素数の分布を話したい
～Gauss青年が見つけた法則とそれの発展～
2016.12.24
@ロマンティック数学ナイト
@Riemann_Zeta_F
\pi^{-\frac{s}{2}}
\Gamma(\frac{s}{2})
\zeta(s)
=
\pi^{-\frac{1-s}{2}}
\Gamma(\frac{1-s}{2})
\zeta(1-s)
\displaystyle \prod_{p;{\mathrm{prime}}}\frac{1}{1-p^{-s}}
\zeta(2)
=
\frac{\pi^2}{6}
\displaystyle
\pi(x)
=
\sum_
{m\leqq\log_2 x}
\frac{\mu(m)}{m}
\biggl(
\mathrm{li}(x^{\frac{1}{m}})
-
\sum_\rho
\mathrm{li}
(x^{\frac{\rho}
{m}})
-
\log 2
+
\int_{x^{\frac{1}{m}}}^\infty
\frac{{dt}}{t({t^2}-1)\log t}
\biggr)
\displaystyle
\zeta(s)
=
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{k^s}
\displaystyle
\zeta(3)=
1
+
\frac{1}{8}
+
\frac{1}{27}
+
\frac{1}{64}
+
...
\displaystyle
\neq
\frac{p}{q}
自己紹介.
・
・7月に2人の日曜数学者のブログを見て
数学に興味を持つ.
・好きな四字熟語は関数等式,好きな素数は
と
13
1
歳,中学
年生.
2
3
と
13
と
37
と
101
と
と
691
5882353
他多数.
・グレブナー基底にはポン酢派の一人.
Theorem. (Euclid,3 B.C.)
素数は無数に存在する.
Gaussの素数定理
Gaussの素数定理
\pi(x) \sim \frac{x}{\log(x)}
.
\sim
ここで,
は,
\displaystyle
\lim_{x \to \infty}
\frac
{\pi(x)}
{\frac{x}{\log(x)}}
を表すものとする.
= 1
Gaussが15歳で予想した定理!
Bernhard Riemannが1859年に研究,
1896年にde la Vallée-Poussin,Hadamardが,
それぞれ独立に証明.
Bernhard Riemann
1826 - 1866.
「与えられた数より小さい素数の個数について」
"Riemannの素数公式"
Riemannのゼータ関数
Riemannのゼータ関数.
\displaystyle
\zeta(s)
=
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{k^s}
\mathrm{Re}(s) > 1
.
\zeta(s)=
\displaystyle \prod_{p;{\mathrm {prime}} }\frac{1}{1-
\frac{1}{p^s}}
Theorem.(Euler,1737.)
.
Riemannのゼータ関数.
Theorem.(Euler,1737.)
\displaystyle
\zeta(2)
=
\frac{\pi^2}{6}
.
Theorem.(Apéry,1978.)
\displaystyle
\zeta(3)
\neq
\frac{p}{q}
.
\zeta(s)
\pi^{-\frac{s}{2}}
\Gamma(\frac{s}{2})
=
\zeta(1-s)
\pi^{-\frac{1-s}{2}}
\Gamma(\frac{1-s}{2})
Theorem.(Riemann,1859.)
.
\displaystyle
\zeta
(1-s)=2^{1-s}
\pi^{-s}
\cos
\frac{\pi s}{2}
\Gamma
(s)\zeta
(s)
\displaystyle
\zeta(s)
=
2^s
\pi^{s-1}
\sin
\frac{\pi s}{2}
\Gamma(1-s)
\zeta(1-s)
.
.
自明な零点・・・
\displaystyle
(-2k)
.
非自明な零点・・・自明な零点でない零点.
自然な疑問; 他に零点はあるのか?
\displaystyle
0
<
\mathrm
{Re}
(\rho)
<
1
\rho \in \mathbb{C}
Theorem.(Hadamard,Poussin,1896.)
を
\zeta(s)
の非自明な零点とする.
このとき,
が成り立つ.
この定理を示すことは素数定理を証明することと同値.
\mathrm{Re}(s) = 1 \Longrightarrow \zeta (s) \neq 0
を示すことで証明を与えた.
\displaystyle
\pi(x)
=
\sum_
{m\leqq\log_2 x}
\frac{\mu(m)}{m}
\biggl(
\mathrm{li}(x^{\frac{1}{m}})
-
\sum_\rho
\mathrm{li}
(x^{\frac{\rho}
{m}})
-
\log 2
+
\int_{x^{\frac{1}{m}}}^\infty
\frac{{dt}}{t({t^2}-1)\log t}
\biggr)
Riemannの素数公式.
Riemannは1859年に素数個数計数関数を完璧に表す式を証明した;
.
Riemannの素数公式では誤差項はρが
両端から遠いほど小さくなることがわかる.
Riemann Hypothesis.
の非自明な零点
\zeta(s)
\rho
はすべて
\mathrm
Re(\rho)=
\frac{1}{2}
.
\displaystyle
\mathrm
L
\mathrm
i
(x) = \int_{2}^{x} \frac{1}{\log t}
\mathrm
d
\mathrm
t
.
\pi(x)
<
\mathrm
L
\mathrm
i(x)
GaussやRiemannは,常に
が成り立つと考えていた.
\displaystyle
\mathrm
l
\mathrm
i
(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{\log t}
\mathrm
d
\mathrm
t
.
しかし,この予想はLittlewoodが証明した定理によって否定される;
\pi(x)-
\mathrm
L
\mathrm
i(x)
Theorem.(Littlewood.)
は無限回符号を変える.
John Edensor Littlewood
1885 - 1977.
Stanley Skewes.
1899-1988.
\displaystyle
e^{e^{e^{20382810665126687668323137537172632.374691364861524219235342823...}}}
Skewes Number.
e^{e^{e^{e^{7.705}}}}
\approx
10^{10^{10^{963}}}
(1933,Skewes.)
.
.
(1955,Skewes.)
Thank you for your attention!
\pi(x)
10^1
x
10^2
10^3
10^4
10^5
10^6
10^7
4
25
168
1229
9592
78498
664579
\frac{x}{\log(x)}
4.343
21.715
144.764
1085.736
8685.890
72382.414
620420.688
誤差(%)
+8.57
-13.14
-13.83
-11.65
-9.44
-3.96
-6.64
\mathrm
L
\mathrm
i
(x)
\pi(x)
\pi
(10)
=
4
\mathrm
L
\mathrm
i
(10)
=
5
\pi
(100)
=
25
\mathrm
{Li}
(100)
=
29
\pi
(1000000000)
=
50847534
\mathrm
{Li}
(1000000000)
=
50849234