Transición en la educación de la geometría

Geometría euclidiana con base en la construcción geométrica con regla y compás

Uso "obligatorio" de Ambientes de Geometría Dinámica (AGD)

(Weigandet et al., 2025)

De los 37 resultados obtenidos hay solo una investigación (Talmon y Yerushalmy, 2004) en que la construcción geométrica usando AGD es parte del objeto de estudio (Rubio-Pizzorno, 2026, p. 19).

De las 156 reportadas en el survey hay solo una investigación (Uygan y Bozkurt, 2021) en que la construcción geométrica usando AGD es parte del objeto de estudio (Weigandet et al., 2025).

Revisión de literatura

Estudios recientes

En la presente investigación la construcción geométrica en AGD es parte del objeto de estudio, específicamente al estudiar sus características estructurales.

Pero la mencionan como una una noción complementaria y no como parte del objeto de estudio.

Esta diferencia puede ser sutil, pero es de la mayor importancia.

Objeto de estudio

Noción complementaria

Objeto de estudio

Prácticamente todas las investigaciones en educación de la geometría que usan AGD mencionan a la construcción geométrica.

Perspectivas sociales de investigación con base en prácticas

Fundamentar el diseño

Analizar los datos

Haceres humanos: lo que las personas hacen con sus cuerpos y extensiones de ellos.

Diferentes conjuntos de haceres geométricos y sus respectivas organizaciones constituyen prácticas geométricas.

Organización tales haceres al realizar tareas geométricas.

Práctica de Deconstruir

Práctica de Construir

Funciones del marco teórico

Plano concreto

Plano abstracto

Construir

Deconstruir

P1: ¿Qué haceres geométricos están involucrados al realizar tareas de construcción geométricas en AGD ?

P2: ¿Cómo se organizan los haceres geométricos al realizar tareas de construcción geométrica en AGD?

Fase 1: Elaboración del diseño

Fase 2: Implementación del diseño

Fase 3: Análisis retrospectivo

En el marco del curso Prácticas Digitales para Futuros Profesores de Matemáticas.

Tres niveles de análisis (Simon, 2018)

Metodología cualitativa, interpretativa, intervencionista (usa el diseño como instrumento de investigación).

Busca conocimientos aplicables y teorías de acción. Su objetivo es obtener conocimientos útiles (vinculados al diseño) que sean sensibles al contexto y, al mismo tiempo, lo suficientemente generales como para utilizarlos en nuevas situaciones (Bakker, 2018, p. 47).

Objetivos teóricos:

1. Corroborar o ampliar los haceres geométricos que constituyen las prácticas de construir y deconstruir.
2. Determinar de qué manera se organizan los haceres geométricos para constituir las prácticas de construir y deconstruir, en el caso de la construcción geométrica en AGD.

Objetivo instruccional:

Que las y los estudiantes aprendan sobre la importancia de la construcción geométrica como noción base de la geometría euclidiana. Usando los AGD como entornos ideales para estudiar, experimentar y poner a prueba concepciones geométricas escolares clásicas y contrastarlas con una geometría basada en la construcción.

5 Momentos

28 Actividades

Varias tareas por cada Actividad

Grabación de pantalla de cada estudiante

Grabación de pantalla del profesor

Grabación de la clase

Respuestas de los estudiantes (en GeoGebra Classroom)

Registro de datos

Cinco estudiantes de tercer año de la Licenciatura en Docencia de la Matemática.

Implementación

Universidad Autónoma de Baja California, Mexico.

El diseño se implementó en el curso Prácticas digitales para futuros profesores de matemáticas.

Para la producción de datos se consideraron cinco clases: las dos primeras presenciales y las tres últimas en línea.

Se seleccionó el caso del estudiante Víctor (seudónimo) debido a que participó en todas las sesiones, envío todas las tareas asincrónicas y completó todos los objetivos del diseño.

Se descartaron los registros que no están relacionados con las tareas geométricas.

El análisis se hace por cada actividad (28 en total).

Descripción de lo que Víctor hizo geométricamentecon su cuerpo y extensiones de él.

Explicación general de lo que Víctor hizo para resolver las tareas.

Descripción de lo que Víctor dice.

Se identifican haceres geométricos en las descripciones del nivel 1.

Qué haceres se articularon para que Víctor responda la tarea.

Revisión de la hipótesis local.

Se identifica el nivel de emergencia del hacer para clasificarlo.

¿Cómo evolucionan los haceres geométricos?

Explicación del funcionamiento los haceres geométricos de manera transversal a todo el momento.

Emerge el hacer determinar el comportamiento dinámico en un nivel en desarrollo, porque a pesar que se ha sofisticado la estrategia, se sigue haciendo descripciones perceptuales con términos coloquiales (p. 101).

En primer lugar, emergió una estrategia inédita para determinar el comportamiento dinámico, lo cual corresponde a una evolución respecto de explorar el comportamiento dinámico y describir el movimiento, como Víctor lo realizó en el momento 2... (p. 101).

Emergieron dos haceres nuevos (no considerados en el modelo teórico).

Explorar el comportamiento dinámico

Efectuar la construcción

Cómo evolucionaron los haceres geométricos que emergieron durante la implementación del diseño.

Cómo se organizaron los haceres para constituir las prácticas de deconstruir y construir a lo largo de todo el diseño.

El hacer determinar el comportamiento dinámico comenzó siendo incipiente y avanzó
solo hasta el nivel en desarrollo.

En las primeras actividades, la descripción del movimiento era netamente perceptual y técnica.

Pero a medida que avanzaban las actividades, Víctor fue incorporando términos geométricos a las descripciones del movimiento e incluso desarrolló una estrategia basada en el movimiento y las relaciones de dependencia para determinar el comportamiento dinámico.

No obstante, sólo llegó a usar de manera articulada lenguaje geométrico y coloquial, ya que nunca hizo descripciones únicamente geométricas. Esto se debe a que la descripción del movimiento se hizo con base en aspectos principalmente perceptuales y no geométricos (p. 123).

INDICIOS

INCIPIENTE

EN DESARROLLO

CONSOLIDADO

Explorar el comportamiento dinámico

Determinar el comportamiento dinámico

Conjeturar relaciones de dependencia

Explorar el comportamiento dinámico

Conjeturar relaciones de dependencia

El análisis de la organización transversal permitió determinar:

P1: ¿Qué haceres geométricos están involucrados al realizar tareas de construcción geométricas en AGD ?

P2: ¿Cómo se organizan los haceres geométricos al realizar tareas de construcción geométrica en AGD?

1. Se actualizaron las caracterizaciones de cada hacer geométrico propuesto teóricamente.

Ejemplo: Explorar el comportamiento dinámico.

Arrastrar los objetos constituyentes del diagrama e identificar los que no se pueden arrastrar. Dependiendo de objetivo con el cual se haga la exploración, existen dos funciones de este hacer:

• Reconocer las características generales del diagrama y sus componentes.
• Verificar que el diagrama tiene el comportamiento dinámico deseado a priori.

Además, se cuenta con estrategias para explorar el comportamiento de diagramas básicos o complejos.

(Práctica de construir) Explorar el comportamiento dinámico del diagrama y verificar sus propiedades
geométricas.

(Práctica de construir) Determinar el comportamiento dinámico del diagrama y sus objetos constituyentes.

Propuesta teórica

Resultado

1. Se actualizaron las caracterizaciones de cada hacer geométrico propuesto teóricamente.

Ejemplo: Explorar el comportamiento dinámico.

• Estrategia básica: consiste en explorar el comportamiento dinámico, y con base en esta exploración describir el movimiento. Esta estrategia se emplea generalmente para la función de familiarización.
• Estrategia para diagramas complejos: inicia con una primera exploración cautelosa, donde se arrastran todos los vértices con movimientos cortos. A continuación se realiza una exploración total, donde se vuelven a arrastrar todos los objetos, pero ahora con movimientos más audaces, los cuales le permiten cambiar la configuración inicial del diagrama. Esta estrategia se puede emplear para ambas funciones (pp. 133 - 134)

Resultado

Determinar el comportamiento dinámico: describir por escrito el movimiento de cada uno de los objetos constituyentes del diagrama y del diagrama mismo.​
La descripción del movimiento se puede realizar en diferentes niveles según su especificidad, que puede moverse de lo técnico y perceptual hasta lo geométrico.

Cuando la descripción es predominantemente técnica y perceptual, domina el uso de términos coloquiales y referencias a las herramientas de GeoGebra. En cambio cuando la descripción es predominantemente geométrica, es mayoritario el uso de términos y lenguaje geométrico.

Efectuar la construcción: seleccionar las herramientas adecuadas de GeoGebra y seguir los pasos de la secuencia de construcción, con el objetivo de elaborar efectivamente y paso a paso la construcción geométrica en el AGD.
El plano de acción de este hacer es plano concreto, ya que genera la representación concreta de la construcción geométrica.

2. Se caracterizaron dos nuevos haceres geométricos básicos que emergieron del análisis de los datos.

Familiarizarse con la construcción: identificar de manera perceptual y descriptivas las características generales del diagrama.

La familiarización se pone en funcionamiento con la siguiente organización de haceres básicos:

1. Hacer una exploración inicial del comportamiento dinámico del diagrama.
2. Reconocer la dependencia o independencia entre los objetos constituyentes del diagrama.
3. Determinar el comportamiento dinámico del diagrama mediante la descripción de su movimiento y el de sus objetos constituyentes.

3. Se caracterizaron cuatro nuevos haceres de orden superior que emergieron del análisis de los datos.

Haceres geométricos básicos

●​ Explorar el comportamiento dinámico.

●​ Determinar el comportamiento dinámico.

●​Conjeturar las relaciones de dependencia.

●​ Conjeturar la secuencia de construcción.

●​ Inferir las relaciones geométricas.

●​ Identificar las propiedades geométricas
del diagrama.

●​ Efectuar la construcción.

Haceres geométricos de orden superior

●​ Familiarizarse con la construcción.

●​ Organizar el proceso de construcción.

●​ Verificar y controlar.

●​ Justificar la construcción.

Propuesta teórica

Resultado

Los haceres básicos se organizan de diversas maneras según el objetivo que se persigue. Y de esas organizaciones emergen los haceres de orden superior y las prácticas.

En definitiva, la organización de los haceres no es secuencial y ordenada, como se propuso teóricamente, sino que es diversa, flexible y depende del objetivo de la tarea a desarrollar.

Se desarrolla un modelo teórico que explica la construcción de conocimiento geométrico en términos de las prácticas y su organización (relativas a la construcción geométrica en AGD).

En concreto este modelo permite explicar a detalle qué hacen las y los estudiantes al desarrollar tareas sobre construcción geométrica, lo cual se realiza en términos de las prácticas geométricas y cómo éstas organizan el actuar del estudiante dependiendo del objetivo de la tarea geométrica, el cual puede ser construir o deconstruir la construcción geométrica, o develar la estructura geométrica de la construcción.

Se desarrolla una caracterización de la construcción geométrica: propiedad geométrica, relación geométrica, orden de construcción, relación de dependencia y comportamiento dinámico.

Contribuye a cerrar una brecha de la educación de la geometría identificada al inicio de la investigación.

El diseño como herramienta innovadora para estudiar las construcciones geométricas en AGD, teniendo en cuenta tanto sus elementos constituyentes así como las prácticas geométricas asociadas a la construcción.

En este estudio se retoma la línea de investigación trazada por por Talmon y Yerushalmy (2004), Jones (2000) y Holz et al. (1994), proponiendo una caracterización funcional e integradora de la construcción geométrica en AGD.

Leugn (2015) propone el dragging exploration principle (un diagrama en un AGD conserva todas sus propiedades, las cuales son producto del proceso de construcción y de los resultados de la geometría euclidiana).

La presente investigación amplía este resultado al proveer mecanismos que permiten develar tanto las propiedades y el proceso de construcción, mediante el funcionamiento de la práctica de deconstruir.

En el campo de la educación de la geometría se afirma que arrastrar puede promover la generación de conjeturas e incluso la demostración (Baccaglini-Frank 2019; Leung y López-Real, 2002).

Este resultado se amplía al proveer mecanismos para elaborar conjeturas sobre las relaciones de dependencia entre los componentes de una construcción o su correspondiente secuencia de construcción.

Se amplían y reinterpretan resultados: el hacer de orden superior verificar y controlar es una nueva interpretación de la clásica prueba del arrastre (Arzarello et al., 2002).

La ampliación se refiere a identificar la funcionalidad de la exploración del comportamiento dinámico, ya que permite tanto la verificar propiedades de una construcción (como la prueba del arrastre), así como la familiarización con las características globales de un diagrama.

En el campo se destaca al arrastre como la característica principal al usar AGD (Fahlgren y Brunström, 2014; Leung et al., 2023) y esta investigación permitió relacionarlo con las prácticas geométricas, ya que funciona como su detonante.

Prácticamente cada vez que emerge un hacer geométrico es con base en el movimiento de los objetos, es decir, en cómo podían ser arrastrados.

La evidencia empírica no permitió contrastar a profundidad la propuesta teórica referente a la práctica de construir, debido a que el diseño estuvo enfocado principalmente en la práctica de deconstruir.

Se plantea incluir en siguientes versiones del diseño, tareas para estudiar específicamente el proceso de construcción con base en los resultados obtenidos (verificar y controlar, justificar la construcción), con el objetivo de pasar de una propuesta que sigue siendo principalmente teórica a una que incorpore aspectos de la evidencia empírica.

Ante la emergencia de la nueva práctica de comunicar la estructura geométrica de la construcción, se plantea incorporarla a nuevas versiones del diseño ya que permitiría el tránsito del plano concreto al abstracto y viceversa. Lo cual no es posible ni con la práctica de deconstruir ni con la de construir.