i$ 的路徑長可以任意小，輸出 OAO。

A. 負權單點源最短路徑

只要 $n-1$ 次 relax 即可
因此只要第 $n$ 次還被 relax 到，代表負環可走到該點
負環上的點也都會在 $n$ 次被 relax
因此只要從這些點做 BFS 即可

A. 負權單點源最短路徑

wiwihorz 暑培圖論II簡報的 code

A. 負權單點源最短路徑

wiwihorz 暑培圖論II簡報的 code

Cycle Finding

給 $n$ 點 $m$ 邊的有向有權圖
求圖上任一個負環

Cycle Finding

前面講的是判有經過起始點的環的作法
唯一與起始點 $s$ 相關是 $dis[s]:=0$
但這次只需要判負環，只在乎是否會 relax $n$ 次
把 $dis[s]$ 丟掉

Cycle Finding

一樣 relax $n$ 次，找到與負環相通的點
從該點倒退走 $n$ 次後，必在負環上
再從該點倒退走找負環

Code

Floyd-Washall 算法

求全點對最短距離算法
其實是一種 $dp$
假設有經過點 $k$
$dis[l][r]=dis[l][k]+dis[k][r]$

Floyd-Warshall 算法

$dis[l][r]=dis[l][k]+dis[k][r]$
先枚舉轉移點 $k$ , 內部再枚舉距離兩端
等價是做當轉移點限用 $1 \sim k$ 情況下的最短距離
迴圈順序錯誤只要跑 3 次就會對

void FloydWarshall(){
	for(int k=1;k<=n;k++){
    	for(int i=1;i<=n;i++){
        	for(int j=1;j<=n;j++){
            	dis[i][j]=min(dis[i][k]+dis[k][j]);
            }
        }
    }
}

Shortest Routes II

二分圖匹配

二分圖 （bipartite graph）

可以把點分成兩堆且同一堆內的節點間都沒有邊

匹配 （matching）

找一些點兩兩配對，每個點只能在一個匹配中且同一匹配的點必須相鄰

最大匹配 （maximum matching）

```
有最多配對的匹配
```

```
匹配是一個邊的獨立集
```

名詞介紹

```
匹配點 有被配對的點
```
```
匹配邊 兩端是一個配對的邊 
```

交錯路徑

交替經過未匹配邊、匹配邊的路徑

增廣路

一種滿足頭尾都是未匹配點的交錯路徑

Berge's lemma

找二分圖最大匹配

根據 Berge's lemma 就一直找增廣路即可
把圖分成兩半 $X,Y$
枚舉 $X$的點如果有找到增廣路則反轉邊,匹配數+1
時間複雜度 $O(|V||E|)$

找二分圖最大匹配

Code

const int N=1e3+7;
vector<int> v[N];//X的鄰點
int match[N]; // Y所匹配的節點
bool vis[N]; //在這次尋找中是否被走過
int dfs(int x){
	for(int y:v[x]){
		if(vis[y]) continue;
		vis[y]=true;
		if(match[y]==-1||dfs(match[y])){
			match[y]=x;
			return true;
		}
	}
	return false;
}
int bipartiteMatching(int n){
	fill(match,match+n+1,-1);
	int ans=0;
	rep(i,1,n){
		fill(vis,vis+n+1,0);
		if(dfs(i)) ans++;
	}
	return ans;
}

一些集合

點覆蓋 用點去覆蓋所有邊的點集合

```
點獨立集 互不相鄰的點集
```

邊覆蓋 用邊去覆蓋所有點的邊集合

邊獨立集 互不共點的邊集 ( 匹配 )

符號

二分圖左右兩側 $X,Y$
最小點覆蓋 $C_v$
最小邊覆蓋 $C_e$
最大點獨立集 $I$
最大邊獨立集 = 最大匹配 = $M$

性質

$|C_v|=M$
$|I|=|V|-|C_v|$
$|M|=|V|-|C_e|$

Kőnig’s theorem

因為覆蓋 $M$ 條匹配至少需要 $|M|$個點

所以 $|C_v| \geq |M|$

所以只要構造出一組點獨立集 $|C_v|=|M|$即可

構造方法如下:

從左邊沒有被匹配的點去走符合增廣路 "交替出現" 要求的路徑(未匹配邊-匹配邊-未匹配邊...) 並標記路過的所有點。

之後左邊沒被標記到的點 + 右邊被標記的點即為最小點覆蓋

Kőnig’s theorem

證明- 1 ( 該得到的點集可以覆蓋所有的邊 ):

證明不可能有一條邊左端有標記,右端沒標記

假設這條邊屬於匹配
- 則右端的標記必定是從左邊而來，故兩端都有或都沒有
假設這條邊不屬於匹配
- 則右端點可以從左端點走去，故兩者都會有標記

Kőnig’s theorem

假定得到點集為 $|P|$

證明-2 $|P|=|M|$

左邊未被標記點代表他是一條匹配邊左端(且該條匹配邊沒被標記過)
右邊被標記點也代表他是一條匹配邊右端
所以 $|P|=|M|$

Kőnig’s theorem

由證明-1,證明-2 再加上前面所述，

可保證這構造出來的是最小點覆蓋

故得證 $|C_v|=|M|$

如果還有不懂可以參考這個網頁的證明

最大點獨立集

任意點獨立集的補集就是點覆蓋
- 可以想一下
最小點覆蓋的補集就是最大點獨立集
$I=V \setminus C_v$

最大點獨立集

最小點覆蓋的補集就是最大點獨立集
$I=V \setminus C_v$

最小邊覆蓋

首先圖不會有孤點，不然一定無解

1. 把 $M$中的邊都加入 $C_e$ 則覆蓋$2|M|$個點，

最多再選$V-2|M|$條邊集可覆蓋所有點

故$|C_e|\leq |V|-|M|$

最小邊覆蓋

2. 因為 $C_e$ 上若有環則至少可以拔掉一條邊，

故 $C_e$ 為森林，連通塊數量為 $|V|-|C_e|$

則從每個連通塊選一條邊會形成邊獨立集

因為邊獨立集不會超過最大邊獨立集

所以連通塊數量必須小於最大邊獨立集(最大匹配)

故 $|V|-|C_e|\leq |M|$

最小邊覆蓋

由 1. ,2. 得證 $|C_e|=|V|-|M|$

例題

CSES Coin Grid

在$N \times N$ 上的棋盤上有$K$個錢，

每次你可以選擇清空一列、一行上的錢，

求最少操作幾次才能把棋盤清空

並把操作的方法列出來

例題

把題目放在二分圖上思考，
每個皮皮$x,y$要被打掉代表 $x$被選或是$y$被選
最小點覆蓋

例題

最小點覆蓋構造方法
- 如前面證明時所使用的方法，就是枚舉 $Y$ 中未被匹配的點，然後去找部分增廣路徑然後把經過的點標記
- 左邊被標記的點 + 右邊未被標記的點即為答案
實作方法:
- 把未匹配的邊改成右指向左
- 匹配邊為左指向右
- 之後就是 DFS
參考Code

構造Code

const int N=1e3+7;
vector<int> v[N];//X的鄰點
int match[N]; // Y所匹配的節點
bool vis[N]; //在這次尋找中是否被走過
int dfs(int x){
	for(int y:v[x]){
		if(vis[y]) continue;
		vis[y]=true;
		if(match[y]==-1||dfs(match[y])){
			match[y]=x;
			return true;
		}
	}
	return false;
}
int bipartiteMatching(int n){
	fill(match,match+n+1,-1);
	int ans=0;
	rep(i,1,n){
		fill(vis,vis+n+1,0);
		if(dfs(i)) ans++;
	}
	return ans;
}
vector<int> v2[2*N];
int tag[2*N];
vector<pii> e;
void paint(int x){
	tag[x]=true;
	for(int i:v2[x]){
		if(!tag[i]){
			paint(i);
		}
	}
}
void getce(int n){
	int ans=bipartiteMatching(n);
	cout<<ans<<"\n";
	for(pii p2:e){
		if(match[p2.S]!=p2.F){
			v2[p2.S+n].eb(p2.F);
		}
		else v2[p2.F].eb(p2.S+n);
	}
	rep(i,1,n){
		if(match[i]==-1){
			paint(i+n);
		}
	}
	rep(i,1,n){
		if(tag[i]) cout<<1<<" "<<i<<"\n";
	}
	rep(i,n+1,2*n){
		if(!tag[i]) cout<<2<<" "<<i-n<<"\n";
	}
}

例題

TIOJ 1069 . E.魔法部的任務

有一個棋盤，然後接下來會有 $m$ 個事件發生，第 $i$個事件會在時間 $t_i$ 發生在 ($x_i$,$y_i$)，你可以派一些人去處理這些事件。一個人被派出去的時候，他一開始可以在任何位置，接下來他移動到別的地方花的時間等於曼哈頓距離。求你至少要派幾個人。
$ m \leq 1000 $

例題

對事件建點, $i_{out},i_{in}$

若從 $i$ 事件結束後可以接著做 $j$ 事件

則建邊 $i_{out} \rightarrow j_{in}$

等價於要用最少的路徑去使每個節點都被走訪

可以先假設答案是 $m$

那之後會發現如果有一個匹配 $i,j)$ 則答案會 -1。

故最佳解即為 $|V|-|M|$

參考Code

練習

TIOJ 2037 . 警力配置
GCJ 2021 R2 pD Retiling Test Set 1
- Test Set1 (權重為1)

題目講解

咖哩採買(Shopping) (校內賽pD)

給定一張有向帶權圖，問每條邊是否可能成為 $1$ 走到 $N$ 的最短路上的邊
$ N,M \leq 5 \cdot 10^5$

咖哩採買(Shopping) (校內賽pD)

求 $1 \sim N$ 的最短路的值並不難 (Dijkstra就可以搞定)

圖論

Outline

圖的介紹

圖的種類

圖的種類

圖的儲存

Edge List

鄰接矩陣

鄰接陣列

圖的遍歷

深度優先搜索 (DFS)

廣度優先搜索 (BFS)

歐拉路徑

歐拉路徑

歐拉路徑

歐拉路徑

歐拉路徑

大家來找碴

大家來找碴

一種正確寫法

樹

樹

樹的遍歷

b967. 第 4 題 血緣關係 (樹直徑)

b967. 第 4 題 血緣關係 (樹DP)

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有向無環圖 (DAG)

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拓撲排序

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DAG dp

並查集

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並查集

並查集

並查集

並查集

並查集

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樹壓平

樹壓平

樹壓平

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最低共同祖先(LCA)

LCA

LCA

LCA 倍增法

LCA

LCA

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最小生成樹

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Kruskal’s algorithm

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裏表次元 (Dimension) (校內賽pF)

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二分圖匹配

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