高斯消去+一般圖匹配

矩陣乘法？
行列式？

行列式(det)

$det(A) = \sum\limits_{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod\limits_{i=1}^{n}A_{i,\sigma (i)}$

其中 $\operatorname{sgn}( \sigma) = (-1)^{N(\sigma)}$
$N(\sigma)$ 是逆序數對數或將該排列排好所需的對換數
（兩者奇偶性相同）

降階

高斯消去

示範
*把一行乘k加到另一行行列式值不變

code

void Gauss(double A[509][509],ll N)
{
    ll i,j,k,r;
    for(i = 0;i < N;i++)
    {
        r = i;
        for(j = i+1;j < N;j++) if(abs(A[j][i]) > abs(A[r][i])) r = j;
        if(r != i)
        {
            for(j = 0;j < N;j++)
            {
                swap(A[r][j],A[i][j]);
            }
        }
        for(k = i+1;k < N;k++)
        {
            double f = A[k][i]/A[i][i];
            for(j = i;j < N;j++) A[k][j] -= f*A[i][j];
        }
    }
}

複雜度？

用處

1.求行列式

- $det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A 可逆$

2.解(多元)一次方程組

3. 求秩(rank)
- 行秩 = 列秩

- $rank(A) = n \Leftrightarrow det(A) \neq 0$

4.求反矩陣

一般圖匹配

縮花><

我不會QQ

可以用線性代數？！

Tutte Matrix

$T(G)_{i,j} = \left\{\begin{matrix} 0 & if(v_i,v_j)\notin E(G)\\ x_{i,j} & if(v_i,v_j)\in E(G) \textrm{ and }i<j\\ -x_{i,j} & if(v_i,v_j)\in E(G) \textrm{ and }i>j\end{matrix}\right.$

完美匹配

Tutte 定理(1947)

$G$ 有完美匹配 $\Leftrightarrow det(T(G)) = 0$

Try Try see.

證明

環覆蓋

用一堆有向環去覆蓋一個無向圖，使得每個頂點恰在一個環中。

可以用一個排列 $p$ 表示，其中 $i \neq p_i$ ，且 $(i,p_i) \in E(G)$

3 4 1 2

證明

$det(T) = \sum\limits_{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}T_{i,\sigma (i)}$

考慮非零項

有機？

無機？

$det(T(G)) \neq 0$ $\Leftrightarrow G有完美匹配$

奇環覆蓋不會對det有貢獻

$G$ 有完美匹配 $\Leftrightarrow G有無奇環覆蓋$

複雜度？

不知道，但指數以上

Schwartz–Zippel lemma(之類的)

若 $P$ 是一個有 $n$ 個變數、最大度數為 $d$ 的多項式，若從集合 $S$ 中隨機取 $(r_1,r_2,\cdots,r_n)$ ，則

$O(N^3)$

求出來

等等會用到的定義

$A^{(S_1,S_2)}代表刪掉S_1中的行和S_2中的列所得到的新矩陣$

$A_{(S_1,S_2)}代表留下S_1中的行和S_2中的列所得到的新矩陣$

斜對稱矩陣

$一矩陣S，若-S = S^T，則稱S為斜對稱矩陣$

Tutte Matrix就是

$T^{-1}_{i,j} \neq 0 \Leftrightarrow G - (v_i,v_j) 有完美匹配$

$A^{-1} = adj(A)/det(A)$

$(adj(A))_{i,j} = (-1)^{i+j}det(A^{j,i})$

A:任意可逆矩陣

S : 斜對稱矩陣

T: Tutte Matrix

$det(S^{i,j}) \neq 0\Leftrightarrow det(S^{(i,j),(i,j)}) \neq 0 (S可逆)$

$rank(S) 是偶數$

$S是 n \times n 且 n是奇數\Rightarrow det(S) = 0$

$可以找到S'=S_{(i_1,i_2...),(i_1,i_2...)}，使det(S') \neq 0且 rank(S') = rank(S)$

$O(N^4)$

每次只是刪兩行兩列，一定要重算反矩陣嗎？

若 $A = \begin{bmatrix} a& v^T \\ u & B \end{bmatrix},A^{-1} = \begin{bmatrix} \hat {a}& \hat v^T \\ \hat u & \hat B \end{bmatrix}$

$B^{-1} = \hat{B} - \hat{u}\hat{v}^T/\hat {a}$

Finally

$O(N^3)$

感覺頗沒用？

最大匹配

Generalized Tutte Theorem

一張圖最大匹配的大小是 $rank(T(G))/2$

$可以找到S'=S_{(i_1,i_2...),(i_1,i_2...)}，使det(S') \neq 0且 rank(S') = rank(S)$

找出來

轉換

加/刪點找完美匹配

重點整理

剛剛都沒聽也沒怎樣

1.Tutte Matrix的定義

2.模一個大質數

3.隨機賦值

4.最大匹配大小是 $rank(T(G))/2$

5.找最大匹配先轉完美匹配

6. $(i,j)可在完美匹配中\Leftrightarrow T^{-1}_{i,j} \neq 0$

7.在原矩陣刪掉一行一列的話就用原逆矩陣對應的那行，消掉對應的那列，即可求出新的逆矩陣

例題

Undirected Vertex Geography

兩人玩遊戲，每次將棋子從圖上的一個節點移到相鄰且未走過的節點上，不可走者輸。哪些節點先手必勝？

結論

參考資料

楊家齊基於線性代數的一般圖匹配

高斯消去+一般圖匹配

矩陣乘法？ 行列式？

行列式(det)

降階

示範 *把一行乘k加到另一行行列式值不變

code

用處

一般圖匹配

縮花><

我不會QQ

可以用線性代數？！

Tutte Matrix

完美匹配

Tutte 定理(1947)

證明

環覆蓋

證明

複雜度？

不知道，但指數以上

Schwartz–Zippel lemma(之類的)

O(N3)O(N^3)O(N3)

求出來

等等會用到的定義

O(N4)O(N^4)O(N4)

每次只是刪兩行兩列，一定要重算反矩陣嗎？

若A=[avTuB],A−1=[a^v^Tu^B^]A = \begin{bmatrix} a& v^T \\ u & B \end{bmatrix},A^{-1} = \begin{bmatrix} \hat {a}& \hat v^T \\ \hat u & \hat B \end{bmatrix}A=[au​vTB​],A−1=[a^u^​v^TB^​]

Finally

感覺頗沒用？

最大匹配

Generalized Tutte Theorem

找出來

轉換

加/刪點找完美匹配

重點整理

剛剛都沒聽也沒怎樣

1.Tutte Matrix的定義

2.模一個大質數

3.隨機賦值

4.最大匹配大小是rank(T(G))/2rank(T(G))/2rank(T(G))/2

5.找最大匹配先轉完美匹配

6.(i,j)可在完美匹配中⇔Ti,j−1≠0(i,j)可在完美匹配中\Leftrightarrow T^{-1}_{i,j} \neq 0(i,j)可在完美匹配中⇔Ti,j−1​=0

7.在原矩陣刪掉一行一列的話就用原逆矩陣對應的那行，消掉對應的那列，即可求出新的逆矩陣

例題

Undirected Vertex Geography

結論

參考資料

矩陣乘法？
行列式？

示範
*把一行乘k加到另一行行列式值不變

$O(N^3)$

$O(N^4)$

若 $A = \begin{bmatrix} a& v^T \\ u & B \end{bmatrix},A^{-1} = \begin{bmatrix} \hat {a}& \hat v^T \\ \hat u & \hat B \end{bmatrix}$

4.最大匹配大小是 $rank(T(G))/2$

6. $(i,j)可在完美匹配中\Leftrightarrow T^{-1}_{i,j} \neq 0$