DP優化

單調隊列優化

斜率優化

\begin{matrix} dp[i] &= & & \max\limits_{j < i}( dp[j] + a \times (s_i - s_j)^2 + b \times (s_i-s_j) + c) \\ &= & & a\times s_i^2 + b\times s_i + c \\ & &+ & \max\limits_{j < i}((-2a \times s_j) \times s_i + (dp[j] + a\times s_j^2 - b\times s_j)) \end{matrix}

\begin{matrix} dp[i] &= & & \max\limits_{j < i}( dp[j] + a \times (s_i - s_j)^2 + b \times (s_i-s_j) + c) \\ &= & & a\times s_i^2 + b\times s_i + c \\ & &+ & \max\limits_{j < i}((-2a \times s_j) \times s_i + (dp[j] + a\times s_j^2 - b\times s_j)) \end{matrix}

狀態

$dp[i][j][0]$ :考慮前 $i$ 天，交易了 $j$ 次，而現在手上沒有東西的最大價值

$dp[i][j][1]$ :考考慮前 $i$ 天，交易了 $j$ 次，而現在手上有東西的最大價值

轉移

$dp[i][j][0] = \max(dp[i-1][j][0],dp[i-1][j][1] +v[i])$

$dp[i][j][1] = \max(dp[i-1][j][1],dp[i-1][j-1][0] -v[i])$

關於aliens的一些事

2. 倘若那個凸函數的值域是整數，就不用小數二分搜

3. 有時候那個函數是不嚴格凸的，所以不一定二分搜的到剛好用了 $k$ 次的時候，這時候就讓你的dp在答案一樣的時候盡量用比較少次，再直接把二分搜所加上的權重 $w$ 拿去dp，然後你就輸出dp的答案 $-w*k$ 就好了

4.二分搜的上下界自己搞清楚或是問@casperwang

2D/1D凸四邊形優化

$dp[i][j] = \min\limits_{i\leq k\leq j}\{dp[i][k] + dp[k][j] + w(i, j)\}$

$dp[i][j] = \min\limits_{p_{i, j-1}\leq k\leq p_{i+1, j}}\{dp[i][k] + dp[k][j] + w(i, j)\}$

紀錄好轉移來源

Lightning Conductor

證明四邊形不等式

$w(a, d) + w(b, c) \leq w(a, c) + w(b, d)$

兩邊消掉一些東西

$\sqrt{d - a} + \sqrt{c - b} \geq \sqrt{c - a} + \sqrt{d - b}$

兩邊平方，排序不等式

$bd + ac \geq bc + da$

f[i] = \min\limits_{1 \leq j < i}\{0, -\lceil a_j + \sqrt{i-j} - a_i\rceil \}

f[i] = \min\limits_{1 \leq j < i}\{0, -\lceil a_j + \sqrt{i-j} - a_i\rceil \}

狀態

$dp[i][0]$ :考慮前 $i$ 天，第i天不吃拉麵的最高分

$dp[i][1]$ :考慮前 $i$ 天，第i天吃拉麵的最高分

轉移

$dp[i][0] = \max(dp[i-1][0],dp[i-1][1])$

$dp[i][1] = \max\limits_{i-k \leq j < i}(dp[j][0] + S[i] - S[j])$

狀態：

$dp[i][j][k]$ 代表考慮前 $i$ 隻pokemon，用了 $j$ 個紅球、 $k$ 個黑球的隻數最大期望值

轉移：

$dp[i][j][k] = \max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-1][k] + p_i,dp[i-1][j][k-1] + u_i,dp[i-1][j-1][k-1] + u_i+p_i-p_i\times u_i)$

狀態:

$dp[i][j][0]$ 代表前 $i$ 組，取了 $j$ 組，第 $i$ 組不取

$dp[i][j][1]$ 代表前 $i$ 組，取了 $j$ 組，第 $i$ 組要取

轉移:

$dp[i][j][0] = \min(dp[i-1][j][1],dp[i-1][j][0])$

$dp[i][j][1] = dp[i-1][j-1][0] + 1$

	for(int len = 2; len <= n; len++){ // 枚舉區間長度 (i - j)
	for(int i = 1, r = len; j <= n; i++, j++){
	// 枚舉長度為 len 的所有區間
	dp[i][j] = INF;
	for (int k = p[i][j-1]; k <= p[i+1][j]; k++) {
	if (dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k+1][j] + w(i, j)) {
	// 更新 dp 陣列
	dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + w(i, j);
	p[i][j] = k; // 記錄（最小）轉移來源
	}
	}
	}
	}

	struct seg{int p,l,r;};
	deque<seg> deq;
	void solve() {
	deq.push_back(seg{0,1,n});
	for(int i=1; i<n; i++) {
	// 計算dp[i]
	while(deq.front().r <= i) deq.pop_front();
	dp[i] = f(deq.front().p, i);
	// 更新以 i 作為轉移來源的區間
	while(deq.size() && f(i, deq.back().l) < f(deq.back().p, deq.back().l))
	deq.pop_back();
	seg new_seg = seg{i, i+1, n};
	if(deq.size()) { // 有可能全部被 pop 掉
	int c = binary_search(deq.back().p, i);
	// c 是滿足 f(i, k) < f(deq.back().i, k) 的最小 k
	deq.back().r = new_seg.l = c;
	}
	if(new_seg.l < n) deq.push_back(new_seg);
	}
	}

	void solve(int l,int r,int ll,int rr) {
	if(l > r) return;
	int mid = (l+r)/2, p = 0;
	for(int i=ll; i<=min(mid,rr); i++) {
	if(num[i] - num[mid] + sqrt(abs(mid-i)) > dp[mid]) {
	dp[mid] = num[i] - num[mid] + sqrt(abs(mid-i));
	p = i;
	}
	}
	solve(l, mid, ll, p), solve(mid+1, r, p, rr);
	}