素数の分布を話したい
～Gauss青年が見つけた法則とそれの発展～
2016.12.24
@ロマンティック数学ナイト
@Riemann_Zeta_F
\pi^{-\frac{s}{2}}
\Gamma(\frac{s}{2})
\zeta(s)
=
\pi^{-\frac{1-s}{2}}
\Gamma(\frac{1-s}{2})
\zeta(1-s)
π−2sΓ(2s)ζ(s)=π−21−sΓ(21−s)ζ(1−s)
\displaystyle \prod_{p;{\mathrm{prime}}}\frac{1}{1-p^{-s}}
p;prime∏1−p−s1
\zeta(2)
=
\frac{\pi^2}{6}
ζ(2)=6π2
\displaystyle
\pi(x)
=
\sum_
{m\leqq\log_2 x}
\frac{\mu(m)}{m}
\biggl(
\mathrm{li}(x^{\frac{1}{m}})
-
\sum_\rho
\mathrm{li}
(x^{\frac{\rho}
{m}})
-
\log 2
+
\int_{x^{\frac{1}{m}}}^\infty
\frac{{dt}}{t({t^2}-1)\log t}
\biggr)
π(x)=m≦log2x∑mμ(m)(li(xm1)−ρ∑li(xmρ)−log2+∫xm1∞t(t2−1)logtdt)
\displaystyle
\zeta(s)
=
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{k^s}
ζ(s)=k=1∑∞ks1
\displaystyle
\zeta(3)=
1
+
\frac{1}{8}
+
\frac{1}{27}
+
\frac{1}{64}
+
...
ζ(3)=1+81+271+641+...
\displaystyle
\neq
\frac{p}{q}
=qp
自己紹介.
・
・7月に2人の日曜数学者のブログを見て
数学に興味を持つ.
・好きな四字熟語は関数等式,好きな素数は
と
13
13
1
1
歳,中学
年生.
2
2
3
3
と
13
13
と
37
37
と
101
101
と
と
691
691
5882353
5882353
他多数.
・グレブナー基底にはポン酢派の一人.
Theorem. (Euclid,3 B.C.)
素数は無数に存在する.
Gaussの素数定理
Gaussの素数定理
\pi(x) \sim \frac{x}{\log(x)}
π(x)∼log(x)x
.
.
\sim
∼
ここで,
は,
\displaystyle
\lim_{x \to \infty}
\frac
{\pi(x)}
{\frac{x}{\log(x)}}
x→∞limlog(x)xπ(x)
を表すものとする.
= 1
=1
Gaussが15歳で予想した定理!
Bernhard Riemannが1859年に研究,
1896年にde la Vallée-Poussin,Hadamardが,
それぞれ独立に証明.
Bernhard Riemann
1826 - 1866.
「与えられた数より小さい素数の個数について」
"Riemannの素数公式"
Riemannのゼータ関数
Riemannのゼータ関数.
\displaystyle
\zeta(s)
=
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{k^s}
ζ(s)=k=1∑∞ks1
\mathrm{Re}(s) > 1
Re(s)>1
.
.
\zeta(s)=
\displaystyle \prod_{p;{\mathrm {prime}} }\frac{1}{1-
\frac{1}{p^s}}
ζ(s)=p;prime∏1−ps11
Theorem.(Euler,1737.)
.
.
Riemannのゼータ関数.
Theorem.(Euler,1737.)
\displaystyle
\zeta(2)
=
\frac{\pi^2}{6}
ζ(2)=6π2
.
.
Theorem.(Apéry,1978.)
\displaystyle
\zeta(3)
\neq
\frac{p}{q}
ζ(3)=qp
.
.
\zeta(s)
\pi^{-\frac{s}{2}}
\Gamma(\frac{s}{2})
=
\zeta(1-s)
\pi^{-\frac{1-s}{2}}
\Gamma(\frac{1-s}{2})
ζ(s)π−2sΓ(2s)=ζ(1−s)π−21−sΓ(21−s)
Theorem.(Riemann,1859.)
.
.
\displaystyle
\zeta
(1-s)=2^{1-s}
\pi^{-s}
\cos
\frac{\pi s}{2}
\Gamma
(s)\zeta
(s)
ζ(1−s)=21−sπ−scos2πsΓ(s)ζ(s)
\displaystyle
\zeta(s)
=
2^s
\pi^{s-1}
\sin
\frac{\pi s}{2}
\Gamma(1-s)
\zeta(1-s)
ζ(s)=2sπs−1sin2πsΓ(1−s)ζ(1−s)
.
.
.
.
自明な零点・・・
\displaystyle
(-2k)
(−2k)
.
.
非自明な零点・・・自明な零点でない零点.
自然な疑問; 他に零点はあるのか?
\displaystyle
0
<
\mathrm
{Re}
(\rho)
<
1
0<Re(ρ)<1
\rho \in \mathbb{C}
ρ∈C
Theorem.(Hadamard,Poussin,1896.)
を
\zeta(s)
ζ(s)
の非自明な零点とする.
このとき,
が成り立つ.
この定理を示すことは素数定理を証明することと同値.
\mathrm{Re}(s) = 1 \Longrightarrow \zeta (s) \neq 0
Re(s)=1⟹ζ(s)=0
を示すことで証明を与えた.
\displaystyle
\pi(x)
=
\sum_
{m\leqq\log_2 x}
\frac{\mu(m)}{m}
\biggl(
\mathrm{li}(x^{\frac{1}{m}})
-
\sum_\rho
\mathrm{li}
(x^{\frac{\rho}
{m}})
-
\log 2
+
\int_{x^{\frac{1}{m}}}^\infty
\frac{{dt}}{t({t^2}-1)\log t}
\biggr)
π(x)=m≦log2x∑mμ(m)(li(xm1)−ρ∑li(xmρ)−log2+∫xm1∞t(t2−1)logtdt)
Riemannの素数公式.
Riemannは1859年に素数個数計数関数を完璧に表す式を証明した;
.
.
Riemannの素数公式では誤差項はρが
両端から遠いほど小さくなることがわかる.
Riemann Hypothesis.
の非自明な零点
\zeta(s)
ζ(s)
\rho
ρ
はすべて
\mathrm
Re(\rho)=
\frac{1}{2}
Re(ρ)=21
.
.
\displaystyle
\mathrm
L
\mathrm
i
(x) = \int_{2}^{x} \frac{1}{\log t}
\mathrm
d
\mathrm
t
.
Li(x)=∫2xlogt1dt.
\pi(x)
<
\mathrm
L
\mathrm
i(x)
π(x)<Li(x)
GaussやRiemannは,常に
が成り立つと考えていた.
\displaystyle
\mathrm
l
\mathrm
i
(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{\log t}
\mathrm
d
\mathrm
t
.
li(x)=∫0xlogt1dt.
しかし,この予想はLittlewoodが証明した定理によって否定される;
\pi(x)-
\mathrm
L
\mathrm
i(x)
π(x)−Li(x)
Theorem.(Littlewood.)
は無限回符号を変える.
John Edensor Littlewood
1885 - 1977.
Stanley Skewes.
1899-1988.
\displaystyle
e^{e^{e^{20382810665126687668323137537172632.374691364861524219235342823...}}}
eee20382810665126687668323137537172632.374691364861524219235342823...
Skewes Number.
e^{e^{e^{e^{7.705}}}}
\approx
10^{10^{10^{963}}}
eeee7.705≈101010963
(1933,Skewes.)
.
.
.
.
(1955,Skewes.)
Thank you for your attention!
\pi(x)
π(x)
10^1
101
x
x
10^2
102
10^3
103
10^4
104
10^5
105
10^6
106
10^7
107
4
4
25
25
168
168
1229
1229
9592
9592
78498
78498
664579
664579
\frac{x}{\log(x)}
log(x)x
4.343
4.343
21.715
21.715
144.764
144.764
1085.736
1085.736
8685.890
8685.890
72382.414
72382.414
620420.688
620420.688
誤差(%)
+8.57
+8.57
-13.14
−13.14
-13.83
−13.83
-11.65
−11.65
-9.44
−9.44
-3.96
−3.96
-6.64
−6.64
\mathrm
L
\mathrm
i
(x)
Li(x)
\pi(x)
π(x)
\pi
(10)
=
4
π(10)=4
\mathrm
L
\mathrm
i
(10)
=
5
Li(10)=5
\pi
(100)
=
25
π(100)=25
\mathrm
{Li}
(100)
=
29
Li(100)=29
\pi
(1000000000)
=
50847534
π(1000000000)=50847534
\mathrm
{Li}
(1000000000)
=
50849234
Li(1000000000)=50849234
素数の分布を話したい ～Gauss青年が見つけた法則とそれの発展～ 2016.12.24 @ロマンティック数学ナイト @Riemann_Zeta_F \pi^{-\frac{s}{2}}
\Gamma(\frac{s}{2})
\zeta(s)
=
\pi^{-\frac{1-s}{2}}
\Gamma(\frac{1-s}{2})
\zeta(1-s) π − s 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = π − 1 − s 2 Γ ( 1 − s 2 ) ζ ( 1 − s ) \displaystyle \prod_{p;{\mathrm{prime}}}\frac{1}{1-p^{-s}} ∏ p ; p r i m e 1 1 − p − s \zeta(2)
=
\frac{\pi^2}{6} ζ ( 2 ) = π 2 6 \displaystyle
\pi(x)
=
\sum_
{m\leqq\log_2 x}
\frac{\mu(m)}{m}
\biggl(
\mathrm{li}(x^{\frac{1}{m}})
-
\sum_\rho
\mathrm{li}
(x^{\frac{\rho}
{m}})
-
\log 2
+
\int_{x^{\frac{1}{m}}}^\infty
\frac{{dt}}{t({t^2}-1)\log t}
\biggr) π ( x ) = ∑ m ≦ log 2 x μ ( m ) m ( l i ( x 1 m ) − ∑ ρ l i ( x ρ m ) − log 2 + ∫ x 1 m ∞ d t t ( t 2 − 1 ) log t ) \displaystyle
\zeta(s)
=
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{k^s} ζ ( s ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k s \displaystyle
\zeta(3)=
1
+
\frac{1}{8}
+
\frac{1}{27}
+
\frac{1}{64}
+
... ζ ( 3 ) = 1 + 1 8 + 1 2 7 + 1 6 4 + . . . \displaystyle
\neq
\frac{p}{q} ≠ p q